统计物理5基本概念——常见体系的态密度
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基本原理—— 常见体系的态密度
微电子与固体电子学院 张继华
上一堂小结
三大力学
量子力学 （微观性质）
热力学
统计力学
（热力学函数）
（热力学与量子力学的联系）
如何进行统计 ？？？
宏观量与微观量
宏观物体的任何性质总是微观粒子运动的宏 观反映: 宏观量是微观量的统计平均值 微观量
质量 mi 动能 i 势能Ui 转动惯量Ii 振动频率vi 转动特征温度Θr 振动特征温度Θv
[例3] N个粒子组成的二态自旋系统的简并函数。
补：数学知识 Stirling公式
m! m e
m m
2m
取对数得：lnm!=m(lnm-1)+1/2ln(2m) 当m足够大， 1/2ln(2m)可忽略，即
lnm!=m(lnm-1) 或 m!=mme-m
[例4] N 分子在两个等容器中的分布情况
A观测 Ai i
i
统计力学问题归结为：对一个具体的系统，在满足 一定的条件下，由微观结构模型求出各微观态出现 的几率（分布函数），再由分布函数建立微观结构 与宏观量之间的联系。
最可几宏观态
出现几率最大的宏观态。 最可几宏观态对应于热力学的平衡态。 系统在最可几宏观态中的物理量值可作为系统的状态参量。
n百度文库
N-n
N! ( N , n ) C n!( N n)!
n N
= 2N
N = 10
最可几分布 (10,5) —— 简并度最大
体系 不平衡 平衡
简并度小 大
N 很大时， (N, N/2) (均匀分布) 与 十分接近
N! N! (N,N/2) = —————— = ———— (N/2)!(N/2)! [(N/2)!]2 Stirling 公式，N! = NN e-N (N 很大）
NN e-N (N,N/2) = ————————— = 2N = [ (N/2)N/2 e-N/2 ]2 ln (N,N/2) 与 ln 更接近
5.4 常见体系的态密度
1. 自由粒子的量子力学描述
一维 三维
准经典描述：粒子每个状态占有相空间 hr（h为普朗克常数，r为粒子自由度）
2. 求解方法
准经典方法
量子方法
【例5.4.1】三维经典自由粒子 两种解法 【例5.4.2】三维量子化自由粒子 两种解法
【例5.4.3】经典谐振子
【例5.4.4】量子化谐振子
宏观量
温度 T 压力 p 质量 m 熵 S 内能 U Gibbs 自由能G
统计 平均
统计热力学的目的就是从组成系统的微观性质出发, 用统 计的方法说明、计算或预言平衡系统的热力学性质, 从而 揭示物质的运动本质.
各态经历假设——当实验测定某种宏观性质时, 总是需
要一定的时间. 虽然时间很短, 但所有可能的微观态全部经 历过, 因此测得的数值是观察时间间隔内相应微观量对所有 微观态的平均值.
微电子与固体电子学院 张继华
上一堂小结
三大力学
量子力学 （微观性质）
热力学
统计力学
（热力学函数）
（热力学与量子力学的联系）
如何进行统计 ？？？
宏观量与微观量
宏观物体的任何性质总是微观粒子运动的宏 观反映: 宏观量是微观量的统计平均值 微观量
质量 mi 动能 i 势能Ui 转动惯量Ii 振动频率vi 转动特征温度Θr 振动特征温度Θv
[例3] N个粒子组成的二态自旋系统的简并函数。
补：数学知识 Stirling公式
m! m e
m m
2m
取对数得：lnm!=m(lnm-1)+1/2ln(2m) 当m足够大， 1/2ln(2m)可忽略，即
lnm!=m(lnm-1) 或 m!=mme-m
[例4] N 分子在两个等容器中的分布情况
A观测 Ai i
i
统计力学问题归结为：对一个具体的系统，在满足 一定的条件下，由微观结构模型求出各微观态出现 的几率（分布函数），再由分布函数建立微观结构 与宏观量之间的联系。
最可几宏观态
出现几率最大的宏观态。 最可几宏观态对应于热力学的平衡态。 系统在最可几宏观态中的物理量值可作为系统的状态参量。
n百度文库
N-n
N! ( N , n ) C n!( N n)!
n N
= 2N
N = 10
最可几分布 (10,5) —— 简并度最大
体系 不平衡 平衡
简并度小 大
N 很大时， (N, N/2) (均匀分布) 与 十分接近
N! N! (N,N/2) = —————— = ———— (N/2)!(N/2)! [(N/2)!]2 Stirling 公式，N! = NN e-N (N 很大）
NN e-N (N,N/2) = ————————— = 2N = [ (N/2)N/2 e-N/2 ]2 ln (N,N/2) 与 ln 更接近
5.4 常见体系的态密度
1. 自由粒子的量子力学描述
一维 三维
准经典描述：粒子每个状态占有相空间 hr（h为普朗克常数，r为粒子自由度）
2. 求解方法
准经典方法
量子方法
【例5.4.1】三维经典自由粒子 两种解法 【例5.4.2】三维量子化自由粒子 两种解法
【例5.4.3】经典谐振子
【例5.4.4】量子化谐振子
宏观量
温度 T 压力 p 质量 m 熵 S 内能 U Gibbs 自由能G
统计 平均
统计热力学的目的就是从组成系统的微观性质出发, 用统 计的方法说明、计算或预言平衡系统的热力学性质, 从而 揭示物质的运动本质.
各态经历假设——当实验测定某种宏观性质时, 总是需
要一定的时间. 虽然时间很短, 但所有可能的微观态全部经 历过, 因此测得的数值是观察时间间隔内相应微观量对所有 微观态的平均值.