因式分解-平方差公式

【教学目标】

知识目标：1、掌握运用平方差公式分解因式；

2、掌握提取公因式法、平方差公式分解因式的综合运用。

能力目标：培养学生符号运算的能力，发展学生观察、归纳、类比、概括等能力。

情感目标：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，培养学生积极主动参与探索的意识。

【教学重点】：运用平方差公式分解因式。

【教学难点】：高次指数的转化，因式分解方法（提取公因式法、平方差公式）的灵活应用。

【课前准备】：自学课本P167－168.

【教学课时】：1课时。

【教学过程】：

一、复习巩固

1.前一节课我们学习一种因式分解的方法是什么？

2.分解因式：（1）2X3-4X = （2）(a-b)2-3(a-b)=

3.为了检验分解因式的结果是否正确,可以用__________运算来检验

4.我们已经学过哪些乘法公式？_________,________

5.计算下列各式

(1) (a+b) (a-b) =

(2) (X+5)(X-5)=

(3) (3X+Y)(3X-Y)=

二 .创设情境（把上题右边左边交换一下位置，结果是？）

a2-b2= (a+b)(a-b)

X2-25=(X+5)(X-5)

x2-52=(X+5)(X-5)

9X2-Y2=(3X+Y)(3X-Y)

(3x)2-y2=(3X+Y)(3X-Y)

三、新课学习。

（一）引入。

x2– 25、9x2–y2 、4a2–49b2因式分解的结果是什么？你得到什么启示？

（二）阅读效果交流。

1、怎样的多项式都可用平方差公式分解因式？a?- b? =（a+b）（a-b）

A、这个公式左边的多项式有什么特征：（从项数、符号、形式分析）

B、公式右边两个二项式有什么特点？

2、订正课前阅读并请学生讲解。

【教师点拨】（1）两个平方项，符号相反。

（2）公式右边分别是两数和与两数差的积。

（三）阅读中学习。

1、例1、对照平方差公式怎样将4x2– 9分解因式

①阅读后分析：公式a2-b2 =（a+b）（a-b）中a、b对应各题中什么？

②阅读后讲解：

4x2– 9= （2x）2– 32 =（2x + 3）（2x - 3）

a2 -b2 =（a + b）（a - b）

③阅读后反思：与平方差公式中的a,b分别是2x和3，而不是4x和9。

【教师点拨】应用平方差公式进行因式分解的关键在于找准a,b。

练一练：课本P168 练习2

（1）X2-4 （2）-4Y2+9X2

2、例2、把下列各式分解因式。

（1）（x+p）2–（x+q）2 （2）25（a+b）2–4（a-b）2

①阅读后分析：符合平方差公式吗？如果符合，那么谁是公式中的a, 谁是公式中的b。

②阅读后讲解：请学生上黑板板书解题过程，针对学生的解题情况总结解题方法。教师可着重讲解第2题。

解：原式=[5（a+b）]2-[2（a-b）]2

=[5a+5b]2[ 2a-2b]2

=[（5a+5b）+（2a-2b）][（5a+5b）-（2a-2b）]

=（7a+3b）（3a+7b）

③阅读后反思：A、联系：和前面的例题相同之处是两项的因式分解，且符合平方差公式分解的条件。

B、区别：之前的题目是单项式的平方差，这两道题是多项式的平方差。

C、方法与思想：换元法或者整体的思想。运用到前面所学的积的乘方公式的逆用。

【教师点拨】先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，判断是否符合公式，然后再尝试选择因式分解的方法。公式中a,b可以是一个数，一个字母。一个单项式，也可以是一个多项式，要注意整体思想的应用。

对应练习：

（1）x2y?– 49m? （2）4（a+1）2－25 （3）36（x+y）2－9（x－y）2例3、把下列各式分解因式课本例题

（1）4x3y – 9xy3 （2）m4-16

①阅读后分析：两项，且符号相反。判断是否可以利用平方差公式分解。

②阅读后讲解：利用实物投影直接展示学生的解题过程，由学生点评，教师总结。

③阅读后反思：可能产生的错误是因式分解不彻底和提取公因式不彻底。

【教师点拨】对要分解的多项式要认真观察，看是否符合公式，对不符合公式结构特征的多项式要进行多步骤的分解。通过例题3，总结出因式分解的一般步骤是一提二套。并注意检查因式分解是否彻底。

对应练习：课本P168练习2（3）（4）

补充：x2（x－y）+y2（y－x）

①阅读后分析：仔细观察x2 （x－y）和y2（y－x），这两个整式有何联系？

②阅读后讲解：略。相同的因式应该写成幂的形式。

③阅读后反思：任何多项式的因式分解的第一个步骤都应该观察有无公因式，

第二个步骤再观察符合哪个公式。

（四）课堂拓展。

例4、计算：

【教师点拨】计算的式子符合平方差分解的形式。

例5、在实数范围内因式分解：x2–3

①阅读后分析：两项，且符号相反。

②阅读后讲解：学生先独立思考，小组交流完成，教师总结。

③阅读后反思：注意x-1= ）算不算在实数范围内因式分解。

【教师点拨】根据平方根的定义写成平方差的形式。如果没有特别说明，因式分解一般在有理数范围内进行。

三、课堂拓展练习。

1、在实数范围内因式分解：（1）m4－4 （2）3x2－4

【教师点拨】能否转化为平方差的形式？

2、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018 162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：（写出一个即可）。

【教师点拨】本题是一道阅读理解且具有一定开放度的好题，有效地考查了阅读理解能力、类比迁移能力、创新能力以及数学基本方法的熟练运用。解题时，先认真阅读材料，正确理解其方法，然后类比迁移运用。

【解题后反思】：从项数上初步判断采用什么方法分解因式。

四、学习后小结。