运筹学概述ppt课件
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运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学PPT完整版
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
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运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
运筹课件PPT课件
它涉及到的问题包括最短路径、 最小生成树、最大流等。
图论与网络优化在计算机科学、 交通运输、通信网络等领域有 广泛应用，如路由算法、网络 设计等。
03 运筹学在现实生活中的应 用
生产与库存管理
01
02
03
生产计划
运筹学通过数学模型和算 法，帮助企业制定生产计 划，优化资源配置，提高 生产效率。
库存控制
Excel Solver的特点
Excel Solver易于使用
它提供了一个直观的用户界面，用户可以通过简单的拖放操作来定义问题。
Excel Solver具有广泛的适用性
它可以处理各种类型的优化问题，包括线性规划、整数规划、目标规划、非线性规划等。
Excel Solver具有高效性
它使用了多种优化算法，可以快速求解大规模问题。
它使用了高效的算法和优化的数据结构，可以快速地处理大规模数据和计算任务。
05 案例分析与实践
生产计划优化案例
总结词
生产计划是企业管理中的重要环节，通过优化生产计划可以提高企业的生产效率 和资源利用率。
详细描述
生产计划优化案例主要涉及如何根据市场需求、产品特性、生产能力等因素制定 合理的生产计划，以实现生产效益的最大化。具体包括对生产计划的制定、执行 、调整等环节进行优化，提高生产计划的准确性和灵活性。
运筹学的重要性
01
提高效率
降低成本
02
03
增强决策科学性
运筹学能够通过优化资源配置和 流程，提高系统的效率和生产力。
通过合理的资源配置和计划安排， 运筹学可以帮助企业降低成本和 资源消耗。
运筹学提供的数据分析和模型预 测等方法，有助于增强决策的科 学性和准确性。
运筹学所有内容 ppt课件
pj xj
( ) B
X 0
其中： C (c 1c 2 c n )
x1
X
x n
Pj
a
1
j
a mj
b1
B
b m
运筹学所有内容
Page 24
矩阵形式：
max(min)Z CX
AX ( ) B
X
0
其中： C (c 1c 2 c n )
a11 a1n
A
a1 x1 1 a1 x2 2 a1nxn ( ) b1
约束条件： am1x1 am2x2 am xn n ( )bm
x1 0xn 0
n
简写为： max(min)Z cj xj j1
n
aijxj ( )bi (i 1 2m)
j1
xj 0
(j 1 2n)
运筹学所有内容
向量形式： max(min)z CX
“管理运筹学”2.0版包括：线性规划、运输问题、整数规划（0-1整数 规划、纯整数规划和混合整数规划）、目标规划、对策论、最短路径、 最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、 决策分析、预测问题和层次分析法，共15个子模块。
运筹学所有内容
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
运筹问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
运筹学-绪论PPT课件
运筹学编写组.运筹学.清华大学出版社 胡运权.运筹学教程.清华大学出版社 杜纲.管理科学基础.天津大学出版社 邓梁成.运筹学的原理和方法.华中科技大学 中国工程项目管理知识体系.建工社 其他：线性代数、管理学及部分杂志
➢ 设备维修和更新 ➢ 项目评价和选择 ➢ 工程优化设计
➢ 计算机和信息系 统
➢ 城市管理 ➢ 发展战略
五、教学及考试说明
➢ 以课本为主教学 ➢ 必要的习题（30～40题） ➢ 考试：采用闭卷 ➢ 平时成绩30％；考试成绩占70％
六、教材和参考书
➢ 教材： ➢ 胡云权.运筹学教程（第三版）.清华大学出版社 ➢ 宋学峰.运筹学.东南大学出版社 ➢ 参考书：
➢ 60年代，相继在工业、农业、经济和社会问题各 领域都得到应用。
➢ 理论飞快发展，形成许多分支：数学规划、图与 网络、排队论、存储论、对策论、决策论等。
➢ 1959年成立国际运筹学联合会。我国1980年成 立运筹学会，1982年加入国际运筹学联合会。
四、运筹学解决问题的思路
➢ 提出问题——用自然语言描述问题。 ➢ 建立数学模型——用变量、函数、方程描述问
题。
➢ 求解——主要用数学方法求出模型的最优解、 次优解、满意解，复杂模型求解要用计算机。
➢ 解的检验——检查模型和求解步骤有无错误， 检查解是否反映现实问题。
➢ 决策实施——决策者根据自己的经验和偏好， 对方案进行选择和修改，作出实施的决定。
五、运筹学的运用
➢ 生产计划 ➢ 市场销售 ➢ 资本运营 ➢ 库存管理 ➢ 运输问题 ➢ 财政和会计 ➢ 人事管理
——近代一些运筹学工作者
一、什么是运筹学
➢ 3、运筹学的三大来源 1）军事
两次世界大战期间的军事运筹研究 2）管理
➢ 设备维修和更新 ➢ 项目评价和选择 ➢ 工程优化设计
➢ 计算机和信息系 统
➢ 城市管理 ➢ 发展战略
五、教学及考试说明
➢ 以课本为主教学 ➢ 必要的习题（30～40题） ➢ 考试：采用闭卷 ➢ 平时成绩30％；考试成绩占70％
六、教材和参考书
➢ 教材： ➢ 胡云权.运筹学教程（第三版）.清华大学出版社 ➢ 宋学峰.运筹学.东南大学出版社 ➢ 参考书：
➢ 60年代，相继在工业、农业、经济和社会问题各 领域都得到应用。
➢ 理论飞快发展，形成许多分支：数学规划、图与 网络、排队论、存储论、对策论、决策论等。
➢ 1959年成立国际运筹学联合会。我国1980年成 立运筹学会，1982年加入国际运筹学联合会。
四、运筹学解决问题的思路
➢ 提出问题——用自然语言描述问题。 ➢ 建立数学模型——用变量、函数、方程描述问
题。
➢ 求解——主要用数学方法求出模型的最优解、 次优解、满意解，复杂模型求解要用计算机。
➢ 解的检验——检查模型和求解步骤有无错误， 检查解是否反映现实问题。
➢ 决策实施——决策者根据自己的经验和偏好， 对方案进行选择和修改，作出实施的决定。
五、运筹学的运用
➢ 生产计划 ➢ 市场销售 ➢ 资本运营 ➢ 库存管理 ➢ 运输问题 ➢ 财政和会计 ➢ 人事管理
——近代一些运筹学工作者
一、什么是运筹学
➢ 3、运筹学的三大来源 1）军事
两次世界大战期间的军事运筹研究 2）管理
运筹学教学课件(全)
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
运筹学全册精品完整课件
否则，目标函数等值线与可行域 将交于无穷远处，此时称无有限最 优解。
36
例2-2 考虑例2-1
某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，
生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中 需要占用的设备机时数，每件产品可以获 得的利润以及三种设备可利用的时数如下 表所示。问题：工厂应如何安排生产可获 得最大的总利润？
一、线性规划问题的提出
在实践中，根据实际问题的要求，常常 可以建立线性规划问题数学模型。
例2-1 我们首先分析开篇案例提到的问题。 解：设变量 xi 为第 i 种（甲、乙）产品的 生产件数（i＝1，2）。根据题意，我们知道 两种产品的生产受到设备能力（机时数）的 限制。对设备A：两种产品生产所占用的机时 数不能超过65，于是我们可以得到不等式：
运筹学是运用科学的方法（如 分析、试验、量化等）来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一门 学科。
4
运筹学概述
运筹学能够对经济管理系统中 的人力、物力、财力等资源进行统 筹安排，为决策者提供有依据的最 优方案，以实现最有效的管理。
通常以最优、最佳等作为决策 目标，避开最劣的方案。
5
运筹学的产生和发展
8பைடு நூலகம்
运筹学在管理中的应用
生产计划：生产作业的计划、日程表的
编排、合理下料、配料问题、物料管 理等。
库存管理：多种物资库存量的管理，库
存方式、库存量等。
运输问题：确定最小成本的运输线路、
物资的调拨、运输工具的调度以及建
厂地址的选择等。
9
运筹学在管理中的应用
• 人事管理：对人员的需求和使用的 预测，确定人员编制、人员合理分 配，建立人才评价体系等。
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
36
例2-2 考虑例2-1
某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，
生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中 需要占用的设备机时数，每件产品可以获 得的利润以及三种设备可利用的时数如下 表所示。问题：工厂应如何安排生产可获 得最大的总利润？
一、线性规划问题的提出
在实践中，根据实际问题的要求，常常 可以建立线性规划问题数学模型。
例2-1 我们首先分析开篇案例提到的问题。 解：设变量 xi 为第 i 种（甲、乙）产品的 生产件数（i＝1，2）。根据题意，我们知道 两种产品的生产受到设备能力（机时数）的 限制。对设备A：两种产品生产所占用的机时 数不能超过65，于是我们可以得到不等式：
运筹学是运用科学的方法（如 分析、试验、量化等）来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一门 学科。
4
运筹学概述
运筹学能够对经济管理系统中 的人力、物力、财力等资源进行统 筹安排，为决策者提供有依据的最 优方案，以实现最有效的管理。
通常以最优、最佳等作为决策 目标，避开最劣的方案。
5
运筹学的产生和发展
8பைடு நூலகம்
运筹学在管理中的应用
生产计划：生产作业的计划、日程表的
编排、合理下料、配料问题、物料管 理等。
库存管理：多种物资库存量的管理，库
存方式、库存量等。
运输问题：确定最小成本的运输线路、
物资的调拨、运输工具的调度以及建
厂地址的选择等。
9
运筹学在管理中的应用
• 人事管理：对人员的需求和使用的 预测，确定人员编制、人员合理分 配，建立人才评价体系等。
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
第一章运筹学 PPT讲解
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
运筹学的主要内容
Page 5
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的特点和要求
Page 6
先修课：高等数学，基础概率、线性代数 特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用 运筹学的研究的主要步骤：
n
max Z c x j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（最小也可以，但我们先统一到最大）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
b1
B
bm
Page 16
线性规划问题的数学模型
Page 17
3. 线性规划问题的标准形式
运筹学
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
运筹学的主要内容
Page 5
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的特点和要求
Page 6
先修课：高等数学，基础概率、线性代数 特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用 运筹学的研究的主要步骤：
n
max Z c x j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（最小也可以，但我们先统一到最大）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
b1
B
bm
Page 16
线性规划问题的数学模型
Page 17
3. 线性规划问题的标准形式
运筹学
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
运筹学PPT完整版
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 28
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
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2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 28
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
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2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
运筹学PPT完整版
C 变量：决策变量和非决策变量
B 约束条件：线性等式或不等式
A 目标函数：求最大值或最小值
非线性规划
目标函数：非线性函数
约束条件：非线性不等式
求解方法：梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等
应用领域：生产计划、资 源分配、投资决策等
动态规划
基本概念：将复杂问题分解为若干子 0 1 问题，通过求解子问题来解决原问题
运筹学广泛应用于生产、运输、库存、销售、人力 资源等各个领域。
运筹学通过建立数学模型，求解最优解，以实现资 源的合理配置和高效利用。
运筹学的应用领域
生产与运营管理 项目管理 交通与运输规划
供应链管理 财务管理 资源分配与调度
运筹学的发展历程
起源：二战期间， 军事需求推动运 筹学的发展
20世纪50年代： 运筹学逐渐应用 于工业、经济等 领域
适用范围：解决资源分配、路径规划、 02 生产调度等问题
主要步骤：划分阶段、确定状态、建 0 3 立状态转移方程、求解最优解
特点：具有最优子结构性质，能够高 04 效地求解复杂问题
运筹学的实际应 用
生产计划与调度
生产计划：根据市场需求和生产能力制定生产计划， 包括生产数量、生产时间、生产地点等
生产调度：根据生产计划，合理分配生产资源，包 括人员、设备、原材料等
场趋势
运筹学在生物学中 的应用：分析生物 种群数量变化，预
测生物进化趋势
运筹学在工程学中 的应用：优化工程 设计，提高工程效
率
THANK YOU
汇报人：稻小壳
运筹学与人工智 能的结合，拓展
2 了运筹学的应用
领域
3 运筹学与人工智
能的结合，推动 了运筹学的理论 研究和实践应用
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14
运筹学的特点
运筹学作为一门定量决策科学，利 用数学、计算机科学与其它科学的新成 就，研究各种系统尤其是经济管理中运 行的数量化规律，合理使用与统筹安排 人力、物力、财力等资源，为决策者提 供有依据的最优方案，以实现最有效的 管理并获得满意的经济效益和社会效果， 就其理论与应用意义上归纳，运筹学具 有如下一些主要特点：
12
欧拉的研究所涉及的学科
图论与网络 拓扑学
13
运筹学学科的形成
普遍认为，运筹学作为一门新兴学科起源于二战 期间的军事运筹活动。当时英、美都发明和制造了一 批新式武器，但如何使用这些武器却远远落后于这些 武器的制造。为此，英国军事管理部门召来了一批具 有不同学科和专业背景的科学家，在1940年成立了 “OR”小组。这标志着世界第一次开始正式的运筹学 活动。随后，美国也成立了运筹学小组。这些早期的 运筹工作，主要是进行战术评价、战术改进、作战计 划、战略选择、改进后勤调度和训练计划等方面的研 究。不同学科的相互渗透所产生的协同作用，成功的 解决了许多重要的问题，为以后运筹学的发展积累了 丰富的经验。
16
模型的概念
人们在对现实世界进行研究、认识时， 必须对现实世界进行抽象，现实世界才能成 为思维的对象。
在解决实际问题时，经常使用一些文字、 数字、符号、公式、图表以及实物，用以描 述客观事物的某些特征和内在联系，从而表 示或解释某一系统的过程，这就是模型。由 此可见，模型是客观世界抽象的描述，能帮 助人们认识、分析和解决实际问题。
用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提 高系统的效能和效益，最终达到系统的最优 目标。
2
历史上运筹学的运用
我国：战国时代
齐王与田忌赛马
国外：1736年欧拉解决
哥尼斯堡七桥问题
3
Hale Waihona Puke 齐王与田忌赛马《史记》中有这样一个故事：有一天，齐王要田忌 和他赛马，规定每个人从自己的上、中、下三等马中 各选一匹来赛；并规定，每次有一匹马来比赛；并约 定，每有一匹马取胜可获千两黄金，每有一匹马落后 要付千两黄金。当时，齐王的每一等次的马比田忌同 样等次的马都要强，因而，如果田忌用自己的上等马 与齐王的上等马比，用自己的中等马与齐王的中等马 比，用自己的下等马与齐王的下等马比，则田忌要输 三次，因而要输黄金三千两。但是结果，田忌没有输， 反而赢了一千两黄金。这是怎么回事呢？
11
欧拉的解题思路
3、欧拉的结论： 七桥问题中要找的那条路线是不存在的。 网络能否一笔画出来的关键在于这些点。
这些点有两类，如果从一点引出的线是奇数 条，就把这个点叫奇点；如果从一点引出的 线是偶数条，就把这个点叫偶点。网络中奇 点的数是零或二，这个网络就能一笔画出来。 由于七桥问题中的四个点都是奇点，按欧拉 的规律，这个网络是一笔画不出来的。
17
模型的功能
1.模型是实现问题某一主要方面的描述或抽象，比现实 本身简单和概括，使人易于认识、理解和操作；
4
在赛马之前，田忌的谋士孙膑给他出了一个主意， 让田忌用自己的下等马去与齐王的上等马比，用自己 的上等马与齐王的中等马比，用自己的中等马与齐王 的下等马比。田忌的下等马当然会输，但是上等马和 中等马都赢了。因而田忌不仅没有输掉黄金三千两， 还赢了黄金一千两。
问题表明，在有双方参加的竞赛或斗争中，策略 是很重要的。采用的策略适当，就有可能在似乎一定 会失败的情况下取得胜利的结果。
研究这种竞赛策略的数学分支，叫作博奕论，也 叫对策论；是运筹学的重要分支。
5
历史上运筹学的运用
我国：战国时代
齐王与田忌赛马
国外：1736年欧拉解决
哥尼斯堡七桥问题
6
哥尼斯堡七桥问题
濒临蓝色的波罗的海，有一座古老而美丽的城市， 叫做哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）。 布勒格尔河 的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。 河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人 们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什 么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣 的问题在居民中传开了： 谁能够一次走遍所有的７座 桥，而且每座桥都只通过一次？ 这个问题似乎不难， 谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没 有找到一条这样的路线。连以博学著称的大学教授们， 也感到一筹莫展。“七桥问题”难住了哥尼斯堡的所 有居民。哥尼斯堡也因“七桥问题”而出了名。
7
七桥问题的形象描述
城市分割成4个区域： 河的两岸（A和B），河 中的岛（C）和两条支流 之间的半岛（D）。七座 桥横跨普勒格尔河及其支 流，把河岸、半岛和河心 岛连接起来。
8
欧拉的解题思路
当时的大数学家欧拉没有亲自去哥尼 斯堡 测试可能的路线 。事实上，如果 沿着所有可能的路线都走一次的话，一 共要走5040次。就算是一天走一次，也 需要13年多的时间，而实际上．欧拉只 用了几天的时间就解决了七桥问题。
15
运筹学的特点
1.运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术， 并强调系统整体最优。
2. 运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科 交叉的方法，具有综合性。
3.运筹学研究和解决问题的方法具有显著的系统 分析特征，其各种方法的运用，几乎都需要 建立数学模型和利用计算机进行求解。
4.运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。 5.运筹学具有强烈的实践性和应用的广泛性。
运筹学
主讲人：叶娟 juanym126
1
什么是运筹学？
主要用数学的方法研究各种系统的优化途径 及方案，为决策者提供科学决策的依据。
Operation Research ，OR 主要研究对象：主要为各种有组织系统的管
理问题及其生产经营活动 主要研究方法：定量化和模型化方法 目的：针对所研究的系统，求得一个合理运
9
欧拉的解题思路
1、建立模型：
首先把哥尼斯堡的4个 区域分别用点A、B、C、D 表示，每座连接两个区域的 桥用相应两点的连线a、b、 c、d、e、f、g表示，即把哥 尼斯堡七桥的情景转化为一 个图。
10
欧拉的解题思路
2、问题转化：在上图中，从任何一点 出发，笔不离纸，但又不能重复任何一 条边地画出上图，且起点与终点重合， 这样的画法存在吗？（这就是众所周知 的“一笔画”游戏）
运筹学的特点
运筹学作为一门定量决策科学，利 用数学、计算机科学与其它科学的新成 就，研究各种系统尤其是经济管理中运 行的数量化规律，合理使用与统筹安排 人力、物力、财力等资源，为决策者提 供有依据的最优方案，以实现最有效的 管理并获得满意的经济效益和社会效果， 就其理论与应用意义上归纳，运筹学具 有如下一些主要特点：
12
欧拉的研究所涉及的学科
图论与网络 拓扑学
13
运筹学学科的形成
普遍认为，运筹学作为一门新兴学科起源于二战 期间的军事运筹活动。当时英、美都发明和制造了一 批新式武器，但如何使用这些武器却远远落后于这些 武器的制造。为此，英国军事管理部门召来了一批具 有不同学科和专业背景的科学家，在1940年成立了 “OR”小组。这标志着世界第一次开始正式的运筹学 活动。随后，美国也成立了运筹学小组。这些早期的 运筹工作，主要是进行战术评价、战术改进、作战计 划、战略选择、改进后勤调度和训练计划等方面的研 究。不同学科的相互渗透所产生的协同作用，成功的 解决了许多重要的问题，为以后运筹学的发展积累了 丰富的经验。
16
模型的概念
人们在对现实世界进行研究、认识时， 必须对现实世界进行抽象，现实世界才能成 为思维的对象。
在解决实际问题时，经常使用一些文字、 数字、符号、公式、图表以及实物，用以描 述客观事物的某些特征和内在联系，从而表 示或解释某一系统的过程，这就是模型。由 此可见，模型是客观世界抽象的描述，能帮 助人们认识、分析和解决实际问题。
用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提 高系统的效能和效益，最终达到系统的最优 目标。
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历史上运筹学的运用
我国：战国时代
齐王与田忌赛马
国外：1736年欧拉解决
哥尼斯堡七桥问题
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Hale Waihona Puke 齐王与田忌赛马《史记》中有这样一个故事：有一天，齐王要田忌 和他赛马，规定每个人从自己的上、中、下三等马中 各选一匹来赛；并规定，每次有一匹马来比赛；并约 定，每有一匹马取胜可获千两黄金，每有一匹马落后 要付千两黄金。当时，齐王的每一等次的马比田忌同 样等次的马都要强，因而，如果田忌用自己的上等马 与齐王的上等马比，用自己的中等马与齐王的中等马 比，用自己的下等马与齐王的下等马比，则田忌要输 三次，因而要输黄金三千两。但是结果，田忌没有输， 反而赢了一千两黄金。这是怎么回事呢？
11
欧拉的解题思路
3、欧拉的结论： 七桥问题中要找的那条路线是不存在的。 网络能否一笔画出来的关键在于这些点。
这些点有两类，如果从一点引出的线是奇数 条，就把这个点叫奇点；如果从一点引出的 线是偶数条，就把这个点叫偶点。网络中奇 点的数是零或二，这个网络就能一笔画出来。 由于七桥问题中的四个点都是奇点，按欧拉 的规律，这个网络是一笔画不出来的。
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模型的功能
1.模型是实现问题某一主要方面的描述或抽象，比现实 本身简单和概括，使人易于认识、理解和操作；
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在赛马之前，田忌的谋士孙膑给他出了一个主意， 让田忌用自己的下等马去与齐王的上等马比，用自己 的上等马与齐王的中等马比，用自己的中等马与齐王 的下等马比。田忌的下等马当然会输，但是上等马和 中等马都赢了。因而田忌不仅没有输掉黄金三千两， 还赢了黄金一千两。
问题表明，在有双方参加的竞赛或斗争中，策略 是很重要的。采用的策略适当，就有可能在似乎一定 会失败的情况下取得胜利的结果。
研究这种竞赛策略的数学分支，叫作博奕论，也 叫对策论；是运筹学的重要分支。
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历史上运筹学的运用
我国：战国时代
齐王与田忌赛马
国外：1736年欧拉解决
哥尼斯堡七桥问题
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哥尼斯堡七桥问题
濒临蓝色的波罗的海，有一座古老而美丽的城市， 叫做哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）。 布勒格尔河 的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。 河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人 们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什 么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣 的问题在居民中传开了： 谁能够一次走遍所有的７座 桥，而且每座桥都只通过一次？ 这个问题似乎不难， 谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没 有找到一条这样的路线。连以博学著称的大学教授们， 也感到一筹莫展。“七桥问题”难住了哥尼斯堡的所 有居民。哥尼斯堡也因“七桥问题”而出了名。
7
七桥问题的形象描述
城市分割成4个区域： 河的两岸（A和B），河 中的岛（C）和两条支流 之间的半岛（D）。七座 桥横跨普勒格尔河及其支 流，把河岸、半岛和河心 岛连接起来。
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欧拉的解题思路
当时的大数学家欧拉没有亲自去哥尼 斯堡 测试可能的路线 。事实上，如果 沿着所有可能的路线都走一次的话，一 共要走5040次。就算是一天走一次，也 需要13年多的时间，而实际上．欧拉只 用了几天的时间就解决了七桥问题。
15
运筹学的特点
1.运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术， 并强调系统整体最优。
2. 运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科 交叉的方法，具有综合性。
3.运筹学研究和解决问题的方法具有显著的系统 分析特征，其各种方法的运用，几乎都需要 建立数学模型和利用计算机进行求解。
4.运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。 5.运筹学具有强烈的实践性和应用的广泛性。
运筹学
主讲人：叶娟 juanym126
1
什么是运筹学？
主要用数学的方法研究各种系统的优化途径 及方案，为决策者提供科学决策的依据。
Operation Research ，OR 主要研究对象：主要为各种有组织系统的管
理问题及其生产经营活动 主要研究方法：定量化和模型化方法 目的：针对所研究的系统，求得一个合理运
9
欧拉的解题思路
1、建立模型：
首先把哥尼斯堡的4个 区域分别用点A、B、C、D 表示，每座连接两个区域的 桥用相应两点的连线a、b、 c、d、e、f、g表示，即把哥 尼斯堡七桥的情景转化为一 个图。
10
欧拉的解题思路
2、问题转化：在上图中，从任何一点 出发，笔不离纸，但又不能重复任何一 条边地画出上图，且起点与终点重合， 这样的画法存在吗？（这就是众所周知 的“一笔画”游戏）