最新微分方程教案
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
微分方程基础及应用课程设计
微分方程基础及应用课程设计1. 课程概述微分方程是数学中的一门重要的学科，它在自然科学和工程技术等领域中都有着广泛的应用。
本课程介绍微分方程的基本概念、基本解法和常见应用。
主要内容包括：一阶微分方程、二阶及高阶微分方程、常系数线性微分方程、解析解和数值解等内容。
2. 教学目标2.1 知识目标1.掌握一阶微分方程的解法和应用；2.掌握二阶及高阶微分方程的解法和应用；3.掌握常系数线性微分方程的解法和应用；4.了解解析解和数值解的基本研究方法。
2.2 能力目标1.能够运用微分方程解决实际问题；2.能够对数学模型进行合理的建立和求解；3.能够开展科研和工程设计中的微分方程相关的基础性研究。
3. 教学大纲3.1 课程内容1.一阶微分方程1.可分离变量的微分方程2.齐次线性微分方程3.Bernoulli方程4.恰当微分方程5.变量可分离微分方程6.常系数线性微分方程7.应用2.二阶及高阶微分方程1.齐次线性微分方程2.非齐次线性微分方程3.应用3.常系数线性微分方程1.一阶常系数微分方程2.二阶及高阶常系数微分方程3.应用4.解析解和数值解1.Taylor公式2.Euler法3.Runge-Kutta法4.应用3.2 教学进度和安排章节内容学时1.1 可分离变量的微分方程 21.2 齐次线性微分方程 21.3 Bernoulli方程 21.4 恰当微分方程 21.5 变量可分离微分方程 21.6 常系数线性微分方程 2章节内容学时1.7 应用 22.1 齐次线性微分方程 22.2 非齐次线性微分方程 22.3 应用 23.1 一阶常系数微分方程 23.2 二阶及高阶常系数微分方程 23.3 应用 24.1 Taylor公式 24.2 Euler法 24.3 Runge-Kutta法 24.4 应用 24. 教学方法本课程采用理论讲授、课堂讨论、案例分析和课程实践相结合的教学方法，注重培养学生的综合运用能力和分析问题的能力。
高中数学教案微分方程
高中数学教案微分方程微分方程教案高中数学教案摘要：本教案主要介绍微分方程的基本概念、求解方法和应用，并设计了相关的教学活动和练习。
教学目标：1.了解微分方程的概念与分类，并理解微分方程的意义。
2.能够运用常微分方程的解法，解决简单的微分方程问题。
3.了解微分方程在实际问题中的应用，并能够将数学知识与实际问题相结合，解决实际问题。
教学重点：1.微分方程的概念与分类。
2.常微分方程的解法。
3.微分方程在实际问题中的应用。
教学难点：1.应用题中的问题分析和建立微分方程的能力。
2.求解复杂微分方程的能力。
教学准备：1.教师：PPT课件、教案、多媒体设备。
2.学生：教材、笔记本、计算器。
教学过程：一、导入（约5分钟）教师通过给学生出示一些实际问题，引发学生对微分方程的思考，激发学生的学习兴趣。
例如：一辆汽车在某段路程上的速度是多少？一杯冷水从什么温度下降到什么温度需要多长时间？二、知识讲解（约25分钟）1.微分方程的概念与分类（10分钟）教师结合多媒体展示，详细介绍微分方程的定义和分类，包括常微分方程和偏微分方程的区别，以及一阶、二阶微分方程等。
2.常微分方程的解法（15分钟）教师重点讲解常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等，并通过示例演示每种方法的具体步骤和应用场景。
三、教学活动（约15分钟）1.小组讨论（10分钟）将学生分成小组，让他们根据所学的知识，自行应用解题方法解决教师提供的实际问题。
鼓励学生自主思考、合作探讨，培养学生的问题解决能力和团队精神。
2.展示与总结（5分钟）请每个小组派代表展示解题过程和结果，并让其他小组评价和提问。
教师及时纠正错误，总结解题思路和方法。
四、知识拓展（约20分钟）教师通过讲解微分方程在实际问题中的应用，如放射性衰变问题、人口增长问题等，引导学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生应用数学解决实际问题的思维能力。
五、教学总结（约5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并展示一些典型的习题，让学生巩固所学知识。
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程一、教学目标1.理解一阶微分方程的概念和基本性质。
2.掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
3.熟练运用线性微分方程的解法。
4.了解齐次微分方程和一般一阶线性微分方程的解法。
5.能够应用一阶微分方程解决实际问题。
二、教学内容1.一阶微分方程的概念和基本性质1.1一阶微分方程的定义1.2一阶微分方程的基本形式1.3一阶微分方程的解的含义和概念1.4一阶微分方程的解的存在与唯一性定理2.一阶可分离变量微分方程的解法2.1可分离变量微分方程的基本概念2.2可分离变量微分方程的解的求法2.3可分离变量微分方程解的存在与唯一性定理3.线性微分方程的解法3.1线性微分方程的定义3.2线性微分方程的标准形式3.3齐次线性微分方程的解法3.4非齐次线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法4.1齐次微分方程的定义4.2齐次微分方程的解的形式4.3齐次微分方程的解的存在与唯一性定理5.一般一阶线性微分方程的解法5.1一般一阶线性微分方程的定义5.2一般一阶线性微分方程的解的形式5.3一般一阶线性微分方程的解的存在与唯一性定理6.应用一阶微分方程解决实际问题6.1几何问题的建模与求解6.2生活中的实际问题的建模与求解三、教学重点和难点1.一阶微分方程的概念和基本性质2.一阶可分离变量微分方程的解法3.线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法5.一般一阶线性微分方程的解法6.应用一阶微分方程解决实际问题四、教学策略1.打破传统的教学模式，采用探究式教学，鼓励学生主动思考和参与课堂讨论。
2.结合具体实例，生动形象地介绍一阶微分方程的概念和性质，激发学生的兴趣。
3.设计一些有趣的练习题和实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
五、教学资源1.教材：《高职工科应用数学》第五章2.多媒体课件3.相关的教学视频和软件六、教学评估1.课堂练习：通过课堂练习，检验学生对知识点的掌握程度。
2.课堂讨论：鼓励学生参与课堂讨论，检验学生的分析和解决问题的能力。
高中数学教案微分方程的基本解法与应用
高中数学教案微分方程的基本解法与应用高中数学教案：微分方程的基本解法与应用1. 介绍微分方程的概念和意义（200字左右）微分方程是描述物理、生物和工程等领域中变化规律的数学工具。
它可以用来描述未知函数的导数和未知函数之间的关系，并由此得到函数的解析解或数值解。
在物理学和工程学中，微分方程广泛应用于描述运动、生长、衰变和传播等现象。
高中阶段，学生将进一步学习微分方程的基本解法和应用。
2. 一阶线性微分方程的基本解法（400字左右）一阶线性微分方程是最简单的微分方程形式之一，可以写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
要解决这种微分方程，可以使用积分因子法。
首先，将dy/dx的表达式化简为(d/dx)(y*e^(∫p(x)dx))=q(x)e^(∫p(x)dx)。
然后，对方程两边同时积分得到y*e^(∫p(x)dx)=∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C，其中C为常数。
进一步简化化简得到y=e^(-∫p(x)dx)*(∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C)。
利用这个公式，可以求得一阶线性微分方程的解析解。
3. 一阶分离变量微分方程的基本解法（400字左右）一阶分离变量微分方程是指可以将dy/dx的表达式表示为f(y)g(x)的形式。
要解决这种微分方程，可以使用分离变量法。
首先，将方程重写成dy/f(y)=g(x)dx的形式。
然后，对方程两边同时积分得到∫dy/f(y)=∫g(x)dx。
通过对f(y)和g(x)的具体形式进行积分，得到关于y和x的方程。
最后，可以通过求解这个方程，得到一阶分离变量微分方程的解析解。
4. 微分方程的应用举例（500字左右）微分方程的应用范围非常广泛。
它可以用于描述自然现象、物理实验、经济模型等各种实际问题。
举例来说，微分方程可以用于描述弹簧的振动、电路的变化、化学反应的速率等等。
其中，描述自然界中的变化规律最常见。
例如，牛顿的冷却定律可以通过微分方程来描述物体的温度随时间的变化；放射性衰变的速率可以通过微分方程来描述。
齐次方程一阶线性微分方程教案
齐次方程一阶线性微分方程教案一、教学目标1.理解一阶线性微分方程和齐次方程的概念。
2.掌握求解一阶线性微分方程和齐次方程的方法。
3.能够应用所学知识解决实际问题。
4.培养学生的数学思维和分析问题的能力。
二、教学重点1.一阶线性微分方程的求解方法。
2.齐次方程的求解方法。
三、教学难点1.如何理解和运用线性微分方程的概念。
2.如何解决实际问题。
四、教学准备1.教材：一般高等数学教材。
2.教具：多媒体投影仪、黑板、彩色笔。
五、教学过程Step 1 引入新知1.引导学生回顾一阶微分方程的定义和概念，并提出一阶线性微分方程和齐次方程的概念。
2.通过实际问题引出一阶线性微分方程和齐次方程的应用。
Step 2 探究学习1. 介绍一阶线性微分方程的一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2.通过示例分析一阶线性微分方程的解法：a) 先求齐次方程的通解，即dy/dx + P(x)y = 0。
b) 再求特解，使得dy/dx + P(x)y = Q(x)成立。
c)将齐次方程通解和特解相加即为原方程的通解。
3.引导学生思考如何求解一阶线性微分方程中的齐次方程，提出分离变量法。
4.通过示例讲解分离变量法的具体步骤。
Step 3 归纳总结1.小结一阶线性微分方程和齐次方程的求解方法。
2.强调一阶线性微分方程的解是由齐次方程的通解和特解组成的。
3.总结一阶线性微分方程的解的唯一性定理。
Step 4 拓展应用1.通过实际问题引导学生将所学知识应用于实际生活中的相关问题，如人口增长模型等。
2.提供更复杂的一阶线性微分方程，引导学生思考求解的方法。
Step 5 练习巩固1.布置一些课后习题，巩固学生对一阶线性微分方程和齐次方程的理解和应用能力。
2.可以分小组进行练习，鼓励学生相互讨论、思考。
六、课堂互动1.结合示例和实际问题引导学生思考解题思路，鼓励他们提出自己的疑问和解决方法。
2.鼓励学生互相讨论并分享解题思路，激发他们的学习兴趣。
微积分全套教案
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
微分方程教案范文
微分方程教案范文教学目标：1.了解微分方程的概念和基本形式；2.掌握一阶和二阶微分方程的解法；3.学会应用微分方程解决实际问题；4.提高学生的问题分析与解决能力。
教学重难点：1.理解微分方程的概念和基本形式；2.掌握微分方程的解法；3.能够运用微分方程解决实际问题。
教学准备：1.教师准备好黑板、粉笔、教学投影仪等教学工具；2.准备一些微分方程的例题及对应的解法。
教学过程：第一节：微分方程的概念和基本形式1.教师介绍微分方程的定义和基本概念，强调微分方程与导数的关系；2.通过实际例子，引导学生理解微分方程的意义；3. 教师讲解微分方程的基本形式：dy/dx = f(x)，d²y/dx² = f(x)等。
第二节：一阶微分方程的解法1.教师介绍一阶微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第三节：二阶微分方程的解法1.教师介绍二阶微分方程的解法：特征方程法、变量分离法、待定系数法等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第四节：应用微分方程解决实际问题1.教师讲解如何应用微分方程解决实际问题；2.通过例题演示，指导学生如何建立微分方程模型；3.强调解的意义和结果的合理性。
教学方法与手段：1.讲授与演示相结合的方法，通过例题讲解，帮助学生理解微分方程的解法；2.提问与解答相结合的方法，引导学生思考与分析问题，培养问题解决能力；3.实例分析与模型建立相结合的方法，通过实际问题的讲解，培养学生应用微分方程解决实际问题的能力。
课堂练习与讨论：1.在课程的每个环节，教师都设置一些习题，进行课堂练习；2.学生之间可进行小组讨论和交流，提高问题解决的思路和方法。
课堂总结与作业布置：1.教师对本节课的重点和难点进行总结；2.布置相关作业，要求学生自主思考和解决问题；3.鼓励学生积极参加学术竞赛和科研活动，提升对微分方程的理解和应用能力。
幼儿园中班数学教案认识微分方程让孩子学会微分方程概念
幼儿园中班数学教案-《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》本篇文章将从教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤、教学重点与难点以及教学总结六个方向详细阐述中班数学教案《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》。
一、教学目标通过本次教案的教学，让幼儿了解微分方程的概念与基本知识，激发幼儿的学习兴趣，提高幼儿的数学思维能力，培养幼儿的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容本次教案的教学内容主要包括微分方程的概念、常微分方程的基本形式、微分方程的解法与应用等方面。
通过让幼儿了解微分方程的定义与特点，学习微分方程的基本形式以及解法，让幼儿能够掌握微分方程的基本知识和解题方法，为日后的学习打下坚实的基础。
三、教学方法本教案采用多种教学方法，如讲解法、示范法、互动法、实验法等，以培养幼儿的学习兴趣和积极性。
在教学过程中，可以让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
四、教学步骤1.导入通过讲解微分方程的概念，引导幼儿了解微分方程的基本定义和特点。
2.学习微分方程的基本形式通过讲解微分方程的基本形式，让幼儿了解常微分方程的基本形式，并掌握微分方程的一些基本概念。
3.学习微分方程的解法通过讲解微分方程的解法，让幼儿了解微分方程的解法和求解方法。
4.实践操作通过实验和操作等方式，让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
5.课堂互动通过课堂互动，让幼儿在互动中学习，相互交流，培养幼儿的合作意识和创新精神。
6.总结通过总结，让幼儿回顾学习内容，巩固所学知识，培养幼儿的思维能力和记忆能力。
五、教学重点与难点1.教学重点让幼儿了解微分方程的概念和基本知识，掌握微分方程的基本形式和解法，为日后的学习打下坚实的基础。
2.教学难点微分方程的概念和解法较为抽象，需要通过多种方式引导幼儿理解和掌握，提高幼儿的学习兴趣和积极性。
六、教学总结通过本教案的教学，幼儿们对微分方程的概念和基本知识有了较为深入的了解和掌握，培养了幼儿的数学思维能力和逻辑思维能力，提高了幼儿的创新意识和实践能力，为日后的学习打下了坚实的基础。
高等数学《微分方程》教案
第十二章 微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x . 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解. 解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt x d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dt x d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .§12. 2 可分离变量的微分方程观察与分析:1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数).2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx .(2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx .(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).(5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xy y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ;第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解.例1 求微分方程xy dxdy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1,从而 2112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+ln C ,从而 2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dt dM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m -=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv , 1)ln(1C m t kv mg k +=--,即 t m k Ce k mg v -+=(ke C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e kmg v --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy +++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得 ⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例4 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律.解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故 gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到 dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh .通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件: h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h g dt )200(262.02321--=π. 两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π, 其中C 是任意常数.由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π, 5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ. 因此 )310107(262.0252335h h g t +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.§12. 3 齐次方程齐次方程:如果一阶微分方程),(y x f dxdy =中的函数f (x , y )可写成x y 的函数, 即)(),(xy y x f ϕ=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程.1)(222-+=⇒-+=⇒x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2211y y x -='-不是齐次方程.2211x y dx dy --=⇒. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程. xy y x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.142-+-+-=⇒y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x yx 是齐次方程. x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2齐次方程的解法:在齐次方程)(x y dx dy ϕ=中, 令xy u =, 即y =ux , 有 )(u dx du x u ϕ=+, 分离变量, 得xdx u u du =-)(ϕ. 两端积分, 得 ⎰⎰=-x dx u u du )(ϕ. 求出积分后, 再用xy 代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dx dy xy dx dy x y =+22.解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令u x y =, 则 y =ux ,dxdu x u dx dy +=, 于是原方程变为12-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得xdx du u =-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |,或写成ln|xu |=u +C . 以xy 代上式中的u , 便得所给方程的通解 C xy y +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,因为 x y y OP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y +=-',整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程1)(2++=y x y x dy dx . 令v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dydv y , 分离变量, 得y dy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 1222=-C yv Cy , 以yv =x 代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+. 这就是所求的旋转曲面方程.例3 设河边点O 的正对岸为点A , 河宽OA =h , 两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点 O . 求鸭子游过的迹线的方程.例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =.另一方面, ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此y x y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即yx y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令u y x =, 即x =yu , 得 12+-=u ba dy du y , 分离变量, 得dy bya u du -=+12, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y abu +-=, 将yx u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy C x +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得hC 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a hy h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y ab u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y ab y x +-= a b Cy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba b Cy Cy y x -=⇒- ])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒.§12.4 线性微分方程一、 线性方程线性方程:方程)()(x Q y x P dxdy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.(4)y x dxdy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:齐次线性方程0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P ydy )(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程y dxdy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy ,两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dx x P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为 ])1(32[)1(232C x x y +++=. 解: 这里12)(+-=x x P , 25)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P ,2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di LE , 即 LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t L E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=. 由通解公式, 得])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dt L R m dt L R +⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R m Ce t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C m ωω+=, 因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程伯努利方程: 方程n y x Q y x P dxdy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ⇒5xy y dxdy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y x y , 是伯努利方程. (4)x xy dxdy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dxdy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得x a y xdx dy y ln 112=+--, 即 x a y x dx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x aC x z -=.以y -1代z , 得所求方程的通解为1])(ln 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程yx dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为y x dydx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为u dx du 11=-, 即uu dx du 1+=. 分离变量, 得dx du u u =+1, 两端积分得u -ln|u +1|=x -ln|C |.以u =x +y 代入上式, 得y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.§12. 5 全微分方程全微分方程: 一个一阶微分方程写成P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u =u (x , y )的全微分:du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy ,那么方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0就叫做全微分方程. 这里),(y x P xu =∂∂, ),(y x Q y u =∂∂, 而方程可写为du (x , y )=0.全微分方程的判定: 若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数, 且 xQ y P ∂∂=∂∂, 则方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程,全微分方程的通解:若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程, 且du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy则 u (x , y )=C ,即 )),(( ),(),(00000G y x C dx y x Q dx y x P yy x x ∈=+⎰⎰. 是方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的通解例1 求解(5x 4+3xy 2-y 3)dx +(3x 2y -3xy 2+y 2 )dy =0.解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236, 所以这是全微分方程. 取(x 0, y 0)=(0, 0), 有 ⎰⎰+-+=y x dy y dx y xy x y x u 020324)35(),(332253123y xy y x x +-+=.于是, 方程的通解为C y xy y x x =+-+332253123.积分因子: 若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0不是全微分方程, 但存在一函数μ=μ(x , y ) (μ(x , y )≠0), 使方程μ(x , y )P (x , y )dx +μ(x , y )Q (x , y )dy =0是全微分方程, 则函数μ(x , y )叫做方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的积分因子.例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:(1)ydx -xdy =0;(2)(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0.解 (1)方程ydx -xdy =0不是全微分方程.因为2)(y xdy ydx y xd -=, 所以21y 是方程ydx -xdy =0的积分因子, 于是 02=-y xdy ydx 是全微分方程, 所给方程的通解为C y x =. (2)方程(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0不是全微分方程.将方程的各项重新合并, 得(ydx +xdy )+xy (ydx -xdy )=0,再把它改写成0)()(22=-+y dy x dx y x xy d , 这时容易看出2)(1xy 为积分因子, 乘以该积分因子后, 方程就变为 0)()(2=-+ydy x dx xy xy d , 积分得通解C y x xy ln ||ln 1=+-, 即xy Ce yx 1=. 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x ).可以验证⎰=dx x P e x )()(μ是一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x )的一个积分因子. 在一阶线性方程的两边乘以⎰=dx x P e x )()(μ得 ⎰=⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e x yP e y )()()()()(, 即 ⎰='⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e y e y )()()()(][, 亦即 ⎰='⎰dx x P dx x P e x Q ye )()()(][. 两边积分, 便得通解C dx e x Q ye dx x P dx x P +⎰=⎰⎰)()()(,或 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-. 例3用积分因子求x xy dxdy 42=+的通解. 解 方程的积分因子为22)(x xdx e e x =⎰=μ. 方程两边乘以2x e 得22242x x x xe y xe e y =+', 即224)(x x xe y e =',于是 C e dx xe y e x x x +==⎰22224. 因此原方程的通解为2224x x Ce dx xe y -+==⎰.§12. 6 可降阶的高阶微分方程一、y (n )=f (x )型的微分方程解法: 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, ⋅ ⋅ ⋅.例1 求微分方程y '''=e 2x -cos x 的通解.解 对所给方程接连积分三次, 得12sin 21C x e y x +-='',212cos 41C x C x e y x +++=',3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.或 122sin 21C x e y x +-='',2122cos 41C x C x e y x +++=',32212sin 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为)(22t F dt x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而)1()(0T t F t F -=.于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t mF dt x d -=,其初始条件为0|0==t x , 0|0==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=. 由初始条件x |t =0=0, 0|0==t dt dx , 得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T . 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置,根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为mx ''=F (t ).由题设, F (t )是线性函数, 且过点(0, F 0)和(T , 0),故 1)(0=+T t F t F , 即)1()(0Tt F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为)1(0Tt m F x -=''. 其初始条件为x |t =0=0, x '|t =0=0.把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F x +-=', 再积分一次, 得2320)621(C Tt t m F x +-=, 由初始条件x |t =0=0, x '|t =0=0,得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T .二、y ''= f (x , y ')型的微分方程解法: 设y '=p 则方程化为p '=f (x , p ).设p '=f (x , p )的通解为p =ϕ(x ,C 1), 则),(1C x dxdy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ.例3 求微分方程(1+x 2)y ''=2xy '满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=3的特解.解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的. 设y '=p , 代入方程并分离变量后, 有dx x x p dp 212+=. 两边积分, 得ln|p |=ln(1+x 2)+C ,即 p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C ).由条件y '|x =0=3, 得C 1=3,所以 y '=3(1+x 2).两边再积分, 得 y =x 3+3x +C 2.又由条件y |x =0=1, 得C 2=1,于是所求的特解为y =x 3+3x +1.例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、y ''=f (y , y ')型的微分方程解法: 设y '=p ,有dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p=. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =ϕ(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分yy ''-y '2=0的通解.解 设y '=p , 则dy dp py ='', 代入方程, 得02=-p dydp yp . 在y ≠0、p ≠0时, 约去p 并分离变量, 得ydy p dp =. 两边积分得ln|p |=ln|y |+ln c ,即 p =Cy 或y '=Cy (C =±c ).再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为ln|y |=Cx +ln c 1,或 y =C 1e Cx (C 1=±c 1).例5 求微分yy ''-y '2=0的通解.解 设y '=p , 则原方程化为02=-p dydp yp , 当y ≠0、p ≠0时, 有01=-p ydy dp , 于是 y C e p dy y 11=⎰=,即 y '-C 1y =0,从而原方程的通解为x C dx C e C e C y 1122=⎰=.例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）.§12. 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m 的物体. 取x 轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v 0≠0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x 是t 的函数: x =x (t ).设弹簧的弹性系数为c , 则恢复力f =-cx .又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比, 比例系数为μ, 则dtdx R μ-, 由牛顿第二定律得dt dx cx dtx d m μ--=22. 移项, 并记m n μ=2, mc k =2, 则上式化为 02222=++x k dt dx n dt x d , 这就是在有阻尼的情况下, 物体自由振动的微分方程.如果振动物体还受到铅直扰力F =H sin pt的作用, 则有pt h x k dt dx n dt x d sin 2222=++, 其中m H h =. 这就是强迫振动的微分方程. 例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路, 其中R 、L 、及C 为常数, 电源电动势是时间t 的函数: E =E m sin ωt , 这里E m 及ω也是常数.设电路中的电流为i (t ), 电容器极板上的电量为q (t ), 两极板间的电压为u c , 自感电动势为E L . 由电学知道dt dq i =, C q u c =, dtdi L E L -=, 根据回路电压定律, 得 0=---Ri Cq dt di LE ,即 t E u dt du RC dt u d LC m c c c ωsin 22=++, 或写成t LC E u dt du dtu d m c c c ωωβsin 22022=++, 其中L R 2=β, LC10=ω. 这就是串联电路的振荡方程. 如果电容器经充电后撤去外电源(E =0), 则上述成为022022=++c c c u dt du dtu d ωβ. 二阶线性微分方程: 二阶线性微分方程的一般形式为y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x ),若方程右端f (x )≡0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的.二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 即0)()(22=++y x Q dx dy x P dxy d . 定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0.的两个解, 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程的解, 其中C 1、C 2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.证明 [C 1y 1+C 2y 2]'=C 1 y 1'+C 2 y 2',[C 1y 1+C 2y 2]''=C 1 y 1''+C 2 y 2''.因为y 1与y 2是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 所以有y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1=0及y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2=0,从而 [C 1y 1+C 2y 2]''+P (x )[ C 1y 1+C 2y 2]'+Q (x )[ C 1y 1+C 2y 2]=C 1[y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1]+C 2[y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2]=0+0=0.这就证明了y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解函数的线性相关与线性无关:设y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数. 如果存在n 个不全为零的常数k 1, k 2, ⋅ ⋅⋅,k n,使得当x∈I时有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+⋅⋅⋅+k n y n(x)≡0成立,那么称这n个函数在区间I上线性相关;否则称为线性无关.判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函数,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数,如果比为常数,那么它们就线性相关,否则就线性无关.例如, 1, cos2x, sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个线性无关的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为y1''+y1=-cos x+cos x=0,y2''+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2,要使k1cos x+k2sin x≡0,只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.例4 验证y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为(x-1)y1''-xy1'+y1=0-x+x=0,(x-1)y2''-xy2'+y2=(x-1)e x-xe x+e x=0,所以y1=x与y2=e x都是方程的解,因为比值e x/x不恒为常数,所以y1=x与y2=e x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2e x.推论如果y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,y n(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+⋅⋅⋅+a n-1(x)y'+ a n(x)y=0的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+ C n y n(x),其中C1,C2,⋅⋅⋅,C n为任意常数.二阶非齐次线性方程解的结构:我们把方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示: [Y(x)+y*(x)]''+P(x)[ Y(x)+y*(x)]'+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]=[Y ''+P(x)Y '+Q(x)Y ]+[ y* ''+P(x)y* '+Q(x)y*]=0+ f(x)= f(x).例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y''+y=0的通解,y*=x2-2是y''+y=x2的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y''+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和,如y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明提示:[y 1+y 2*]''+P (x )[ y 1*+y 2*]'+Q (x )[ y 1*+y 2*]=[ y 1*''+P (x ) y 1*'+Q (x ) y 1*]+[ y 2*''+P (x ) y 2*'+Q (x ) y 2*]=f 1(x )+f 2(x ).§12. 9 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.。
高等数学第十一章 微分方程教案
第1次课的教学整体安排 (),)n y =个变量的函数。
这里必须指出，在方程()1,n y -等变量则可以不出现。
另一种是显式 (1),,)n y -'特别地，1n =时，一阶微分方程的标准形式为 (,,F x y y )y 或 (,P x 在区间I 上有(),)n y =()),,())n x ϕ≡该微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，微分方程的通解或一般解微分方程的另一种解中不含有任意常数，，从通解中确定出任意常数而得出的。
第2次课的教学整体安排个的非零常数倍，即12()()y x y x 不恒等于非零常数，则1()y x 与2()y x 在区间I 上线性无关。
例如，函数23x e -与2x e -在区间(,)-∞+∞内线性相关；函数sin x 与cos x ，x 与2x ,sin x x 与sin x ，x e -与x e 在区间(,)-∞+∞内都线性无关。
于是，当1()y x 与2()y x 线性无关时，函数1122()()y C y x C y x =+中含有两个独立的任意常数12C C 和。
有了线性无关的概念再结合定理1，我们就得到如下二阶齐次线性微分方程（3-2）的通解结构定理。
定理2 若1()y x 与2()y x 是方程（3-2）的两个线性无关的特解，则1122()()y C y x C y x =+ （3-4）就是方程（3-2）的通解。
例如，方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程（这里()0,()1p x Q x ≡≡）.容易验证，1cos y x =与2sin y x =是所给方程的两个解，且21sin tan cos y x x y x==常数，即它们是线性无关的。
因此方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+。
关于二阶非齐次线性方程（3-1）的通解结构，我们有如下的定理。
定理3 设*()y x 是二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= （3-1）的一个特解，()Y x 是与（3-1）对应的二阶齐次线性方程（3-2）的通解，那末()*()y Y x y x =+ （3-5）是二阶非齐次线性微分方程（3-1）的通解。
大学数学课程教案：研究微分方程
大学数学课程教案：研究微分方程1. 引言概述：在大学数学课程中，微分方程是一个非常重要的主题。
微分方程广泛应用于自然科学和工程学领域，如物理、化学、生物和工程等。
研究微分方程不仅有助于我们深入理解现实世界中的各种变化和现象，还为解决实际问题提供了一种有效的数学工具。
文章结构：本文将以以下几个部分来介绍微分方程及其应用。
首先在第二部分中，我们将回顾微积分的基本知识，以便更好地理解微分方程的概念和性质。
接着，在第三部分中，我们将探讨解微分方程的方法，并详细介绍变量可分离方程、线性一阶常微分方程和齐次线性二阶常系数微分方程的求解方法。
然后，在第四部分中，我们将关注数学建模中微分方程的应用，并说明复利问题与连续贬值问题、生物学中的增长模型和传染病模型，以及物理学中的运动问题和振动问题等案例。
最后，在结论部分，我们将总结本文的主要内容并讨论大学数学课程教案的意义和启示，同时提出未来研究的可能性。
目的：本文的主要目的是引导读者更加系统地学习和理解微分方程，并展示其在不同领域中的实际应用。
通过对微分方程基本概念和求解方法的介绍，读者将能够掌握解决实际问题所需的数学工具和技巧。
此外，本文还意在启发读者对于大学数学课程教案设计和未来研究方向的思考，以促进数学教育和科学研究的进步。
2. 微分方程的基本概念2.1 微积分回顾:微积分是数学的一个分支，涉及到导数和积分的概念。
在微积分中，我们研究函数的变化率和面积或曲线下的累计效应。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而积分则表示了函数曲线下面积或累计效应。
2.2 微分方程的定义与分类:微分方程是描述未知函数和其导数（或偏导数）之间关系的方程。
它们广泛应用于自然科学、工程领域以及其他各个领域中，常用于建立模型来解释和预测各种现象。
根据方程中出现的未知函数和导数（或偏导数）的阶数，可以将微分方程分类为以下几类：- 常微分方程：只包含未知函数关于单变量（通常是时间）的导数。
- 偏微分方程：包含未知函数关于多个变量的偏导数。
高三数学《微分方程的简单应用》数学模型教案
高三数学《微分方程的简单应用》数学模型教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解微分方程的概念及其基本性质；2. 掌握常见微分方程的解法；3. 运用微分方程解决实际问题；4. 培养数学建模的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：微分方程的简单应用；2. 教学难点：数学模型的建立与解决。
三、教学准备1. 教材：高中数学教材（微分方程相关章节）；2. 教具：计算器、黑板、多媒体设备。
四、教学过程1. 导入（5分钟）引入微分方程的概念，通过实际问题的引入激发学生的学习兴趣。
例如，引入一个生活场景，如水位上升速度等问题，引导学生思考问题解决的方法。
2. 知识讲解（20分钟）介绍微分方程的定义、基本性质以及常见的解法方法。
重点解释变量分离、参数法和齐次方程等解法的基本思路，通过示例演示具体解题步骤，培养学生的基本解题能力。
3. 案例分析（30分钟）选择几个典型案例，通过给出实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
例如，某物质的衰减问题、弹簧振动问题等等。
学生可以通过建立微分方程、求解微分方程并描绘解的图像等步骤，逐步解决问题，并分析解的物理含义。
4. 小组讨论（20分钟）组织学生进行小组讨论，要求学生互相合作，共同解决一个复杂的实际问题。
教师要在一旁指导和引导，关注学生的思维过程和合作能力。
小组讨论结束后，每组派代表进行汇报和讨论。
5. 总结与拓展（15分钟）对本节课的学习内容进行总结，概括微分方程的应用方法和思维路线。
同时，引导学生思考更复杂的实际问题，激发他们对数学建模的兴趣。
六、课堂实施效果评价根据学生在课堂中的表现、小组讨论的成果以及课后作业的完成情况进行评价。
同时，也要关注学生在解决实际问题中的思维能力和合作能力的提升。
七、板书设计（根据实际内容进行板书设计，可用图表或公式等进行辅助说明）（示例）微分方程的简单应用1. 定义与基本性质2. 常见解法方法- 变量分离法- 参数法- 齐次方程法3. 实际问题解决过程- 建立微分方程- 求解微分方程- 分析解的物理含义八、教后反思本节课通过引入实际问题和案例分析等教学方法，旨在提高学生的数学建模能力。
微分方程教案
微分方程教案引言：微分方程作为数学的一个重要分支，是描述自然界中变化规律的一种数学工具。
本教案将介绍微分方程的定义和基本概念，并以实例演示如何求解微分方程，旨在帮助学生理解微分方程的基本原理和解题方法。
一、微分方程的定义和分类1. 微分方程的定义微分方程是一个包含未知函数及其导数或微分的方程。
一般表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中y是自变量x的某个函数。
2. 常微分方程和偏微分方程常微分方程中只含有一个自变量，如dy/dx = f(x)。
偏微分方程中含有多个自变量，如∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0。
二、微分方程的基本概念1. 解函数和通解解函数是满足微分方程的具体函数，通解是含有任意常数的解函数的集合。
2. 初值问题和边值问题初值问题是在给定某一点上的函数值和导数值，求解满足微分方程条件的特解。
边值问题是在给定边界上的函数值，求解满足微分方程条件的特解。
三、常见的微分方程和求解方法1. 一阶常微分方程1) 可分离变量方程2) 齐次方程3) 线性方程4) Bernoulli 方程2. 高阶常微分方程1) 常系数线性齐次方程2) 常系数线性非齐次方程3) 变系数线性齐次方程4) 变系数线性非齐次方程3. 偏微分方程1) 热传导方程2) 波动方程3) Laplace 方程四、求解微分方程的技巧和方法1. 变量分离法将微分方程中的变量分离到方程两边，再进行积分。
2. 齐次方程的换元法通过引入新的变量，将齐次方程转化为变量分离的形式。
3. 一阶线性方程的积分因子法通过乘以适当的积分因子，将一阶线性方程转化为变量分离的形式。
4. 常系数线性方程的特解法根据齐次方程的通解求解非齐次方程的特解。
五、案例演示1. 一阶常微分方程求解以可分离变量方程为例，演示解题步骤和方法。
2. 高阶常微分方程求解以常系数线性非齐次方程为例，演示解题步骤和方法。
微分方程教案
微分方程教案
一、教学目标：
1. 理解微分方程的基本概念和解法；
2. 掌握常见微分方程的求解方法；
3. 能够应用微分方程解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 重点：微分方程的基本概念和求解方法；
2. 难点：微分方程的应用解决实际问题。
三、教学内容：
1. 微分方程的基本概念：一阶微分方程和高阶微分方程；
2. 常见微分方程的求解方法：可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程、常
数变易法等；
3. 微分方程的应用：生长衰减问题、物理问题、工程问题等。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际问题引起学生兴趣，如生长衰减问题；
2. 概念讲解：介绍微分方程的基本概念和常见求解方法；
3. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程；
4. 练习：布置练习题让学生巩固所学知识；
5. 拓展：引导学生思考微分方程在实际问题中的应用。
五、教学方法：
1. 讲授相结合：通过讲解基本概念和求解方法，引导学生理解微分方程的本质；
2. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程，帮助学生掌握解题技巧；
3. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，提高学生对微分方程的理解和应用能力。
六、教学工具：
1. 教科书、课件等教学资料；
2. 实例题目和练习题；
3. 多媒体设备。
七、教学评估：
1. 课堂表现：学生对微分方程的理解和应用能力；
2. 作业成绩：检验学生对微分方程的掌握程度；
3. 课后测验：检验学生对微分方程的理解和应用能力。
八、教学反思：
对教学过程进行总结和反思，根据学生的反馈和表现调整教学方法和内容，不断优化教学效果。
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微分方程教案微分方程的基本概念引言大家知道：高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数«Skip Record If...»，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。
然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。
寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。
为此今天我们来学习微分方程的基本概念。
下面我们从一张图片开始来认识他们。
一、问题的提出我们注意到：歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。
因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成一般的数学问题：战机的安全着陆问题。
案例1 (战机的安全着陆)我国新型战机——歼二十，质量为m，以速度«Skip Record If...»着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。
对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。
解：设飞机质量为«Skip Record If...»，着陆速度为«Skip Record If...»，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为«Skip Record If...»，飞机的速度为«Skip Record If...»，减速伞的阻力为«Skip Record If...»，其中«Sk ip Record If...»为阻力系数。
根据牛顿第二定律可得运动方程«Skip Record If...»，«Skip Record If...»从这个例子中，将这些等式和中学里我们所学的代数方程形式做比较，你有什么发现？二、微分方程的基本概念1、定义通过比较代数方程与微分方程，从代数方程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的方程称为常微分方程，简称为微分方程，记为«Skip Record If...»。
例1：判断下列等式是否为微分方程。
(1) «Skip Record If...» (2) «Skip Record If...»(3) «Skip Record If...» (4) «Skip Record If...»答案：(1) 是； (2) 是； (3) 是； (4) 否。
本质：是否含有未知函数的导数或微分是判断是否为微分方程的重要依据.将这些方程与代数方程中“次数”的概念比较，得到如下概念：2、微分方程的阶从代数方程按次（未知量的最高次数）分类得到微分方程按阶（未知函数导数的最高阶数）分类：一阶微分方程，二阶微分方程，......n阶微分方程等。
例如：指出下列微分方程的阶数。
(1) «Skip Record If...» (2) «Skip Record If...»答案：(1) 1阶； (2) 2阶。
有了“阶”的概念之后，我们将从不同的角度对微分方程进行详细的分类。
3、分类分类1:根据微分方程的阶数一阶微分方程：«Skip Record If...»或者«Skip Record If...»高阶微分方程：«Skip Record If...»或者«Skip Record If...»分类2:根据自变量的个数常微分方程(ODE)：未知函数为一元函数。
例如：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»偏微分方程(PDE)：未知函数为多元函数例如：«Skip Record If...»分类3: 线性与非线性线性：在微分方程«Skip Record If...»中，F对未知函数y和它的各阶导数«Skip Record If...»的全体而言是一次的。
例2判断下列方程是否是线性的：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»答案：是，不是，不是，是。
前面的两个引例的解决过程事实上就是我们求解微分方程的过程，下面我们来介绍第三部分内容，也是我们本章的主要学习内容——微分方程的求解问题。
三、主要问题——求解微分方程从代数方程解的定义（使方程恒成立的数值）得到微分方程解的定义：使方程恒成立的函数。
1、微分方程的解:设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续, 且有直到«Skip Record If...»阶的导数.如果把«Skip Record If...»代入方程«Skip Record If...», 得到在区间«Skip Record If...»上关于«Skip Record If...»的恒等式,«Skip Record If...»则称«Skip Record If...»为方程«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的一个解.现在让我们再回到案例1，当战机的着陆初速度以及加速度都已知时，战机的滑跑距离又是什么情况的时候可以保证战机安全着陆呢？解：设战机着陆后t秒钟后战机行驶了x米，«Skip Record If...»则加速度«Skip Record If...»，从而两边积分得«Skip Record If...»,再两边积分，得«Skip Record If...»条件：«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»,因此，从战机开始着陆到完全停下来共需时间«Skip Record If...»，战机在这段时间内行驶了«Skip Record If...»在这个问题的解决过程中，发现«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,都满足微分方程«Skip Record If...»，是微分方程的解。
怎么回事？下面给出以下概念：全部解：所有满足微分方程的函数的集合。
通解：相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相等的解。
特解：确定了通解中的任意常数的解。
初始条件：为确定通解中的任意常数而在微分方程中引入的条件。
例3：判断下列函数是否是方程«Skip Record If...»的解？（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»解：（1），（2），（3）都是解，但（1）是特解，（2）是通解，（3）是全部解。
通过这个例子，我们对全部解，通解，特解的概念进行了区别，并且可以总结出三者之间的关系：特解«Skip Record If...»通解«Skip Record If...»全部解例4：验证：函数«Skip Record If...»都是微分方程«Skip Record If...»的解。
解：对«Skip Record If...»关于t求导,«Skip Record If...»,代入方程，«Skip Record If...»从而也就验证了函数«Skip Record If...»是方程«Skip Record If...»的解。
对于«Skip Record If...»同样来验证。
总结：求导代入验证通过案例1，我们也找到一种求解微分方程的方法——两边积分求积分。
积分曲线——解«Skip Record If...»所表达的曲线，为了便于研究方程解的性质, 我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.5)的一个特解«Skip Record If...»的图象是«Skip Record If...»平面上的一条曲线, 称为方程(1.5)的积分曲线, 而通解«Skip Record If...»的函数图象是平面上的一族曲线, 称为积分曲线族. 例如, 方程«Skip Record If...»的通解«Skip Record If...»是«Skip Record If...»平面上的一族抛物曲线.而«Skip Record If...»是过点(0, 0)的一条积分曲线.以后, 为了叙述简便, 我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程, 也有积分曲线和积分曲线族的概念, 只不过此时积分曲线所在的空间维数不同.积分曲线方程——«Skip Record If...»可分离变量的微分方程一.实际问题在各种反装甲弹药中，穿甲弹无疑是历史最悠久、使用最广泛的反装甲弹药。