初中数学二元二次方程组解法
初中二元二次方程的解法
初中二元二次方程的解法求解初中二元二次方程的一般解法如下：设二元二次方程为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0，其中 a、b、c、d、e 为已知常数。
为了求解这个方程，可以使用配方法，具体步骤如下：1. 将方程写成增量全平方形式，即将 ax^2 + cx 与 by^2 + dy 分别写成 (sqrt(a)*x + sqrt(c))^2和(sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 的形式。
可以做以下变换：ax^2 + cx = (sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 - c/aby^2 + dy = (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 - d/b2. 将方程化简为一个变量的一次方程。
将上述变换得到的结果，带入原方程，则有(sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 - c/a + (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 -d/b + e = 0化简得到(sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 + (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 = (c/a + d/b - e)3. 左侧是两个完全平方数的和，所以可以将其化简。
将 (sqrt(a)*x + sqrt(c))^2 和 (sqrt(b)*y + sqrt(d))^2 分别提取出来，得到一个形如 p^2 + q^2 = r 的方程，其中 p = sqrt(a)*x + sqrt(c)，q = sqrt(b)*y + sqrt(d)，r = (c/a + d/b - e)。
4. 求解 p^2 + q^2 = r 的一般解。
根据平方和公式，可以将 p^2 + q^2 = r 化为 (p/r)^2 + (q/r)^2 = 1 的标准方程。
通过选取合适的参数，可以得到一般解。
综上所述，这是解决初中二元二次方程的一般解法。
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法二元二次方程是数学中的一种常见形式，其解法也是初中数学中的重要内容。
下面将介绍二元二次方程的解法及其相关概念。
一、二元二次方程的定义及形式二元二次方程是指含有两个变量的二次方程，一般形式为：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x和y为变量。
二、解二元二次方程的方法有多种，下面将介绍常用的两种解法：代入法和消元法。
代入法的步骤如下：步骤一：将一个方程中的一个变量用另一个方程中的另一个变量表示出来，然后带入另一个方程。
步骤二：将带入后得到的一元二次方程进行求解，得到变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
消元法的步骤如下：步骤一：通过适当的乘法或除法，使得两个方程中的某个系数相等或互为相反数。
步骤二：将消去得到的新方程进行求解，得到一个变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
三、二元二次方程解的情况分类在解二元二次方程时，根据不同情况，解的形式也会有所不同。
根据方程的判别式Δ的值，可将解分为三种情况：情况一：当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解，即方程有两个交点。
情况二：当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，即方程有一个切点。
情况三：当Δ < 0时，方程没有实数解，即方程没有交点。
四、实例解析现举例说明二元二次方程的解法：例题：解方程组x^2 + 3xy - 4y^2 - 2x + 4y - 1 = 02x^2 + 7xy - 6y^2 - 5x - 5y + 2 = 0解答：通过代入法解题，我们将第一个方程中的变量x用第二个方程中的变量y表示出来，得到：x = (6y^2 + 5y - 2) / (2y + 5)将x的表达式带入第一个方程中，得到关于y的一元二次方程： (6y^2 + 25y + 20) / (2y + 5) - 3y + (4y - 1) - 1 = 0化简为：4y^2 + 5y - 4 = 0解这个方程可得y的两个解为：y1 = 1/2，y2 = -2将y1和y2分别带入x的表达式中，可得x的两个对应解为：x1 = 41/14，x2 = 29/6因此，原方程的解为{(41/14, 1/2), (29/6, -2)}。
初中数学 二元二次方程组的解的表示方式有哪些
初中数学二元二次方程组的解的表示方式有哪些当我们使用各种方法求解二元二次方程组之后，我们需要将解的结果表示出来。
在不同的情况下，解的表示方式也不同。
下面将介绍二元二次方程组的解的常见表示方式。
1. 唯一解：如果二元二次方程组有唯一解，那么解可以表示为一个有序数对(x, y)。
这个有序数对是两个方程的交点，它同时满足两个方程。
例如，方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 0x - y = 3的唯一解可以表示为(4, 1)。
2. 无解：如果二元二次方程组无解，那么解的表示方式可以是“无解”。
这种情况下，两个方程的图像不相交，不存在交点。
例如，方程组：x^2 + y^2 = 5x^2 + y^2 = -1没有解。
3. 无穷多解：如果二元二次方程组有无穷多解，那么解的表示方式可以是参数化形式。
找到一个特殊解，然后引入参数表示其他解。
这个参数可以是任意实数。
例如，方程组：x^2 + y^2 = 1x - y = 0的通解可以表示为(cosθ, sinθ)，其中θ是任意实数。
4. 部分参数化形式：有些二元二次方程组的解可以用部分参数化形式表示。
这种情况下，一个未知数可以表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中。
例如，方程组：x^2 - y^2 = 4xy = -3的解可以表示为(2, -1) 和(-2, 1)。
5. 用矩阵和向量表示：另一种表示二元二次方程组解的方法是用矩阵和向量表示。
将方程组的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
例如，方程组：x^2 - 3xy + 2y^2 = 0x - 2y = 1可以写成矩阵形式为：[1 -2; 2 -3][x; y] = [1; 0]其中，左侧的矩阵为系数矩阵，右侧的向量为常数向量。
使用矩阵运算可以求解这个方程组的解。
以上是关于二元二次方程组解的常见表示方式的介绍。
理解和掌握这些内容可以帮助我们更好地理解和应用二元二次方程组的知识。
数学解二元二次方程组的方法
数学解二元二次方程组的方法一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。
二、知识梳理在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元二次方程的含义和解法。
1. 二元二次方程的定义二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般形式如下：{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同时为0。
2. 解二元二次方程的方法解二元二次方程组的方法有以下几种：（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。
（2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。
（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。
三、解二元二次方程组的具体步骤下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。
1. 代入法（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。
（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。
（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。
2. 消元法（1）通过系数的倍数，使得二元二次方程组中其中一个未知数的系数相等或者互为相反数。
（2）将得到的两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
（3）得到一元二次方程，求解该方程得到一个未知数的值。
（4）将求出的未知数代入其中一个方程，求出另一个未知数的值。
（5）最后，验证所得的解是否满足原方程组。
3. 配方法（1）选取一个方程，将其中一个未知数配方后代入到另一个方程中。
二元二次方程组的解法
21.6（1）二元二次方程组的解法学习单姓名练习1 解下列方程组：;2003)1(22⎪⎩⎪⎨⎧=+=-y x y x ;073252)2(22⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-y x y x y x.127)3(⎩⎨⎧==+xy y x练习2 从方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+my x y x 822中消去y ，得到关于x 的二次方程，当m=3时，这个关于x 的方程有几个实数解？当m=4时呢？当m=5时呢？变式：当m 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+m y x y x 82（1）有两个不相等的实数解（2）有两个相等的实数解 （2）没有实数解请你构造一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，并使它的解为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==42422211y x y x 。
课后精练21.6（1）二元二次方程组的解法 巩固练习姓名知 识 梳 理解二元二次方程组的基本思想是，把它转化为解的问题。
解二元二次方程组⎩⎨⎧=+-+=-012122y y x y x 一般用法较简捷。
方程组⎩⎨⎧=-+=-100222y y x y x 消去x ，可得到关于y 的整式方程是知 识 应 用1．用代入消元法解方程组⎩⎨⎧==+86xy y x 可得它的解是___________________2．已知⎩⎨⎧==21y x 是关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+04222ky x y x 的解，则k 的值为 3．若0212=-++-y x x 成立，则满足等式的x 、y 的值可取__________4．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=-422y x ay x 没有实数解，那么a 的取值范围是__________5．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=-=-44122y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+-029322y x y x ）（(3)⎩⎨⎧=-+++=+032722y x y x y x （4）⎩⎨⎧=++-=+42)(82x y x y x(5)⎩⎨⎧=+-=--1122y xy x y x （6）⎩⎨⎧=-++=-4934222y y xy x y x6．当k为何值时,方程组⎩⎨⎧-==+--ky x y x y 01242 （1）有两个不相等的实数解；（2）有两个相等的实数解；（3）没有实数解。
初中数学 二元二次方程组的解如何计算
初中数学二元二次方程组的解如何计算解二元二次方程组的方法有多种，下面将详细介绍常见的解法。
1. 消元法：使用消元法可以通过消去其中一个未知数的平方项来简化方程组。
首先，通过除以一个方程中的系数，使得两个方程中二次项的系数相等。
然后，将两个方程相减，可以消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
2. 代入法：使用代入法可以将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并将其代入另一个方程中。
这样可以得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代回到另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
3. 图像法：通过绘制两个二次方程的图像，可以观察它们的交点来确定解。
交点的横坐标和纵坐标分别对应于x 和y 的值。
通过观察交点的数量和位置，可以判断方程组的解的情况。
4. 矩阵法：将二元二次方程组写成矩阵形式，并利用矩阵运算求解。
将未知数的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
需要注意的是，解二元二次方程组可能会得到不同的解形式，包括唯一解、无解或者无穷多解。
具体的解形式取决于方程组的特点和系数的取值。
以下是详细步骤来解二元二次方程组：1. 将方程组中的两个方程写成标准形式，确保二次项的系数为非零值。
2. 判断方程组的解的情况。
如果两个方程的系数和常数项完全相等，则方程组有无穷多解；如果方程组的系数和常数项有所差异，则方程组有唯一解或者无解。
3. 如果方程组有唯一解或者无解，可以使用消元法或代入法来求解。
通过消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
如果方程组无解，则无法找到满足两个方程同时成立的变量值。
4. 如果方程组有无穷多解，可以使用参数化表示来求解。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案(1)一、选择题1．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩. 【答案】12123232,22x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩. 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解. 【详解】由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1＝2，y 2＝﹣2④，将④代入③，得x 1＝32，2x ＝﹣32，所以，原方程组的解是11322x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 11322x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.2．阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ，将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：，把，分别代入得：， ，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可3．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.4．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．5．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.6．解方程组【答案】原方程组的解为：， 【解析】【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.【详解】 解：把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，x 2+4x =0，解得：x =-4或x =0，当x =-4时，y =-3，当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.7．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①② , 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．8．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则9．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．10．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.11．解方程组：222449x xyx xy y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434120033,,,333322x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩【解析】【分析】由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）2=9可得出x和y的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y1=32,y2=−32；②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，解得：33xy=-=⎧⎨⎩或33xy==-⎧⎨⎩.综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩.【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.12．解方程组:223403x xy yx y⎧--=⎨-=⎩【答案】1141xy=⎧⎨=⎩或223232xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得326y -±=⨯， 解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.13．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩；所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．14．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①② 由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．15．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】 解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①② ， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．16．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩解得8020%x y =⎧⎨=⎩80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．17．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②．【答案】110{1x y ==-，2243{13xy =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2． 原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵∴∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x（）：， 又∵x 2=y 2+（52）2， 解得∴CF=7， ∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．20．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B型起重机12台,从五月份起A型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是中学数学学习的重要内容之一，在初中阶段就开始接触和学习了。
本教案将从基础概念的讲解、解题方法的介绍以及练习题的提供三个方面，详细解析二元二次方程组的解法，以帮助学生更好地理解和掌握。
I. 概念讲解1. 二元二次方程组的定义二元二次方程组是由两个二次方程联立而成的方程组，通常形式为： a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 解的定义解是指使方程组中的所有方程同时成立的一组数值，也就是满足同时解方程组的变量值。
3. 二元二次方程组的解法解二元二次方程组可以通过以下两种方法进行：a) 代入法：将一方程的解代入另一方程中，消去一个变量，从而转化为一元二次方程，最后求解。
b) 消元法：利用消元法将方程组转化为较简单的形式，然后通过求解此简化方程组的方法得到解。
II. 解题方法的介绍1. 代入法的步骤a) 选择一个方程，通常选择其中一个系数较为简单的方程，用其中一变量表示，并将其代入另一方程。
b) 将代入后的方程化简为一元二次方程。
c) 求解一元二次方程得出解。
d) 将所求解代入原方程中，求出另一变量的值。
2. 消元法的步骤a) 通过消元法将其中一个变量的系数抵消，使方程组化简。
b) 将化简后的方程组转化为一元二次方程，求解得到一个变量的值。
c) 将所得的变量值代入原方程组中，求解得到另一变量的值。
III. 练习题1. 解下列二元二次方程组：a)2x² + 3xy + 2y² - 5x - 2y + 3 = 03x² + xy - 3y² - 2x - 5y + 1 = 0b)x² - xy - y² - 4x + 6y - 3 = 02x² + xy + 3y² + 16x - 2y - 1 = 0c)4x² + xy - 7y² + 3x - 2y - 7 = 0x² - 2xy - 3y² + 3x - 6y - 1 = 0IV. 解题步骤与答案1. 解题步骤a) 使用代入法解题的步骤：- 选取一个方程进行变量的代入，并将结果代入另一个方程中得到一元二次方程。
八年级数学下册21.6二元二次方程组的解法1教学设计沪教版五四制
八年级数学下册21.6二元二次方程组的解法1教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版五四制》八年级数学下册21.6节，主要讲述了二元二次方程组的解法。
这部分内容是整个初中数学的重要部分，也是学生学习数学的难点之一。
教材通过引入二元二次方程组的概念，让学生了解并掌握其解法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初一、初二级别的数学知识，对解一元二次方程、解二元一次方程组等概念有一定的了解。
但二元二次方程组作为一种新的方程形式，其解法较为复杂，需要学生进行适当的过渡和引导。
三. 说教学目标1.让学生理解二元二次方程组的概念，掌握其解法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 说教学重难点1.重点：二元二次方程组的概念及其解法。
2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，并灵活运用解法求解。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二元二次方程组的解法。
2.利用多媒体手段，如PPT、视频等，生动展示二元二次方程组的解法过程。
3.分组讨论，让学生在团队中互相学习，提高协作能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。
2.讲解概念：介绍二元二次方程组的概念，让学生理解其含义。
3.演示解法：利用多媒体手段，展示二元二次方程组的解法过程。
4.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学解法。
5.拓展应用：引导学生将实际问题转化为二元二次方程组，并求解。
6.总结反馈：对学生的学习情况进行总结，查漏补缺。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二元二次方程组的概念和解法。
主要包括以下几个部分：1.二元二次方程组的定义2.二元二次方程组的解法步骤3.实际问题转化为二元二次方程组的例子八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：1.过程评价：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的深度以及团队协作能力。
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
第七章二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程
关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法。
怎么解二元二次方程组
怎么解二元二次方程组二元二次方程组是初中数学中一个非常重要的知识点，也是高中数学的基础。
在我们的生活中，经常需要用到解二元二次方程组的知识，比如在解决数学题、物理题、化学题等等方面。
因此，解二元二次方程组是非常有用的数学知识。
一、二元二次方程组的概念和组成二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，其一般形式为：a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0，a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 0。
其中，a1、b1、c1、d1、e1、f1 和 a2、b2、c2、d2、e2、f2 是常数。
例如，以下方程组就是一个二元二次方程组：3x² + 2xy + 4y² – 5x – 3y + 7 = 0，2x² –xy + 3y² + 2x – 5y + 8 = 0。
二、二元二次方程组的解法1.消元法消元法是解决二元二次方程组的一种方法。
步骤如下：（1）通过乘数法让其中一个方程的x² 的系数等于另一个方程x² 的系数的相反数。
（2）将两个方程相加，消去x²，得到一个一元二次方程。
（3）解出该一元二次方程的根。
（4）将求出的 x 带入任意一个方程，计算出 y。
例如以下方程组：3x² + 2xy + 4y² – 5x – 3y + 7 = 0，2x² –xy + 3y² + 2x – 5y + 8 = 0。
（1）对于第一个方程，x² 的系数是 3，对第二个方程，x² 的系数是 2，因此我们可以通过乘数法，让第二个方程的x² 的系数变为 -3，即：-3(3x² + 2xy + 4y² –5x – 3y + 7 = 0)。
（2）将两个方程相加得到：-5x + xy + 7y + 7 = 0。
八年级数学解二元二次方程
八年级数学解二元二次方程二元二次方程是初中数学中非常重要的一个概念，它的解法对于学习代数和解题能力的培养有着重要作用。
本文将介绍八年级数学解二元二次方程的基本方法和步骤。
1. 引言二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，形如：ax^2 + bx + c = 0ay^2 + by + c = 0其中a、b、c是已知的数，x和y是未知数。
2. 消元法二元二次方程可以通过消元法来求解。
消元法的关键在于通过将两个方程相减或相加，使其中一个未知数的系数相互抵消，从而得到一个只含有一个未知数的一元二次方程。
3. 配方法如果通过消元法无法很好地解决二元二次方程时，可以利用配方法来求解。
配方法的基本思路是通过增加一个恰当的常数项，将一个二次方程变为完全平方的形式。
4. 举例说明我们通过一个具体的例子来演示解二元二次方程的步骤：设有二元二次方程：2x^2 + 3xy + y^2 = 123x^2 + 2xy - y^2 = 0首先，我们根据消元法将两个方程相减，消去y的系数：(2x^2 + 3xy + y^2) - (3x^2 + 2xy - y^2) = 12 - 0得到：-x^2 + 5xy + 2y^2 = 12接下来，我们利用配方法，将方程-2x^2 + 5xy + 2y^2 = 12变为完全平方的形式：-2(x^2 - 5/2xy - y^2) = 12-2(x^2 - 5/2xy + 25/16y^2 - 25/16y^2 - y^2) = 12-2((x - 5/4y)^2 - 41/16y^2) = 12(x - 5/4y)^2 = 12/(-2) +41/8y^2(x - 5/4y)^2 = -6/16 +41/8y^2(x - 5/4y)^2 = -3/8 +41/8y^2最后，我们可以得到关于x和y的解：x - 5/4y = ±√(-3/8 + 41/8y^2)通过类似的步骤，我们可以得到关于y和x的解：y - 5/4x = ±√(-3/8 + 41/8x^2)5. 总结解二元二次方程是初中数学中的重要内容，通过消元法和配方法可以解决大部分的二元二次方程。
初中三年级数学教学解二元二次方程组
初中三年级数学教学解二元二次方程组数学是一门既抽象又实用的科学，而二元二次方程组则是数学中一种重要的概念。
它是由两个包含两个未知数的二次方程组成，在初中三年级的数学教学中，解二元二次方程组是一个相对较难的内容。
本文将从教学目标、教学过程和教学评价三个方面介绍初中三年级数学教学中解二元二次方程组的方法。
一、教学目标教学目标是教学设计中一个至关重要的环节。
对于初中三年级数学教学中解二元二次方程组的教学目标，我们可以从以下几个方面考虑：1. 学生能够理解二元二次方程组的概念及其解法；2. 学生能够灵活运用代入法、消元法等解二元二次方程组的方法；3. 学生能够通过实际问题应用解二元二次方程组的方法，并正确解答问题；4. 学生能够培养解题思维和逻辑推理能力。
二、教学过程解二元二次方程组的教学过程可以分为引入、知识呈现、实例演示、练习及拓展等环节。
1. 引入：通过呈现一个实际问题，引发学生思考并对解二元二次方程组感兴趣，激发学生学习的主动性。
2. 知识呈现：教师可以通过PPT、板书等形式，详细介绍二元二次方程组的定义、解法和注意事项等知识点。
3. 实例演示：通过几个典型的例题演示，向学生展示解二元二次方程组的一般步骤和解题思路。
4. 练习：设计一些简单到复杂的练习题，通过个人练习和小组合作探究的方式巩固学生对于解二元二次方程组的掌握。
5. 拓展：提供一些挑战性的问题，鼓励学生运用解二元二次方程组的知识解决更复杂的问题，培养学生的问题解决能力。
三、教学评价评价是教学中的重要环节，通过合理的评价方法可以判断学生是否达到教学目标。
1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的积极参与程度、解题思路的合理性和解答问题的准确性等。
2. 练习评价：通过练习题的评阅，分析学生的解答过程和答案的正确性，及时发现问题并给予针对性的指导。
3. 学业测评：通过考试形式的评价，从全面的角度评估学生对于解二元二次方程组知识的掌握程度。
综上所述，初中三年级数学教学中解二元二次方程组是一项较为复杂的内容，但通过合理的教学设计和教学方法，能够激发学生的学习兴趣，提高学生解题能力和解决实际问题的能力。
初中数学二元二次方程组公式定理
初中数学二元二次方程组公式定理_学习方法网
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第七章二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程
关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法
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初中数学方程与不等式之二元二次方程组图文解析(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组图文解析(1)一、选择题1．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.2．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．3．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．4．解方程组：【答案】，．【解析】【分析】先由①得x=4+y ，将x=4+y 代入②，得到关于y 的一元二次方程，解出y 的值，再将y 的值代入x=4+y 求出x 的值即可.【详解】解：由①得：x=4+y③，把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，解得：y1=4，y2=-2，代入③得：当y1=4时，x1=8，当y2=-2时，x2=2，所以原方程组的解为：，．故答案为：，.【点睛】本题考查了解高次方程.5．已知113 2x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】22-2 3x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将113 2x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将113 2x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩中得：131mn=⎧⎨=⎩，则方程组变形为：22131x yx y⎧+=⎨+=⎩，由x+y=1得：x=1-y，将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-2 3x y =⎧⎨=⎩.【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m和n的值是解题的关键. 6．已知A，B两地公路长300km，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x=，两车相距25千米的路程.【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）又∵两车同时到达B 地，∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.（3）6730 h 或7730“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．7．解方程组：22+2-0110x y x y ⎧=⎨-+=⎩【答案】：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②由②得:x=y-1代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故原方程组的解为：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则8．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩；解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．9．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【解析】【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩解得：1212800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．10．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.11．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.12．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①②， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．13．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由②得()()310x y x y ---+=，得30x y --=或10x y -+=，原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.14．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．15．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．16．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】 将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.17．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．19．解方程组：222220,21,x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．【详解】2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩①②， 由①得 （x+y ）（x-2y ）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得 （x+y ）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩， 所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．20．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x ，个位数字是y ．则9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩＝＝， 解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）． 答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．。
初中数学教案解二元二次方程的方法
初中数学教案解二元二次方程的方法第一节引言二元二次方程是数学中的一个重要概念，它涉及到两个未知数的平方项，是初中数学中的重要内容之一。
本教案将介绍解二元二次方程的方法，帮助学生理解和掌握相关的知识和技巧。
第二节方程的定义和基本概念1. 方程的定义方程是含有未知数的等式，其中包含等号，表示两个量相等。
2. 二元二次方程的定义二元二次方程是含有两个未知数的二次方程，通常用x和y表示。
一般形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知数。
第三节解二元二次方程的方法1. 图形法解法通过绘制二元二次方程图像，找到方程的解。
首先，将方程改写为标准形式ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0。
然后，通过观察图像的形状和轴对称性，找到方程的解。
2. 代入法解法将其中一个未知数的值表示成另一个未知数的函数，然后代入另一个未知数的方程中进行求解。
3. 消元法解法通过逐渐消除一个未知数的方式，化简为一元二次方程，然后用一元二次方程的求解方法求解。
4. 配方法解法使用配方法将二元二次方程化简为两个一元二次方程，然后通过解这两个一元二次方程得到方程的解。
第四节实例讲解示例一：解方程组：2x² - xy + y² = 9x + y = 3解法：1. 代入法解法将x + y = 3中的y表示成x的函数：y = 3 - x，然后代入方程2x² -xy + y² = 9中，得到2x² - x(3-x) + (3-x)² = 9。
化简后得到4x² - 10x + 6 = 0。
解这个一元二次方程后得到x的值，再代入x + y = 3中求得y的值，即可得到方程组的解。
2. 图形法解法将方程转化为标准形式，得到2x² - xy + y² - 9 = 0。
人教版初二数学二元二次方程组的解法
人教版初二数学二元二次方程组的解法二元二次方程组是初中数学中的重要知课题之一，它是一组含有两个未知数和二次项的方程组。
解决二元二次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法和图解法等。
本文将以人教版初二数学教材中的内容为基础，介绍不同解法的步骤和思路。
一、代入法代入法是解决二元二次方程组常用的一种方法。
通过将其中一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，再将其代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程，可进一步求解。
例如，我们考虑以下的二元二次方程组：(1) 3x^2 + 2xy + y^2 = 1(2) 4x^2 + 3xy - 2y^2 = 10首先，我们可以通过将第一个方程中的 y 表示成 x 的函数，即 y = f(x)，然后将其代入第二个方程中，得到只含有 x 的方程。
具体步骤如下：1. 由第一个方程得到：y = -3x ± √(9x^2 - 12x^2 + 4) / 2简化为：y = -3x ± √(x^2 - 4x^2 + 1) / 2化简得：y = -3x ± √(-3x^2 + 1) / 22. 将 y 代入第二个方程中：4x^2 + 3x (-3x ± √(-3x^2 + 1) / 2) - 2(-3x ± √(-3x^2 + 1) / 2)^2 = 10化简并整理得到只含有 x 的方程：(3 ± √(-3x^2 + 1))^2 - 30x + 10 = 0我们可以通过解这个一元二次方程得到 x 的值，再将 x 的值代回原方程组中，求得 y 的值。
二、消元法消元法是另一种常用的解决二元二次方程组的方法。
通过将方程组中的一个未知数消去，从而得到只含有另一个未知数的一元二次方程，可进一步求解。
继续以上述的方程组为例，我们可以通过消元法解决它：(1) 3x^2 + 2xy + y^2 = 1(2) 4x^2 + 3xy - 2y^2 = 10首先，我们可以通过乘以合适的系数，使得方程组中的二次项系数相等，从而方便消元。
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + by^2 + cxy+ dx + ey + f = 0。
解二元二次方程是初中数学中的重要内容，掌握解题方法对于学生来说至关重要。
本文将介绍几种常见的解二元二次方程的方法，并通过实例进行说明。
一、配方法配方法是解二元二次方程的常用方法之一。
它的基本思想是通过将方程中的某些项配成完全平方的形式，从而将方程化简为两个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明配方法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 + 2xy = 9{ x^2 - y^2 = 1解析：首先，我们可以将第一个方程中的2xy项配成完全平方的形式。
具体来说，我们可以将其改写为(x+y)^2。
然后，将这个改写后的表达式代入第一个方程，得到：(x+y)^2 = 9解这个方程，我们可以得到两个解：x+y=3或x+y=-3。
接下来，我们将这两个解分别代入第二个方程，得到两个一元二次方程：x^2 - y^2 = 1x^2 - y^2 = -7分别解这两个方程，我们可以得到四个解：(x,y)=(2,1)，(x,y)=(-2,-1)，(x,y)=(2,-1)，(x,y)=(-2,1)。
综上所述，方程组的解为{(2,1), (-2,-1), (2,-1), (-2,1)}。
二、代入法代入法是解二元二次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而将方程化简为一个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明代入法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 = 9{ x + y = 3解析：首先，我们可以将第二个方程改写为y = 3 - x。
然后，将这个表达式代入第一个方程，得到：x^2 + (3 - x)^2 = 9化简这个方程，我们可以得到一个一元二次方程：2x^2 - 6x = 0。
解这个方程，我们可以得到两个解：x=0或x=3。
初中数学教案：解二元二次方程的方法
初中数学教案：解二元二次方程的方法解二元二次方程的方法二元二次方程是初中数学中一个重要且常见的题型，解题时需要灵活运用多种方法。
本教案将介绍几种解二元二次方程的有效方法，帮助学生提升解题能力。
一、图解法1. 首先，将方程两边化简为标准形式：“ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0”。
2. 将方程左边看作一个平面曲线或者二元函数的图像。
通过观察平面曲线或函数图像，找出曲线与 x 轴和 y 轴的交点。
3. 根据交点坐标求得方程的根。
4. 判断方程是否有实根或虚根，并将结果进行整理。
示例：求解方程“x^2 + y^2 - 6x - 8y - 9 = 0”。
首先，我们将该方程化简为标准形式：x^2 - 6x + y^2 - 8y = 9。
然后，观察平面曲线或函数图像。
通过画出平面曲线，并找到与 x 轴和 y 轴交点 (-3,0) 和 (0,4)，我们可以确定该方程有两个实根。
最后，整理结果为：x = -3 或 x = 0；y = 0 或 y =4。
二、代入法1. 将一个方程表示的变量替换为另一个方程中相应的内容。
2. 化简得到一个关于单一变量的一元二次方程。
3. 解一元二次方程，求得变量值。
4. 将求得的变量值代入另一个原始方程，计算得到另一变量值。
5. 整理结果，并判断是否有实根或虚根。
示例：解方程组“x^2 + y^2 = 1” 和“x - 2y = 1”。
首先，我们将第二个方程化简为：x = 1 + 2y。
然后，将 x 的值替换第一个方程中：(1 + 2y)^2 + y^2 = 1。
化简后得到关于 y 的一元二次方程：5y^2 + 4y = 0。
解这个一元二次方程，我们得到两个可能的值： y = 0 或 y = -4/5。
将这两个 y 值分别带入原始方程 x - 2y = 1，我们可以求出对应的 x 值：当 y = 0, x =1；当 y=-4/5, x=13/5.最后整理结果为四组解：(1,0)、(13/5,-4/5)、(13/5,-4/5)、(13/5,-4Luego de explorar métodos para resolver ecuaciones cuadráticas de dos variables, encontramos que el método gráfico y el método de sustitución son los más convenientes y efectivosmétodos para la resolución de estos tipos de ecuaciones. Ambos métodos son simples y fáciles de seguir, permitiendo a los estudiantes abordar problemas desafiantes en matemáticas con confianza. No obstante, es importante recordar que practicar regularmente estas técnicas es fundamental para su dominio.En conclusión, resolver las ecuaciones cuadráticas de dos variables es un tema importante en matemáticas de secundaria. El dominio de los diferentes métodos proporcionados en este plan de enseñanza brinda a los estudiantes herramientas efectivas para abordar estas ecuaciones con confianza. Con suficiente práctica y comprensiónsólida del concepto detrás de las ecuaciones cuadráticas, los estudiantes podrán enfrentarse a problemas desafiantes con éxito.。
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2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程 22260x xy y x y +++++=
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2
y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组： 224310,210;
x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.
x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组
22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得
x ＝2y ＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y 2＋8y ＝0，
即 y (y ＋1)＝0．
解得 y 1＝0，y 2＝－1．
把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2；
把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．
所以原方程组的解是
①②
112,0x y =⎧⎨=⎩， 220,1.
x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组
7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩ ① ②
解法一：由①，得
7.x y =- ③
把③代入②，整理，得
27120y y -+=
解这个方程，得
123,4y y ==．
把13y =代入③，得14x =；
把24y =代入③，得23x =．
所以原方程的解是
114,3x y =⎧⎨=⎩， 22
3,4.x y =⎧⎨=⎩ 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二
次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元
二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来
求,x y ．
这个方程组的,x y 是一元二次方程
2
7120z z --=
的两个根，解这个方程，得
3z =，或4z =．
所以原方程组的解是 114,3;x y =⎧⎨=⎩ 22
3,4.x y =⎧⎨=⎩
练 习
1．下列各组中的值是不是方程组
2213,5
x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 的解?
（1）2,3;x y =⎧⎨=⎩ （2）3,2;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,4;
x y =⎧⎨=⎩ （4）2,3;x y =-⎧⎨=-⎩
2．解下列方程组:
（1） 225,
625;y x x y =+⎧⎨+=⎩
（2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 2
2
1,54
3;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
2.3.1 二元二次方程组解法
练习
1.（1）（2）是方程的组解；（3）（4）不是方程组的解．
2．（1）1
115, 20,
x y =
⎧
⎨
=⎩
2
2
20,
15;
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
（2）1
1
5,
2,
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
2
2
2,
5;
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
（3）
5
,
3
4
.
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
（4）1
1
2,
2,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
2
2
2,
2.
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩。