初中数学二元二次方程组解法

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

方程 22260x xy y x y +++++=

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2

y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组： 224310,210;

x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.

x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组

22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．

解：由②,得

x ＝2y ＋2， ③

把③代入①,整理,得

8y 2＋8y ＝0，

即 y (y ＋1)＝0．

解得 y 1＝0，y 2＝－1．

把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2；

把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．

所以原方程组的解是

①②

112,0x y =⎧⎨=⎩， 220,1.

x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组

7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩ ① ②

解法一：由①，得

7.x y =- ③

把③代入②，整理，得

27120y y -+=

解这个方程，得

123,4y y ==．

把13y =代入③，得14x =；

把24y =代入③，得23x =．

所以原方程的解是

114,3x y =⎧⎨=⎩， 22

3,4.x y =⎧⎨=⎩ 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二

次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元

二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来

求,x y ．

这个方程组的,x y 是一元二次方程

2

7120z z --=

的两个根，解这个方程，得

3z =，或4z =．

所以原方程组的解是 114,3;x y =⎧⎨=⎩ 22

3,4.x y =⎧⎨=⎩

练 习

1．下列各组中的值是不是方程组

2213,5

x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 的解?

（1）2,3;x y =⎧⎨=⎩ （2）3,2;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,4;

x y =⎧⎨=⎩ （4）2,3;x y =-⎧⎨=-⎩

2．解下列方程组:

（1） 225,

625;y x x y =+⎧⎨+=⎩

（2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 2

2

1,54

3;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩

（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩

2.3.1 二元二次方程组解法

练习

1.（1）（2）是方程的组解；（3）（4）不是方程组的解．

2．（1）1

115, 20,

x y =

⎧

⎨

=⎩

2

2

20,

15;

x

y

=-

⎧

⎨

=-

⎩

（2）1

1

5,

2,

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

2

2

2,

5;

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

（3）

5

,

3

4

.

3

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

（4）1

1

2,

2,

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

2

2

2,

2.

x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩