2020年稽阳联考数学试题(定稿)
2020年4月浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班联考质量检测数学试题及答案解析
绝密★启用前2020年浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班下学期4月联考质量检测数学试题2020年4月一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}--B ．{2}C ．{1,2}D ．{0}2． 已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i +B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩,则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示,则函数()log ()a f x x b =-+的图象是 正视图侧视图2A ．B ．C ．D ．6．设0,0a b >>,则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设 1a <<,随机变量X 的分布列为 则当a 在(0,)3增大时,A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>,12,F F 为椭圆的左,右焦点,过2F的直线交椭圆与,A B两点,190AF B ∠=o,2223AF F B =u u u u r u u u u r ,则椭圆的离心率是A ．5 B ．5 C ．10 D ．109．如图：ABC ∆中,AB BC ⊥,60ACB ︒∠=,D 为AC 中点,ABD ∆沿BD 边翻折过程中,直线AB 与直线BC 所成的最大角,最小角分别记为11,αβ,直线AD 与直线BC 所成的最大角,最小角分别记为22,αβ,则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤A DCBA。
2020.5 稽阳联考详细解答(数学)
参考答案1． B {2,1,0,1}A B =--U ，所以()U C A B U ={2}2． C 211255i z i i -==--+ 3．A 2224322433V πππ⋅⋅=⋅⋅-= 4．D 322zy x =-，有图像知取(1,1)-，最大值为55．D 因01,10a b <<-<<，有图像变换可知6．A 因为 2a b +≥可知2()22a b +≥，而222()2a b a b ++≥，7．C 计算可知2211()3(2)4()336D X a a =--=--+8．B 设22113,2,23,22F A x F B x F A a x F B a x ===-=-，则222(5)(23)(22)x a x a x =-+-，可知3a x =，15,3AB a AF a ==，13cos 5F AB ∠=，1sin 25F AB ∠=，因A为顶点，则5e = 9．D 翻折到180o 时，,AB BC 所成角最小，可知130β=o ，,AD BC 所成角最小，20β=o ，翻折0o时，,AB BC 所成角最大，可知190α=o ，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直，所以,AD BC 所成最大角290α=o ，所以 1190,30αβ︒︒==，2290,0αβ︒︒==10．C 图像1y x =+与y x =有两个交点(0,0),(1,1)，利用蛛网图，可知当10a <，则数列递减，所以0n a <，当101a <<，则数列递增，并且n a 趋向1，可知当11a >，则数列递减，并且n a 趋向1，则可知A ，B 错误，又当1x >，13111()22y x x x x =+=+-<+--=，则当11a >，2a 一定小于32，则之后均小于32，所以D 错 ，对于C 可取132a =，满足要求 11．4,y =,因1,2,a b c === 12．42,5--由定义知tan 2α=-，sin αα==4sin 22sin cos 5ααα==-13．55,423234554T C == ，23T T =的系数最大为521492 设3,4AD x CD x == 在ABC ∆中，由余弦定理可知2125499237x x x=+-⋅⋅⋅，可知7x =,7AC x ==，sin A ∠=，19322S =⋅= 15．a =222(1)1t x x a x a =++=++- ()0f t = 可知1t =-±因 ()t f x = ，可 知1()f x -±=有三解，有图像知11a -=- 解得a =另解：可知((1))0f f -=，2(1)2(1)0a a a -+-+=，0a <，可知12a -=16．40 分高三学生单独去志愿点，或与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，共有111222(2)22C C C +⋅⋅⋅⋅种171 因AGE ∆与PGD ∆相似，12AG AE GP DP λ==则2211(12)1212AG AP AP λλλ⋅==+++u u u v u u u v u u u v ，令12(13)t t λ=+<<，则22313()1122t t AG AP t t t-+⋅==+-≥u u u v u u u v ，当且仅当，t =，即(0,1)λ=取到 18．（本题满分14分）（Ⅰ）3()sin )26f x x x x π=+=+（3分） 所以函数()f x 的周期为2π，23()232f ππ== （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ），则()21cos(2)332x y f x π-+==⋅，（10分）因[0,]2x π∈， 42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-（12分） 则()2y f x =的取值范围为3[,3]4（14分）（Ⅱ）另解：因[0,]2x π∈， 2[,]663x πππ+∈)62x π+∈（11分）则()23[,3]4y f x =∈（14分） 19．（本题满分15分）解法（1）：（Ⅰ）证：取AD 的中点O ，连结,,PO EO 由,,PO AD EO AD PO EO O ⊥⊥=I 可知AD ⊥面,PEO 且PE ⊂面,PEO 则AD PE ⊥.（6分）（Ⅱ）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）作,,PQ CD PH OE ⊥⊥连HQ ，因PH ABCD ⊥平面，知HQ CD ⊥，由60PDC ∠=o 知1DQ =，1OH DQ ==，由3PO =,在Rt PHO ∆中，可知2PH =,则()1,0,2P （10分）()0,1,0A -，()0,1,0D ，()3,0,0E ,则()()()1,1,2,3,1,0,1,1,2PD DE PA =--=-=---u u u r u u u r u u u r设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r，则30--2z=0x y x y -=⎧⎪⎨+⎪⎩得()1,3,2n =r 为其中一个法向量，（12分）设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则3sin cos ,,PA n PA n PA nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r （14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 法二：（体积法）设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH 为2，则6PE =（9分）PDE ∆中，2,10,6PD DE PE ===,所以PDE ∆为直角三角形，由A PDE P ADE V V --=可知111126223233322PDE ADE S h S h h ∆∆⋅=⋅⇒⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒=，（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则3sin h PA θ==,（14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为2112()n n n n a a a a +++-=- ，所以数列1{}n n a a +-是公比为2的等比数列，（3分）则11222n n n n a a -+-=⋅=， 121211()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =21n- （7分）（Ⅱ）法1：因34373431n n n n +++>+++，所以34373431n n n n <++++++则3734343133n n n n +-++-+<，所以3137234n n n +++<+（10分）又111122222n n n n n n b ++++==<=- （13分）n S ≤+++=K （15分）法（2）（数学归纳法）n b =，nS ≤①当1n =时，1S =<只要证：22<7<，所以1n =成立（9分）②假设n k =成立，即122k k S +<-，则当1n k =+，12122222k k k k k S S ++++=+<-+，要证：1222k k S ++<-，只要证：221222k k k ++++<只要证：614k <+成立，所以当1n k =+成立（14分）由①②可知，n S ≤对*n N ∈成立（15分）21．（本题满分15分）（1）抛物线2:ax y C =即y a x 12=，准线方程为：a y 41-=，Θ点)1,(b P 到焦点的距离为45，1,45411=∴=+∴a a ∴抛物线C 的方程为2x y =（4分） （Ⅱ）解1：设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，22)2(442221+--=---=∴t t t t t t x ，同理可得212)1()1(1222++++=++-+++=t t t t t t x ，（10分）21122122x x x x x x k MN+=--=Θ，当AB MN //时，1=MN k ，得121=+x x （12分）22+--∴t t t 1212=+++++t t t ，22222++-+-=∴t t t t t ，222222++++--=∴t t t t tt 得0=t 或22+-∴t t 122-=+++t t （舍去）0=∴t （15分）解法2：设设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴ ∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分） 由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，（11分）同理：2222(1)10x t x t -++-=，两式相减，可知22121222()+210x x t x x x ----=，因为121=+x x ，所以122()0t x x --=，则0t =（15分）22．（本题满分15分）（1）()f x x =-()1f x '==，所以当0a ≤， ()0f x '≥，则3[,)2+∞上递增，当0a >，()0f x '=，232a x +=，所以233[,)22a +递减，23[,)2a ++∞递增（6分） （Ⅱ）()1()f x g x -≤，可知1axx ke --≤，对3[,)2x ∈+∞恒成立，取32x =，可知32102a k e≥>（7分）因1a ≥，则ax x ke ke ≥≥，则110ax x x ke x ke --≤-≤，1x x ke --≤，（10分）k ≤，（11分）设1()x x h x e --=，()h x '=， ()0h x '=可知2x =，72x =，则函数在3[,2)2递减，7[2,)2递增，7[,)2+∞递减， 所以max 37322237111()max{(),()}max{,}22222h x h h ee e===，所以3212k e≥（15分）。
2020年4月稽阳联考高三数学试题卷含答案
2020年4月稽阳联考数学科试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}-- B ．{2} C ．{1,2} D ．{0}2． 已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i + B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是A ．B ．6．设0,0a b >>，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设 10a <<，随机变量X 的分布列为正视图则当a 在1(0,)3增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为椭圆的左,右焦点，过2F 的直线交椭圆与,A B 两点，190AF B ∠=o，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率是ABCD9．如图：ABC ∆中，AB BC ⊥，60ACB ︒∠=，D 为AC 中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为11,αβ，直线AD 与直线BC所成的最大角，最小角分别记为22,αβ，则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤D ．1212,ααββ≥>10．已知数列{}n a满足：11n n a a +=+ ，1a a =，则一定存在a ，使数列中： A ．存在*n N ∈，有120n n a a ++<B ．存在*n N ∈，有12(1)(1)0n n a a ++--<C ．存在*n N ∈，有1255()()044n n a a ++--<D ．存在*n N ∈，有1233()()022n n a a ++--<二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分11．双曲线2213y x -=的焦距是 _________，渐近线方程是____________． 12．已知角α的终边过点(1,2)-，则 tan α=_____________，sin 2α=____________．13．5展开式中常数项是___________，最大的系数．．是___________． 14．已知ABC ∆中，3,5AB BC ==，D 为线段AC 上一点,AB BD ⊥ ，34AD CD =，则AC = ____________，ABC ∆的面积是___________ ．15．已知函数2()2(0)f x x x a a =++< ，若函数(())y f f x = 有三个零点，则 a =__________．A DCBADCBA16．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加,,A B C 三个志愿点的活动，每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有__________________种（用数字作答）． 17．如图：已知矩形ABCD 中，1,2AD AB ==，E 为边AB 的中点，P 为边DC 上的动点（不包括端点），DP DC λ=u u u v u u u v（01λ<<），设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG AP ⋅u u u v u u u v的最小值是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2020年4月浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班联考质量检测数学答案详解
1绝密★启用前2020年浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班下学期4月联考质量检测数学试题参考答案解析2020年4月1． B {2,1,0,1}A B =--U ，所以()U C A B U ={2}2． C 211255i z i i -==--+ 3．A 2224322433V πππ⋅⋅=⋅⋅-= 4．D 322z y x =-，有图像知取(1,1)-，最大值为5 5．D 因01,10a b <<-<<，有图像变换可知6．A 因为 2a b +≥可知2()22a b +≥,而222()2a b a b ++≥, 7．C 计算可知2211()3(2)4()336D X a a =--=--+ 8．B 设22113,2,23,22F A x F B x F A a x F B a x ===-=-,则222(5)(23)(22)x a x a x =-+-,可知3a x =,15,3AB a AF a ==,13cos 5F AB ∠=,1sin 25F AB ∠=,因A 为顶点,则5e =9．D 翻折到180o 时,,AB BC 所成角最小,可知130β=o ,,AD BC 所成角最小,20β=o ,翻折0o 时,,AB BC 所成角最大,可知190α=o ,翻折过程中,可知AD 的投影可与BC 垂直,所以,AD BC 所成最大角290α=o ,所以 1190,30αβ︒︒==,2290,0αβ︒︒==10．C 图像1y x =+与y x =有两个交点(0,0),(1,1),利用蛛网图,可知当10a <,则数列递减,所以0n a <,当101a <<,则数列递增,并且n a 趋向1,可知当11a >,则数列。
浙江省稽阳联谊学校 2020届高三下学期4月联考 (数学)(含答案)
稽阳联考试卷命题设计分析表一、分析二、难度分布 三、目标2020年4月稽阳联考数学科试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}-- B ．{2} C ．{1,2} D ．{0}2． 已知为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是 A ．2155i + B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i -- 3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π 4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =-的最大值是A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是A ．B ．C ．D ．6．设0,0a b >>，则“2a b +≥”是“222a b+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．设 103a <<，随机变量的分布列为则当在(0,)3增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)xy a b a b +=>>，12,F F 为椭圆的左,右焦点，过2F 的直线交椭圆与,A B 两点，190AF B ∠=o，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率是A ．5 B ．5 C ．10 D ．109．如图：ABC ∆中，AB BC ⊥，60ACB ︒∠=，为AC 中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为11,αβ，直线AD 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为22,αβ，则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤D ．1212,ααββ≥>10．已知数列{}n a 满足：11n n a a +=+ ，1a a =，则一定存在，使数列中： A ．存在*n N ∈，有120n n a a ++<B ．存在*n N ∈，有12(1)(1)0n n a a ++--< C ．存在*n N ∈，有1255()()044n n a a ++--< D ．存在*n N ∈，有1233()()022n n a a ++--<二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分11．双曲线2213y x -=的焦距是 _________，渐近线方程是____________． 12．已知角的终边过点(1,2)-，则 tan α=_____________，sin 2α=____________． 13．5 展开式中常数项是___________，最大的系数．．是___________． A DCBA14．已知ABC ∆中，3,5AB BC ==，为线段AC 上一点,AB BD ⊥ ，34AD CD =，则AC = ____________，ABC ∆的面积是___________ ．15．已知函数2()2(0)f x x x a a =++< ，若函数(())y f f x = 有三个零点，则=__________．16．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加,,A B C 三个志愿点的活动，每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去志愿点，则不同的安排方法有__________________种（用数字作答）． 17．如图：已知矩形ABCD 中，1,2AD AB ==，为边AB 的中点，为边DC上的动点（不包括端点），DP DC λ=u u u v u u u v （01λ<<），设线段AP 与DE 的交点为，则 AG AP ⋅u u u v u u u v的最小值是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2020年稽阳联考参考答案
2020年11月稽阳联考数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.D 10.D各 题 详 细 参 考 解 答1.解：由于{|14},{|23}M x x N x x =-<<=-<<，从而{|13}M N x x =-<<，选B.2. 解：由于(1i)11222i i i z i +===-+-，则||2z =.选B. 3. 解：如图，不等式组2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩的阴影部分，从而当4,2x y ==时，26y x +-有最小值2-，选A. 4. 解：由于sin ()2cos x xf x x=-为偶函数， 且()f x 在0x =右侧取值正，故选A.5. 解：充分性：log 2log 201110|1||1|b a a b a b a b >>⇒>>⇒->->⇒->-，充分性成立.必要性：取12,2a b ==，则1|1||b 1|12a ->-⇒>成立,而条件不成立，故log 2log 20b a >>是|1||1|a b ->-的充分不必要条件，故选C.6.解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图，()1211112247222S +⋅⋅=⨯++⨯=11152=11221323V V V ⋅=-⋅⋅-⋅⋅⋅=柱锥，故选 A.7. 解：椭圆2C 关于点00(,)P x y 的切点弦AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩得点E ⎫，同理F ，则()()()()22222200000048361213422OE OF x y y y -⋅=+==---，故选B. 8. 解：构建直三棱柱ABE CDF -，设,G H 分别为,ABE CDF ∆∆的外心，连接GH ，取其中点O ，则O 为直三棱柱ABE CDF -的外接球的球心，也为四面体ABCD 的外接球的球心，因为异面直线AB 与CD 所成的角为60，所以60ABE ∠=.设三棱柱底面三角形ABE ∆的外接圆半径为r ，则2r ==，1A2sin 6023AE r ==222222cos6012AE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅⋅⇒+-⋅=，所以22122AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅所以111sin 60332A BCD ABE CDF V V AB BE BC AB BE --==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅≤ 故四面体ABCD 的体积的最大值为故选A. 9. 解：由于12212()()22p p p p p p a a S p a a pa ++==+≠，故选项A 错误.由于m p q n -=-，则[()][()]p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅=222[()][()]()()()()()m n m n m n a q n d a q n d a a q n d a a q n d q n d n m --⋅+--⋅=----=---22()0q n d --<，故选项B 错误.由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误. 设0x q n m p =-=->，则2()()()0pq mn n x m x mn x n m x -=+--=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+. 故222211()()22p q m n p q m n m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.221111(1)(1)(2)(1)(1)[][]2224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d --+---⋅=+⋅+=++22221111(2)(1)(1)(2)(1)(1)2424mn m n mn p q mn m n mn m n mna a d d mna a d d +---+---<++≤++m n S S =⋅.由此1111p q m n m n p q p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S S S S S ++++=>>=+，故选项D 正确. 故选D. 注：本题也可用特殊数列代入，利用排除法求解.10. 解：由于ln (21)10ln 21(1)(2)x e a x b x ex a x b +--++≤⇔+-≤+-+.此不等式对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则需要保证10a +>.令1x e =，则11ln 21(1)2a b e e+-≤+-- 从而1(1)2a b e +≥+，从而211b a e+≤+.另一方面，当31,1a e b =-=时，ln (21)10x e a x b +--++≤即为ln 20x ex -+≤，设()ln 2(0)f x x ex x =-+>，则11'()0ex f x e x x -=-=≥得10x e <≤，故()f x 在1(0,]e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减，从而1()()0f x f e ≤=，即31,1a e b =-=可使不等式恒成立，从而21b a ++可取1e .综合上述，当21b a ++取最大值1e 时，31a e =-.故选D.第Ⅱ卷（非选择题部分 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。
浙江省绍兴市稽阳联谊学校2021届高三上学期11月联考数学试题 答案
2020年11月稽阳联考数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.D 10.D各题详细参考解答1.解：由于{|14},{|23}M x x N x x =-<<=-<<，从而{|13}M N x x =-<< ，选B.2.解：由于(1i)11222i i i z i +===-+-，则||2z =.选B.3.解：如图，不等式组2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为如图所示的阴影部分，从而当4,2x y ==时，26y x +-有最小值2-，选A.4.解：由于sin ()2cos x x f x x=-为偶函数，且()f x 在0x =右侧取值正，故选A.5.解：充分性：log 2log 201110|1||1|b a a b a b a b >>⇒>>⇒->->⇒->-，充分性成立.必要性：取12,2a b ==，则1|1||b 1|12a ->-⇒>成立,而条件不成立，故log 2log 20b a >>是|1||1|a b ->-的充分不必要条件，故选C.6.解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图，()1211112247222S +⋅⋅=⨯+⋅+⨯=+.11152=11221323V V V ⋅=-⋅⋅-⋅⋅⋅=柱锥，故选A.7.解：椭圆2C 关于点00(,)P x y 的切点弦AB 的方程为003412x x y y +=.联立00341232x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得点E ⎛⎫，同理F，则()()()()22222200000048361213422OE OF x y y y -⋅=+==--- ，故选 B.8.解：构建直三棱柱ABE CDF -，设,G H 分别为,ABE CDF ∆∆的外心，连接GH ，取其中点O ，则O 为直三棱柱ABE CDF -的外接球的球心，也为四面体ABCD 的外接球的球心，因为异面直线AB 与CD 所成的角为60 ，所以60ABE ∠= .设三棱柱底面三角形ABE ∆的外接圆半径为r ，则512r =-=，2sin 6023AE r == ，再由余弦定理，222222cos 6012AE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅⋅⇒+-⋅= ，所以22122AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE=+-⋅≥⋅-⋅=⋅所以1113sin 60233326A BCD ABE CDF V V AB BE BC AB BE --==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅≤ ，故四面体ABCD 的体积的最大值为23.故选A.9.解：由于12212()()22p p p p p p a a S p a a pa ++==+≠，故选项A 错误.由于m p q n -=-，则[()][()]p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅=222[()][()]()()()()()m n m n m n a q n d a q n d a a q n d a a q n d q n d n m --⋅+--⋅=----=---22()0q n d --<，故选项B 错误.由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误.设0x q n m p =-=->，则2()()()0pq mn n x m x mn x n m x -=+--=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.故222211()()22p q m n p q m n m n m n S S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.221111(1)(1)(2)(1)(1)[][]2224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d --+---⋅=+⋅+=++22221111(2)(1)(1)(2)(1)(1)2424mn m n mn p q mn m n mn m n mna a d d mna a d d +---+---<++≤++m n S S =⋅.由此1111p q m n m n p q p q p q m n m n S S S S S S S S S S S S S S S S ++++=>>=+，故选项D 正确.故选D.注：本题也可用特殊数列代入，利用排除法求解.10.解：由于ln (21)10ln 21(1)(2)x e a x b x ex a x b +--++≤⇔+-≤+-+.此不等式对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则需要保证10a +>.令1x e =，则11ln 21(1)2a b e e +-≤+--从而1(1)2a b e +≥+，从而211b a e+≤+.另一方面，当31,1a e b =-=时，ln (21)10x e a x b +--++≤即为ln 20x ex -+≤，设()ln 2(0)f x x ex x =-+>，则11'()0ex f x e x x -=-=≥得10x e <≤，故()f x 在1(0,]e 上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，从而1()()0f x f e ≤=，即31,1a e b =-=可使不等式恒成立，从而21b a ++可取1e .综合上述，当21b a ++取最大值1e 时，31a e =-.故选D.第Ⅱ卷（非选择题部分共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。
浙江省稽阳联谊学校2020届高三下学期4月联考数学试题(含答案)(含答案)
2020年4月稽阳联考数学科试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}-- B ．{2} C ．{1,2} D ．{0}2． 已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i + B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是A ．B ．6．设0,0a b >>，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设 10a <<，随机变量X 的分布列为正视图则当a 在1(0,)3增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为椭圆的左,右焦点，过2F 的直线交椭圆与,A B 两点，190AF B ∠=o，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率是ABCD9．如图：ABC ∆中，AB BC ⊥，60ACB ︒∠=，D 为AC 中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为11,αβ，直线AD 与直线BC所成的最大角，最小角分别记为22,αβ，则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤D ．1212,ααββ≥>10．已知数列{}n a满足：11n n a a +=+ ，1a a =，则一定存在a ，使数列中： A ．存在*n N ∈，有120n n a a ++<B ．存在*n N ∈，有12(1)(1)0n n a a ++--<C ．存在*n N ∈，有1255()()044n n a a ++--<D ．存在*n N ∈，有1233()()022n n a a ++--<二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分11．双曲线2213y x -=的焦距是 _________，渐近线方程是____________． 12．已知角α的终边过点(1,2)-，则 tan α=_____________，sin 2α=____________．13．5展开式中常数项是___________，最大的系数．．是___________． 14．已知ABC ∆中，3,5AB BC ==，D 为线段AC 上一点,AB BD ⊥ ，34AD CD =，则AC = ____________，ABC ∆的面积是___________ ．15．已知函数2()2(0)f x x x a a =++< ，若函数(())y f f x = 有三个零点，则 a =__________．A DCBADCBA16．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加,,A B C 三个志愿点的活动，每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有__________________种（用数字作答）． 17．如图：已知矩形ABCD 中，1,2AD AB ==，E 为边AB 的中点，P 为边DC 上的动点（不包括端点），DP DC λ=u u u v u u u v（01λ<<），设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG AP ⋅u u u v u u u v的最小值是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2020年稽阳联考数学试题
2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷命题人： 审稿人：本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n) 棱台的体积公式球的表面积公式)2211(31S S S S h V ++=24R S π=其中S 1, S 2分别表示棱台的上下底面 球的体积公式：334R V π=球 （其中R 表示球的半径）面积，h 表示棱台的高第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|14},{|60}M x x N x x x =-<<=--<，则M N = （ ）A. {|14}x x -<<B. {|13}x x -<<C. {|23}x x -<<D. {|24}x x -<<2. 已知复数1iz i=-，其中i 为虚数单位，则||z = （ ） A.12B. 2C. D. 2 3. 若变量y x ,满足2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则26y x +-的最小值是 （ ）A. 2-B. 45-C. 4-D. 12-4.已知函数sin ()2cos x xf x x=-的图象可能为 （ ）A B C D5. 已知0,0a b >>，则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的 （ ） A ．充要条件B C ．充分不必要条件D 6. A.7，53 C. 3+537. 如图，已知点00(,)P x y 过点P 作椭圆222:143x y C +=直线AB 交1C 的两渐近线于点OE OF ⋅的值为A. 34C. 438. 四面体ABCD 中，,AB BC ⊥若四面体ABCD A. 23 B. 43 C. 3 D.39.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若,p m n q <<<且*,,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是 （ ）A. 22p p S p a =⋅B. p q m n a a a a >C. 1111p q m n a a a a +<+D. 1111p q m nS S S S +>+ Oxy Ox y Oxy10. 已知e 为自然对数的底数，,a b 为实数，且不等式ln (21)10x e a x b +--++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立.则当21b a ++取最大值时，a 的值为 （ ） A. 2e B. 21e - C. 3e D. 31e - 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。
2020年4月浙江省稽阳联谊学校2020届高三毕业班联考质量检测数学参考答案
同理可得 ,（10分）
,当 时, ,得 （12分）
, ,
得 或 （舍去） （15分）
解法2：设设 , , ,
切线 的方程为： ,即 ,
同理可得切线 的方程为： （7分）
由于动线段 （ 在 右边）在直线 上,且 ,
故可设 ,
将 代入切线 的方程得 ,即 ,（11分）
19．（本题满分15分）解法（1）：
（Ⅰ）证：取 的中点 ,连结 由 可知
面 且 面 则 .（6分）
（Ⅱ）法一：以 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,（8分）
作 连 ,因 ,知 ,由 知 , ,由 ,在 中,可知 ,则 （10分）
, , ,
则
设平面 的法向量为 ,
则 得 为其中一个法向量,（12分）
所以 ，所以 （15分）
同理： ,两式相减,可知
,因为 ,所以 ,则 （15分）
22．（本题满分15分）
（1） , ,所以当 , ,则 上递增,当 , , ,所以 递减, 递增（6分）
（Ⅱ） ，可知 ，对 恒成立，取 ，
可知 （7分）
因 ，则 ，则
， ，（10分）
，（11分）
设 ， ，
可知 ， ，则函数在 递减， 递增， 递减，
设直线 与平面 所成角为 ,则 （14分）
则直线 与平面 所成角为 .（15分）
法二：（体积法）
设点A到面PDE的距离为 ,法一中已知点P到面ABCD的距离 为 ,则 （9分）
中, ,所以 为直角三角形,由 可知
,（12分）
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,（14分）
则直线 与平面 所成角为 .（15分）
绝密★启用前
浙江省稽阳联谊学校2022-2023学年高三上学期11月联考数学试题
若 为等比数列，则 ，得 ，
即“ ”是“ 为等比数列”的充要条件.
故选：A.
4.中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为 ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 ，则该几何体的表面积为（）
【详解】易知点 ，过点 的直线与 轴重合，此时直线与抛物线 相交于原点，不合乎题意；
设过点 的抛物线 的切线方程为 ，
联立 可得 ，因为 ，所以 .
又因为 为切点，所以 ，得点 的坐标为 .
对于A选项， ，所以， ， ，
则 ，A错；
对于B选项， ，B对；
对于CD选项，线段 的中点的坐标为 ，因为 ，且 ，
A. B.
C. D.
12.过点 向抛物线 作一条切线，切点为 ， 为抛物线的焦点， ， 为垂足，则（）
A. B.
C. D. 在 轴上
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 （其中 为虚数单位），则 ___________.
14.如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.沙漏摆动时离开平衡位置的位移 （单位： ）与时间 （单位： ）满足函数关系 ，若 的函数图象如下图所示，则 ___________.
故选：C.
7.在 中， 是边 上一点，将 沿 折起，得 ，使得平面 平面 ，当直线 与平面 所成角正弦值最大时三棱锥 的外接球的半径为（）
A. B. C. D.
浙江省稽阳联谊学校2024届高三上学期11月联考数学试题含解析
2023年11月稽阳高三联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，112B x x ⎧⎫=->⎨⎩⎭，则A B ⋃=（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.()3,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】解出分式不等式和绝对值不等式，根据并集含义即可得到答案.【详解】(){}{}010011xA xx x x x x x ⎧⎫=<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，112x ->即112x ->或112x -<-，解得12x <或32x >，则1{|2B x x =<或3}2x >，则()3,1,2A B ⎛⎫-∞⋃+∞⋃ ⎝=⎪⎭，故选：B.2.已知复数z 满足()12i 3i z -=+，则z z ⋅=（）A.175i+ B.45C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算结合共轭复数的概念即可.【详解】由题意得3i (3i)(12i)17i12i (12i)(12i)5z ++++===--+，则17i 17i 5025525z z -+⋅=⋅==，故选：C.3.已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，则“3a b c +-= ”是“a 与b共线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的三角形不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】平面向量a ，b ，c 均为单位向量，则||||||||3a b c a b c +-≤++= ，当且仅当,,a b c -同向共线时取等号，则当3a b c +-= 时，a 与b 共线，反之，a 与b共线并且方向相反时，1a b c +-= ，所以“3a b c +-= ”是“a 与b共线”的充分不必要条件，A 正确.故选：A4.我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正n 边形随着边数n 的无限增大，圆的内接正n 边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率π的近似值．如图当6n =时，圆内接正六边形的周长为6r ，故6π2rr≈，即3π≈．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（）A.12n =时，π12sin15≈B.12n =时，π6sin15≈C.12n =时，π12cos15≈D.12n =时，π24cos15≈【答案】A 【解析】【分析】求出正十二边形的周长L ，可得出π2Lr≈，即可得解.【详解】设圆的内接正十二边形被分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30 ，即30AOB ∠= ，作OH AB ⊥于点H ，则H 为AB 的中点，且15AOH ∠=，因为OA OB r ==，在Rt AOH △中，sin AH AOH OA∠=，即sin15AH r =，所以，sin15AH r = ，则22sin15AB AH r == ，所以，正十二边形的周长为122sin1524sin15L r r =⨯⨯=，所以，24sin15π12sin1522L r r r≈==.故选：A.5.已知等比数列{}n a 满足2342a a a +=，()()235111a a a ++=-，则1a 的值不可能．．．是（）A.2-B.14C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出首项和公比即可得解.【详解】设公比为()0q q ≠，由2342a a a +=，()()235111a a a ++=-，得()()23111241112111a q a q a qa q a q a q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得112q a =-⎧⎨=-⎩或111q a =-⎧⎨=⎩或121q a =⎧⎨=⎩或1214q a =⎧⎪⎨=⎪⎩.故选：D .6.第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能A ，B 两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A ，B ，C 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种 B.300种C.720种D.1008种【答案】B【解析】【分析】根据组合数与排列数的计数方法，结合分类分步两个基本原理求解即可得的答案.【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能,A B 两地举办，且各自承办其中一项有22A 2=种安排；再次5个表演项目分别由,,A B C 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有3211253534C A C C C 150+=种，故总数为2150300⨯=种不同的安排方法.故选：B.7.已知()()221x x b f x b -=∈+R 是奇函数，实数m 、n 均小于1，e 2.71828= 为自然对数底数，且22log 2e 1e m b -+-=，22log 4e 14e n b -+-=，则（）A.0m n <<B.0n m << C.01m n <<< D.01n m <<<【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的性质可得出1b =，由已知可得出()22log 1e 1m -=-，()22log 12e 1n -=-，由()()22e 12e 1-<-结合对数函数的单调性可得出11m n -<-，可得出()()20m n m n -+-<，可得出n m <，并推导出1m <-、1n <-，即可得解.【详解】对任意的x ∈R ，210x+>，则函数()()221x x bf x b -=∈+R 的定义域为R ，因为函数()()221x x b f x b -=∈+R 为奇函数，则()1002b f -==，可得1b =，所以，()2121x x f x -=+，()()()()22121122112221x xx xx xx x f x f x --------====-+++，则函数()f x 为奇函数，合乎题意，因为22log 12e 1e m -+-=，22log 14e 14e n -+-=，则()222log 1e 2e 1e 1m -=-+=-，()222log 14e 4e 12e 1n -=+=--，因为()()22e 12e 1-<-，则22log 1log 1m n -<-，所以，11m n -<-，即()()2211m n -<-，即22220m m n n --+<，即()()20m n m n -+-<，因为1m <，1n <，则2m n +<，则20m n +-<，故0m n ->，即n m <，又因为()22log 1e 11m -=->，即12m ->，可得12m -<-或12m ->，则1m <-或3m >，即1m <-，同理可知，1n <-，故0n m <<.故选：B.8.椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的倾斜角为45 的直线l 交椭圆Γ于点M ，N （点M 在x 轴的上方）．若AMF 为等腰直角三角形，则椭圆Γ的离心率是（）A.1- B.12C.2D.34【答案】C 【解析】【分析】求出,22a c a c M -+⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简得到关于e 的方程，解出即可.【详解】显然90AMF ︒∠=，则由题意得2M a c x -=，则22M a c a cy a -+=-=，又因为点,22a c a c M -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆Γ上，所以2222()()144a c a c a b -++=，即()22222()()144a c a c a a c -++=-，即()22()()144a c a c a a c -++=-，根据c e a=得2(1)1144(1)e e e -++=-，整理得323220e e e --+=.所以()2(1)420e e e +-+=，解得2e =，(其中21,10e e =+>=-<均舍去)，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()πsin 210,2f x A x A ϕϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 的图像关于直线2π3x =-对称C.()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有1个极值点 D.()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，求得最小正周期即可判断；对于B ，由题意求得π6ϕ=-，检验2π3x =-πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是否为1±即可判断；对于CD ，由5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得π11π7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，从而可得()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，没有极值点，即可判断.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，A 错；对于B ，因为()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，所以当π3x =时，()f x 取得最大值，所以ππ22π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，解得π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()πsin 216f x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以当2π3x =-时，π4ππsin 2sin 1636x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于直线2π3x =-对称，B 对；对于CD ，因为5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π11π7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，没有极值点，C 错D 对.故选：BD.10.已知()()P A P A =，()()||P B A P B A >，则（）A.()()P B P A >B.()()P A B P A B⋅>⋅C.()()||P A B P A B > D.()()P A B P A B⋅<⋅【答案】BD 【解析】【分析】根据对立事件的性质结合已知可得()()12P A P A ==，利用条件概率公式和全概率公式推导可判断ABD ；举特例可判断C.【详解】由对立事件性质知，()()1P A P A +=，又()()P A P A =，所以()()12P A P A ==，因为()()||P B A P B A >，所以()()()()P BA P BA P A P A >，所以()()P BA P BA >，B 正确；又因为()()()()()()P AB P AB P A P A P AB P AB +===+，所以()()()()0P AB P AB P AB P AB -=-<，得()()P AB P AB <，D 正确；由()()P BA P BA >，()()P AB P AB <得()()()()P AB P AB P AB P AB +>+，则()()P B P B >，又()()1P B P B +=，所以()()12P B P B >>，故()()P B P A <，A 错误；以掷一颗骰子为例，不妨记事件A ：掷出的点数为奇数；事件B ：掷出的点数为1点或3点.则A ：掷出的点数为偶数；B ：掷出的点数为2点或4点或5点或6点.易知，()()()()112,,233P A P A P B P B ====，()()()()111,0,,362P AB P AB P AB P AB ====，所以()()()()()()1|,|03P BA P BA P B A P B A P A P A ====满足题设()()P A P A =，()()||P B A P B A >，但()()()()()()1|0,|4P AB P AB P A B P A B P B P B ====，故C 错误.故选：BD11.在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 为1CC 中点，点Q 满足1DQ DB DD λμ=+，()0,1λ∈，()0,1μ∈（）A.当1λμ+=时，1B Q AC ⊥B.当1λμ+=时，11B Q A C ⊥C.当12λμ+=时，//PQ 平面11AC D D.当12λμ+=时，//PQ 平面11AB D 【答案】AC 【解析】【分析】根据共面向量定理和共线向量定理结论结合线面垂直的判定、面面平行的判定和性质一一分析即可.【详解】由题意得三向量共面，当1λμ+=，根据共线向量定理的结论知1Q BD ∈（不与边界点重合），因为底面为菱形的直四棱柱，AC BD ⊥，1DD ⊥底面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为1,BD DD ⊂平面11BDD B ，1BD DD D = ，所以AC ⊥平面11BDD B ，因为1B Q ⊂平面11BDD B ，所以1AC B Q ⊥，故A 正确；对B ，若11B Q A C ⊥，且由A 知1AC B Q ⊥，又因为1,AC AC ⊂平面11AA C C ，且1AC C AC ⋂=，所以1B Q ⊥平面11AA C C ，根据A 中的同样方法可证明11B D ⊥平面11AA C C ，则111//B Q D B ，显然不可能，故B 错误；对C ，当12λμ+=时，设BD 的中点为O ，1DD 的中点为M ，则22M DQ DO D λμ=+，则根据()21λμ+=可知Q OM ∈（不包含边界），根据中位线可知1//OP AC ，1AC ⊂平面11AC D ，OP ⊄平面11AC D ，所以//OP 平面11AC D ，同理根据11//PM C D 可得//PM 平面11AC D ，因为OP PM P = ，且,OP PM ⊂平面OPM ，所以平面//OPM 平面11AC D ，因为PQ ⊂平面OPM ，所以//PQ 平面11AC D ，故C 正确；对D ，由平面11AB D 与平面11AC D 相交，所以平面11AB D 与平面OPM 相交，则无法得到//PQ 平面11AB D ，故D 错误.故选：AC.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为()f x '，()g x '，()()6f x g x =-'，()()161f x g x -=++'，且()2g x -为奇函数，则（）A.()02g =B.()()2f x f x +'='C.()()4g x g x +=D.()()()()113324f g f g +=【答案】ACD【解析】【分析】先根据条件分析出()g x '的周期性对称性，再得到()f x 的周期性的对称性，最后由求导得到()f x '和()g x 的周期性和对称性，代入求解即可.【详解】由题意得()()()()6161f x g x f x g x ⎧=-⎪⎨-=+'+'⎪⎩，所以()()()()161161f x g x f x g x ⎧-=--⎪⎨-+'=+'⎪⎩，两式相减可得()()11g x g x +=-'-'①，所以()g x '关于点()1,0中心对称，又因为()2g x -为奇函数，所以()()()222g x g x g x -=---=--+⎡⎤⎣⎦②，即()()4g x g x +-=，所以()g x 关于点()0,2中心对称，而()g x 定义域为R ，所以()g 02=，A 正确；②式两边对x 求导可得()()g x g x ''=-，所以()g x '是偶函数，以1x +替换①中的x 可得()()()2g x g x g x '''+=--=-，所以()()()42g x g x g x '''+=-+=，所以()g x '是最小正周期为4的周期函数，因为()()6f x g x =-'，所以()f x 也是最小正周期为4的周期函数，即()()4f x f x +=，两边求导可得()()4f x f x ''+=，所以()f x '也是最小正周期为4的周期函数，所以()()2f x f x +'='不恒成立，B 错误；由①得()()11g x g x C +=-+，令0x =，解得0x =，所以()()11g x g x +=-③，即()g x 关于直线1x =对称，以1x +替换③中的x 可得()()2g x g x +=-，由②可知()()4g x g x -=-，所以()()24g x g x +=-④，所以()()()442g x g x g x +=-+=，所以C 正确；由上可知()g x '关于点()1,0中心对称，所以()10g '=又因为()g x '是偶函数，所以()()110g g ''-==又因为()g x '是最小正周期为4的周期函数，所以()()310g g ''=-=，由条件()()6f x g x =-'可得()()()()16163636f g f g ⎧=-=⎪⎨=='-'⎪⎩，所以()()()()()()()()()11336163613f g f g g g g g +=+=+，由④知()()134g g +=，所以()()()()11336424f g f g +=⨯=，D 正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于y 轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于y 轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知锐角θ满足1sin 3θ=；则ππsin(sin()44θθ+--=________．【答案】43##113【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式、和差角的正弦公式计算得解.【详解】锐角θ满足1sin 3θ=，则cos 3θ==，所以πππ4sin()sin(2cos sin 44433θθθ+--===.故答案为：4314.已知0a >，0b >，193a b -=，则128181ab a b++的最小值为________．【答案】29【解析】【分析】依题意得，21a b +=，则122181818181a b ab ab ab a b ab ab+++=+=+，由基本不等式求解即可.【详解】解：依题意得，2133a b -=，则21a b +=，故12212818181819a b ab ab ab a b ab ab +++=+=+≥=，当且仅当181ab ab=时等号成立，又21a b +=，解得1112,,或,3363a b a b ====，所以128181ab a b++的最小值为29.故答案为：29.15.已知抛物线2:4C x y =，圆222:(4)(0)M x y r r +-=>，若抛物线C 与圆M 有四个公共点，则r 的取值范围为________．【答案】()【解析】【分析】根据抛物线与圆的交点个数联立消元列不等式求解即可得r 的取值范围.【详解】联立方()222244x yx y r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩消去x 整理得224160y y r -+-=因为抛物线C 与圆M 有四个公共点，所以()22Δ164164480rr=--=->，且2160r ->所以解得4r <<，则r的取值范围为().故答案为：().16.体积为111ABC A B C -中，2AB =，3AC =，则此三棱柱外接球的表面积的最小值为________．【答案】18π【解析】【分析】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 外接圆的半径为r ，(),0,πBAC θθ∠=∈，直三棱柱111ABC A B C -外接球的的半径为R ，根据棱柱的体积可得7sin h θ=，利用正弦定理求出ABC 外接圆的半径，再利用勾股定理求出2R 的最小值，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 外接圆的半径为r ，(),0,πBAC θθ∠=∈，直三棱柱111ABC A B C -外接球的的半径为R ，则123sin 2h θ⨯⨯⋅=，所以sin h θ=，在ABC 中，由余弦定理可得49223cos 1312cos BC θθ=+-⨯⨯=-，则1312cos 2sin sin BC r θθθ-==，所以1312cos 2sin r θθ-=，所以22222221312cos 753cos 53cos 924sin 2sin sin 99cos h R r θθθθθθθ---⎛⎫=+=+==⋅ ⎪-⎝⎭，令()53cos ,2,8t t θ=-∈，则3cos 5t θ=-，则()222999916101629510t tR t t t t t ===≥=-+-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，当且仅当16t t =，即4t =，即1cos 3θ=时取等号，所以此三棱柱外接球的表面积的最小值为94π18π2⨯=.故答案为：18π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，已知()223sin sin 2sin sin 8sin sin cos A C A C A C B +=+．（1）证明：2a c b +=；（2）若11cos 14B =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）根据正、余弦定理进行角换边即可证明；（2）首先求出sin B =，再结合三角形面积公式得21ac =，最后利用（1）中结论和余弦定理即可求出周长.【小问1详解】由正弦定理及余弦定理可得：()()22222222328242a c b a cac ac ac a c b ac+-+=+=++-化简得：22()42a c b a c b +=⇒+=.【小问2详解】因为11cos 14B =，且B 为三角形内角，sin B ∴==.11sin 22ABC S ac B ac ∴==⋅ ，所以21ac =.由余弦定理可得:2222cos a c b ac B =+-，所以22()2(cos 1)a c b ac B +-=+，112,cos ,2114a cb B ac +=== ，2211422117514b b ⎛⎫∴-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，即225,5b b ==，所以周长为315a c b b ++==.18.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB AS ==，SB =1AD =，G 为ABC 的重心，(1)SB SE λλ=>．（1）当直线//GE 平面SDC 时，求λ的值；（2）当32λ=时，求平面CAE 与平面DAE 的夹角的大小．【答案】（1）32λ=；（2）π4.【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质，结合三角形重心定理求解即得.（2）在平面SAB 内作Ax AB ⊥，以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】连接DB AC O = ，由四边形ABCD 是矩形，得O 是AC 中点，而G 为ABC 的重心，则点G 在线段DB 上，有2133BG BO BD ==，于是2DGGB=，由//GE 平面SDC ，GE Ì平面SDB ，平面 SDB 平面SDC SD =，得//GE DS ，因此2SE DGEB GB==，所以32λ=.【小问2详解】在SAB △中，32,2AB AS SB ===，则132cos 2SBSBA AB ∠==，有30SBA ∠= ，在平面SAB 内作Ax AB ⊥，由平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，得Ax ⊥平面ABCD ，显然射线,,Ax AB AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，射线,,Ax AB AD 分别为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系，由（1）知，33BE =，则3(0,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(0,2,1),(,1,0)3A DBC E ，(0,0,1),(,1,0),(0,2,1)3AD AE AC === ，设平面DAE 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则11003n AD z n AE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，得1(n = ，设平面CAE 的一个法向量为2(,,)n a b c =，则222003n AC b c n AE a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令a =，得21,2)n =- ，设平面CAE 与平面DAE 的夹角为θ，因此121212||cos |cos ,|2||||n n n n n n θ⋅=〈〉===，从而π4θ=，所以平面CAE 与平面DAE 的夹角的大小为π4.19.电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50350kw h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．调价方案为：月用电量在kw h m ⋅以下（占总数的71%）的用户电价不变，月用电量在kw h m ⋅以上则电价将上浮10%．（1）求a 和m 的值；（2）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于250kw h ⋅的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间[)300,350内的户数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）0.0044,225a m ==（2）分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1可求得a 的值，结合百分位数的估计可得m 的值；（2）利用分层抽样得两组各抽取样本数，结合超几何分布求解概率即可得分布列，从而可求数学期望.【小问1详解】因为()500.00240.00360.00600.00240.00121a ⨯+++++=所以0.0044a =第一到第六组的频率依次为：0.12,0.18,0.30,0.22,0.12,0.06前三组频率之和为0.120.180.300.60++=，前四组频率之和为0.120.180.300.220.82+++=，则第71百分位数m 在[)200,250区间内，所以()0.120.180.302000.00440.71m +++-⨯=，解得225m =；【小问2详解】月用电量在[)250,300，[)300,350的频率分别为：0.12,0.06，据按比例分配的分层随机抽样可知：用电量在[)250,300，[)300,350的分别有6人，3人，从而ξ可取的值为：0，1，2，3.()()()()32112366363333339999C C C C C C 515310,1,2,3C 21C 28C 14C 84P P P P ξξξξ============故ξ的分布列为：ξ123P5211528314181则()515310123121281484Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20.已知各项非零的数列{}n a ，其前n 项的和为n S 2n a c =+．（1）若0c =，证明：221n n a a +>；（2）是否存在常数c ，使得{}n a 是等差数列？若存在，求出c 的所有可能值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，18c =.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合已知可得0n a >，再借助11n n n S S a ++-=推理即得.（2）假定存在，利用等差数列的通项公式建立关于n 的恒等式，再分析计算判断即得.【小问1详解】由0c =2n a =12a =，又数列{}n a 的首项不为零，则114a =，由20,0n n a a =≥≠，于是0n a >，由21214,4n n n n S a a S ++==，得1112240()n n n n n S a a S a +++-=-=>，所以221n n a a +>.【小问2详解】2n a c =+，得22)(n n S a c =+，有2112)(n n S a c ++=+，两式相减并整理得：1114(())n n n n n a a a a a c +++=-++，假设存在常数c ，使得{}n a 是等差数列，设公差为d ，则有114[2(21)]a nd d a n d c +=⋅+-+，因此对任意*N n ∈，2211)(8448a dn a d cd d d n +=+-+恒成立，从而21128448a a d cd d d d ⎧=+-⎨=⎩，解得10a d ==(舍去)或18c d ==，1128a =+，解得1116a =，则2116n n a -=，所以存在c ，使得{}n a 是等差数列，此时121,816n n c a -==.21.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，2AF BF =，且ABF △的面积为254．（1）求双曲线C 的方程；（2）若点B 在第一象限，且有3BFA BAF ∠=∠，求点B 的横坐标．【答案】（1）22145x y -=；（2）298+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点B 的坐标，进而求出|BF |，再结合三角形面积求出22,a b 即得.（2）设出点B 的坐标，利用斜率坐标公式及倍角的正切公式列式计算即得.【小问1详解】设双曲线的半焦距为c ，则(c,0)F ，由222222x c b x a y a b=⎧⎨-=⎩，得2(,)bB c a ±，由||2||AF BF =，得22b aa c =+，于是2()c a a -=，即35,22c a b a ==，由ABF △的面积为254，得2125()24b a c a ⋅+⋅=，解得224,5a b ==，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.【小问2详解】设()00,B x y ，其中220000,0,145x y x a y >>-=，当0x c =时，有BF AF ⊥，||2||AF BF =，则1πtan 232BAF BFA ∠=≠∠=，此时3BFA BAF ∠≠∠，因此0x c ≠，设直线AB 、BF 的倾斜角分别为,αβ，则有,πBAF BFA αβ∠=∠=-，又00tan tan(π)tan 3y BFA x ββ∠=-=-=--，00tan tan 2y BAF x α∠==+，则22222tan tan tan tan 2tan (3tan )1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan αααααααααααααα++--===-⋅--⋅-20022220000000022222000000005[3()[3(2)(4)]22[3(2)]415(2)[(2)3](2)[(2)(4)]13()2]4y y y x x x x y x y y x x y x x x x ⋅-+--+++-===++-++---+0000020000(2)(734))734)(2)(3811(2)(381)1(y x x y x x x x x +++==+-+-，当3BFA BAF ∠=∠时，有000000734)tan 3tan (2)(33(8)11y x yBFA x x x α+==-=∠+--，所以0000(734)(3)(2)(38110)x x x x +-++-=，即200429260x x -+=，解得0298x ±=，而02x >，于是0298x +=，所以点B的横坐标为298+.【点睛】关键点睛：本题第2问，设出点B 的坐标，利用斜率坐标公式，结合倍角公式列出方程是求解问题的关系.22.已知函数()2ex f x a -=，()12ln g x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，e 2.71828= 为自然对数底数．（1）证明：当1x >时，1ln 22x x x<-；（2）若不等式()()f x g x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）记()()1ln ,122x h x x x x=-->，利用导数研究单调性，结合()10h =可证；（2）构造函数()()()m x f x g x =-，根据()92ln 202m a =->确定4a ≥，再构造函数()211222e x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，利用导数求函数()x ϕ的最大值，结合（1）中结论即可确定a 的最小值.【小问1详解】记()()1ln ,122x h x x x x=-->，则()222111112111102222h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又()111ln1022h =--=，所以，当1x >时，()1ln 022x h x x x =-->，即1ln 22x x x<-.【小问2详解】令()()()21e 2ln x m x f x g x a x x x -⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，由题可知，当()0,x ∈+∞时，()0m x >恒成立.因为()92ln 202m a =->，所以9ln 22a >，因为28e >，所以ln82>，即2ln 23>，所以992ln 23223a >>⨯=，因为a ∈Z ，所以4a ≥.当(]0,1x ∈时，ln 0x ≤，故()0m x >.当()1,x ∈+∞时，不等式()()f x g x >等价于212ln ex x x x a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭>，设()222211212e 222e 2e x xx x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，由（1）知，()212ln ex x x x x ϕ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭>，()2223232e 22e xx x x x x ϕ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭'=，记()2232322n x x x x x=-++++，易知，()n x 在()1,+∞上单调递减，且()2232322220222n =-++++=，所以，当()1,2x ∈时，()0n x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0n x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减.故当2x =时，()x ϕ取得最大值()222221e 222272222e 8ϕ⎛⎫+⨯-- ⎪⎝⎭==.所以，()212ln 4e x x x x x ϕ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭>>在区间()0,∞+上恒成立，所以，整数a 的最小值为4.【点睛】本题难点有二：一是通过取特值确定4a ≥，二是利用（1）中结论进行放缩，构造函数()211222e x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，利用导数求最值即可.对于参变分离之后，函数复杂，不宜直接研究时经常采取适当放缩进行处理.。
2020.4 稽阳联考评分标准(数学)
2020年5月稽阳联考数学参考答案一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCADDACBDC二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分 11．4,3y x =± 12．42,5--13．55,4214．58 92 15．15a --= 16．40 17．31-三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。
18．（本题满分14分） （Ⅰ）33()sin cos 3sin()226f x x x x π=+=+（3分） 所以函数()f x 的周期为2π，23()3sin232f ππ== （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ），则()21cos(2)332x y f x π-+==⋅，（10分）因[0,]2x π∈， 42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-（12分）则()2y f x =的取值范围为3[,3]4（14分）（Ⅱ）另解：因[0,]2x π∈， 2[,]663x πππ+∈，所以33sin()[,3]6x π+∈（11分）则()23[,3]4y fx =∈（14分） 19．（本题满分15分）解法（1）：（Ⅰ）证：取AD 的中点O ，连结,,PO EO 由,,PO AD EO AD PO EO O ⊥⊥=I 可知AD ⊥面,PEO 且PE ⊂面,PEO 则AD PE ⊥.（6分）（Ⅱ）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）作,,PQ CD PH OE ⊥⊥连HQ ，因PH ABCD ⊥平面，知HQ CD ⊥，由60PDC ∠=o 知1DQ =，1OH DQ ==，由3PO =,在Rt PHO ∆中，可知2PH =,则()1,0,2P （10分）()0,1,0A -，()0,1,0D ，()3,0,0E ,则()()()1,1,2,3,1,0,1,1,2PD DE PA =--=-=---u u u r u u u r u u u r设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r，则30-x y x y -=⎧⎪⎨+⎪⎩得(n =r 为其中一个法向量，（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r u uu r r （14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 法二：（体积法）设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH，则PE =9分）PDE ∆中，2,PD DE PE ===所以PDE ∆为直角三角形，由A PDE P ADE V V --=可知11112233322PDE ADE S h S h h ∆∆⋅=⇒⋅=⋅⋅=（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则sin 2h PA θ==,（14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为2112()n n n n a a a a +++-=- ，所以数列1{}n n a a +-是公比为2的等比数列，（3分）则11222n n n n a a -+-=⋅=， 121211()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =21n- （7分）（Ⅱ）法1><<10分）又n b ==<= （13分）22311(()(22222222n n n n S ++≤-+-++-=-K （15分） 法（2）（数学归纳法）12n n b +=，122nn S +≤- ①当1n =时，14S =，右边24-<只要证：22<7<，所以1n =成立（9分）②假设n k =成立，即173722k k k S ++<-， 则当1n k =+，13473734k k k k k S S ++++=+<-+，要证：17310k k S ++<-，只要证：3431037k k k ++++<，只要证：34310237k k k +++<+， 只要证：234310614k k k ++<+成立，所以当1n k =+成立（14分）由①②可知，737n n S +≤-对*n N ∈成立（15分）21．（本题满分15分）（1）抛物线2:ax y C =即y a x 12=，准线方程为：a y 41-=，Θ点)1,(b P 到焦点的距离为45，1,45411=∴=+∴a a ∴抛物线C 的方程为2x y =（4分） （Ⅱ）解1：设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ， 22)2(442221+--=---=∴t t t t t t x ，同理可得212)1()1(1222++++=++-+++=t t t t t t x ，（10分）21122122x x x x x x k MN+=--=Θ，当AB MN //时，1=MN k ，得121=+x x （12分）22+--∴t t t 1212=+++++t t t ，22222++-+-=∴t t t t t ，222222++++--=∴t t t t tt 得0=t 或22+-∴t t 122-=+++t t （舍去）0=∴t （15分）解法2：设设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，（11分）同理：2222(1)10x t x t -++-=，两式相减，可知22121222()+210x x t x x x ----=，因为121=+x x ，所以122()0t x x --=，则0t =（15分）22．（本题满分15分）（1）()23f x x a x =--，23()12323x af x x x --'=-=--，所以当0a ≤， ()0f x '≥，则3[,)2+∞上递增，当0a >，()0f x '=，232a x +=，所以233[,)22a +递减，23[,)2a ++∞递增（6分） （Ⅱ）()1()f x g x -≤，可知123axx a x ke ---≤，对3[,)2x ∈+∞恒成立，取32x =，可知32102ak e≥>（7分）因1a ≥，则2323,ax x a x x ke ke -≥-≥，则1231230ax x x a x ke x x ke ----≤----≤， 123x x x ke ---≤，（10分）123xx x k e---≤，（11分） 设123()x x h x ---=，(2)(232)()23xx x h x e x ---'=-， ()0h x '=可知2x =，72x =，则函数在3[,2)2递减，7[2,)2递增，7[,)2+∞递减， 所以max 37322237111()max{(),()}max{,}22222h x h h ee e===，所以3212k e≥（15分）。
浙江省稽阳联谊学校2020届高三5月联考数学试题
1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()u C A B =U （ ） A. {2,1,1,2}-- B. {2}U = C. {1,2}U = D. {0}2.已知i 为虚数单位，其中(12)i z i +=-，则该复数z 的共轭复数是 （ ） A.2155i + B. 2155i - C. 2155i -+ D. 2155i -- 3.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （ ）A.323p B. 16643p - C. 6416p - D. 163p4.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y ì-+?ïï--?íï+?ïî，则32z x y =-的最大值是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 55.已知函数()f x ax b =+的图象如右图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是（ ）6.设0,0a b >>，则"2"a b +?是22"2"a b +?的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.设103a <<，随机变量X 的分布列为 X -2-1 1 2P13 a13a - 13则当a 在(0,)3增大时，A. D(X)增大B. D(X)减小C. D(X)先增大后减小D. D(X)先减小后增大8.已知椭圆2222:1(0)C b a by a x +=>>，12,F F 为椭圆的左右焦点，过2F 的直线交椭圆与A 、B两点，012290,2AF 3AF BF B ?=u u u r u u u u r，则椭圆的离心率为 （ ） A.255 B. 55 C. 31010 D. 10109.如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，∠ACB=60o ，D 为AC 中点，△ABD 沿BD 翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角、最小角分别记为11,a b ，直线AD 与直线BC 所成最大角、最小角分别记为22,a b ，则有 （ ）A. 12a a <,12b b £B. 12a a <,12b b >C. 12a a ³,12b b £D. 12a a ³,12b b > 10.已知数列{}n a 满足，2111n n n n a a a a +=+--+，1a a =，则一定存在a ，是数列中A.存在*n N Î，有120n n a a ++<B. 存在*n N Î，有12(1)(1)0n n a a ++--<C. 存在*n N Î，有1255()()044n n a a ++--<D. 存在*n N Î，有1233()()022n n a a ++--< 11.双曲线2213y x -=的焦距是 ，渐近线方程是 。
20.11稽阳联考数学参考答案和评分标准
点 D0 时， x + 2 y 有最大值，最大值为 | PE | .
| PA |
设 抛 物 线 y2 = −4x 上 的 点 D0 (−t 2 , 2t) ， 该 点 处 抛 物 线 切 线 为 x + ty − t2 = 0 . 令
−
1 t
=
k
AM
=−
1 ，则 t = 3
3 ，则切线 D0E : x +
A1
B1
6.解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图，
N
M
S = 11 2 + 1 2 2 3 2 + (1 + 2) 1 4 = 7 + 3 .
2
2
2
2
D
C
V
= V柱
−
2V锥
=11
2
−
2
1 3
11 2
1
=
5 3
，故选
A.
A
B
7. 解：椭圆 C2 关于点 P(x0 , y0 ) 的切点弦 AB 的方程为 3x0 x + 4 y0 y = 12 .
ab
ab
当 a = 2,b = 4 取等号.
16.解：根据题意 X 可取 2,3, 4 . P ( X = 2) = 3 2 2 + 3 2 + 2 2 = 11
2020年11月浙江省绍兴市稽阳联谊学校2021届高三毕业班联考数学答案解析
1绝密★启用前浙江省绍兴市稽阳联谊学校2021届高三毕业班上学期11月联考质量检测数学试题参考答案解析2020年11月第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.D 10.D各 题 详 细 参 考 解 答1.解：由于{|14},{|23}M x x N x x =-<<=-<<，从而{|13}MN x x =-<<，选B.2. 解：由于(1i)11222i i i z i +===-+-，则||z =.选B. 3. 解：如图，不等式组2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩的阴影部分,从而当4,2x y ==时,26y x +-有最小值2-,选A. 4. 解：由于sin ()2cos x xf x x=-为偶函数, 且()f x 在0x =右侧取值正,故选A.5. 解：充分性：log 2log 201110|1||1|b a a b a b a b >>⇒>>⇒->->⇒->-,充分性成立.必要性：取12,2a b ==,则1|1||b 1|12a ->-⇒>成立,而条件不成立,故log 2log 20b a >>是|1||1|a b ->-的充分不必要条件,故选C.6.解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成,直观图如图,()1211112247222S +⋅⋅=⨯++⨯=+11152=11221323V V V ⋅=-⋅⋅-⋅⋅⋅=柱锥,故选 A.1A 1。
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2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n) 棱台的体积公式球的表面积公式)2211(31S S S S h V ++=24R S π=其中S 1, S 2分别表示棱台的上下底面 球的体积公式：334R V π=球 （其中R 表示球的半径）面积，h 表示棱台的高第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|14},{|60}M x x N x x x =-<<=--<，则M N = （ ）A. {|14}x x -<<B. {|13}x x -<<C. {|23}x x -<<D. {|24}x x -<<2. 已知复数1iz i=-，其中i 为虚数单位，则||z = （ ） A.12B. 2C. D. 2 3. 若变量y x ,满足2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则26y x +-的最小值是 （ ）A. 2-B. 45-C. 4-D. 12-4.已知函数sin ()2cos x xf x x=-的图象可能为 （ ）A B C D5. 已知0,0a b >>，则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的 （ ） A ．充要条件B C ．充分不必要条件D 6. A.7，53 C. 3+537. 如图，已知点00(,)P x y 过点P 作椭圆222:143x y C +=直线AB 交1C 的两渐近线于点OE OF ⋅的值为A. 34C. 438. 四面体ABCD 中，,AB BC ⊥若四面体ABCD A. 23 B. 43 C. 3 D.39.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若,p m n q <<<且*,,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是 （ ）A. 22p p S p a =⋅B. p q m n a a a a >C. 1111p q m n a a a a +<+D. 1111p q m nS S S S +>+ Oxy Ox y Oxy10. 已知e 为自然对数的底数，,a b 为实数，且不等式ln (21)10x e a x b +--++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立.则当21b a ++取最大值时，a 的值为 （ ） A. 2e B. 21e - C. 3e D. 31e - 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。
11. 已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且322ππα<<，则tan α= ▲ ，sin2α= ▲ . 12. 若52345012345(2)(21)(21)(21)(21)(21)x a a x a x a x a x a x ，则012345a a a a a a +++++= ▲ ，2a = ▲ .13.已知动直线:2l y kx =-与圆22:(1)6C x y -+=交于,A B 两点.当1k =时，||AB = ▲ .当l 运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ▲ .14. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin bc A +222)0a b c +-=，则C ∠= ▲ ；若点D 是边AB 上靠近A 的三等分点，且1CD =，则ABC △面积的最大值为 ▲ . 15. 已知正实数,a b 满足121a b+=，则(1)(2)a b ++的最小值为 ▲ . 16. 袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球、2个黑球、1个红球.现从中依次取球,每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用X 表示终止取球时已取球的次数，则随机变量X 的数学期望()E X = ▲ .17. 已知平面向量,,,a b c d 满足：||||2,8a b a b a c ==⋅=⋅=.若对满足条件的任意c ，||d c -的最小值恰为||d a -.设d xa yb =+，则2x y +的最大值为_____▲_______. 三、解答题:本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．18. （本题满分14分）已知函数2()2sin ()1,[,]442f x x x x πππ=+-∈（Ｉ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式|()|2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.19. （本题满分15分）如图，三棱台111ABC A B C -中，,30AB BC ACB ︒⊥∠=，侧面11ACC A 为等腰梯形，11112224AC AA AC C C ====，13A B =. （Ｉ）求证：1AC A B ⊥.（Ⅱ）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值.20. （本题满分15分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，3a 是14a +和54a -的等比中项.数列{}n b 满足：1122(21)22n n n a b a b a bn ++++=-+·11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+. （Ｉ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（Ⅱ）若n c =1252n c c c n +++<+.21. （本题满分15分）已知椭圆221:12x C y +=左焦点，点E 为2C 的焦点. （Ｉ）过点F 的直线与2C 相切于点P ，若||PF =2C 的方程.（Ⅱ）过点E 的直线l 交2C 于,P Q 两点，点M 4OQ OM =-（O 为坐标原点），且点M 1x =-(y <<上.记PQM ∆为1S ,EFP ∆的面积为2S ，求12SS 的取值范围.22. （本题满分15分）已知函数22()2()xf x eax x a R =+-∈.（Ｉ）若()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，求实数a 的最小值. （Ⅱ）若2()()(22)g x f x e x =++有两个极值点1212,()x x x x <.（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：2122||1ln ||2e a x x a +<+<.2020年11月稽阳联考数学参考答案及评分标准第19题图第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.D 10.D各题详细参考解答1.解：由于{|14},{|23}M x x N x x =-<<=-<<，从而{|13}M N x x =-<<，选B.2.解：由于(1i)11222i i i z i +===-+-，则2||2z =.选B. 3.解：如图，不等式组2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为如图所示 的阴影部分，从而当4,2x y ==时，26y x +-有最小值2-，选A. 4. 解：由于sin ()2cos x xf x x=-为偶函数，且()f x 在0x =右侧取值正，故选A.5. 解：充分性：log 2log 201110|1||1|b a a b a b a b >>⇒>>⇒->->⇒->-，充分性成立.必要性：取12,2a b ==，则1|1||b 1|12a ->-⇒>成立,而条件不成立，故log 2log 20b a >>是|1||1|a b ->-的充分不必要条件，故选C.6.解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图，()12111132222473222S +⋅⋅=⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯=+. 11152=11221323V V V ⋅=-⋅⋅-⋅⋅⋅=柱锥，故选 A.7. 解：椭圆2C 关于点00(,)P x y 的切点弦AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034123x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得点000043,3232E x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭，同理000043(,)3232F x y x y -- ，则()()()()2222220000004836121343232OE OF x y x y x y -⋅=+==---，故选B. D 1C 1B 1A 1D B8. 解：构建直三棱柱ABE CDF -，设,G H 分别为,ABE CDF ∆∆的外心，连接GH ，取其中点O ，则O 为直三棱柱ABE CDF -的外接球的球心，也为四面体ABCD 的外接球的球心，因为异面直线AB 与CD 所成的角为60，所以60ABE ∠=. 设三棱柱底面三角形ABE ∆的外接圆半径为r，则2r ==，2sin 6023AE r ==222222cos6012AE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅⋅⇒+-⋅=， 所以22122AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅所以111sin 60332A BCDABE CDF V V AB BE BC AB BE --==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅≤故四面体ABCD 的体积的最大值为故选A. 9. 解：由于12212()()22p p p p p p a a S p a a pa ++==+≠，故选项A 错误.由于m p q n -=-，则[()][()]p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅=222[()][()]()()()()()m n m n m n a q n d a q n d a a q n d a a q n d q n d n m --⋅+--⋅=----=---22()0q n d --<，故选项B 错误.由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误. 设0x q n m p =-=->，则2()()()0pq mn n x m x mn x n m x -=+--=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.故222211()()22p q m n p q m n m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.221111(1)(1)(2)(1)(1)[][]2224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d --+---⋅=+⋅+=++22221111(2)(1)(1)(2)(1)(1)2424mn m n mn p q mn m n mn m n mna a d d mna a d d+---+---<++≤++m n S S =⋅.由此1111p q m n m n p q p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S S S S S ++++=>>=+，故选项D 正确. 故选D. 注：本题也可用特殊数列代入，利用排除法求解.AB10. 解：由于ln (21)10ln 21(1)(2)x e a x b x ex a x b +--++≤⇔+-≤+-+.此不等式对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则需要保证10a +>.令1x e =，则11ln 21(1)2a b e e+-≤+-- 从而1(1)2a b e +≥+，从而211b a e+≤+. 另一方面，当31,1a e b =-=时，ln (21)10x e a x b +--++≤即为ln 20x ex -+≤，设()ln 2(0)f x x ex x =-+>，则11'()0ex f x e x x -=-=≥得10x e <≤，故()f x 在1(0,]e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，从而1()()0f x f e≤=，即31,1a e b =-=可使不等式恒成立，从而21b a ++可取1e .综合上述，当21b a ++取最大值1e 时，31a e =-.故选D.第Ⅱ卷（非选择题部分 共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。