二次函数单调性问题

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二次函数的单调性及求参数的范围高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

专题二次函数的单调性及求参数的范围
问题 1 已知函数 f(x)的单调区间是 M 与函数 f(x) 在区间 N 上单调, 则区间 M, N 有怎样的关系?
问题2 二次函数的单调性与它的什么要素有关系?
二次函数的单调性问题
例1已知函数f (x) kx2 2x 1的减区间是[2, ), 则实数 k 的取值范围是 _______;
对抽象函数单调性的判断和证明, 仍要紧扣定义,
结合题目所给的条件, 经常采用"赋值","拆","凑"项
等方法,寻求比较 f (x2 ) f (x1) 与0的大小,比如 :
x1
( x1
x2 )
x2
或 x1
x1 x2
x2
等.
抽象函数单调性的证明与应用问题
例2已知函数 f (x)对任意 x, y R,总有f (x) f ( y) f (x y), 且当 x 0时, f (x) 0, f (1) 2 .
y (1) 判断并证明函数 f (x)的单调性; (2) 若f (2) 1, 解不等式f (x 3) f ( 1) 2.
x
课后思考
练习2 : 若函数 f (x) x2 a x 2 在(0, )上单调递增,
则实数 a的取值范围是 _[__4_,_0_] .
实数 a的取值范围是.
a 1
练习:函数 f (x) ax 1 在区间(2, )上单调递增, 则 x2
实数 a的取值范围是( B ).
A.(0, 1) B.(1 , ) C.(2, ) D.(, 1) (1, )
2
2
已知函数的单调性求参数的范围问题
例3已知函数 f (x) x3 在区间(, )上是增函数,若 f (2a 5) f (1 a),求实数 a的取值范围.

二次函数

b的取值范围为(
7 , ) 4
小结
(1)二次函数的性质(奇偶性、单调性、最值等) 始终是高考考查的重点；二次函数与一元二次方程，一元二次不等式的综合考查也是现代高考命题的重要方向。
(2)二次函数的研究，通常借助二次函数的图象直观分析，并始终贯穿函数与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化四大数学思想。
a 4 b 0 即 a 4 b
2 2
y
a 2 b
故选A
x
问题4：若方程 x 2 xk在区间［-1，1］上
2
有解，则实数K的取值范围为
错误解法：方程变形为 x ,由△≥0 2 x k 0
2
y
得k≥－1
方法一
-1 1
y x 2 x k x 1 k 1
二、问题引导：
问题1：函数 y 2
x2 2 x
的单调递减区间为
2 2 f ( x ) ax ( a a ) x 1 问题2：已知二次函数的图像关于y 轴对称，则实数a的值为( )
Ａ．0
B. 1
C. 0或1
D.不能确定
问题3：已知a>0, b>0函数 x∈R,都有f(x)≤1，则( ) b A. a ≤2 b B.a ≥2 C. a =2 问题4：若方程 x K的取值范围为
2
2 f(x )ax bx , 若对于任意
b
D.b ≤ 2a
2 xk在区间［-1，1］上有解，则实数
问题1：函数
y 2
x2 2 x
的单调递减区间为
解析
y 2
x2 2 x
的定义域为R
2
y
y x 2 x ( x 1 ) 1

二次函数的对称性与单调性

二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。

掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。

一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。

1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。

2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。

3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。

二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。

根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。

1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。

对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。

完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。

函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。

客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。

题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。

一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。

函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。

知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。

注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2.函数的单调区间必须是定义域的子集。

3.定义有两种变式。

问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2）函数的单调区间必须是定义域的子集。

3）定义有两种变式。

2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。

知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。

2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。

f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。

高中数学二次函数知识点总结

二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

第二章 2·2函数的单调性与最值

1．函数单调性的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M 称为单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(×)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1) 答案 A解析 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误． 2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 答案 C解析由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增答案 B解析由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0；由y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，知b <0.∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－b2a<0，又∵y ＝ax 2＋bx 的开口向下，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数．故选B. 4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．答案 2 25解析可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________．答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)x D ．y ＝x ＋1x(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(3)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________．答案 (1)A (2)D (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增．引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1) ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明方法一任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0，有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]．思维升华求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 (1)B (2)D解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式．规范解答(1)证明设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分] ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．[6分](2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，[8分] f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，[10分] ∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x >0时，f (x )>1，构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )<f (N )的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M 、N 的取值范围，即忽视了f (x )所在的单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法． [失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．A 组专项基础训练 (时间：35分钟)一、选择题1．下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝x 13C ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝1x 答案 D解析 y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x 在(0,1)上是减函数．故选D. 2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <b <c 答案 B解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，34) B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．答案 [3，＋∞)解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2. 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.三、解答题9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0，由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)，所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞) 答案 A解析由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2. 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．12．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，ab ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号． 14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x2>0恒成立，所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。

二次函数练习题及解析4

考点：二次函数的性质；二次函数的三种形式。
专题：配方法。
分析：（1）这个函数的二次项系数是﹣3，配方法变形成y=（x+h）2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数﹣3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
21、小明在学习二次函数时，总结了如下规律：
（1）请帮助小明补全此表①y轴②（h，k）③直线x= ；
（2）根据此表判断，如何将抛物线y=﹣2x2经过适当的平移得到抛物线y=﹣2x2+4x+1．
22、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
∵﹣2（x﹣15）2≤0，
∴当x=15时，盈利最大，最大盈利为1250元．
点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3、用配方法把函数y=﹣3x2﹣6x+10化成y=a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
（5）若自变量x满足：﹣3≤x≤1，则对应的函数值中，最大值为：0．
24、已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中：
（2）观察第（1）问表中的有关的数据，猜一猜：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论．

二次函数重难题含答案

学科教师辅导讲义教学内容(一)元二次方程的解法题型1二次函数的图像和性质例题1（2012•贵港一模）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1．考点：二次函数的性质．分析：先求x2﹣4x+3=0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围．解答：解：∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．点评：本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．例题2（2014•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=0．考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c=0．故答案为：0．点评：本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．我来试一试！（2014•武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c ＜0的解集是1＜x＜2．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：从图上可知，mx+n ＜ax 2+bx+c ，则有x ＞1或x ＜﹣；根据ax 2+bx+c ＜0，可知﹣1＜x ＜2；综上，不等式mx+n ＜ax 2+bx+c ＜0的解集是1＜x ＜2．解答：解：因为mx+n ＜ax 2+bx+c ＜0，由图可知，1＜x ＜2．点评：此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．题型2二次函数与一元二次方程根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的个数是（） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax 2+bx+c 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 1或2考点：图象法求一元二次方程的近似根．专题：计算题．分析：由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间．解答：解：∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间，故选C ．点评：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，当函数值由正变为负或由负变为正时，方程的根在这两个自变量之间．我来试一试！观察下列表格，求一元二次方程x 2﹣x=1.1的一个近似解是（） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x 0.11 0.24 .39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A ． 0.11 B ． 1.6 C ． 1.7 D ． 1.19考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：设y=x 2﹣x ，根据表格，可以看出y=x 2﹣x 在区间【1.1，1.9】上是增函数，根据函数是单调性，来确定一元二次方程x 2﹣x=1.1的一个近似解．例题1解答：解：令y=x 2﹣x ，根据表格，可以看出y=x 2﹣x 在区间【1.1，1.9】上是增函数，∴当x 2﹣x=1.1，即y=1.1时，y=x 2﹣x 的值域是【0.96，1.19】上，它对应的定义域是【1.6，1.7】， ∵与0.96相比，y=1.1更接近于1.19， ∴方程x 2﹣x=1.1的定义域更接近于1.7．故选C点评：本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．题型3实际问题与二次函数运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y （m ）与水平的距离x （m ）之间的函数关系式为y=﹣x 2+x+，则该运动员的成绩是（） A ． 6m B ． 12m C ． 8m D ．10m考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即﹣x 2+x+=0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．解答：解：由题意可知，把y=0代入解析式得：﹣x 2+x+=0，解方程得x 1=10，x 2=﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．故选D ．点评：本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x 的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．例题2例题1考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．我来试一试！（2014•杨浦区一模）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米．考点：二次函数的应用．分析：直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．解答：解：∵函数解析式为：，∴y最值===2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．题型4二次函数压轴题定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y=x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A n+1（x n+1，0）（n为正整数）．若x1=d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．或B．或C．或D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；新定义．分析：由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．例题1解答：解：直线l：y=x+b经过点M（0，），则b=；∴直线l：y=x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x=1时，y1=×1+=＜1，当x=2时，y2=×2+=＜1，当x=3时，y3=×3+=＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d=1﹣=；②若B2为顶点，由B2（2，），则d=1﹣[（2﹣）﹣1]=，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选B．点评：考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．我来试一试！如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A ．B．C．﹣2 D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．解答：解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；则∠BOC=45°，∠BOD=30°；已知正方形的边长为1，则OB=；Rt△OBD中，OB=，∠BOD=30°，则：BD=OB=，OD=OB=；故B（，﹣），代入抛物线的解析式中，得：（）2a=﹣，解得a=﹣；故选B．点评：此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键．（2013秋•禹州市校级月考）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是﹣3＜x＜1．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．专题：常规题型．分析：由图象知抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），二次项系数为1，直接写出抛物线的顶点式，展开可求出b，c值，先求出y=0时，对应x的值，再求函数值y＜0时，对应x的取值范围．解答：解：∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），二次项系数为1，∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2﹣4即y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）∴抛物线与x轴两交点坐标为（﹣3，0），（1，0）故当函数值y＜0时，对应x的取值范围上是﹣3＜x＜1．本题答案为﹣3＜x＜1．点评：本题考查了二次函数解析式与顶点坐标的联系，图象与x轴交点坐标的求法，函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．11．（2013•邵阳模拟）关于x的不等式组有解，则关于x的二次函数y=ax2+（a+1）x+1的顶点所在象限是第三象限．考点：二次函数的性质；解一元一次不等式组．专题：计算题；压轴题．分析：先解①得，x＞2，解②得，x＜，根据题意得到原不等式组的解集为2＜x＜，得到a＞4；然后根据抛物线的顶点坐标公式计算出y=ax2+（a+1）x+1的顶点的横纵坐标，再判断它们的正负，即可得到顶点所在的象限．解答：解：，解①得，x＞2，解②得，x＜，∵原不等式组有解，∴2＜x＜，∴a＞4；∴二次函数y=ax2+（a+1）x+1的顶点的横坐标=﹣＜0；顶点的纵坐标==﹣＜0，所以关于x的二次函数y=ax2+（a+1）x+1的顶点所在象限是第三象限．故答案为第三象限．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）．（2015•黄冈中学自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．考点：二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）==（﹣1≤m＜1）．∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．点评：本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=，x1x2=来化简代数式的值．知识结构小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：复习日记卡片内容：元二次方程解法归纳时间：2007年6月×日举例：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解解方程：x2﹣x﹣1=0．解：方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图所示，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．方法三：利用两个函数图象的交点求解（1）把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是一个二次函数y=的图象与一个一次函数y=图象交点的横坐标；（2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：本题是用二次函数看一元二次方程的一个典型题型，通过三种方法的解题发现，一元二次方程即可以用常规方法解，又可以函数的角度解；用函数方法解题，也有多种方法，如可看作求函数y=x2﹣x﹣1图形与x轴交点的横坐标，也可看作求一个一次函数与一个二次函数图象的交点横坐标．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=5．∴．∴原方程的解是x1=，x2=；（2）x2﹣x﹣1；（3）x2与x+1或x2﹣1与x等．点评：是一道“课题学习”，采用“学生复习日记卡片”的形式，针对一元二次方程解法的多样性的探究，在考查学生解题思维能力广阔性、深刻性的同时，还给学生提供了数学学习方法的样例，是对新教材现状难以考查学生学习过程、方法的一种新尝试．本题将代数、几何解法有机融合，借助数形结合，在考查学生学习方法探究归纳的同时，引导学生反思性学习，是一道亮点题型．[常见错误]方法一：没有选择最优的方法，能直接用公式法而去用配方法求解，以至配方时移项、开平方的错误．方法二、三：对利用图象法求方程的近似解没有掌握，无法将一元二次方程转化为函数的图象的交点求解．方法二中填写或的错误结果；方法三随意拆成二个函数，但不能转化为规定的方程．题型1二次函数的实际运用例题1（2013•内江校级一模）仁寿某商场服装柜在销售中发现：“爱童”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为迎接“元旦”节，商场决定采取适当的降价措施扩大销量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，则平均每天就可多售出8件．（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（2）如果你是老总，请算一下每件童装应降价多少元可使一天的盈利最大？最大盈利是多少？考点：二次函数的性质；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设每件童装应降价x元，那么现在可售出（20+2x），利润每件为（40﹣x），然后利用盈利1200元就可以列出方程解决问题；（2）设每件童装应降价x元，利用（1）的结果知道利润w=（40﹣x）（20+2x），此时w是关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大盈利．解答：解：（1）设每件童装应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，∴x1=10，x2=20，根据题意，x1=10不合题意，应取x=20．答：每件童装应降价20元；（2）设每件童装降价x元，则可盈利：w=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，∵﹣2∵≤0，∴当x=15时，盈利最大，最大盈利为1250元．点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．（2015•广西自主招生）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：压轴题．分析：（1）首先要根据题意表示出甬道的上底与下底的长，进而得出的函数关系式．（2）根据题意得出甬道总面积为各甬道面积之和，即150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2，（3）花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：y=5.7x+（12000﹣S）×0.02，即可求出．解答：解：（1）横向甬道的面积为：x=150x（m2）；（2）横向甬道的面积为：x=150x（m2）；甬道总面积为150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2，依题意：310x﹣2x2=××80，整理得：x2﹣155x+750=0，x1=5，x2=150（不符合题意，舍去），∴甬道的宽为5米；（3）∵花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，∴等腰梯形的面积为：（120+180）×80=12000，∵甬道总面积为S=310x﹣2x2，绿化总面积为12000﹣S，花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：∴y=5.7x+（12000﹣S）×0.02，=5.7x﹣0.02S+240，=5.7x﹣0.02（310x﹣2x2）+240，=0.04x2﹣0.5x+240，当x=﹣=6.25时，y的值最小．∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x=6米时，总费用最少．即最少费用为：0.04×62﹣3+240=238.44万元．点评：此题主要考查了属于几何型二次函数的应用题，二次函数的应用题中考的必考的知识点，往往以压轴题的身份出现，解决这类问题的关键是函数思想的确立、函数模型的建立．考查的能力有转化能力、阅读理解能力；考查的数学思想主要是数学建模思想、数形结合思想．（2015•保康县模拟）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．考点：二次函数的应用．分析：（1）根据利润=（单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．解答：解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，所以，当x=35时，w有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）方案A：由题可得20＜x≤30，因为a=﹣10＜0，对称轴为x=35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以，当x=30时，w取最大值为2000元，方案B：由题意得，解得：45≤x≤49，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，所以，当x=45时，w取最大值为1250元，因为2000元＞1250元，所以选择方案A．点评：本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．（2015•泗洪县校级模拟）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．考点：二次函数的应用．分析：（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，结合图象，只需把（10，﹣4）代入求解；（2）根据（1）中求得的函数解析式，把x=9代入求得y的值，再进一步求得水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解答：解：（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，结合图象，把（10，﹣4）代入，得100a=﹣4， a=﹣，则该抛物线的解析式是y=﹣x 2．（2）当x=9时，则有y=﹣×81=﹣3.24，4+2﹣3.24=2.76（米）．所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．点评：此题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式．（2015•黄冈中学自主招生）已知抛物线经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为（2，﹣6）．考点：二次函数综合题．例题1分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．（2015•黄冈中学自主招生）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．考点：二次函数综合题．分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．例题214．（2015•江阴市二模）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．考点：二次函数综合题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∴BC=﹣．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=3a，∴点D的坐标为（，3a）．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，∴==．故答案是：．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．例题3（2015•余姚市模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的顶点为P，连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据待定系数法将A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可；（2）利用两点之间距离公式求出，，，进而得出△PAC为直角三角形，求出面积即可；（3）首先求出点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，进而得出四边形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．解答：（1）由题意得：，解得：，∴y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴，，，∵PA2=PC2+AC2，∴∠PCA=90°，∴；（3）四边形PCED是正方形，∵点C与点D关于抛物线的对称轴对称，点P为抛物线的顶点，∴点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，∵A（﹣3，0），C（0，3），代入y=ax+b，，解得：，∴直线AC的函数关系式是：y=x+3，同理可得出：直线DP的函数关系式是：y=x+5，∴AC∥DP，同理可得：PC∥BD，∴四边形PCED是菱形，又∵∠PCA=90°，∴四边形PCED是正方形．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形与正方形的判定方法，难度不大，细心求解即可．例题1作业（2012•廛河区校级一模）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y 轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长=．（2012•贵阳模拟）如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象（如图）：（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式：（2）求出所输出的y的值中最小一个数值；（3）写出当x满足什么范围时，输出的y的值满足3≤y≤6．（2015•福建模拟）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价﹣进价）×销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）10 11 13销售量y（kg）300250150（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意得到每涨一元就少50千克，则以13元/千克的价格销售，那么每天售出150千克；（2）先判断y是x的一次函数．利用待定系数法求解析式，设y=kx+b，把x=10，y=300；x=11，y=250代。

二次函数与一元二次方程、不等式知识清单

二次函数与一元二次方程、不等式【考纲解读与核心素养】1.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．（2）三个“二次”之间的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0＝b2－4ac解不等式求方程f(x)＝0有两个不等的实有两个相等的实没有实数3.不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为>0<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为>0≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为<0<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为<0≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m .(2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M .【典例剖析】高频考点一：二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．c＝－1，＝－4，＝4，＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2(1)2+-＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝＋8.∵f(2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)4a a a a---＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数()f x 满足：任意的x ∈R ，有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，且()f x 最小值为34，()f x 与y 轴交点坐标为(0,1)（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(,)m n m n <，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和33,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如果存在，求出,m n ；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）存在；122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩【解析】（1）因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12x =是()f x 图象的对称轴，且最小值为34，故可设213()()24f x a x =-+，由13(0)144f a =+=得1a =，所以213()(24f x x =-+，即2()1f x x x =-+；（2）假设存在实数(,)m n m n <满足题意，由（1）()f x 在1(,2-∞上递减，在1(,)2+∞上递增，若12n ≤，显然不合题意；若12m n <≤，则3324m =，12m =，不合题意，所以12m ≥，2()33()2f m m f n n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,m n 是方程3()2f x x =的两不等实根，3()2f x x =，即2312x x x -+=，25102x x -+=，112x =，22x =，所以122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．高频考点二：二次函数图象的识别例2.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数(log 0a y x a =>且)1a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】当01a <<时，函数log a y x =单调递减，()21y a x x =--开口向下，对称轴在y 轴的左侧，排除C ，D ；当1a >时，函数log a y x =单调递增，()21y a x x =--开口向上，对称轴在y 轴的右侧，排除B ；故选：A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019·辽宁高考模拟（理））函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，,所以舍去A,D,当时，,所以舍去B,综上选C.高频考点三：二次函数的单调性问题例3.（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是（）A．(－∞，8]B．[40，＋∞)C．(－∞，8]∪[40，＋∞)D．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上，∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5]上为单调函数，∴18k ≤或58k≥，解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋．故选C．【总结提升】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⊆－b2a ，＋∞A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．【变式探究】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是()A．[－2，2]B．[1，2]C．[2,3]D．[1,2]【答案】B【解析】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.高频考点四：二次函数的最值问题例4.（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【答案】13-【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤，即可.22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以有13142,3a a -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-.高频考点五：二次函数的恒成立问题例5.（2019·北京高三高考模拟（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3-1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-，即：231a x x ≤--+恒成立，令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++，在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤，即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在0＜x≤3时，g （x）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥，实数a 的取值范围是1[,1]4【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(][),31,-∞--+∞ 【解析】由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立；当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x ≤+-，又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax +≤，即21111ax ⎫≥+=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-.故答案为：(][),31,-∞--+∞ .高频考点六：二次函数与函数零点问题例6.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2]【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭.因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根.因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-.因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根，即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【规律总结】1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）已知二次函数2()(2)3f x ax b x =+-+，且-1,3是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤;（2）若()(sin )g x f x =，求行数()g x 的值域【答案】（1）{}02x x x ≤≥或（2）()[0,4]g x ∈【解析】（1）由题意得213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩14a b =-⎧∴⎨=⎩∴()223f x x x =-++2233x x ∴-++≤即220x x -≥∴{}02x x x ≤≥或，（2）令[]sin 1,1t x =∈-()()[]2223140,4g t t t t =-++=--+∈∴()[]0,4g x ∈高频考点七：一元二次不等式恒成立问题例7.（2019·湖北高三月考（理））若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为()A．9B．10C．11D．12【答案】A 【解析】由[]1,5x ∈时，226x x ax b x ≤++≤恒成立可得：2226x x ax b x x-+≤+≤-+令()()2215f x x x x =-+≤≤，()()2615g x x x x =-+≤≤可得()f x ，()g x 图象如下图所示：要使b 最大，则y ax b =+必过()1,5A ，且与()y f x =相切于点B 则此时5b a =-，即直线方程为：5y ax a=+-联立252y ax a y x x =+-⎧⎨=-+⎩得：()2250x a x a +-+-=()()22450a a ∴∆=---=，解得：216a =由图象可知0a <4a ∴=-()max 549b ∴=--=本题正确选项：A 【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()2min 113111g x g ==-⨯+=-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.高频考点八：二次函数的综合应用例8．（2016·上海市松江二中高三月考）设()2f x x x a x =-+(a ∈R)(1)若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值；(2)若2a >，写出()f x 的单调区间；(3)若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）()max 9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）918t <<【解析】（1）当2a =时，()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥,∴()f x 在R 上为增函数，∴()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f ==.（2）()()()222,{2,x a x x a f x x a x x a-++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时，22a a ->，∴()f x 在(),a +∞为增函数,当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<,∴()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）由（2）可知，当22a -≤≤时，()f x 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得()()22a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭,()22224a a at +<<,即()2218a t a+<<在(]2,4有解,由()22118822a a aa +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时，()228a a+的最大值为98,则918t <<.【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.【变式探究】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围；【答案】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠（2）52n - 【解析】（1）∵2()(2)f x x m x m =+--,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∵(2)y f x =-是偶函数,∴60m -=,∴6m =.∴2()46f x x x =+-,∴6()4(0)g x x x x=-+≠.（2）令ln x t =,∵21,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴[2,0)t ∈-,不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立,等价于()0g t nt - 在[2,0)t ∈-上恒成立,∴2264646411t t n t t t t t-+=-+=-++ .令2641z t t =-++,1s t =,则12s - ,256412z s s =-++-,∴52n -.。

二次函数主要题型

二次函数主要题型
二次函数的主要题型包括以下几种：
1. 求解二次函数的解析式：给定二次函数的顶点坐标或对称轴，求解析式。

2. 二次函数的图像和性质：分析二次函数的图像，如开口方向、顶点位置、对称轴等。

3. 二次函数的恒等式：求解二次函数的恒等式，如两个二次函数相等、相减、相加等。

4. 二次函数的零点：求解二次函数的零点，即求解方程y=ax^2+bx +c=0的根。

5. 二次函数的区间：分析二次函数在特定区间的性质，如单调性、极值、最值等。

6. 二次函数的应用：将二次函数与实际问题结合，如求解最值问题、优化问题等。

7. 二次函数的平移：给定二次函数的解析式，求其在x轴或y轴上的平移后的解析式。

8. 二次函数的缩放：给定二次函数的解析式，求其在x轴或y轴上的缩放后的解析式。

9. 二次函数的复合函数：分析二次函数与其他函数的复合关系，如二次函数与三角函数、指数函数、对数函数等的复合。

10. 二次函数的极限：分析二次函数在特定条件下的极限值。

以上就是二次函数的主要题型！。

二次函数的增减性及最值的典型试题

二次函数的增减性及最值的典型试题一.选择题1.函数y=-2χ2-8x+m的图象上有两点A(x1，y1),B(x2,y2),若-2VXlVX2，则( )A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.v、、y2的大小不确定2.已知二次函数y=aχ2-2ax+1(a<0)图象上三点A(-1,y1),B(2,y2)C(4,y3),则力、V2、丫3的大小关系为( )A.yι<y2<y3B.y2<yι<y3C.y1<y3<y2D.y3<yι<y23.已知(-1,yι),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2χ2-8x+m上的点，则( )A.y,<y2<y3B.y3<y2<y,C.y3<yι<y2D∙y2<y3<yι4.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线尸一1/2A2+2X上，则下列结论正确的是()A.y,<y2<y3B.y2<y,<y3C.y3<yι<y2D.yι<y3<y25.设A(-2,yι),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则力，V2,丫3的大小关系为( )A.yι>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y,>y2:6.)A.y,<y2B.y1>y2C.y,≥y2D.y t≤y27.若点A(m,y,),B(m+1,y2)都在二次函数y=ax?+4ax+2(a>O)的图象上，且y,<y2,则m的取值范围是( )A.m>-5/2B.m≥-2C.m<-1D.m≤-38.若二次函数y=aχ2+bx+c(a≠O)的图象上有两点，坐标分别为(x∣,y,),(x2,y2),其中x∣VX2,yy2VO,则下列判断正确的是( )A.a<OB.a>OC.方程aχ2+bx+c=O必有一根X。

2020年高考数学(理)函数与导数专题04 二次函数及其性质(解析版)

函数与导数04 函数二次函数及其性质一、具体目标：1.掌握二次函数的图象与性质,2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间. 二、知识概述：二次函数1.一元二次方程的相关知识：20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：；判别式与根的关系：________________________；求根公式：_____________________；韦达定理：____________________.ac b 42-=∆；⎪⎩⎪⎨⎧∈<∆==∆≠>∆φx x x x x ,0,0,02121；aac b b x242-±-=；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 2.二次函数的相关知识： 2(0)y ax bx c a =++≠定义域：________________________；值域：________________________；对称轴方程：____________________；顶点坐标：____________________；与y 轴的交点坐标：______________. 二次函数的顶点式：______________.二次函数的零点式：__________________；与x 轴的交点坐标：_______________________；定义域：R ；值域：),44[,02+∞->abac a ；]44,(,02ab ac a --∞< 【考点讲解】对称轴方程：ab x 2-=；顶点坐标：)44,2(2a b ac a b --；与y 轴的交点坐标：),0(c .二次函数的顶点式：h k x a y +-=2)(.二次函数的零点式：))((21x x x x a y --=；与x 轴的交点坐标：)0,24(2aacb b -±-； 3.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调性：当0a >时，单调增区间是___________；单调减区间是__________. 当0a <时，单调增区间是___________；单调减区间是__________.0>a 时),2(+∞-a b ；)2,(a b --∞．0<a 时)2,(a b --∞；),2(+∞-ab4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在某一闭区间上的最值：首先确定二次函数的顶点：_______________ ①若顶点的横坐标在给定的区间上，则：0a >时，在顶点处取得最____值，为_______，在离对称轴较远的端点取得最____值. 0a <时，在顶点处取得最____值，为_______，在离对称轴较远的端点取得最____值.②若顶点的横坐标不在给定的区间上，则：0a >时，最___值在离对称轴较近的端点处取得，最___值在离对称轴较远的端点处取得. 0a <时，最___值在离对称轴较近的端点处取得，最___值在离对称轴较远的端点处取得.)44,2(2a b ac a b --；①小，a b ac 442-，大；大，ab ac 442-，小 ②小大大小5.考点探析：从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.6.温馨提示：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 7.根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：（1）已知三个点的坐标，可选用一般式；（2）已知顶点坐标、对称轴、最大或最小值，可选用顶点式；（3）已知抛物线与x 轴的两交点坐标，可选用两点式. 【常见题型】1.二次函数的解析式：（1）已知二次函数的图象经过三点错误!未找到引用源。

函数单调性和二次函数解析版

专题3 函数的单调性【知识回顾】1．函数在区间上增加(减少)的定义2．单调区间、单调性和单调函数的概念 (1)函数的单调区间如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数的单调性如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．【典例应用】类型一用定义判断或证明函数的单调性【例1】证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数．[思路探究] 在(0,1)上任取x 1，x 2且x 1＜x 2，通过作差比较法证明f (x 1)＞f (x 2)． [解] 任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1 ＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2，由0<x 1<x 2<1，得x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0，所以，f (x 2)－f (x 1)<0，于是f (x 2)<f (x 1)．根据减函数的定义知，f (x )在(0,1)上为减函数．练习：对于例1中的函数，证明其在区间(1，＋∞)内是增函数．[证明] 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2，由x 2>x 1>1，得x 2－x 1>0，x 1x 2－1>0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，于是f (x 2)>f (x 1)，根据增函数的定义知，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．类型二已知函数的单调性求参数的取值范围【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋1在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a 的取值范围．[思路探究] 求出f (x )的单调递减区间，利用集合之间的关系求解． [解] ∵f (x )＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋1. ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，1－a ]．又f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，则(－∞，4]⊆(－∞，1－a ]， ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.练习1．设函数f (x )＝(1－2a )x ＋1是R 上的增函数，则有( ) A ．a <12 B ．a >12 C ．a <－12D ．a >－12A [依题意，1－2a >0，解得a <12.]2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1ax ，x >1是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．－3≤a ≤－2 [依题意，⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a1，类型三利用单调性求函数的最大(小)值【例3】求函数f (x )＝2x ＋1x ＋1在区间[1,3]上的最大值与最小值．[思路探究] 先判断函数f (x )在区间[1,3]上的单调性，再利用单调性求最值． [解] f (x )＝2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)－1x ＋1＝2＋－1x ＋1.其图像如下：由上图知，f (x )在区间[1,3]上递增，所以，f (x )max ＝f (3)＝2＋－13＋1＝74； f (x )min ＝f (1)＝2＋－11＋1＝32. 练习求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最值． [解] f (x )＝x x －1＝(x －1)＋1x －1＝1＋1x －1.其图像如下：由上图知，f(x)在[2,5]上递减，所以，f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(5)＝5 4.【等级过关练】1．函数f(x)的部分图像如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是()A．－1,3B．0,2C．－1,2 D．3,2C[当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.]2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝1x D．y＝－|x＋1|B[y＝3－x，y＝1x，y＝－|x＋1|在(0,2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．]3．已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0 C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0A[因为y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.] 4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )D [因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，所以a 2＋1>a ，又f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2＋1)<f (a )．] 5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图像上的两点，那么|f (x ＋1)|<1的解集是( )A ．(1,4)B ．(－1,2)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B [因为|f (x ＋1)|<1，所以－1<f (x ＋1)<1，由题意知，0<x ＋1<3，所以－1<x <2.]6．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．f (－3)>f (－π) [由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数，又因为－3>－π，所以f (－3)>f (－π)．]7．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{x ＋1,3－x }(x ∈R )的最小值是________．2 [函数f (x )的图像如图(实线部分)，故f (x )的最小值为2.]8．若函数y ＝kx ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则k ＝________.1 [当k >0时，y ＝kx ＋1是增函数，所以，3k ＋1＝4，k ＝1；当k ＝0时，不合题意；当k <0时，y ＝kx ＋1是减函数，所以，k ＋1＝4，k ＝3(舍去)．综上得，k ＝1.]9．用定义证明函数f (x )＝1x是减函数． [证明] f (x )的定义域是(0，＋∞)，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝x 1－x 2(x 1＋x 2)x 1x 2，由x 2>x 1>0，得x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，所以，f (x 2)－f (x 1)<0，于是f (x 2)<f (x 1)．根据减函数的定义知，f (x )是减函数． 10．判断函数f (x )＝x －2x ＋1(x ≥0)的单调性，并求出值域． [解] f (x )＝x －2x ＋1＝x ＋1－3x ＋1＝1－3x ＋1，设0≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 2＋1＝3x 2＋1－3x 1＋1＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，因为0≤x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )＝x －2x ＋1在[0，＋∞)上为增函数．f (x )min ＝f (0)＝－2，无最大值．画出函数的大致图像，如图所示，知函数f (x )＝x －2x ＋1(x ≥0)的值域为[－2,1)．专题4 二次函数的图像【知识回顾】1．函数y ＝x 2与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍得到．其中a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小． |a |越大，开口越小．2．函数y ＝ax 2(a ≠0)与函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像 y ＝ax 2――――――――――――→h >0向左平移h 个单位h <0，向右平移|h |个单位y ＝a (x ＋h )2――――――――――――→k >0，向上平移k 个单位k <0，向下平移|k |个单位y ＝a (x ＋h )2＋k .【典例应用】类型一二次函数图像间的变换【例1】若把函数y ＝x 2－6x ＋6图像的横坐标缩小到原来的12倍，得到图像C 1，再把C 1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C 2，试写出图像C 2的解析式．[解] y ＝x 2－6x ＋6―――――――→横坐标缩小到原来的12倍y ＝(2x )2－12x ＋6＝4x 2－12x ＋6――――――→纵坐标扩大到原来的2倍y 2＝4x 2－12x ＋6，即y ＝8x 2－24x ＋12.所以图像C 2的解析式为y ＝8x 2－24x ＋12.练习二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图像，则b ＝________，c ＝________.－6 6 [二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y ＝(x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ＋3.整理得，y ＝x 2＋(b ＋4)x ＋7＋2b ＋c ，又y ＝x 2－2x ＋1，则⎩⎨⎧b ＋4＝－2，7＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝－6，c ＝6，∴b ＝－6，c ＝6.]类型二求二次函数的解析式【例2】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且过点P (2,0)，求这个函数的解析式．[思路探究] 已知二次函数的图像的顶点(1，－3)，可设其解析式为y ＝a (x －1)2－3，再利用其图像过点(2,0)求a .[解] 因为二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，所以，可设其解析式为y ＝a (x －1)2－3. 又其图像过点P (2,0)，则a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3.所以，这个函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3.练习1．已知二次函数的图像与x 轴的交点为A (－1,0)和B (1,0)，且与y 轴的交点为(0，－1)，求这个函数的解析式．[解] 因为二次函数的图像与x 轴的交点为A (－1,0)和B (1,0)，所以，可设其解析式为y ＝a (x －1)(x ＋1)．又其图像与y 轴的交点为(0，－1)，则a (0－1)(0＋1)＝－1，解得a ＝1.所以，这个函数的解析式为y ＝(x －1)(x ＋1)＝x 2－1.2．已知二次函数的图像过点A (1,1)，B (0,2)，C (3,5)，求这个函数的解析式． [解] 设这个函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，所以，这个函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2. 类型三二次函数图像的应用【例3】求函数f (x )＝x |x －1|的单调区间．[思路探究] 画出函数f (x )的图像，通过观察函数的图像求其单调区间． [解] f (x )＝x |x －1|＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥1，－x 2＋x ，x <1.其图像如下：观察图像，得f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，[1，＋∞)．递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.练习：如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的一部分，图像过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的序号是________．①④ [由该函数图像与x 轴交于两点，得b 2>4ac .①正确；因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，即2a－b＝0.②错误；结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；因为图像开口向下，所以，a<0，所以5a<2a＝b.④正确．]【等级过关练】1．用配方法将函数y＝12x2－2x＋1写成y＝a(x－h)2＋k的形式是()A．y＝12(x－2)2－1B．y＝12(x－1)2－1C．y＝12(x－2)2－3 D．y＝12(x－1)2－3A[y＝12x2－2x＋1＝12(x2－4x＋4)－1＝12(x－2)2－1.]2．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则此函数的解析式可能为()A．y＝12x2－12x－3B．y＝12x2－12x＋3C．y＝－12x2＋12x－3D．y＝－12x2－12x＋3A[由图像可知，抛物线开口向上，a>0，顶点的横坐标为x＝－b2a>0，故b<0，图像与y轴交于负半轴，故c<0.]3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则()A．a＝1，b＝－4，c＝－11B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝11D．a＝3，b＝－12，c＝11D [由题意c ＝11，－b 2a ＝2，44a －b 24a ＝－1，所以a ＝3，b ＝－12.]4．将抛物线y ＝2(x －4)2－1如何平移可得到抛物线y ＝2x 2( )A ．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C [抛物线y ＝2(x －4)2－1的顶点是(4，－1)，抛物线y ＝2x 2的顶点是(0,0)，图像平移时，把点(4，－1)平移至(0,0)．故选C.]5．函数y ＝ax ＋1与y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图像可能是( )C [当a >0时，y ＝ax 2＋bx ＋1开口向上，y ＝ax ＋1递增且过(0,1)点，D 不符合，C 符合要求．当a <0时，y ＝ax 2＋bx ＋1开口向下，y ＝ax ＋1递减且过(0,1)点，A 、B 不符合，故选C.]6．若函数f (x )＝ax 2＋2x －4的图像位于x 轴下方，则a 的取值范围是________．a <－14 [依题意，⎩⎨⎧a <0，Δ＝4＋16a <0，解得a <－14.] 7．如果一条抛物线的形状与y ＝13x 2＋2的图像形状相同，且顶点坐标为(4，－2)，则它的解析式是________．y ＝±13(x －4)2－2 [依题意，二次项系数为±13，又顶点为(4，－2)，故其解析式为y ＝±13(x －4)2－2.]8．把函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位长度，得到函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝________.1 [依题意，m －2＝－1，解得m ＝1.]9．通过配方，把二次函数由一般式化成顶点式，并写出对称轴方程与顶点坐标．[解] 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a 2＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，其对称轴方程为x ＝－b 2a ，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a . 10．由函数y ＝2(x －1)2＋1的图像通过怎样的变换可以得到函数y ＝x 2的图像？[解] y ＝2(x －1)2＋1――――――――――→向左平移1个单位长度y ＝2x 2＋1――→向下平移1个单位长度y ＝2x 2――――――――――→横坐标不变纵坐标变为原来的12倍y ＝x 2.。

高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．【答案】（1）,（2）．【解析】（1）求二次函数解析式，一般用待定系数法，如何设二次函数解析式是解题关键.本题设零点式比较到位. ∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且∴,由方程得，∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而,（2）由∴解得或.解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且 2分∴由方程得， 4分∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 6分⑵由∴ 8分∴解得或 11分∴实数的取值范围是． 12分【考点】二次函数解析式2.已知，是R上的增函数，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题题意：有解得故选A.【考点】1.分段函数的单调性；2.对数函数、一次函数的单调性.3.若函数在上单调递减，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）当时，函数变为，由一次函数的性质知，在R上是减函数，符合题意；（2）当时，，对称轴为，根据在上单调递减，可判断出函数开口向上，解得：；综上：，故选：C.【考点】二次函数的图像与性质4.已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴截得的线段长为6.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若在区间上单调，求的范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】（Ⅰ）由题意可设函数的顶点式为，结合图像在轴截得的线段长为6可知，点即为函数图像与轴的交点，将点代入可求得的解析式；（Ⅱ）函数在上单调，可能有递增和单调递减两种情况，若在上单调增，则左端点；若在上单调减，则右端点.试题解析：（Ⅰ）由题意，过点，5分7分（Ⅱ）①在区间上单调增，则 10分②在区间上单调减，则，即 13分综上：时，在区间上是单调的. 14分【考点】二次函数的表达式，二次函数的图像及其单调性.5.把长为10cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值。

2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于对称。

（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于对称。

（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。

二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞．考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。

二次函数增减性全部题型

二次函数的增减性全部题型1.函数y=-2x²-8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若-2＜x1＜x2，则（）A.y1＜y2 B．y1＞y2C．y1=y2 D．y1 、y2的大小不确定2.已知二次函数y=ax²-2ax+1（a＜0）图象上三点A（-1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A.y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y23.已知（-1，y1），（-2，y2），（-4，y3）是抛物线y=-2x²-8x+m 上的点，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y14.若点M（-2，y1），N（-1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝−0.5 x²+2x上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y25．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）²+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y26．已知二次函数y=ax²+bx+c中，其函数y 与自变量x之间的部分对应值如下表所示：X …0 1 2 3 …Y … 5 2 1 2 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2B．C．y1≥y2 D．y1≤y27.若点A（m，y1），B（m+1，y2）都在二次函数y=ax²+4ax+2（a ＞0）的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是（）A.m＞- 5/2 B．m≥-2C．m＜-1 D．m≤-38.若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象上有两点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，y1y2＜0，则下列判断正确的是（）A.a＜0 B．方程ax2+bx+c=0必有一根x0满足x1＜x0＜x2 C．a＞0 D．y1＜y29．已知抛物线y=-（x-1）²+m（m是常数），点A（x1，y1），B （x2，y2）在抛物线上，若x1＜1＜x2，x1+x2＞2，则下列大小比较正确的是（）A．m＞y1＞y2 B．m＞y2＞y1C．y1＞y2＞m D．y2＞y1＞m10.已知抛物线y=x²-（4m+1）x+2m-1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点（0，−0.5）的下方，那么m的取值范围是（）A．1/6＜m＜1/4 B．m＜1/6C．m＞1/4 D．全体实数11．若函数y=mx²-（m-3）x-4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．0 B．1或9 C．-1或-9 D．0或-1或-912．二次函数y1=ax²+bx+c(a＞0)与一次函数y2=kx+b的交点A，B 的坐标分别为（1， -3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6C．-3＜x ＜1 D．x＜-3或x＞113.已知二次函数y=-x²+2x，当-1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（）A. a＞ 1 B．-1＜a≤1C．a＞0 D．-1＜a＜214.已知二次函数y=x²+（m-1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=-1 B．m=3 C．m≤-1 D．m≥-115.已知二次函数y=-x²+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A.y≥3 B．y≤3C．y＞3 D．y＜316.已知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x²-4x+m上的点,则y1,y2,y3的大小关系( )A. y1<y2<y3B. y2<y1<y3C. y1<y3 < y2D. y3 < y2 < y117.若二次函数y=(x-m)²-1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m 的取值范围是（）A．m=l B．m>l C．m≥l D．m≤l18.直线y1=x+1与抛物线y2=-x²+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜-2 B．x＞1C．-2＜x＜1 D．x＜-2或x＞119.已知抛物线y=ax²+2ax+4(0<a<3),A（x1，y1）B(x2，y2)是抛物线上两点，若x1>x2,且x1+x2=1－a, 则（）A. y1< y2B. y1= y2C. y1> y2D. y1与y2的大小不能确定。

二次函数单调性

二次函数单调性一、选择题1．抛物线y ＝x 2－mx ＋m －2与x 轴交点的情况是( )A ．无交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．无法确定【解析】因x 2－mx ＋m －2＝0的判别式Δ＝(－m )2－4(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4>0，故方程有不相等的两个根．【答案】 C2．函数f (x )＝ax 2＋2(a －3)x ＋1在区间(－2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．(－∞，－3]C ．[－3,0)D ．[－2,0]【解析】当a ＝0时，f (x )＝－6x ＋1显然成立；当a ≠0时，要使f (x )在(－2，＋∞)上是减函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2(a －3)2a ≤－2，解得－3≤a <0.综上可知，a 的取值范围是[－3,0]．【答案】 A3．函数f (x )＝x 2－mx ＋4(m >0)在(－∞，0]上的最小值是( )A ．4B ．－4C ．与m 的取值有关D ．不存在【解析】由于f (x )的对称轴为x ＝m 2>0，f (x )在(－∞，0]上单调减少，因此，f (x )的最小值是f (0)＝4.【答案】 A4．已知二次函数f(x)＝ax2－6ax＋1，其中a>0，则下列关系中正确的是() A．f(2)<f(3) B．f(2π)>f(π)C．f(5)<f(3) D．f(－1)<f(1)【解析】函数f(x)＝ax2－6ax＋1的对称轴为x＝3，其图像开口方向向上，离对称轴越近，对应的函数值越小．∵2π－3>π－3，∴f(2π)>f(π)．故选B.【答案】 B5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.56万元C．45.6万元D．45.51万元【解析】设该公司在甲地销售了x辆车，在乙地销售了(15－x)辆车，获得的总利润为y，由题意得y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)．此函数的图像开口向下，对称轴为直线x＝10.2，∴当x＝10时，y取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．【答案】 C二、填空题6．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则b＝________.【解析】由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，又1－a＝b－1得b＝6.【答案】 67．(2013·四平高一检测)若f(x)＝－x2＋4x＋k，x∈[0,1]的最大值为2，则f(x)的最小值为________．【解析】由于f(x)＝－x2＋4x＋k＝－(x－2)2＋k＋4，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝k＋3＝2，∴k＝－1，f(x)min＝f(0)＝k＝－1.【答案】－18．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图像与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则下列关于函数f (x )单调性的说法正确的是________(填序号)．①在(－∞，2]上是减少的；②在[2，＋∞)上是增加的；③在(－∞，3)上是增加的；④在[1,3]上是增加的．【解析】由题意知，f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝0的两根分别x ＝1和x ＝3.所以1＋3＝－a,1×3＝b ，即a ＝－4，b ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，在(－∞，2]上单调减少，在[2，＋∞)上单调增加，故选①②正确．【答案】 ①②三、解答题9．已知：二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g (x )＝－2x 2－x －2，f (x )图像的对称轴为x ＝－1，且过点(0,6)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在[－2,3]上的最大值和最小值．【解】 (1)设f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2×(－2)＝－1，c ＝6，∴⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝6， ∴f (x )＝－2x 2－4x ＋6.(2)∵f (x )＝－2(x ＋1)2＋8，x ∈[－2,3]，∴x ＝－1时，f (x )max ＝8，x ＝3时，f (x )min ＝－24.10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R )与销售量(t )的关系可用抛物线表示如图2－4－2.图2－4－2(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．【解】(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋25 2，由t＝0时，R＝0，得a＝－1 2.∴R＝－12(t－5)2＋252(0≤t≤5)；(2)年纯收益y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋194t－0.5，当t＝194＝4.75时，y取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．11．求二次函数f(x)＝x2－2x＋2在[t，t＋1]上的最小值．【解】∵函数图像的对称轴是x＝1，∴当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)min＝f(1)＝1.当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴f (x )min ＝⎩⎨⎧ t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.。

二次函数的最值与单调性

二次函数的最值与单调性二次函数是指拥有形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

本文将讨论二次函数的最值和单调性。

一、最值二次函数的最值可以通过其抛物线的开口方向来确定。

如果a > 0，抛物线开口向上，该二次函数的最小值就是它的顶点；如果a < 0，抛物线开口向下，该二次函数的最大值同样是它的顶点。

1. 最小值当二次函数的开口向上且a > 0时，我们可以通过求解顶点的坐标来得到最小值。

顶点的x坐标可以通过公式x = -b / (2a)计算得出，而对应的y值即为最小值。

举个例子，考虑函数y = x^2 + 2x + 1，通过计算可得到顶点坐标(-1, 0)，因此最小值为0。

2. 最大值当二次函数的开口向下且a < 0时，同样可以通过顶点的坐标来计算最大值。

顶点的求解方式与上述相同，只是它对应的y值即为最大值。

举个例子，考虑函数y = -x^2 + 2x - 1，通过计算可得到顶点坐标(1,0)，故最大值为0。

二、单调性二次函数的单调性取决于a的正负性。

当a > 0时，二次函数为增函数；当a < 0时，二次函数为减函数。

1. 增函数当二次函数的a > 0时，表示抛物线开口向上，函数呈现出向上的凸性。

这意味着随着自变量的增大，函数值也随之增大。

举个例子，考虑函数y = x^2，可以看到，随着x的增加，y的值逐渐增大。

2. 减函数当二次函数的a < 0时，表示抛物线开口向下，函数呈现出向下的凹性。

这表明随着自变量的增大，函数值会减小。

举个例子，考虑函数y = -x^2，可以观察到，随着x的增加，y的值逐渐减小。

总结：二次函数的最值和单调性可以通过抛物线的开口方向、顶点以及a 的正负性来确定。

对于最值，当抛物线开口向上时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，二次函数的最大值同样为顶点的纵坐标。

对于单调性，当a > 0时，二次函数为增函数；当a < 0时，二次函数为减函数。

二次函数的单调性分析

二次函数的单调性分析二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c （其中a≠0）的函数，它是一个关于x的二次多项式函数。

在这篇文章中，我们将重点讨论二次函数的单调性分析。

一、二次函数的基本性质1. a的正负决定开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 顶点坐标在二次函数的图像中，顶点是其中最高或最低点的坐标。

顶点的横坐标可以通过公式 x = -b/(2a) 计算得出，纵坐标可以通过将横坐标代入函数中计算得出。

3. 对称轴二次函数的图像存在对称轴，对称轴是通过顶点的垂直直线。

对称轴的方程可以通过公式 x = -b/(2a) 得到。

二、二次函数的单调性判断方法要判断二次函数的单调性，我们需要考虑两种情况：当二次函数开口向上和开口向下。

1. 当二次函数开口向上时（a>0）由于二次函数是一个抛物线形状的图像，开口向上的二次函数在对称轴的左侧是递减的，在对称轴的右侧是递增的。

因此，该二次函数在对称轴的左侧是单调递减的，在对称轴的右侧是单调递增的。

2. 当二次函数开口向下时（a<0）对于开口向下的二次函数，情况与开口向上时相反。

在对称轴的左侧是递增的，在对称轴的右侧是递减的。

因此，该二次函数在对称轴的左侧是单调递增的，在对称轴的右侧是单调递减的。

三、实例分析为了更好地理解二次函数的单调性分析，我们来看两个具体的例子。

示例1：考虑函数 y = 2x^2 + 3x - 1 。

首先，我们可以看出a的值为2，因此二次函数开口向上。

根据公式 x = -b/(2a) ，我们可以计算出对称轴的横坐标为 x = -3/4 。

对称轴左侧的一点 A：取 x = -4，计算 y = 2(-4)^2 + 3(-4) - 1 = 17对称轴右侧的一点 B：取 x = -2，计算 y = 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 = 1根据计算结果，我们可以得知：对于 x < -3/4 ，函数 y = 2x^2 + 3x - 1 单调递减；对于 x > -3/4 ，函数 y = 2x^2 + 3x - 1 单调递增。