概率论与数理统计第五节 条件概率.ppt5(最新版)

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
6 2 P( B A) . 9 3
例2 一个人口调查结果表明,深色眼睛的父亲和深色 儿子占被调查者的5%,深色眼睛的父亲和浅色眼睛的 儿子占7.9%,浅色眼睛的父亲和深色眼睛的儿子占 8.9%,浅色眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子占78.2%.问 父子的眼睛深浅色有无联系? 解: 设A:=父亲有深色眼睛,B:=儿子有深色眼睛.由 题意知道:P(AB)=5% P(B|A)=0.39 P(AB) 7.9%, P(AB) 8.9% P(A|B)=0.36 由此可见,P(B|A),P(A|B) P(AB) 78.2% 都比P(A),P(B)大得多,故 P(A) P(AB)+P(AB) 0.129 事件A对事件B有影响的, P(B) P(AB)+P(AB) 0.139 即 有关
设B1 , B2 ,...是两两互不相容的事件，则有： P(Bi | A) P(Bi | A)
i =1 i 1
另外有
P(|A)=0
P(B | A) 1 P(B | A)
性质(条件概率一般加法公式) 对于随机事件
B1, B2和A, 一般加法公式成立：
P( B1 B2 | A) P( B1 | A) P( B2 | A) P( B1B2 | A)
球,则 P(A)=0.6,P(B)=0.6
因为，AB样本点有6个，事件A的样本点有12个，
则
#(AB) 6 6 P(B A )= = #( A) 12 12
#(AB) #(AB) / # S P( AB) P(B A )= = #( A) #( A) / # S P( A)
若事件A已发生, 则为使 B也 发生 , 试验结果必须是既在 A 中 又在B中的样本点 , 即此点必属于 AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新的样本空间 。
A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}
AB={(1,2), (1,3), (2,1), (2,3),(3,1),(3,2)}
所以
P( AB) 6 /12 2 P( B A) . P( A) 9 /12 3
解：设事件Ai: 第i次被击落 则
P( A1 ) 0.3, P( A2 A1 ) 0.3, P( A3 A1 A2 ) 0.4
（1）B：甲被击落，则
P( B) P( A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 0.21
（2）C：乙被击落，则
P(C ) P( A1 A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 0.496
r (n 2 1)c b bc p * *.... br brc b r (n 1)c
当c=0时，对应着有放回抽样 当c=-1时，对应着无放回抽样 当c>0时，每次取球增加了下一次取到同样颜色球的 概率，这对应着传染病模型中每次传染后都增加了再 传染的概率．
例题4 在空战训练中甲机先向乙机开火，击 落乙机的概率为0.2；若已机未被击落，就 进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机 未被击落，则再攻击乙机，击落乙机的概 率是0.4，求在这几个回合中： （1）甲机被击落的概率； （2）乙机被击落的概率。
练习：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次 落下的打破的概率为1/2，若第一次落下未打 破，第二次落下的概率为7/10，若前两次落 下未打破，第三次落下打破的概率为9/10， 试求透镜落下三次而未打破的概率。
三
全概率公式与贝叶斯公式
1 样本空间的划分(完备事件组)
设S为试验E的样本空间，B1 , B2 ...Bn为E的一组事件，若 1 Bi B j , i j , i, j 1, 2,...n ） 2)
第五节 条件概率
教学内容
1 条件概率; 2 乘法公式; 3 全概率公式与贝叶斯公式
教学重点
条件概率公式的计算公式,乘法公式,全概率公 式与贝叶斯公式的应用
一 条件概率
引例 设袋中有5个球,其中3个红球,2个白 球,无放回地抽取2次,每次一个,试求: 1) 第二次取到红球的概率; 2) 已知第一次取到红球,求第二次取到红球 的概率 解 A:第一次取到红球,B:第二次取到红球, B|A:在第一次取到红球的情况下,第二次取到红
全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和. 我们还可以从另一个角度去理解:全概率公式
某一事件A的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果A是由原因Bi 所引起，则A发生 的概率是 P(AB )=P(B )P(A|B )
每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原 因引起A发生概率的总和，即全概率公式。
例1 从设在4个同一型号的元件中有3个一 等品,1只二等品。这些元件中不放回地连续 取两次,每次取一个元件,求在第一次取得一等 品的条件下,第二次取得一等品的概率。
解：记事件A为“第一次取得一等品”，事件B为“第 二次取得一等品”。 S={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), …, (4,2),(4,3)},
25 （0.14， ） 37
例题3 波利亚罐子模型 设一个罐子中有b只黑球和r只红球,随机地从中取 出一只球,然后把原球放回并加进与取出的球同色的 球c只,再第二次取球,这样下去共取了4次,试求第一、 二次取出黑球且第三、四次取到红球的概率。
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 ) b bc r r c b r b r c b r 2c b r 3c
波利亚罐子模型 设一个罐子中有b只黑球和r只红球,随机地从中取 出一只球,然后把原球放回并加进与取出的球同色的 球c只,再第二次取球,这样下去共取了n次,试求前 n1 次取出黑球,后 n 2 n n1 次取出红球的概率。
• 内容简介: 在自然界及人类的活动中, 存在 着许多互相联系、互相影响的事件. 有时我 们还要提出附加的限制条件, 也就是要分析 “在事件A已经发生的前提下事件B发生的 概率”,这就是条件概率问题. 我们主要学习 条件概率计算公式、概率乘法公式、全概 率公式和贝叶斯公式. 这一节特别重要，一 定要学好.
特别地, 当B1, B2 互不相容时, 加法公式成立：
P( B1 B2 | A) P( B1 | A) P( B2 | A)
• 讲评:
• 计算条件概率P(B|A)有两种方法： • 方法1: 在样本空间S的缩减样本空间A 中计 算B 发生的概率, 得到P(B|A). • 方法2 在样本空间S中, 计算P(AB) b (b r ) , P( A2 ) (b c) (b r c) ..., P( An1 | A1... An1 1 ) [b ( n1 1)c] [b r ( n1 1)c] P ( An1 1 | A 1... An1 ) r (b r n1c) ,... P ( An | A1... An1 An1 1... An-1 ) [ r ( n2 1)c] [b r ( n 1)c]
把 A1 , A2 , , An 看作该过程的若干个原 因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
二 乘法公式
1 乘法定理 设P(A)>0,则有P(AB)=P(B|A)P(A) 设P(B)>0,则有P(AB)=P(A|B)P(B) 类似地: P(AB)>0,则有: P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)
一般地 设A1 , A2 ,... An为n个事件，n 2 且P( A1 A2 ... An-1 ) 0, 则有： P( A1 A2 ... An ) P( An | A1 A2 An-1 ) P ( An-1 | A1 A2 An-2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )