解直角三角形(仰角与俯角)
知识卡片-解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题能量储备仰角、俯角：如图2446(1)所示，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
通关宝典★ 基础方法点方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。
例1：如图24410所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。
解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴ AC ＝AB ＝610米。
答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。
(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。
在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE，得BE ＝DE·tan 39°。
又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。
答：大楼的高度CD 约为116米。
例2：如图24428所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)解：如图24429所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°. 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42°. ∵ CE ＝120＋x tan 61°， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61°， 解得x ≈215.7，∴ x ＋1.2≈217(米)．∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。
解直角三角形--仰角俯角.仰角俯角问题---解直角三角形
观察下图，判断哪些是仰视哪些是俯视； 哪个是俯角，哪个是仰角．
从A看B的仰角是:
∠BAC
从B看A的俯角是： ∠FBA 从B看D的俯角是： ∠FBD 从D看B的仰角是： ∠BDE 注意：从哪个点看就从哪个点作水平线，俯角就 是水平线与向下看视线的夹角，仰角就是水平线 与向上看视线的夹角。
例1： 如图一学生要测量校园内一棵水杉树高度， 他站在距水杉树8米的E处，测得树顶的仰角 ∠ACD=30°，已知测角仪的架高CE=1.6米， 求树高AB(精确到0.1米) A
问题探究
• 1、仰角、俯角 • 阅读教材：当我们进行测量时，在视线与水平 线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角， 在水平线下方的角叫做俯角． • 学生仰视日光灯或俯视桌面 • （以体会仰角与俯角的意义．）
归纳、总结
• 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 的夹角叫做俯角
把问题转化为解直角三角形的问题；
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．
A
D1 D
30 °
C1 50
C
45°
B1 B
2、（2011安徽中考）如图，某高速公路建设中 需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高 度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处 的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.
甲、乙两楼相距78米，从乙楼底 望甲楼顶的仰角为45º ，从甲楼顶 望乙楼顶的俯角为30º ，则甲楼和 A 乙楼高为？ 30º
D
甲 B
？
45º
？乙
78 C
7.（2006，哈尔滨市）如图，在电线杆上的C处 引位线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成 60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆C处的仰角为30°，已知测角仪AB 高为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角）一、知识点讲解1、仰角和俯角的定义：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
二、典例分析利用解直角三角形解决仰角、俯角问题例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为A、50B、51C、50+1D、101第1题第2题第3题2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。
3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）反馈练习 基础夯实1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1200m D 、 2400m第1题 第2题 第3题 第4题2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。
九年级数学解直角三角形(仰角与俯角)
六、变式提升、走近中考1学校操场上有一 根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子 足够长），王同学拿了一把卷尺，并且向 数学老师借了一把含300的三角板去度量旗 杆的高度。 （2）若王同学分别在点C、点D处将 （1）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角 （3）此时他的数学老师来了一看，建 旗杆上绳子分别拉成仰角为600、300， 为600，如图用卷尺量得BC=4米，则 议王同学只准用卷尺去量，你能给王 如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的 旗杆AB的高多少？ 同学设计方案完成任务吗？ 长吗？
2 (1)
(1)2
八、布置作业 P92习题28.2 第3,4题
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谢谢大家
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分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
①题中有哪些已知条件，所求结论是什么？ ②如何把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型的？图形中有 符合解直角三角形的图形吗? ③要求的边与已知的边和已知的角有什么关系？应该选择哪一种 三角函数？
• 1、P87例题
如图，⊙O表示地球，点F是 飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的 ⌒ 最远点．PQ的长就是地面上P， Q两点间的距离，为计算PQ 的 ⌒ 长需先求出∠POQ（即a）
45
30
解得 x 100 3 100
所以河宽为 (100 3 100)米.
利用俯角和仰角解直角三角形课件
P
45° 37° B 400米 A
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°，P
OB=PO= x米.
A. 800sinα米
B. 800tanα米
α
C．s8in00a 米
D．t8a0n0a 米
解直角三角形及其应用
利用俯角和仰角解直角三角形
（一）俯角、仰角问题 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.
视线
巧记“上仰下俯”
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
（二）一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题
例1 热气球的探测器显示，从热气球 看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底 部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离
1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定
电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地
面成45°角．则两根拉线的总长度为
10 3
3
5
2 m(结果用
带根号的数的形式表示).
（三）两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
答案：点B到AD的距离为20m.
E
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m，
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
解直角三角形的仰角俯角问题
解直角三角形的仰角俯角问题
仰角和俯角是解直角三角形问题中常见的概念。
在直角三角形中，仰角是锐角的补角，而俯角是锐角的余角。
1.仰角：在直角三角形中，与直角的锐角相邻的角叫做仰角。
仰角是锐角的
补角，即仰角= 90° - 锐角。
2.俯角：与直角的锐角相对的角叫做俯角。
俯角是锐角的余角，即俯角= 锐
角。
解这类问题时，通常需要利用三角函数的性质和关系，如正切、正弦、余弦等，以及直角三角形的边和角的关系，如勾股定理等。
以下是一个简单的例子：
题目：一个塔的高度是30米，从塔顶测得某建筑物顶部的仰角为24°，从地面测得该建筑物顶部的俯角为66°，求这个建筑物的高度。
解：设建筑物的高度为h 米。
根据三角函数的性质和关系，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离= 塔的高度× 正切(仰角) = 30 × tan(24°)。
建筑物顶部到底部的距离= 建筑物的高度× 正切(俯角) = h × tan(66°)。
由于直角三角形中的勾股定理，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离^2 + 建筑物顶部到底部的距离^2 = 塔高度的^2。
代入已知数值，我们可以得到一个关于h 的方程，并解出h 的值。
《解直三角形应用(仰角和俯角)》教学设计
28.2.2解直三角形应用（1）教学目标(一)知识与能力：了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)方法与过程：逐步培养分析问题、解决问题的能力．(三)情感、态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）合作探究一例 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果保留整数)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点. 如图,⊙O 表示地球，点F 是飞船的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ 的长就是地面上P, Q 两点间的距离.为计算弧PQ 的长需先求出(即)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin（引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？）解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，弧PQ的长为由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2070 km.（三）合作探究二1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义2.例热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出B C.解:如图, ，,答:这栋楼高约为277.1m.（四）巩固练习：文峰塔是阜阳标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得塔顶端A的仰角为30°，然后向塔前进224m 到达E处，又测得塔顶端A的仰角为60°．求文峰塔的高度AB．（结果保留根号）(五)总结反思请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．（六）达标检测1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__ _______米.2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.（七）作业布置小刘想测量学校操场旗杆顶端到地面的距离，但旗杆底部不能直接到达，请你应用今天所学知识，帮助他设计一个测量方案，画出示意图，相关数据用字母表示，并与同学交流。
解直角三角形(2)仰角与俯角、方位角、坡角(比)问题(知识讲解)2022-2023学年九年级数学下册
专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。
解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
解直角三角形（仰角俯角坡度问题）1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为300，看这栋高楼底部C 的俯角为600，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为A. 40D. 1602、（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：，则AB的长为（ ） A ．12 B ．4米 C ．5米 D ．6米4、（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是（ ）m∠= ，则该山坡的高5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC30BC的长为_____米。
6、（2013•十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米．7、（2013山西，10，2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）A．m B．m C．m D m8、（2013•牡丹江）如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．9、（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）10、（13年安徽省10分、19）如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=600，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=450，若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）11、（2013•白银）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF （如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．12、（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）13、（2013甘肃兰州24）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）14、（2013•毕节地区）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.732）15、（2013•六盘水）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan15°=tan（45°﹣30°）===根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）16、（2013•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．17、（2013•恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，）．18、（2013•黄冈）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）19、（2013•孝感）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．20、（2013•郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．21、（2013•张家界）国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）22、（2013•泰州）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）23、（2013•徐州）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）24、（2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）25、（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）26、（2013聊城）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C 处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？27、（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？28、（2013•泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．29、（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF ；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）30、（2013•内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°．已知A 点的高度AB 为3米，台阶AC 的坡度为1：（即AB ：BC=1：），且B 、C 、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）．31、(2013河南省)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角68BAE ︒∠=，新坝体的高为DE ，背水坡坡角60DCE ∠=︒。
仰角、俯角问题
如图：仰角为：∠__A_O__E_，俯角为：∠__D_O__E_
B
A视线
铅 仰角
直O
线 俯角
视线
CD
E
水平线
• 试一试： • （1）在Rt△ACB中，∠C=90°， • ∠A=30°，AC=3，求AB的长度； • （2）在Rt△ACB中，∠C=90°， • ∠A=60°，BC=2，求AC的长度.
A
• 设CE=x，则BE=x，
• Rt△ACE中，
• •
t整an理30得°出=：CAEE3=x1=41644x 64x+=x，33
，
• 解得：x=732（ 3 1 ）≈2000米，
• ∴C点深度=x+600=2600米．
• 答：海底C点处距离海面DF的深度约为2600 米．
子，继续在同一深度直线航行1464米到B 点处测得正前方C点处的俯角为45°．求 海底C点处距离海面DF的深度（结果精确 到个位）
• 参考数据：
E
• 2 ≈1.41，
• 3 ≈1.73，
• 5 ≈2.24）．
• 解：作CE⊥AB于E，
• 依题意，AB=1464，∠EAC=30°， ∠CBE=45°，
解直角三角形 （仰角与俯角）
直角三角形性质 A
• 1、三边关系：a²+b²=c²
b
• 2、两个锐角关系：∠A+∠B=90°
• 3、边与角的关系：
C
sin∠A= a c
b cos∠A= c
c aB
tan∠A= a b
1
3
3
2
2
3
2
2
1
2
2
3 2
1 2
解直角三角形2(仰角、俯角)
F
4 3m
1.5m
A
0.9m
E D C
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
=220 1.20 22.7
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
α
2. 两座建筑AB及CD，其 地面距离AC为50.4米，从 AB的顶点B测得CD的顶 部D的仰角β ＝250,测得 其 底 部 C 的 俯 角 a ＝ 500, 求两座建筑物AB及CD的 高.（精确到0.1米）
A
C
B
课本P92 例4
（第 2 题）
3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里 以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条 直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同 时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只 发出警告，令其退出我国海域.
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
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B
α=30° 120 D β=60°
A
C
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂 一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测 得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯 角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
A
D
E
B
C
小结：
1.有关概念：仰角、俯角 2.用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤：
1.什么叫解直角三角形？
在直角三角形中，由已 知元素求未知元素的过程， 叫做解直角三角形.
2.直角三角形（除直角外）五元素的 关系是什么？
（1）三边之间的关系: a2 + b2 = c2 （勾股定理） （2）锐角之间的关系: ∠A + ∠B = 90° （3）边角之间的关系
A的对边 sin A 斜边
OQ
OF
∵
COS a =
=
6400
6400+350
≈
0.948
F P α 8 6400 3.14 640 2009 .6 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高? （结果保留小数 点后一位）
（1）通过读题把实物图转化为数学图形;
（2）找出直角三角形和已知、未知元素; （3）选合适的锐角函数关系求未知数; （4）解题.
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，
F P
Q
FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测
地球时的最远点．PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算PQ 的 长需先求出∠POQ（即a）
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
A的邻边 cos A 斜边
A的对边 tan A A邻边
仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角. 视线 铅 仰角 垂 线 视线 俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角. 俯角 水平线
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）