球的表面积体积练习题
球体的表面积和体积计算练习题
球体的表面积和体积计算练习题球体是一种几何图形，由无限多个位于同一距离中心的点所组成。
球体通常被用于计算体积和表面积。
在本文中，我们将通过一系列练习题来练习计算球体的表面积和体积。
练习题1：已知一个球体的半径为5厘米，计算其表面积和体积。
解答：首先，我们需要了解球体的公式。
球体的表面积公式为：S = 4πr²，其中π为圆周率，r为半径。
球体的体积公式为：V = (4/3)πr³。
代入已知数据，我们可以计算出球体的表面积和体积：表面积S = 4π(5)² ≈ 314.16平方厘米，体积V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.60立方厘米。
练习题2：已知一个球体的表面积为201.06平方米，求其半径和体积。
解答：根据球体的表面积公式S = 4πr²，我们可以将已知的表面积代入公式中，并解方程以求得半径r。
201.06 = 4πr²r² = 201.06 / (4π)r² ≈ 16.08r ≈ √16.08 ≈ 4所以，球体的半径约为4米。
接下来，我们可以利用球体的体积公式V = (4/3)πr³来计算体积：V = (4/3)π(4)³ ≈ 268.08立方米。
练习题3：已知一个球体的体积为523.60立方厘米，求其半径和表面积。
解答：根据球体的体积公式V = (4/3)πr³，我们可以将已知的体积代入公式中，并解方程以求得半径r。
523.60 = (4/3)πr³r³ = 523.60 / ((4/3)π)r³ ≈ 83.68r ≈ ∛83.68 ≈ 4.99所以，球体的半径约为4.99厘米。
接下来，我们可以利用球体的表面积公式S = 4πr²来计算表面积：S = 4π(4.99)² ≈ 314.06平方厘米。
通过以上练习题，我们得以熟悉了如何计算球体的表面积和体积。
数学上册球的体积和表面积计算练习题
数学上册球的体积和表面积计算练习题在数学上册中，球的体积和表面积计算是一个重要的练习内容。
理解和掌握球的计算方法不仅可以帮助我们解决实际问题，还能拓展我们的数学思维。
本篇文章将通过一系列的练习题来讲解球的体积和表面积的计算方法。
练习题1：已知一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。
解析：首先计算球的体积。
根据数学公式，球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r为球的半径。
代入已知数据，可得V = (4/3)π(5)³ = (4/3)π125 ≈ 523.6cm³。
接下来计算球的表面积。
球的表面积公式为S = 4πr²，其中r为球的半径。
代入已知数据，可得S = 4π(5)² = 4π25 = 100π ≈ 314.16cm²。
练习题2：一个篮球的直径为26cm，求它的体积和表面积。
解析：首先需要计算篮球的半径。
已知篮球的直径为26cm，可以将其除以2得到半径r = 26/2 = 13cm。
接下来计算篮球的体积。
利用球的体积公式V = (4/3)πr³，代入已知数据可得V = (4/3)π(13)³ ≈ 9200.4cm³。
最后计算篮球的表面积。
利用球的表面积公式S = 4πr²，代入已知数据可得S = 4π(13)² = 676π ≈ 2125.48cm²。
练习题3：一个水池的形状为半球形，直径为8m，求水池的体积和表面积。
解析：首先需要计算水池的半径。
已知水池的直径为8m，可以将其除以2得到半径r = 8/2 = 4m。
接下来计算水池的体积。
由于水池形状为半球形，可以将其体积视为整个球的一半。
利用球的体积公式V = (4/3)πr³，代入已知数据可得V = 1/2 * (4/3)π(4)³ = 4/3 * π(4)³ ≈ 268.08m³。
考点练习(必修二)：球的表面积和体积(附答案)
球的表面积和体积一、球的表面积和体积1. 已知地球半径为,R 北纬60 纬线的长度是_________．2. 已知球的表面积为64π，求它的体积3. 已知球的体积为5003π，求它的表面积．4. 两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.2∶ 3 D.8∶275. 两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．6. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A ．3B ．2C ．1 D.127. 一个球的表面积是16π，则它的体积是( )A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π38. 两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm10. 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)二、与球有关的三视图问题1. 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．2. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．3. 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋124. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋185. 某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )三、球的截面问题1. 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________．2. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α则此球的半径为（ ）A B C ． D ．3. 过球半径的中点，作垂直于这条半径的截面，截面面积为248cm π，求此球的半径．4. 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．5. 在半径为6cm 的球的内部有一点，该点到球心的距离为4,cm 过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．211cm πB ． 220cm πC ． 232cm πD ． 227cm π6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 37. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，留下一个直径为24cm ，深8cm 的空穴，则球的半径为____________．8. 已知三角形ABC 的三个顶点在同一球面上，若90,2,BAC AB AC ∠=︒==球心O 到平面ABC 的距离为1，则该球的半径为____________．9. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1BCD ．2四、球面距离1. 在北纬45︒圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50︒与东经140︒圈上，则甲、乙两地的球面距离是（ ）A ．12R πB ．13R πC ．14R πD R2. 已知球O 的半径为1，,,A B C 三点都在球面上，且每点间的球面距离为,2π则球心O 到平面ABC 的距离为_________．3. 在半径为R 的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．4. 长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且12,1,AB AD AA ==则顶点A B 、间的球面距离是________．5. 球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为（）A．B．C．2D．6. 在地球北纬60︒圈上有A B、两点，它们的经度相差180A B︒，、两地沿纬线圈的弧长与A B、两点的球面距离之比为（）A．3:2B．2:3C．1:3D．3:1参考答案 球的表面积和体积一、球的表面积和体积 1. 略2. 解 设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.3. 解 (2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.4. 由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.5. 设大球的半径为R ，由题意得43πR 3＝2×43π×13，得R ＝32.6. 答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.7. 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 8. 答案 B解析 设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以R 1－R 2＝2.9. 答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.10. 解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，1BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1，1BO V 圆锥＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－(1AO V 圆锥＋1BO V 圆锥)＝56πR 3.二、与球有关的三视图问题 1. 答案 4π解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.2. 答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.3. 答案 C解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V ＝12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＋13×12×1×1×1＝2π6＋16，故选C.4. 答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＋3×3×2＝92π＋18. 5. 答案 D解析 根据几何体的正视图，得当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A ；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，圆柱的高与底面圆直径都等于正方体的棱长时，俯视图是B ；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球时，其俯视图是C ；D 为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立．故选D.三、球的截面问题 1. 答案 12π解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为2，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为3，所以球的表面积为4π(3)2＝12π. 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5. ∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．7. 略 8. 略 9. 略 四、球面距离 1. 略 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 略。
球的表面积和体积
答案：B.
题型4：
球与多面体的内切、外接
观察：
外接球
内切球
棱切球
球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
小结:常见的补形
正四面体常常补成正方体求外接球的半径 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体
§圆柱与球
例9： 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的 直径（球内切于圆柱）.求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. (3)球的体积等于圆柱体积的三分之二.
正方体表面积之比为
(
)
答案:D
例4．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铜球熔制 成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正 方体，求此正方体的体积．
4 3 3 3 4 3 解： 设熔制后的大铜球半径为 r， 则3π(3 ＋4 ＋5 )＝3πr ， ∴r＝6 cm. 据题意：正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方 2r 12 体对角线的长，故正方体的棱长 a＝ ＝ ＝4 3 cm. 3 3 ∴V 正方体＝a3＝(4 3)3＝192 3 cm3.
三、 正方体的外接球
2R
3a
球直径等于正方体的（体）对角线
正方体的内切球, 棱切球,外接球 三个球心合一 半径之比为： 1: 2 : 3
§长方体与球
一、长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高 分别为 a、b、c，则 l a b c 2R
球的体积和表面积模拟试题
1.3.2 球的体积和表面积1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是( )A 、3πB 、4πC 、33πD 、6π2.已知正方体''''D C B A ABCD -棱长为1，顶点D C B A ，，，在半球的底面内，顶点''''D C B A ，，，在半球球面上，则此半球的体积是 （ ） A.π63 B.π22 C.π23 D.π263．若球的体积与其表面积相等，则球的半径为( )．A ．1B ．3C ．2D ．124．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，则可铸成这样的小球的个数为（ ）．A ．110 Ｂ．115 Ｃ．120 Ｄ．1255．棱长为a 的正方体的内切球的表面积等于_________．6．圆柱形容器的内壁底面半径为5cm ，两个直径为5cm 的小球浸没于容器中，若同时取出这两个小球，则是水面下降_________．答案提示：1、A ．解析： 对于本题，若直接去想图画图，则不利于解答。
但若把问题特殊化，在如右图所示的正方体模型中去找图，将四棱锥S —ABC 置放于正方体中，由正方体的性质和已知条件可知，正方体的棱长是1，所以，正方体的对角线长 是3，由于正方体外接球的直径与正方体的对角线 长相等，故，此球的表面积S=4π2)23(=3π，所以应选A 。
2. D.依题意，正方体底面ABCD 的中心O 即为球心， 所以球的半径26)22(12'=+==O A R ， 所以半球的体积为ππ26)26(34213=⨯⨯. 3．B ． 由于343R π=24R π，解得R = 3．4．Ｄ． 由3453π⋅＝n 3413π⋅⋅，解得n=125.5．因为内切球的直径等于正方体的棱长，所以内切球的表面积S =24()2a π=2a π．6．由水面下降的体积等于两球的体积之和，得25h π= 2×345()32π， 解得h =53，即水面下降的高度为53cm ．。
球的体积与表面积计算推导与例题
球的体积与表面积计算推导与例题球是一种立体图形，其具有特殊的性质，即体积和表面积的计算与推导。
在本文中，我们将探讨球的体积和表面积的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解这些概念。
一、球的体积计算推导球的体积表示球所占的三维空间大小。
我们可以通过以下步骤来推导出球的体积公式：步骤1：假设球的半径为r。
步骤2：将球切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δh。
步骤3：将每个薄片表示为一个圆盘，其半径为r，厚度为Δh。
步骤4：计算每个圆盘的面积为πr²。
步骤5：将所有圆盘面积相加，得到球的体积近似为ΔV = πr²Δh。
步骤6：由于薄片越来越多，并且每个薄片的厚度趋近于无穷小（Δh → 0），因此可以使用积分来求得球的体积。
步骤7：通过积分计算，我们可以得到球的体积公式：V = ∫(0 to R) πr²dh，其中，R为球的半径。
二、球的表面积计算推导球的表面积表示球的外侧包围的曲面的总面积。
我们可以通过以下步骤来推导出球的表面积公式：步骤1：假设球的半径为R。
步骤2：将球切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δh。
步骤3：将每个薄片表示为一个圆环，其半径为r，厚度为Δh。
步骤4：计算每个圆环的面积为2πrh。
步骤5：将所有圆环面积相加，得到球的表面积近似为ΔS = 2πrhΔh。
步骤6：由于薄片越来越多，并且每个薄片的厚度趋近于无穷小（Δh → 0），因此可以使用积分来求得球的表面积。
步骤7：通过积分计算，我们可以得到球的表面积公式：S = ∫(0 to R) 2πrh dh，其中，R为球的半径。
三、球的体积与表面积计算例题例题1：计算一个半径为5cm的球的体积和表面积。
解：根据体积公式，我们可以得到球的体积为：V = ∫(0 to5) πr² dr = π∫(0 to 5) r² dr = π[r³/3] (0 to 5) = π(5³/3 - 0³/3) = (125/3)π cm³。
球的体积和表面积
1－r r 由△POF∽△PED，知DE＝ PE ， r 1－r ∴ ＝ . 2 3 r＝ 6－2.
正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6，内有一个球与 四个面都相切．求球的半径．
[巧思]
过一条侧棱及球
心作一截面将空间正三棱锥与
球的内切问题转化为三角形
与圆的相切问题求解．
[妙解]
过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，
与平面ABC交于AE，因△ABC是正三角形，易知AE即是
△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥 的高PD通 过球心 O，且 D 是三角形 ABC 的重心，据此
[自主解答]
(1)设球的半径为 R，则由已知得
4 3 32π V＝3πR ＝ 3 ，R＝2. ∴球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由球的性质知，球的半径 R＝ 32＋42＝5， 4π 3 500π ∴ V 球＝ 3 × 5 ＝ 3 (cm3)．
[答案] (1)B
(2)C
1．遇到球的表面积及体积的有关计算问题时，我 们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置
和半径，只要这两点确定了，球的表面积及体积问题
就会迎刃而解． 2．球半径R、截面圆半径r和球心至截面的距离d 构成直角三角形，满足R2＝r2＋d2.
a 1．64 个直径都为4的球，记它们的体积之和为 V 甲，表面 积之和为 S 甲；一个直径为 a 的球，记其体积为 V 乙，表 面积为 S 乙，则 ( )
A．V甲>V乙且S甲>S乙
B．V甲<V乙且S甲<S乙 C．V甲＝V乙且S甲>S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙
空间几何体之球的表面积与体积专题训练
空间几何体之球的表面积与体积专题训练一．选择题（共30小题）1．（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，22．（2011•辽宁）己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）3．（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）4．（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）5．（2014•四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，6．（2014•郑州一模）已知四面体ABCD中，AB=AD=6，AC=4，CD=2，AB⊥平7．（2014•贵阳模拟）已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有顶点都在球O的球面上，AB=3，AA′=2，则球O的体积为（）8．（2014•郑州模拟）已知四面体P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面9．（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）10．（2014•宝山区二模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积11．（2014•山东模拟）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（）12．（2014•河南模拟）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）13．（2014•沈阳二模）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）14．（2014•石家庄模拟）已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若O点到该截15．（2014•滨州二模）如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于（）ππ16．（2014•兴安盟一模）在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（）π17．（2013•文昌模拟）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足•=0，•=0，•=0，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为（）18．（2012•宁波模拟）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）19．（2013•牡丹江一模）三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、20．（2012•黑龙江）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为π44621．（2012•江西校级模拟）球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）22．（2012•河北模拟）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）23．（2012•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为24．（2012•钟祥市校级模拟）A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）25．（2011•临汾校级模拟）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为（）26．（2010•成都二模）在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC 内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为（）27．（2010•宜春校级模拟）在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM．若侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是（）28．（2010•朝阳区二模）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是，29．（2009•长宁区二模）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）30．（2006•安徽）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体空间几何体之球的表面积与体积专题训练参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）2SB=2=CD==V=CD=+﹣===S=V===2．（2011•辽宁）己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（），∠，的体积为：=4．（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）V=π5．（2014•四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）R==6．（2014•郑州一模）已知四面体ABCD中，AB=AD=6，AC=4，CD=2，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为（）CD=2=2r=7．（2014•贵阳模拟）已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有顶点都在球O的球面上，AB=3，AA′=2，则球O的体积为（）BD=OD=OB=，πR=8．（2014•郑州模拟）已知四面体P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，R=9．（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）×，=AC•BQ=×，∴R=）10．（2014•宝山区二模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记11．（2014•山东模拟）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（）=．12．（2014•河南模拟）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（），=13．（2014•沈阳二模）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）BG===214．（2014•石家庄模拟）已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若O点到该截面的距离等于球半径的一半，且AB=BC=2，∠B=120°，则球O的表面积为（）．r==．15．（2014•滨州二模）如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于（）ππ正三棱柱的高是，OG=GA=．进而得到答案．．，，GA=．=16．（2014•兴安盟一模）在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（）π的面积分别为、∴AB•AC=，，AB==4π×17．（2013•文昌模拟）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足•=0，•=0，•=0，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为（）解：∵（18．（2012•宁波模拟）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该19．（2013•牡丹江一模）三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD 都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A﹣BCD的体积是（）==V===20．（2012•黑龙江）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，π446=π21．（2012•江西校级模拟）球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，CH=OH=OC=V=Sh==22．（2012•河北模拟）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）AC=PO=23．（2012•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）BC==1 BC===1R=24．（2012•钟祥市校级模拟）A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，==25．（2011•临汾校级模拟）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为（）AB•AC=，AD•AC=，AB•AD=AB=．V=••1••=．26．（2010•成都二模）在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为（）∴27．（2010•宜春校级模拟）在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM．若侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是（）2R=228．（2010•朝阳区二模）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是，则正方a=29．（2009•长宁区二模）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积R∴R=30．（2006•安徽）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）。
球的表面积和体积.doc
∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm．
同理，得O1A＝20 cm． 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm． 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202， ① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2， ② 联立①②可得x＝15，R＝25．
〔跟踪练习 2〕设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球
面上，则该球的表面积为
( B)
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2＝ 6a，又长方体的外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线，所 以 2R＝ 6a，则 S 球＝4πR2＝4π 26a2＝6πa2．
命题方向1 ⇨根据三视图计算球的体积与表面积
典例 1 某个几何体的三视图如图所示(单位：m)
(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．
[思路分析] 本题条件中给出的是几何体的三视图及数据，解题时要先 根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状，然后根据侧视图与正 视图确定几何体的形状，并根据有关数据计算．
【答案】 8273R3 833R2
A．2∶3
B．4∶9
C．16 2∶8 3
D．16∶81
[解析]
由SS12＝287得rr12＝32
2 3
∴VV12＝1861
2，故选 3
C．
3.
4.半径为R的球的内接正四面体的体积为 ________，表面积为________．
球的表面积与体积专题对应练习(含答案)
பைடு நூலகம்=，
∴ 在平面 BCD 是射影是 OD，∵直线 AD 与底面 BCD 所成角为 ，∴ ∠ = ．
又 = ，∴△ 是等边三角形，∵ = 2 ，∴ = = = ，即 O 为三棱锥外接球的球心，
∵ = = = = 2， = 2 = 2 ，∴ ⊥ ，∴ = = √2，
∴三棱锥外接球的表面积为4 × 2 = 8 ，
11.解：作△ 的外接圆，过点 C 作圆的直径 CM，连结 DM，
则 DM 为三棱锥 − 的外接球的直径，
∵三棱锥 − 中， ⊥平面 ABC，且 = = = = 2，∴ = ∘ = √ ，
∵ ⊥平面 ABC，∴ ⊥ ，∴
=+
=2 +( ) = ，
√
∴= =
= ，∴三棱锥 − 的外接球表面积为： = 4 = 4 × = ．
5.解：∵ ，N 分别为棱 SC，BC 的中点，∴ // ，∵三棱锥 − 为正三棱锥，
∴ ⊥ ， ⊥ (对棱互相垂直)，∴ ⊥ 又∵ ⊥ ，而 ∩ = ， ⊂平面 SAC， ⊂平面 SAC，∴ ⊥平面 SAC，∴ ⊥平面 SAC， ∵ ⊂平面 SAC， ⊂平面 SAC，∴ ⊥ ， ⊥ ， 又 ⊥ ， ∩ = ， ⊂平面 SBC， ⊂平面 SBC，∴ ⊥平面 SBC， 又 ⊂平面 SBC，∴ ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90° 以 SA，SB，SC 为从同一定点 S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球， 正方体的对角线就是球的直径，∴ 2 = √3 = 6，得 = 3，∴ = 4 = 36 ．
∴直三棱柱 −
的外接球的表面积为：4 = 16 ，
8.解：由题意，四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，可将三棱锥 − 放到长方体中，
球的表面积与体积题型
）
A 3л
B 4л
C 3 3
D1 A1
D 6л
C1 B1
解法2 构造棱长为1的正方 体，如图。则A1、C1、B、D是 棱长为 2 的正四面体的顶点。 正方体的外接球也是正四面体 的外接球，此时球的直径 为 3 ， 选A 3 2 S球 =4 ( ) 3 , 2
D A B
C
正四面体的棱长为a ,与外接球半径R的关系为
3.构造直角三角形
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ A ）
A 3л
B 4л
C 3 3
D 6л
A●
解：设四面体为ABCD，O1 为其外接球 心。 球半径为R，O为A在平面BCD上 的射影，M为CD的中点。 连结B O1
2 2 3 6 BO BM ( BC ) . 3 3 2 3 2 2 2 所以AO AB BO , 3
圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等 腰三角形 轴就是过底面重心的高线,而轴截面是过 轴的截面
旋转轴就是从锥筒尖做的垂线
表面积之比等于半径的平方比. 问:若三个球的体积之比为1:8:27, 则它们的半径之比 .
(1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22. (3) 解这类问题的关键:找到变化前后半径 的大小关系.
把垂直于底面的半径OA作n 等分，经过这些分点，用一组 平行于底面的平面把半球切割 成n层，每一层的几何体怎样？
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体 体对角线长为 14，故球的表面积为 14 .
若长方体的过同一顶点的三条棱长为a,b,c 各顶点均在同一球面上,则此球的半径为
球的表面积和体积
巩固练习：
1.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 14π 2.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 14 , 且一个顶 2 2 2 2 2 解析:设球的半径为r,则(2r) =1 +2 +3 ,∴ r . 点上的三条棱的长分别为1､2､3, 则此球的表面积为 ___ . 4
1: 3 4
思考：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B1 C1 B C
变式：如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有 2 S=—。 a
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
0
A． 2 3 C． 2
B． D． 2
主视图 左视图
俯视图
∴球的表面积S=4πr2=14π.
3.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3，5，15， 求它的外接球表面积.
长方体对角线 l a b c
2 2 2 2
课后：
1、复习整理本节课内容和练习，熟记公式； 2、并完成 课后练习p35-37 A组 1、2、5、7、9、10 B组 2、4
例1:(2010·广州模拟)已知某个几何体的三视图如图(主视图 中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个 几何体的体积是________cm3.
球的表面积 S球面=4πR 2
4 3 球的体积 V球 R 3
4 倍。 (1)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—
1: 2 2 (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。
球的体积和表面积
a
2
:
3
b
2
:
3
c
2
；半径之比为
3
a
:
3
b :
3
c.
面积比等于相似比的平方， 体积比等于相似比的立方。
练习一
2 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍. 4
1:2 2 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
S 表 4 R
4 3
2
V S h
V
1 3
S h
V
1 3
(S S
S S ) h
V
R
3
柱体
锥体
台体3aLeabharlann ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
2a
练习二
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 9 则它的外接球的表面积为_____.
3, 5 , 15 ，
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 4 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是______. 12 3
3
多面体和旋转体的表面积和体积公式
棱柱 侧面积 表面积 体积
V S h
V 1 3 S h
V 1 3
棱锥
棱台
圆柱
S侧 C底 l
圆锥
S侧 1 2 C底 l
S侧
圆台
1 2 (C 上 C 下 ) l
球
S 侧 各侧面面积之和
S表 S侧 S底
(S S S S ) h
(完整版)六年级圆球的表面积和体积练习题
(完整版)六年级圆球的表面积和体积练习题问题1一个直径为10厘米的圆球的表面积是多少？解答：根据圆球的表面积公式，一个直径为10厘米的圆球的表面积可以计算如下：1. 首先，确定圆球的半径。
半径等于直径的一半，所以半径等于10厘米的一半，即5厘米。
2. 使用表面积公式：表面积= 4πr^2，其中π取近似值3.14。
3. 将半径代入公式进行计算：表面积 = 4 × 3.14 × 5^2。
4. 计算得出表面积的结果：表面积 = 4 × 3.14 × 25 = 314平方厘米。
因此，一个直径为10厘米的圆球的表面积为314平方厘米。
问题2一个半径为8厘米的圆球的体积是多少？解答：根据圆球的体积公式，一个半径为8厘米的圆球的体积可以计算如下：1. 使用体积公式：体积= (4/3)πr^3，其中π取近似值3.14。
2. 将半径代入公式进行计算：体积 = (4/3) ×3.14 × 8^3。
3. 计算得出体积的结果：体积 = (4/3) × 3.14 × 512 = 2143.36立方厘米。
因此，一个半径为8厘米的圆球的体积为2143.36立方厘米。
问题3一个圆球的表面积是480平方厘米，它的半径是多少？解答：要计算出圆球的半径，可以使用表面积公式进行反推。
1. 使用表面积公式：表面积= 4πr^2，其中π取近似值3.14。
2. 将已知的表面积代入公式：480 = 4 ×3.14 × r^2。
3. 将公式进行整理：r^2 = 480 / (4 × 3.14)。
4. 计算得出半径的平方值：r^2 = 38.22。
5. 取平方根得出半径的结果：r ≈ √38.22 ≈6.19。
因此，一个表面积为480平方厘米的圆球的半径约为6.19厘米。
以上为六年级圆球的表面积和体积练习题的解答。
如有任何疑问，请随时向老师提问。
基础训练：球的体积和表面积
球的体积和表面积
1．正方体的内切球和外接球的半径之比为【】
22三个球的半径之比为3:2:1，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的【】
倍
3．一个球的外切正方体的全面积等于26cm ，则此球的体积为【】
3πcm 3πcm 31πcm 6
3πcm 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是【】
25π50π125π都不对
5．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是
6．正方体全面积是24，它的外接球的体积是，内切球的体积是．
7把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是．
参考答案
1:3cm 34πcm 3。
球的表面积与体积及习题
D 6л
解：设四面体为ABCD，O 1 为其外接球
心。 球半径为R，O为A在平面BCD上
A●
的射影，M为CD的中点。连结B O 1
BO2BM2( 3BC) 6.
3 32
3
所 以 AO AB2BO22, 3
B●
R ●O 1
· ●O
●D
M
●
C
在 R t B O O 1 中 , 由 O 1 B 2 B O 2 O 1 O 2 得
R
3
=
4 3
x
6370
3
1.08x1120(km3)
（2）
1
2
S火 4R火2 R火2 (2R地) 1
S地=4R地2=R地2= R地2 =4
4
1
3
V火 3R火3 R火3 (2R地) 1
V地=
4 3R地3
=R地3
A
=
R地3
=8
35
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
3、注意化整为零的思想的应用。
4、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一， 外接球半径等于其高的四分之三。
A
44
小结：（1）有关球和球面的概念。
（2）球的体积公式：
V
4R3
3
球的表面积公式： S球4R2
（3）用“分割-求近似和-化为准确和” 的数学方法推出了球的体积和表面积公式：
（4）球的体积公式和表面积的一些运用。
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何
体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
球的表面积与体积(刚用)
典型：正四面体ABCD的棱长为 ，求 典型：正四面体 的棱长为a， 的棱长为 其内切球半径r与外接球半径 与外接球半径R. 其内切球半径 与外接球半径 思考：若正四面体变成正三棱锥， 思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？ 是否有变化？ 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
复习： 复习：有关概念
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面
2、球(即球体):球面所围成的几何体。 即球体):球面所围成的几何体。 ):球面所围成的几何体
它包括球面和球面所包围的空间。 它包括球面和球面所包围的空间。 球面 3、球的半径、直径、球心 、球的半径、直径、 4、球的截面 、
C
3 a 2
C1 B1 C
a
r3 =
2a
C1 B1
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
变式练习
都在球面上， 1.一个正方体的顶点 都在球面上，它的棱长 cm， 体积. 是4cm，求这个球的 体积. 方体， 2.半球内有一内接正 方体，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的棱长为 在半球的底面圆上， 6，求半球的半径. 求半球的半径.
一球切于棱长为a的正方体的各 例4：有两个球 一球切于棱长为 的正方体的各 ：有两个球,一球切于棱长为 一球过棱长为a的正方体的各顶点 的正方体的各顶点,求这两 面, 一球过棱长为 的正方体的各顶点 求这两 个球的体积之比. 个球的体积之比
球体的表面积和体积
1
球的体积
半径为R的球的体积
V 4 R3
3
2021/5/27
2
球的表面积
半径为R的球的表面积
S 4R2
思考:经过球心的截面圆的面积是什 么？它与球的表面积有什么关系？
2021/5/27
3
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求： （1）球的体积与圆柱体积的比值； （2）球的表面积与圆柱的侧面积的比值.
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D’ A’
D
C’
o B’
C
A
B
9
o B’
C
A
B
6
5.一个球的外切正方体的表面积 是24cm2,求此球体的体积。
D’
C’
A’
B’
D
C
2021/5/27
A
B
7
6.一个球与体积为8m3的正方
体的各条棱相切,求此球体的
表面积和体积。
D’
C’
A’
B’
D
C
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A
B
8
7、长方体的共顶点的三个侧 面的面积分别是3 , 5 , 15 ,求 长方体的外接球的表面积。
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4
1.球的体积是3 2 ,则此球的 3
表面积是____.
2.两个球的表面积之比为1:9, 则此两球的体积之比为____.
3.将一个气球的半径扩大1倍，
它的体积扩大原来的__倍。
2021外接球的 表
面积为___.
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D’ A’
D
C’
球的体积与表面积
2 3 264000 200000 64000cm。木球的 沉入水中，相 3 2 当于水槽中加入了 3 V木球的水，因此，只需比较
2 64000cm 与 V木球 的大小。若 64000cm3 2 V木球 3 3
3
，则水不 会从水槽中流出。否则，水会从水槽中流出。
授课人:xxx
定理 如果球的半径是R，那么它的体 4 3 积是: V R 定理 如果球的半径是R，那么它的表 面积是: S=4 R 2 例题讲解：
例1、现在国际乒乓球赛的用球已由“小球” 改为“大球”，“小球”的直径为38mm， “大球”的直径为40mm，则“小球”的 表面积与“大球”的表面积之比为（ ） 2 2 19 : 20 A、19 : 20 B、 3 3 19 : 20 C、 D、以上答案均不对
解：设水槽容积为 V水 ，木球体积为 V木 ， 3 V 200000 则 V = 80 60 55 264000cm 水
V水 V 264000 200000 64000cm3
4 50 3 62500 V木 ( ) cm3 2 V木 2 62500 125000 cm3 3 2 3 3 3 3 9
因为 125000 64000 ，所以水不会从水槽中出。
9
课堂练习：
1、将一个气球的半径扩大1倍，它的表面积扩大到原 来的几倍？体积呢？ 2、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a，
求球的体积。
3 100 cm 3、一个球的体积是 ，试计算它的表面积（
4、已知半径为10的球的两个平行截面的面积分别为 36 和 64 ，它们位于球心的同一侧,那么这两个平行截面 的距离为( ) A. 2 B. 14 C. 2或14 D.以上都不对 变式一：已知半径为10的球的两个平行截面的面积分别为 36 和64 ，那么这两个平行截面的距离为（ ） A.2 B.14 C.2或14 D.以上都不对 变式二：已知球的两个平行截面的面积分别36 和 64 ，它们位于球心同一侧，且相距2，那么这个球的表面积 为（ ） A. 36 B. 64 C. 100 D. 400 5、把一个半径为 5 3 6cm 的金属球重铸成一个正方体，则 正方体的棱长为_____ 。
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1．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )
A . 3
B ．3
C ．4
D ．5
2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( )
A ．48(3＋3)
B ．48(3＋23)
C ．24(6＋2)
D ．144
3．棱长为2的正四面体的表面积是( )
A .3
B ．4
C ．43
D ．16
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
5．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14
A 1
B 1，则多面体P －BB 1
C 1C 的体积为________．1.B 2.A 3.C 4.12＋π 5.163
6.(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(
A ．28＋6 5
B ．30＋65
C ．56＋125
D ．60＋12 5
7.已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的四个侧面中面积最大的是( c ) A ．3 B ．25C ．6 D ．8
8.若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为
9、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中，
棱长为2，E 为11B A 的中点，三棱锥11D AB E
-的体积是____________. 10、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正
视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4
的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S 。
11．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的c A.31 B.41C.91D.16
1
B 1 E A 1 D 1
12.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是c
A ．32. B. 14 C. 5 D.6
13.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是b
A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 12
14. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体体积为a A.3/2 B.33 C.34 D.23
15.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱
台的原棱锥的高的比是 b
A ．21 B.31 C.32 D.43
16.求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。
17．如图所示，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ，BC ，DC ，AD(或延长线)分别与平面α相交于E ，F ，G ，H ，求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上．
18．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．
19．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．
求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；(2)E 、C 、D 1、F 四点共面；(3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．
1．下列命题：
①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．
2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________．
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．
4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)． ①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ；
③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合．
5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)
①两条直线； ②一点和一直线；③一个三角形； ④三个点．
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)AD/∈α，a ⊂α________．（10题）
(2)α∩β＝a ，PD/∈α且PD/∈β________．
(3)a ⊄α，a ∩α＝A________．
(4)α∩β＝a ，α∩γ＝c ，β∩γ＝b ，a ∩b ∩c ＝O________．
8．已知α∩β＝m ，a ⊂α，b ⊂β，a ∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________．
9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
10．如图，直角梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由．。