线性回归
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从均值为0、方差为σ^2的正态分布。
二、参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计模型的参数。
具体来说，最小二乘法的目标是最小化残差平方和：min Σ(Yi - (β0 + β1Xi))^2通过对残差平方和进行求导，可以得到参数的估计值：β1 = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2β0 = Ȳ - β1X̄其中，Xi和Yi分别表示观测值的自变量和因变量，X̄和Ȳ分别表示自变量和因变量的均值。
三、模型评估线性回归模型的拟合程度可以通过多个指标进行评估，包括决定系数（R^2）、标准误差（SE）和F统计量等。
决定系数是用来衡量模型解释变量变异性的比例，其取值范围为0到1。
决定系数越接近1，说明模型对观测值的解释能力越强。
标准误差是用来衡量模型预测值与观测值之间的平均误差。
标准误差越小，说明模型的预测精度越高。
F统计量是用来检验模型的显著性。
F统计量的计算公式为：F = (SSR / k) / (SSE / (n - k - 1))其中，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和，k表示模型的自由度，n表示观测值的个数。
F统计量的值越大，说明模型的显著性越高。
四、模型应用线性回归分析可以用于预测和推断。
通过拟合一条直线，可以根据自变量的取值来预测因变量的值。
第四章 线性回归分析
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
线性回归分析
线性回归分析线性回归是一种用来建立和预测变量间线性关系的统计分析方法。
它可以帮助我们了解变量之间的相互影响和趋势，并将这些关系用一条直线来表示。
线性回归分析常被应用于经济学、社会科学、自然科学和工程等领域。
一、概述线性回归分析是一个广泛使用的统计工具，用于建立变量间的线性关系模型。
该模型假设自变量（独立变量）与因变量（依赖变量）之间存在线性关系，并通过最小化观测值与模型预测值之间的误差来确定模型的参数。
二、基本原理线性回归分析基于最小二乘法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定模型的参数。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1到Xn是自变量，β0到βn是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
三、应用步骤进行线性回归分析时，通常需要以下几个步骤：1. 收集数据：获取自变量和因变量的样本数据。
2. 建立模型：根据数据建立线性回归模型。
3. 评估模型的准确性：通过计算残差、决定系数等指标来评估模型的准确性。
4. 进行预测和推断：利用模型对未知数据进行预测和推断。
四、模型评价指标在线性回归分析中，有几个常用的指标用于评价模型的准确性：1. R平方值：R平方值表示因变量的变异性能够被模型解释的比例，数值范围为0到1。
R平方值越接近1，表示模型对数据的拟合程度越好。
2. 残差分析：进行残差分析可以帮助我们判断模型是否符合线性回归的基本假设。
一般来说，残差应该满足正态分布、独立性和等方差性的假设。
五、优缺点线性回归分析有以下几个优点：1. 简单易懂：线性回归模型的建立和解释相对较为简单，无需复杂的数学知识。
2. 实用性强：线性回归模型适用于很多实际问题，可以解决很多预测和推断的需求。
然而，线性回归分析也存在以下几个缺点：1. 假设限制：线性回归模型对于变量间关系的假设比较严格，不适用于非线性关系的建模。
线性回归方程公式_数学公式
线性回归方程公式_数学公式线性回归方程公式线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。
线性回归方程公式求法：第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术)平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二：分别计算分子和分母：(两个公式任选其一)分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n__x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。
先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归方程的应用线性回归方程是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。
这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定。
线性回归有很多实际用途。
分为以下两大类：如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。
当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。
给定一个变量y和一些变量X1,...,Xp，这些变量有可能与y相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y不相关的Xj，并识别出哪些Xj的子集包含了关于y的冗余信息。
线性回归
( X X )(Y Y ) 41.20 b 0.061 677 . 42 ( X X )
2
6
Y X
Y
n X n
99.2 31 534 31
3.2 17.23
a Y b X 3.2 0.06117.23 2.15
Y a bX 2.15 0.061 X
5
编号 （1）
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
尿雌三醇 mg/24h （2） 17 25 27 15 15 15 16 19 18 17 18 20 22 25 24
产儿体重 kg （3） 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.0 3.9 4.3
17
18
19
R相关系数
20
b ANOVA
Model 1
Reg ression Residual Total
Sum of Squares 2.506 4.234 6.740
df 1 29 30
Mean Square 2.506 .146
F 17.162
Sig . .000a
a. Predic to rs: (Cons tant), 尿 雌三 醇 （ mg/24h ） b. Dep endent Variable: 产 儿体 重 (kg)
22
3.利用回归方程进行统计控制 利用回归方程进行逆估计，即要求因变 量y的容 许取值范围，逆向估计X的取值范围。
4.利用多重回归描述多因素的影响 在实际应用中，我们会发现，通常一个结果 的产生是由多种原因造成的。为了综合考虑这些 因素，可以用多重回归的方法来解决。
线性回归
假设4：解释变量X 假设4：解释变量X是非随机的，即在重复抽样下，Ｘ的 取值是确定不变的。 假设5 假设5：随机误差项与解释变量之间不相关， ( Xi ,εi ) = 0 Cov 假设6：随机误差项服从均值为0 假设6：随机误差项服从均值为0，方差为σ 2 的正态分布， 即 ε i ~ N 0, σ 2
第五步，模型的运用。
主要用于预测。
2.2.3 参数的普通最小二乘估计
最小二乘法（OLS）的基本思想 最小二乘法（OLS）的基本思想 在来自于总体的n 在来自于总体的n个观测点中，找到一条直线使得这些
ˆ 点到这条直线的垂直距离的平方和∑( yi − yi ) = ∑( )= ˆ β ˆ 最小。即在给定样本观测值下，选择出β0、ˆ1 能使 Yi 与Yi
2.1.3 相关分析与回归分析
散点图是描述变量之间关系的一种直观的方法，从中可以 直观地看出变量之间的关系形态及关系强度。下列就是不 同形态的散点图。
2.1.3 相关分析与回归分析
不同形态的散点图
2.1.3 相关分析与回归分析
不同形态的散点图
2.1.3 相关分析与回归分析
通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系，并对变 量之间的关系形态做出大致的描述，但散点图不能准确反 映变量之间的关系密切程度。因此，为准确地度量两个变 量之间的关系密切程度，需要计算相关系数。 相关系数是对变量之间密切程度的度量。对两个变量之间 线性相关程度的度量称为简单相关系数。若相关系数是根 据总体全部数据计算出来的，称为总体相关系数ρ ；若是 根据样本数据计算出来的，则称为样本相关系数γ。样本 相关系数的计算公式为： = ∑( x − x )( y − y ) γ
相关分析和回归分析的联系
在进行回归分析之前，一般要确定变量之间的线性关系是否密 切，这就要依赖相关分析。 变量之间的相关系数与回归分析中的拟合程度存在一定关系。
线性回归与多元回归
线性回归与多元回归线性回归和多元回归是统计学中常用的预测分析方法。
它们在经济学、社会学、医学、金融等领域中广泛应用。
本文将对线性回归和多元回归进行简要介绍，并比较它们的异同点及适用范围。
一、线性回归线性回归分析是一种利用自变量（或称解释变量）与因变量（或称响应变量）之间线性关系建立数学模型的方法。
其基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1至Xn代表自变量，β0至βn为待估计的回归系数，ε代表随机误差。
目标是通过最小化误差平方和，估计出最优的回归系数。
线性回归的优点在于模型简单、易于解释和计算。
然而，线性回归的局限性在于它适用于解释变量与响应变量存在线性关系的情况，并且需要满足一些假设条件，如误差项服从正态分布、误差项方差相等等。
二、多元回归多元回归是线性回归的扩展，通过引入多个自变量来建立回归模型。
其基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε与线性回归类似，多元回归也是通过估计回归系数来建立模型，使得预测值与实际观测值的误差最小化。
多元回归相比于线性回归的优点是能够考虑多个自变量对因变量的影响，更符合实际问题的复杂性。
例如，预测一个人的身高可以同时考虑性别、年龄、体重等多个因素。
然而，多元回归的缺点也是显而易见的，引入更多的自变量可能导致模型过于复杂，产生多重共线性等问题，同时样本的数量和质量也对多元回归的效果有重要影响。
三、线性回归与多元回归的比较1. 模型形式线性回归和多元回归的模型形式非常相似，都是以自变量和回归系数之间的线性组合来预测因变量。
多元回归可以看作是线性回归的一种特殊情况，即自变量只有一个的情况。
2. 自变量个数线性回归只能处理一个自变量的情况，而多元回归则可以同时处理多个自变量。
多元回归相比于线性回归具有更强的灵活性和准确性。
3. 模型解释线性回归的模型相对较为简单，容易解释和理解。
线性回归原理
在统计学中，线性回归（Linear Regression）是利用称为线性回归方程的最小平方函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。
这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。
只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归。
（这反过来又应当由多个相关的因变量预测的多元线性回归区别，而不是一个单一的标量变量。
）
在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。
这些模型被叫做线性模型。
最常用的线性回归建模是给定X值的y的条件均值是X的仿射函数。
不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X的条件下y 的条件分布的分位数作为X的线性函数表示。
像所有形式的回归分析一样，线性回归也把焦点放在给定X值的y的条件概率分布，而不是X和y的联合概率分布（多元分析领域）。
线性回归是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。
这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其未知参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定。
线性回归模型经常用最小二乘逼近来拟合，但他们也可能用别的方法来拟合，比如用最小化“拟合缺陷”在一些其他规范里（比如最小绝对误差回归），或者在桥回归中最小化最小二乘损失函数的惩罚.相反,最小二乘逼近可以用来拟合那些非线性的模型.因此，尽管“最小二乘法”和“线性模型”是紧密相连的，但他们是不能划等号的。
线性回归分析
线性回归分析线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习的分析方法，用于建立和预测两个变量之间的线性关系。
它可以帮助我们理解变量之间的相互作用和影响，并进行未来的预测。
本文将介绍线性回归的基本原理、模型建立过程和一些应用实例。
一、线性回归的基本原理线性回归的目标是通过一条直线（或超平面）来拟合数据点，使得预测值和实际观测值之间的误差最小。
这条直线的方程可以表示为：y=β0+β1*x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
线性回归的核心假设是，自变量x和因变量y之间存在线性关系，并且误差项ε服从正态分布。
在此基础上，线性回归通过最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，使得预测值和实际值的误差平方和最小。
二、线性回归的模型建立过程1.数据准备：收集包含自变量和因变量的样本数据，确保数据的质量和准确性。
2.模型选择：根据自变量和因变量之间的性质和关系，选择合适的线性回归模型。
3.模型拟合：使用最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，计算出拟合直线的方程。
4.模型评估：通过误差分析、残差分析等方法来评估模型的拟合效果和预测能力。
5.模型应用：利用已建立的模型进行预测和推断，帮助决策和预测未来的结果。
三、线性回归的应用实例线性回归可以应用于各个领域和实际问题中，下面以几个典型的实例来说明其应用：1.经济学：通过分析自变量（如GDP、通货膨胀率）对因变量（如消费水平、投资额）的影响，可以建立GDP与消费的线性回归模型，预测未来消费水平。
2.市场营销：通过分析广告投入与销售额之间的关系，可以建立销售额与广告投入的线性回归模型，帮助制定广告投放策略。
3.医学研究：通过收集患者的生理指标（如血压、血糖水平）和疾病状况，可以建立生理指标与疾病发展程度的线性回归模型，帮助疾病诊断和治疗。
4.金融风险管理：通过分析利率、汇率等宏观经济变量与企业盈利、股价波动之间的关系，可以建立风险预警模型，帮助企业进行风险控制和决策。
线性回归模型的基本原理有哪些
线性回归模型的基本原理有哪些
线性回归模型的基本原理包括以下几个方面：
1. 假设空间：线性回归模型假设目标变量与特征之间存在线性关系，即通过线性组合来描述目标变量与特征之间的关系。
2. 目标函数：线性回归模型通过最小化目标函数来寻找最佳的参数估计值。
目标函数通常是残差平方和（RSS，Residual Sum of Squares），即将预测值与真实值之间的差异进行平方求和。
3. 参数估计：线性回归模型通过最小二乘法来估计参数，即通过求解目标函数关于参数的偏导数并令其为0，得到参数的估计值。
4. 模型评估：通过各种评估指标来评估线性回归模型的拟合效果，常见的评估指标包括均方误差（MSE，Mean Squared Error）、决定系数（R-squared）等。
5. 假设检验：线性回归模型可以通过假设检验来验证估计的参数是否具有统计显著性。
常见的假设检验包括t检验、F检验等。
6. 可解释性：线性回归模型具有很好的可解释性，可以通过参数的值来解释特征对目标变量的影响程度。
【统计分析】简单线性回归
年龄与运动后最大心率的回归方程
X ＝41.8
Y 166.8
lXX 381.2 lYY 4477.2 lXY
1226.8
b lXY lXX
1226.8 381.2
3.218
a 166.8-(-3.218) 41.8 301.3124
Yˆ 301.3124 3.218X
2.研究目的不同：回归用来说明两变量数量上的依存 变化关系，相关说明变量间的相关关系。
小结
简单线性回归是研究两个变量间线性关系的数量表 达式。根据最小二乘法原则，计算回归方程。
进行简单线性回归分析需要满足线性、独立 、正 态 与等方差4个条件。
在简单线性回归分析中，对回归方程的检验等价于 对回归系数的假设检验，可通过方差分析或t检验 完成。
区别
1.资料要求不同：回归要求y服从正态分布，x是可以 精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归； 相关要求两个变量服从双变量正态分布。这种资料 若进行回归分析称为Ⅱ回归，可计算两个方程。
I型回归：X是精确控制的； II型回归：X是随机的。 由X推算Y： Yˆ aY .X bY .X X 由Y推算X： Xˆ aX .Y bX .YY
n
(X X )2
Y 的容许区间估计 个体Y值的容许区间
给定 X 时 Y 的估计值是 Y 的均数 Y的一个估计。
给定X 时 Y 值的容许区间是 Y 值的可能范围。
Y 的100(1- )%容许限:
1 (X X )2
Y t ,n2 sY Y t ,n2 sY .X
1 n
(X X )2
小的。(最小二乘)
三、总体回归系数的假设检验
线性回归名词解释
线性回归名词解释线性回归(linearregression)也称线性模型(linearmodel)是在最小二乘法的基础上发展起来的一种拟合多个自变量或多个二级变量之间关系的统计分析方法。
它将因变量X的观测值Y与相应的自变量因素之间作线性多元关系。
因此，所有观测值和其各自的因素都可以表示为同一线性回归方程式。
由于变量数目的减少，计算工作量大为减轻，这对于自变量数目繁多的情况是很有利的。
线性回归又可根据因变量是否显著变化而分为简单线性回归和加权线性回归。
但线性回归并不是一般地拟合观测值，而只是表明数据间的依赖关系。
线性回归的目的在于：①估计和预报未知参数a和b；②分析判断和解释两个或多个自变量间的关系；③识别隐含的规律性并揭示其内在联系。
线性回归模型的建立包括三步：(1)确定线性回归方程式，即y＝aX+b; (2)求解，即利用回归方程式，分别计算a和b 的值； (3)判断，即将各自回归方程式进行整理、比较，得出相互间的显著差异，说明问题所在。
由于简单线性回归方程具有直观形象、便于操作等优点，在实际工作中得到了广泛的应用。
用样本估计总体，使用者不仅要考虑样本与总体的偏差，还要注意在处理数据时能否正确把握抽样方法及抽样精度，否则就会造成估计结果的不准确。
随机误差项的估计在线性回归中是通过样本数据来完成的。
样本平均值与总体平均值的平方差作为样本估计量。
用样本估计总体，需要估计的参数有残差平方和，平均值，总体标准差，方差。
这里的残差就是包含在残差平方和中的由于估计方法所产生的误差。
线性回归模型的检验线性回归模型检验的基本思想是设法寻找一个估计量，当样本服从正态分布时，用此估计量近似地代替总体的真实估计量。
若估计量与总体真实估计量相差甚微，表明该模型的估计精度较高。
例如对总体参数做线性回归，所获得的残差平方和可以看作误差，残差平方和越接近于0，表明估计值的精度越高，反之精度越低。
对总体参数做线性回归，当估计量与总体真实值相差甚微时，表明该模型的估计精度较高。
线性回归分析
注意: 逐步添加法或逐步剔除法, 都应当强调“逐步” . 不 能一次按照各个变量的统计量的值 fj 的显著性概率 p 是否 小于等于选定的显著性水平 , 来决定是否作为 Y 的自变 量. 因为每添加或剔除一个变量, 都会引起所有回归系数的 变化和统计量的值 fj 的变化. 一次处理会造成误判, 只有逐 步处理, 才是恰当的.
= ( 1, 2, …, k)T
若估计出, ˆ (ˆ1, ˆ2 ,, ˆk )T 则有 Yˆ Xˆ
所以
Y Yˆ e
于是有 Y Yˆ e Xˆ e
两边左乘XT, 得 X T Y X T Xˆ X T e
由几何解释XT e , 故有XTe = 0, 所以可以求出:
Y 1 2X u
其中 ˆ1, ˆ2 为1， 2 的估计值, 则 Y 的计算值Ŷ, 可以
用下式表达:
Yˆ ˆ1 ˆ2 X
所要求出待估参数 ˆ1, ˆ2, 要使 Y 与其计算值Ŷ之间 的“误差平方和”最小. 即： 使得
Q
(Y
Yˆ
2
)
ei2
(4) u ~ N(0, 2u In )
(5) E(XTu) =0 , 或者, X 为确定矩阵
1 X12 X1k
X
1 1
X 22
X n2
X2k
X nk
(6) 秩 ( X ) = k, ( k<n)
2. 普通最小二乘法估计式
在模型中, 代入样本观测值之后, 可得
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，大致可以用下式表示：
Y 1 2 LnX u
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d. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成 绩 , 俄 语 语 法 成 绩 , 俄 罗斯 概况成 绩
e. Dependent V ari abl e: 俄 语 作 文 词 汇 密 集 度
方差分析表：验证因变量与自变量无线性相关的概率，如 果P<0.05，则回归模型具有统计意义。
Coefficientsa
Unstandardized C o effic ients
Model
1
(C o nstant)
试题库平均分
B Std. Error
1.070
9.935
1.007
.094
a. Dependent Variable: 最 新 模 拟 得 分
Standardized C o effic ients
629.008 4650.200
df 1 18 19
Mean Square 4021.192 34.945
a. Predicto rs: (Co nstant), 试 题 库 平 均 分
b. Dependent Variable: 最 新 模 拟 得 分
F 115.072
Sig. .000a
方差分析表：验证因变量与自变量 无线性相关的概率，如果P<0.05， 则回归模型具有统计意义。
.000d
Residu al
.082
25
.003
Total
.591
29
a. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩
b. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成 绩
c. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成 绩 , 俄 语 语 法 成 绩
挑选满足一定条 件样本进行分析
样本数据点的标 志变量
因变量 自变量
输出 与回 归系 数相 关统 计量
Statictics
Option
回归方程中 包括常数项
输出 判定 系数、 F检验 的方 差分 析表
如果自变量的F概率值小 于0.05则拒绝H0，认为该 变量对因变量的影响是显 著的，就引入回归方程； 如果自变量的F概率值大 于0.10则接受H0，认为该 变量对因变量的影响不显 著，应从回归方程中剔除。
一元线性回归分析
Linear Regression
一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他 影响因素确定的条件下，分析某一个因素（自变量） 是如何影响另一个事物（因变量）的过程，所进行的 分析是比较理想化的。
一般来说，对于具有线性相关关系的两个变量，可以 用直线方程来表示它们之间的关系。即
Y=β0+β1 x +ε Β0称为回归常数， β1称为回归系数。 ε称为随机拢动项。
2. 依次选中“analyze---regression---linear”打开线 性回归主对话框。
3. 将最新模拟得分选入“dependent”（应变量） 内，试题库得分选入“independent”作为独立变 量。
4. 打开“save…”对话框，勾选“unstandardized” （保存未标准化的预测值—输出预测分值）和 “prediction intervals”栏中的“individual”（保 存因变量的区间—输出预测分的范围）。按 “continue”返回。
一位英语教师先后从高考试题库调出三套 试题，对其高三学生进行了三次模拟考试， 并计算出他们三次模拟考试的平均分。近 来，他又根据今年最新考试大纲要求设计 了一项新的模拟考试，用该试卷对同一批 学生再次进行模拟考试。试研究试题库考 试平均分与最新模拟考试成绩的关系。
步骤：
1. 通过相关分析检验试题库平均分和最新模拟得 分是否存在显著相关关系。
df 1
28 29
2 27 29
3
Mean Square .410 .006
.234 .005
.164
F 63.142
S ig . .000a
51.658
.000b
42.827
.000c
Residu al
.099
26
.004
Total
.591
29
4
Reg ressio n
.510
4
.127
39.063
5. 按“ok”完成。
结果分析
Variables Entered/Removedb
Mo d el 1
Variables Entered 试 题a库 平 均分
Variables Remov ed
.
Meth o d Enter
a. All requested v ariables entered.
b. Dependent Var iable: 最 新 模 拟 得 分
➢定义：研究在线性相关条件下，两个或 两个以上自变量对一个因变量的数量变 化关系，称为多元线性回分析。
➢功能：用于解释因变量与两个或两个以 上独立变量之间的相互关系。
➢多元线性回归模型是一元线性回归模型 的扩展，基本原理与一元线性回归模型 类似
➢例题：某俄语系的教师们根据语言测试 标准，结合本系学生的水平与教学实践， 设计出一个专门测量学生作文词汇密集 度的标准，密集度范围在1-0之间，该指 数越接近1，表示作文的词汇密集度越高。 同时他们评出了其它六门俄语专业主要 课程标准化考试的成绩，试检验这些课 程成绩与学生作文词汇密集度水平的关 系。
Beta
.930
t .108 10.727
Sig. .915 .000
回归系数分析表：B—偏回归 系数； Std.Error—偏回归系 数标准误；Beta—标准化偏回 归系数
➢回归方程: –Y=a+bx=1.070 + 1.007x
➢标准化回归方程:
–Y=βx = 0.93x (β=Beta)
多元线性回归分析
4. 其他选项保留默认基本选项，点击“ok” 完成。
结果分析
A NOVAe
Mo d el 1
2
3
Reg ressio n Residu al Total Reg ressio n Residu al Total Reg ressio n
Sum of Squar es
.410 .182 .591 .469 .122 .591 .492
线性回归
回归的含义
回归（Regression，或Linear Regression） 和相关都用来分析两个定距变量间的关系，但回 归有明确的因果关系假设。即要假设一个变量为 自变量，一个为因变量，自变量对因变量的影响 就用回归表示。如年龄对收入的影响。由于回归 构建了变量间因果关系的数学表达，它具有统计 预测功能。
Plots
标准化预测值 标准化残差 剔除残差 修正后预测值 学生化残差 学生化剔除残差
输出带有正态曲线的标准化残差直方图 残差的正态概率图
输出每个自变量 残差相对于因变 量残差的散布图
预测值栏
距离栏 设置预测区间 保存结果到 新文件
Save 残差栏 影响点的统计量栏
导出模型信息到XML文件
➢例题：
多元回归分析统计量表(回归模 型表）
Model Summar y
Mo del 1 2 3 4
R .832a .890b .912c .928d
R Square .693 .793 .832 .862
A djusted R Square
.682 .777 .812 .840
Std. Erro r of the Estimate
一元线性回归分析变量进入/删除表
Model Summaryb
Model 1
R
R Square
.930a
.865
A d justed R Square
.857
a. Predictors: (Con stan t), 试 题 库 平 均 分
b. Dependent Variable: 最 新 模 拟 得 分
步骤：
1. 使用相关分析检测七项考试数据相关情 况，存在明显相关的话进行回归分析。
2. 依次选中“analyze---regression---linear”
3. 将“作文词汇密集度”选入应变量栏内， 其余变量选入独立变量栏内。在 “method”（选入方法）栏的下拉列表中 选择“step-wise”（逐步法）。
1
2
3
4 工龄 5
在统计学中，这一方程中的系数是靠x与y变量的 大量数据拟合出来的。
Y=a+bx
Y
（xห้องสมุดไป่ตู้y）
X
比如通过上学年数和工资的关系计算得出 下列的回归公式：
y=472+14.8x
就可知上学年数每增长1年，工资会增加 14.8元；
也可推测，上学年数为15年的人，工资收 入应为472 + 14.8 *15=694元。
.08053 .06735 .06186 .05711
a. Predic tor s: (C on stan t), 俄 语 词 汇 学 成 绩
b. Predic tor s: (C on stan t), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成绩
c. Predic tor s: (C on stan t), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成绩 , 俄语 语法 成绩
回归分析
▪ 一元线性回归分析 ▪ 多元线性回归分析
Analyze Regression …
线性回归的操作步骤