1[1]11正弦定理(两课时)

（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
解： ∵ b c
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
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b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 sin 30
19
例 2 在△ ABC中，已知a＝2，b＝ 6
A＝45°，求B和c.
C
b
A
45° B2
B1
小结
1. 正弦定理
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
C
b
B/
a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理
A
A
B
Ob C
B`
O bC B` B
b sinB =2R
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R.
正弦定理
一、 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
2
（2）在△ABC中，已知c= 3，A= 75，B= 60，求b。
解：∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60) 45
又∵
bc sin B sin C
∴ b c sin B sin C
3 sin 60 3 2 sin 45 2
在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？
a 形是否b也有这个c c = sin A , c = s关in系B？, c = sinC
c
a
a
b
c
=
=
A
sin A sin B sinC
bC
正弦定理
B
BAB' 90, C B'
sin C sin B' c
c
2R
c 2R
A
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a
O
∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
sinB＝
b
sinA a
＝1 ，
20
B＝90°.
60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
60° A
正弦定理
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
则B＝_3_0_°_.
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则
3 B＝_7_5_°__或__1_5_°____.
二、解三角形：已知三角形的几个元素求其他元素
的过程 (1)知两角和一边，可求其他两边和一角； (2)知两边和其中一边的对角，可求其他的边和角.
定理正的弦应定理用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
正弦定理
△ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°， 则a＝√_2___.
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
正弦定理
1.1.1正弦定理
引入 正弦定理
引例：
为了测定河岸A点 到对岸C点的距离，在 岸边选定1公里长的基 线AB，并测得 ∠ABC=120o， ∠BAC=45o，如何求A、 C两点的距离？
.C .B .A
正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a
b
c
sin A = 对c ,于si一n B般=的c三,s角inC = 1 = c B
＝2R
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
变式训正练弦：定理
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45，B=60，求a。
解：∵ a b sin A sin B
∴ a b sin A =
sin B
3 sin 45 = sin 60