(完整版)状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
5第五节极点配置
K = [− 9.4 − 79.1 − 170.8]
以上述状态阵K反馈后的状态方程为：
1 0 0 0 ɺ X = ( A + B K ) X + Bv = 0 0 1 X + 0 v − 172.8 − 82.1 − 14.4 1 y 输出方程为： = x1 = [1 0 0]X
Saturday, June 25,1]一个三阶系统的微分方程为：ɺ(t ) + 5 ɺɺ(t ) + 3 y (t ) + 2 y (t ) = u (t ) y 希望该系统有小的超调量，调整时间小于1秒。试确定状态反馈 阵K，以满足上述要求。
选择希望的特征方程为： * (λ ) = (λ2 + 2ζλ + ω n 2 )(λ + ζω n ) = 0 f 因为要求小的超调量，所以可以取ζ = 0.8，那么调整时间为：
Saturday, June 25, 2011
11
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9
u K 状态反馈阵K是： = [k1 k 2 k3 ] 。取控制量为： = K X ɺ 则：X = A X + B K X = ( A + B K ) X 1 0 0 0 1 其中：A + B K = 0 − 2 + k1 − 3 + k 2 − 5 + k3 特征方程为： f (λ ) = det[λI − ( A + B K )] = λ3 + (5 − k3 )λ2 + (3 − k 2 )λ + (2 − k1 )
u
B
图a
ɺ x
+
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
反馈控制与极点配置
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因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
0 1 0 0
x
0
0
10 0 0 ]x
在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时 需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
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解 1： 判断系统的能控性。
➢ 开环系统的能控性矩阵为
[B
AB]12
-4 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。
2. 求能控规范II形:
T1 [0 1][B AB]1 1/6 1/3
Tc21
T1 T1A
1 6
1 1
2 8
A~
Tc21ATc2
0 5
1 2
B~
Tc21B
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• 下面分别讨论:
– 状态反馈极点配置定理 – SISO系统状态反馈极点配置方法 – 输出反馈极点配置
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6.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题: ➢ 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 ➢ 下面的定理就回答了该问题。
2 8
-7/3 26/3
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
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x13141 1578x12u
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。
反馈控制与极点配置
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
自动控制原理学生实验：线性系统的状态反馈及极点配置
实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
状态反馈与闭环极点配置
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§3.2-2 单输入系统的极点配置 确定反馈增益阵 K 为
1 ⎤ ⎡0 0 ˆ −1 = [ −4 66 14] ⎢0 1 −12 ⎥ K = KT ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 −18 144 ⎥ ⎦ = [14 −186 1220]
− 1 ± j.
则 A + BK 的特征值为 −2,
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§3.2-3 多输入系统的极点配置 分两种情形进行讨论。 (1) A 为循环矩阵 A 为循环矩阵，则必有向量 引理3.1 若 ( A, B ) 能控， α ∈ \ p×1 , 使得 ( A, Bα ) 单输入能控。 证明：因为 A 为循环矩阵，故 A 的互异特征根各自对应 一个若当块，设 λ1 , λ 2 , " λσ 为 A 的互异特征值,对( A, B ) 进行非奇异线性变换，令
的系数。
使得
9
§3.2-2 单输入系统的极点配置 令 则由
ˆ = KT = [k K 0
k1 " kn −1 ]
(3.2.7)
ˆ ˆ = T −1 AT + T −1bKT = T −1 ( A + bK )T ˆ + bK A ˆK ˆ +b ˆ 与 A + bK 有相同的特征值。 知 A
由(3.2.5), (3.2.7)得
24
§3.2-3 多输入系统的极点配置 证明：必要性：即定理3.4。 充分性：用反证法。设 ( A, B ) 不完全能控，则对其进行 能控性分解
⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ −1 −1 ˆ ˆ A = T AT = ⎢ , B = T B = ⎢ ⎥ (3.2.18) ⎥ ⎣0⎦ ⎣ 0 A22 ⎦ ( A11 , B1 ) 为完全能控。则对任一状态反馈矩阵 K , 令 ˆ = KT = [ K K ], 则有 K
极点配置与状态反馈
输出反馈对能控性、能观性的影响
定理：输出至状态微分处的反馈不改变系统 的能观性，但可能改变系统的能控性。
u
B
x x C y
A
x (A HC)x Bv
y Cx
H
示例：Y (s) U (s)
b1s b0 s2 a1s a0
A
0 1
a0 a1
,
b
b1 b2
,
c
0
1
A
hc
0 1
无直接传输系统的状态反馈
原系统
x Ax Bu
y Cx
引入状态反馈 新系统
u v Kx
x (A BK)x Bv
y Cx
v uB
x x C y
A
K
状态反馈增益矩阵K的维数？系统的特征多项式和传 递函数？
输出反馈至参考微分处
新系统
x (A HC)x Bu y Cx
传递函数 C(sI A HC)1B
Ao P1AP, bo P1b, co cP
0 1 0 0 0 0
0
0
1
0
0
1
Ao
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
,
bo
2 3
,
co
1
0
0
0
0
a0 a1 a2 a3 a4 4
第一能观标准型
Review
SISO系统第二能控、能观标准型1
第二能控标准型
0 1 0 0 0
0 0 0 0 a0
b1
1
0
0
0
a1
b2
Ao
0 0
1 0
0 1
现代控制理论 极点配置
− −
= [ − − A − ]
= [ − − + ( − )( )]
ഥ−
ഥ
ഥ )]
= [ − (
ഥ −
其中， = , 即 =
这说明对于任意给定的期望极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ ，都可以找到状态反馈矩阵
,
= 2
1 3
满秩，系统是完全能控的，可由状态反馈任意配置系统的闭环极点。
（2）闭环系统的期望特征多项式为 ：
∗ = ( − 1 )( − 2 ) = 2 + 2 + 5
（3）设状态反馈阵为： =
− −
=
−
−2
4Hale Waihona Puke ，则状态反馈控制系统的特征多项式为：
二. 状态反馈极点可配置的条件
定理：线性定常系统
ሶ =A+B ， 0 = ， ≥0
=
可通过状态反馈 = − + 任意配置全部极点的充要条件是系统完全能控。
5.2
极点配置问题
证明：充分性(只讨论单输入单输出系统)
已知系统为完全能控，证明可任意配置极点。
即通过状态反馈必成立 − −
1. 利用非动态输出反馈 = − + ，不能任意地配置系统的全部极点。
以单输入单输出系统为例，设受控系统的传递函数为 ()，则输出反馈系统的传递函
数为:
()
=
1 + ()
因此，闭环系统的根轨迹方程为: 1 + =
当从0到∞ 变化时，就得到了闭环系统的根轨迹。
5.2
极点配置问题
三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法
极点配置
只要原系统(A，B，C)是能控(见 能控性)的,则这样的反馈增益矩阵K就一定可以找到。反馈 增益矩阵K的 求解，对于单输入单输出情况，已有较为简单的计算公式；对于一般的多输入多输出情况，计算步骤要复杂得多， 往往需要采用计算机来处理。
极点配置
数学术语0103 定Fra bibliotek 05 配置方法
目录
02 意义 04 状态反馈
通过比例环节的反馈把定常线性系统的极点移置到预定位置的一种综合原理。 极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。
pole assignment
极点配置定常线性系统的动态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵（见传递函数）的极点在复数平面 （表示复数 s=x+jy的直角坐标平面）上的位置。
谢谢观看
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
配置方法
如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而 使系统的动态性能得到改善，这种方法称为极点配置法。
有一控制系统其中a>b>0，要求设计一个控制器，使系统稳定， 解：（1）校正前，闭环系统的极点： s-a+s+b=0 s= > 0 因而控制系统不稳定。 （2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节， c>0，则闭环系统极点： 显然，当 c-a+1>0,b-ac>0时，系统可以稳定。但此对参数 c的选择依赖于 a、 b。因而，可 选择控制器， c、 d，则有特征方程： 当b+d+c>a，时，系统稳定。 本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的 参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
现代控制理论课后答案(俞立)第五章
《现代控制理论》第5章习题解答5.1 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x =+=, ，画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。
答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为：u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的闭环系统结构图为闭环系统结构图5.2画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型。
答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为具有输出反馈的闭环系统状态空间模型为u Fy =−+v ()x A BFC x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为后案网 ww w.kh d5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影响如何？答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。
输出反馈不改变系统的能控性和能观性。
5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理5.1.1。
答：加入状态反馈后得到闭环系统K S ，其状态空间模型为()x A BK x Bv y Cx=−+=开环系统的能控性矩阵为0S 1[,][]n c A B BAB A B −Γ="闭环系统K S 的能控性矩阵为 1[(),][()()]n cK A BK B B A BK B A BK B −Γ−=−−"由于222()()()()(A BK B AB BKBA BKB A ABK BKA BKBK B)A B AB KB B KAB KBKB −=−−=−−+=−−−#以此类推，总可以写成的线性组合。
因此，存在一个适当非奇异的矩阵U ，使得()m A BK B −1,,,m m A B A B AB B −[(),][,]cK c A BK B A B U Γ−=Γ由此可得：若rank([,])c A B n Γ=，即有个线性无关的列向量，则n [(),]cK A BK B Γ−也有个线性无关的列向量，故n rank([(),])cK A BK B n Γ−=5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。
7.4 状态反馈及极点配置
x(t ) ( A BK ) x(t ) Br
由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征 值决定。如果矩阵K选取适当，则可使矩阵A-BK构成一个渐 近稳定矩阵。矩阵A-BK的特征值即为闭环系统的极点。
这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为 极点配置问题。
3
可配置条件_极点配置定理
线性定常系统的状态反馈和极点配置
状态反馈与极点配置
问题的提法 可配置条件(极点配置定理) 极点配置的算法
输出反馈与极点配置
1
问题的提法
给定单输入单输出线性定常被控系统
x Ax Bu
选取线性反馈控制律为
x(t ) R n , u(t ) R1 , A R nn , B R n1
an1 1 0 0 1 0 0 0
式中ai为特征多项式的系数：
sI A s n an 1s n 1
a1s a0
5
极点配置定理_充分性
定义一个新பைடு நூலகம்状态向量 x Px 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的），则矩 阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 x Ax Bu 改写为
这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等。 通过使s的同次幂系数相等，可得
7
极点配置定理_充分性
a0 k0 a0
a1 k1 a1
an 1 kn 1 an 1 求解上述方程组，得到 ki
的值，则
K KP 1 [k 0 k1
[ a0 a0 a1 a1
0 0 1 Ac P AP 0 a0
x Ac x Bcu
线性系统状态反馈与极点配置
实验报告课程名称：现代控制理论实验名称：线性系统状态反馈与极点配置一、实验目的1. 学习并掌握利用MATLAB编程平台进行控制系统设计与仿真的方法。
2. 通过仿真实验，研究并总结线性定常系统状态反馈对系统控制性能影响的规律。
3. 通过仿真实验，研究并总结状态反馈对状态不完全能控系统控制性能影响的规律。
二、实验内容（一）实验任务：1. 自行选择一个状态完全能控型SISO系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求计算期望的极点并进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；2. 自行选择一个状态不完全能控型SISO系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；根据实验结果，总结各自的规律。
三、实验设计1.实验条件1.利用本学期所学的现代控制理论的知识为基础。
2.笔记本电脑，matlab四、实验过程1.设计状态完全能控型SISO系统模型及参数：X=(0101)X+(01)Xy=(11)Xa)首先判断系统的能控性[X XX] = [0111]，是Rack([B AB]) = 2，因此此系统为可控的系统。
可以进行任意极点配置。
则期望极点配置二重根1。
b)再求状态反馈阵K=(X0 ,X1)：X(x)=det[λI−(A+bK)]=X2−X1X−X0c)根据给定的极点，得到期望特征多项式：X∗(X)=(X−1)(X−1)d)比较X(x)和X∗(X)各对应项系数，可解得：X0=−1X1=2K=(−12)e)即状态反馈控制器：u=-K*x状态反馈闭环系统空间表达式x=A-B*K*xA1 = A – B*K = [0 1；1 -2]2.设计状态不完全能控型SISO系统模型及参数：X=(1001)X+(1)Xy=(11)Xa)首先判断系统的能控性[X XX] = [1100], Rank([B AB]) = 1，因此系统是不完全能控的，不能进行任意极点配置。
极点配置
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2
an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x
状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为
系统状态完全可观测
30
例： 设系统的状态空间表达式为 1 1 0 1 状态方程同前 1 1 0 x 0 u x 面极点配置例 0 1 3 0
4
状态反馈系统的状态方 程为 ( A BK ) x Br x yCx
状态反馈系统的传递函 数为 G ( s ) C ( sI A BK ) 1 B
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性 注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
自动控制原理
控制系统分析与设计的
状态空间方法2 ——综合与设计
（第八章）
1
状态空间法综合的基本概念
综合问题的三大要素:
受控系统、性能指标、反馈控制律
综合与设计的主要特点:
以采用状态反馈为主 具有较系统的综合理论 基于非优化型指标的极点配置方法 基于优化类性能指标的目标函数极值法
2
主要内容
通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为
1 2 3 1
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[ sI A BK ] s 3 ( k 1 3 )s 2 ( k 2 2 k 1 2 )s ( k 3 3 k 2 3 k 1 6 )
r
-
u
B
x
∫
A
x
C
y
H
6
3.
状态反馈与输出反馈比较
反馈功能： 状态反馈——完全反馈 输出反馈——不完全反馈
反馈作用： 两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值； 输出反馈可视为状态反馈的一种特例。
状态反馈和状态
(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f ( ) de t[I ( A BK )] (3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n an a a 1 1 0
2014-9-25 6
0 rank[Qc ] rank[ B AB A2 B ] rank 0 1
0 1 6
1 6 3 31
该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 （2）计算闭环系统的特征多项式 设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0 0 1 ( n1 k n ) 0
第二能控标准型下闭环系统的特征多项式： (系统的不变量)
f ( ) I ( A B K ) n (a n1 k n )n1 (a1 k 2 ) (a0 k1 )
Qc 0 B 0 ( A, B, C )的能控性判别阵为：
k ( A BK , B, C )的能控性判别阵为：
AB An1 B
Qck B ( A BK )B ( A BK )n1 B
可见， Qck的第一列同 Qc 0的第一列。
标量
Qck的第二列 : ( A BK )B AB BKB为Qc 0一、二列的线性组合
K [ 0 0 a1 a1 n1 n 1 ]
1 (7)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：K KPc 2
2014-9-25
11
重新求解前面例1：
[解 ] ： （1）可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控， Pc 2 I 此时变换阵 （2）计算第二能控标准型下闭环系统的特征多项式
线性系统极点配置问题
线性系统极点配置问题张颖(控制学院 检测技术与自动化装置 2009010191)摘要： 极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。
机点配置实质上是对经典控制理论综合方法的一个直接推广。
本文针对单输入连续时间线性时不变受控系统，基于状态反馈类型控制，系统讨论极点配置问题的综合理论和综合算法。
1. 问题的提出：状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=-Kx+v, v 为参考输入即确定一个 的状态反馈增益矩阵K ，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为{ }，也就是成立 解决上述极点配置问题，需要解决两个问题： 1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。
2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。
2.问题的解决： 〈一〉准备知识1. 循环矩阵定义：如果系统矩阵A 的特征多项式等同于其最小多项式，则称为循环矩阵。
2. 循环矩阵特性：1）A 为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中相应于每一个不同的特征值仅有一个特征块。
2）如果A 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特征值必仅有一个约当块，因此A 必定是循环的。
3）若A 为循环矩阵，则其循环性是指：必存在一个向量 b ，使向量组可张成一个 n 维空间，也即{A ，b}为能控。
4）若{A ，B}为能控，且A 为循环，则对几乎任意的实向量 p,单输入矩阵对 {A ，Bp}为能控。
5) 若A 不是循环的，但{A ，B}为能控，则对几乎任意的常阵K ，A-BK为循环。
〈二〉 极点可配置条件线性定常系统 可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。
证：必要性：已知可配置极点，欲证{A ，B}为能控。
n p ⨯BuBK A +-=x x )( **2*1,,,nλλλ n i BK A i i ,,2,1,)(* ==-λλBu A +=x x利用反证法，假设{A ，B}不完全能控，则必可分解为：上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置极点，与已知前提矛盾，故假设不成立。
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
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状态反馈只改变极点， 不改变零点
11
状态反馈系统的仿真结构图
取 D=0, C=I
x( t )
程序：ac8no1
12
仿真结果：零状态响应
x3 r( t ) 1( t )
x2 x1
13
仿真结果：零输入响应
x3
x2
x1
10
初始状态
x(
0
)
0.5
1
14
例： 系统的状态方程同前例
而系统希望的特征多项式为
f * ( s ) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) s3 5s2 17 s 13
令 f * ( s ) f ( s ) 得 k1 8, k2 35 , k3 136
所以状态反馈阵为 K 8 35 136
一．状态反馈与输出反馈 二．状态反馈与闭环极点配置 三．线性二次型最优控制（自学） 四．状态观测器及状态反馈 五．鲁棒控制系统（自学）
3
一、状态反馈与输出反馈
1. 状态反馈
x Ax Bu y Cx
u r Kx
ru
B
x
x
y
∫
C
A
K 加入状态反馈后的系统结构图
闭环传函？ 状态方程？
x 1
1
0
x
0u
0 1 3 0
试通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为 1 1, 2,3 2 j3
1 1 2
解： Qc B AB A2B 0 1 0
0 0 1
显然满秩，所以系统可控。
9
状态反馈系统的特征多项式为
4
状态反馈系统的状态方程为 x ( A BK )x Br yCx
状态反馈系统的传递函数为 G( s ) C( sI A BK )1 B
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性
注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
1
( s 3 )( s 1.414 )( s 1.414 )
有反馈时 x ( A BK )x Br , X( s ) G f ( s )U( s ),
Gf
(
s
)
(
sI
A
BK
)1 B
1
(
s
1 )( s
s3 1
3
)
5
2. 输出反馈
x Ax Bu
u r Hy
y Cx
反馈系统的状态方程和传递函数分别为
x ( A BHC )x Br
比较：状态反馈为 K
y Cx
对于任意的 H，一定有
G( s ) C( sI A BHC )1 B K HC ，但反之不成立
ru
B -
自动控制原理
控制系统分析与设计的
状态空间方法2 ——综合与设计
（第八章）
1
状态空间法综合的基本概念
综合问题的三大要素:
受控系统、性能指标、反馈控制律
综合与设计的主要特点:
以采用状态反馈为主 具有较系统的综合理论
➢基于非优化型指标的极点配置方法 ➢基于优化类性能指标的目标函数极值法
2
主要内容
f ( s ) det[sI A BK ]
s 0 0 1 1 0 1
det0
s
0
1
1
0
0
k1
k2
k3
0 0 s 0 1 3 0
s3 ( k1 3 )s2 ( k2 Байду номын сангаас2k1 2 )s ( k3 3k2 3k1 6 )
y Cx
通过状态反馈 u r Kx
全部闭环极点的充要条件为：
系统状态完全可控
可任意配置
即状态可控的前提下，反馈系统特征方程
det[sI A BK ] ( s 1 )( s 2 ) ( s n )
的根可以任意设置。
8
例： 设系统的状态方程为
1 1 0 1
( s 1 )3
状态反馈同样只改变极点，不改变零点
17
仿真结果：零状态响应
1
( s 3 )( s 1.414 )( s 1.414 )
有反馈时 x ( A BK )x Br , X( s ) G f ( s )U( s ),
Gf
(
s
)
(
sI
A
BK
)1 B
1
(
s
1 )( s
s3 1
3
)
( s 1 )( s2 4s 13 )
1 1 0 1
x 1
1
0
x
0u
0 1 3 0
通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为
1 2 3 1
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[sI A BK ] s3 ( k1 3 )s2 ( k2 2k1 2 )s ( k3 3k2 3k1 6 ) 而系统希望的特征多项式为 f * ( s ) ( s 1 )3 s3 3s2 3s 1
10
比较反馈前后的状态传递函数
1 1 0 1 无反馈时 x 1 1 0 x 0u
0 1 3 0
X ( s ) G( s )U( s ),
G( s ) ( sI
A )1 B
1
( s 1 )( s 3 ) s3
x
x
y
∫
C
A
H 6
3. 状态反馈与输出反馈比较
反馈功能： ➢状态反馈——完全反馈 ➢输出反馈——不完全反馈
反馈作用： ➢两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值； ➢输出反馈可视为状态反馈的一种特例。
物理实现： ➢输出反馈——易 ➢状态反馈——难
7
二、状态反馈与闭环极点配置
极点配置条件：
对于 x Ax Bu
令 f * ( s ) f ( s ) 得 k1 6 , k2 17 , k3 64
所以状态反馈阵为 K 6 17 64
16
比较反馈前后的状态传递函数
无反馈时 X ( s ) G( s )U( s ),
G( s ) ( sI
A )1 B
1
( s 1 )( s 3 ) s3