机构学和机器人学2运动学中的向量法
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二、复数矢量的表示
设在复平面上有一个单位矢量 aˆ ，则该矢量可表示为：
aˆ cos i sin ei
（2-1）
y
a
a如 图aaˆ的自aO由ei矢量a(aco的s表示i 为sin：x
于是矢量
a
的分量分别为：
a
x
) ax
、 ay
iay
1）向量 a 与单位矢量
ei 相乘：
ei (aei ) aei( )
aei( ) aei a 相当于矢量 转过1800。
（2-4）
3） e i是单位矢量 ei 的共轭矢量
ei ei (cos i sin )(cos i sin ) cos2 sin 2 1
4）两个有用公式
cos ei ei
2
sin i ei ei
2 cos( ) cos cos sin sin
表示向量 a 逆时针转过一个 角。
2）向量 a 与虚数单位i的乘积：
（2-2）
iaei
a(i cos
sin ) acos(
) i sin(
2
2
)
i( )
ae 2 a 相当于矢量 转过900。
（2-3）
同理：i(iaei ) a( cos isim ) acos( ) i sin( )
d (rei ) r ei r i ei
dt
由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式） 矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：
r22iei2 r33iei3 r44iei4 （2-23）
r22iei2 r33iei3 r44iei4
该式由相对运动速度多边形图示说明为：
iei2 、 iei3 、 iei3
的方向，它们是
r2
、
r3
分、 别r4表的示方向r2转2过、2r3所3得、，ra24
是已知的。
r22iei2 r33iei3 r44iei4
如图铰链四杆机构，假设量各d。杆长度为r1、r2、r3、r4输
入角θ2 已知rB，可r列2e出i2独立r位3e置i2和3方）θ4利程。用r：1矢量rd4和eri4求4 出矢量r3，（解出2-θ136）
位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。
首先确定对角线d 的长度：
r2ei2 deid
r1
（2-17）
(d 3 ) 有两个可能解，根据连续条件确定一个。 取（2—20）的虚部得：
r3 sin3 d sind r4 sin4
sin 4
r3
sin3
r4
d sin d
（2-22）
同样，θ4有可能有2个解，根据连续条件加以确定。
（2）速度分析
由位置方程
r2ei2
r3eie3
r1
r4ei4
进行求导：
源自文库
分别为它们的矢量大小（模）， ei、 iei 为单位方向矢。
二阶导数：d 2 dt 2
(rei )
rei
r(ei
i) (r r)iei
r(iei i)
(r r2 )ei (r 2r)iei （2-10）
继续求导可求出高阶导数。
三、空间矢量的复数表示 取坐 标系O—RIJ，矢量 a 如图，R为实轴，I、J为虚轴，
一、平面机构的运动分析
1、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式： a、连续头尾相接的封闭链； b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。 雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。
？ ？
解题思路：
（1）位置分析
1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢
则矢量 a 可写成：
a
a(ei
sin
j cos)
（2-11）
式中θ为矢量 a在复平面（O—RI平面）上的投影
与实轴R间夹角， 为 a 与J 轴的夹角。
J虚
矢量 a 可看成长度a与单位向量 aˆ
的乘积。由式2—11
则单位向量：
I虚
aˆ ei sin j cos （2-12）
O
R实
a
a
aˆ ，其一阶导数，二阶导数为:
（2-5）
（2-6） （2-7）
sin( ) sin cos cos sin （2-8）
5）复数矢量的微分
设矢量
r
re i
，表示某一点相对于固定参考系坐标
原点的位置，则一阶导数：
dr d (rei ) dt dt
rei r(ei i) r ei r i ei
（2-9）
等式右边可看作二个复数矢量 rei 、 riei 其中 r 、 r
机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸 的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件 任一运动变量的变化规律。
运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析。 其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级 机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式， 而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。
a aaˆ aaˆ
a aaˆ 2aaˆ aaˆ
式中：
aˆ ei (i sin cos) j sin
（2-13） （2-14）
aˆ ei sin(i2 ) 2iei cos ei (cos sin 2 )
j(sin cos 2 )
（2-15）
§2-2 利用复数向量进行机构的运动分析
移项，两边分别乘以各自的共轭复数：
(r3ei3 deid )(r3ei3 deid ) r4ei4 r4ei4
r42 r32 d 2 2r3dei(d 3 )
取（2—21）实部得：
（2-21）
r42 r32 d 2 2dr3 cos( d 3 )
c os ( d
3)
r32
d 2 r42 2dr3
r2 sin2 d sind
由此解得：
s in d
r2 d
s in 2
c os d
r1
r2 cos2
d
所以：
tan d
r2 sin 2 r1 r2 cos 2
（2-19）
由式（2—17）计算θd，很容易判别θd的象限， 当矢量 d 可确定后，由于：
r3ei3 deid r4ei4 消去θ4 （2-20）
将式（2—17）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：
(deid
)(deid
)
(r1
r2ei2
)(r1
r2ei2
)
d 2 r12 r22 r1r2 (ei2 ei2 )
或： d r12 r22 2r1r2 cos2
（2-18）
将式（2—17）分解为实部和虚部，得：
r2 cos2 r1 d cosd
设在复平面上有一个单位矢量 aˆ ，则该矢量可表示为：
aˆ cos i sin ei
（2-1）
y
a
a如 图aaˆ的自aO由ei矢量a(aco的s表示i 为sin：x
于是矢量
a
的分量分别为：
a
x
) ax
、 ay
iay
1）向量 a 与单位矢量
ei 相乘：
ei (aei ) aei( )
aei( ) aei a 相当于矢量 转过1800。
（2-4）
3） e i是单位矢量 ei 的共轭矢量
ei ei (cos i sin )(cos i sin ) cos2 sin 2 1
4）两个有用公式
cos ei ei
2
sin i ei ei
2 cos( ) cos cos sin sin
表示向量 a 逆时针转过一个 角。
2）向量 a 与虚数单位i的乘积：
（2-2）
iaei
a(i cos
sin ) acos(
) i sin(
2
2
)
i( )
ae 2 a 相当于矢量 转过900。
（2-3）
同理：i(iaei ) a( cos isim ) acos( ) i sin( )
d (rei ) r ei r i ei
dt
由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式） 矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：
r22iei2 r33iei3 r44iei4 （2-23）
r22iei2 r33iei3 r44iei4
该式由相对运动速度多边形图示说明为：
iei2 、 iei3 、 iei3
的方向，它们是
r2
、
r3
分、 别r4表的示方向r2转2过、2r3所3得、，ra24
是已知的。
r22iei2 r33iei3 r44iei4
如图铰链四杆机构，假设量各d。杆长度为r1、r2、r3、r4输
入角θ2 已知rB，可r列2e出i2独立r位3e置i2和3方）θ4利程。用r：1矢量rd4和eri4求4 出矢量r3，（解出2-θ136）
位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。
首先确定对角线d 的长度：
r2ei2 deid
r1
（2-17）
(d 3 ) 有两个可能解，根据连续条件确定一个。 取（2—20）的虚部得：
r3 sin3 d sind r4 sin4
sin 4
r3
sin3
r4
d sin d
（2-22）
同样，θ4有可能有2个解，根据连续条件加以确定。
（2）速度分析
由位置方程
r2ei2
r3eie3
r1
r4ei4
进行求导：
源自文库
分别为它们的矢量大小（模）， ei、 iei 为单位方向矢。
二阶导数：d 2 dt 2
(rei )
rei
r(ei
i) (r r)iei
r(iei i)
(r r2 )ei (r 2r)iei （2-10）
继续求导可求出高阶导数。
三、空间矢量的复数表示 取坐 标系O—RIJ，矢量 a 如图，R为实轴，I、J为虚轴，
一、平面机构的运动分析
1、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式： a、连续头尾相接的封闭链； b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。 雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。
？ ？
解题思路：
（1）位置分析
1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢
则矢量 a 可写成：
a
a(ei
sin
j cos)
（2-11）
式中θ为矢量 a在复平面（O—RI平面）上的投影
与实轴R间夹角， 为 a 与J 轴的夹角。
J虚
矢量 a 可看成长度a与单位向量 aˆ
的乘积。由式2—11
则单位向量：
I虚
aˆ ei sin j cos （2-12）
O
R实
a
a
aˆ ，其一阶导数，二阶导数为:
（2-5）
（2-6） （2-7）
sin( ) sin cos cos sin （2-8）
5）复数矢量的微分
设矢量
r
re i
，表示某一点相对于固定参考系坐标
原点的位置，则一阶导数：
dr d (rei ) dt dt
rei r(ei i) r ei r i ei
（2-9）
等式右边可看作二个复数矢量 rei 、 riei 其中 r 、 r
机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸 的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件 任一运动变量的变化规律。
运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析。 其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级 机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式， 而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。
a aaˆ aaˆ
a aaˆ 2aaˆ aaˆ
式中：
aˆ ei (i sin cos) j sin
（2-13） （2-14）
aˆ ei sin(i2 ) 2iei cos ei (cos sin 2 )
j(sin cos 2 )
（2-15）
§2-2 利用复数向量进行机构的运动分析
移项，两边分别乘以各自的共轭复数：
(r3ei3 deid )(r3ei3 deid ) r4ei4 r4ei4
r42 r32 d 2 2r3dei(d 3 )
取（2—21）实部得：
（2-21）
r42 r32 d 2 2dr3 cos( d 3 )
c os ( d
3)
r32
d 2 r42 2dr3
r2 sin2 d sind
由此解得：
s in d
r2 d
s in 2
c os d
r1
r2 cos2
d
所以：
tan d
r2 sin 2 r1 r2 cos 2
（2-19）
由式（2—17）计算θd，很容易判别θd的象限， 当矢量 d 可确定后，由于：
r3ei3 deid r4ei4 消去θ4 （2-20）
将式（2—17）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：
(deid
)(deid
)
(r1
r2ei2
)(r1
r2ei2
)
d 2 r12 r22 r1r2 (ei2 ei2 )
或： d r12 r22 2r1r2 cos2
（2-18）
将式（2—17）分解为实部和虚部，得：
r2 cos2 r1 d cosd