机构学和机器人学2运动学中的向量法
向量法解决立体几何问题总结(一)
向量法解决立体几何问题总结(一)向量法解决立体几何问题前言立体几何问题在数学中起到重要的作用，理解和解决立体几何问题对于提升数学思维和解决实际问题都有着积极的影响。
传统的解决方法包括使用平面几何、几何画法等，但这些方法在处理复杂的立体几何问题时可能面临一些困难。
向量法作为一种新的解决方法，在解决立体几何问题方面具有独特的优势和应用空间。
正文1. 什么是向量法向量法是一种几何运算方法，通过定义和运算向量的方式，对立体几何问题进行求解。
向量法帮助我们将几何问题转换为向量问题，进而使用向量的性质和运算来解决。
在向量法中，我们可以通过坐标表示向量，进行向量加减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。
2. 向量法解决立体几何问题的优势•空间直观：向量法将立体几何问题转化为向量问题，使得问题的空间特性更加直观可见。
通过绘制向量图形，我们可以更好地理解问题，有助于从几何角度进行分析。
•简化问题：通过向量法，我们可以将复杂的立体几何问题简化为向量运算问题，减少了繁琐的计算步骤和猜测过程，提高了问题解决的效率。
•统一性：向量法具有统一的运算法则和性质，使得不同类型的立体几何问题可以采用相似的解决思路和方法。
这为解决立体几何问题提供了一种通用的框架，提升了问题解决的一致性和可重复性。
3. 向量法解决立体几何问题的应用案例•平面与直线交点：通过将平面和直线的方程转化为向量形式，可以求得它们的交点。
这样的应用可以用于计算平面与光线的交点，进而用于光线追踪、计算机图形学等领域。
•空间线段位置关系：通过向量的数量乘法和点乘运算，可以判断两个空间线段之间的位置关系，如重叠、相交、平行等。
这样的应用可以用于计算机辅助设计、机器人运动规划等领域。
•图形投影：通过向量的点乘运算，可以求得一个图形在另一个图形上的投影。
这样的应用可以用于计算机图形学、建筑设计等领域。
结尾向量法作为一种新的解决立体几何问题的方法，在数学和工程领域都有着广泛的应用。
运动学矢量法一般解题方法(修改稿)
运动学概念及矢量法解题一般方法（132492629群主）运动学是定律描述物体运动状态和过程的数学理论。
学生在学习运动学知识时，一定要掌握一般解题方法；在掌握一般解题方法后，再学习一些技巧；而不要反过来，否则，技巧越多，需要记忆的越多，最后负担过重，弄巧成拙。
下面，我讲讲运动学解题的基本方法。
一、基本概念1、矢量位移、速度、加速度，都是矢量，因为它们都有大小和方向。
2、位置矢量由坐标原点向位置点作有向线段，如右图，O A 、OB都是位置点A 、B 的位置矢量。
位置矢量有大小，有方向。
如O A，大小就是OA 的长度，方向就是由O 指向A 。
3、位移一段时间内质点位置矢量的变化量，就是位移。
如右图中，AB就是位移矢量。
位移是矢量，既有大小，又有方向。
大小，就是起点至终点的（直线）距离；方向，就是起点朝着终点的指向。
位移，就是一条起点指向终点的线段。
【点睛】位移只与两点有关：起点，终点。
前面说过，位移是有方向的。
通常，方向要事前进行设定。
如上图，向右的方向（数轴方向）被设定为正方向。
左图Δx = x 2 – x 1 ＞ 0，表示物体位移方向与数轴方向一致；右图Δx = x B – x A ＜ 0，表示物体位移方向与数轴方向相反。
4、速度速度是矢量，既有大小，又有方向。
从公式可以看出，速度的方向，就是位移方向。
5、加速度加速度是矢量，既有大小，又有方向。
加速度方向，和速度的改变Δv 方向一致。
右图，位移（数轴）方向为右向，速度的方向也是右向；上图的汽车加速度为右向，即a ＞0；下图的汽车加速度为左向，即a ＜0。
二、学会看懂图像（匀速、匀变速直线运动）1、位移时间图像都告诉你什么？①（横轴）时间： 甲的起始时刻0s ，结束时刻25s；乙的起始时刻10s ，结束时刻25s 。
②（纵轴）位置： 甲的初始位置矢量20m ，结束位置矢量40m ；乙的位置矢量0m ，结束位置40m 。
③ 位移：甲的位移20m ，乙的位移40m 。
第3章 机器人运动
3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
机器人复习题及参考答案
课程考试复习题及参考答案机器人学导论一、名词解释题：1.自由度：2.机器人工作载荷：3.柔性手：4.制动器失效抱闸：5.机器人运动学：6.机器人动力学：7.虚功原理：8.PWM驱动：9.电机无自转：10.直流伺服电机的调节特性：11.直流伺服电机的调速精度：12.PID控制：13.压电元件：14.图像锐化：15.隶属函数：16.BP网络：17.脱机编程：18.AUV：二、简答题：1.机器人学主要包含哪些研究内容？2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义？4.机器人控制系统的基本单元有哪些？5.直流电机的额定值有哪些？6.常见的机器人外部传感器有哪些？7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。
8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成？9.为什么要做图像的预处理？机器视觉常用的预处理步骤有哪些？10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。
11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类？12.仿人机器人的关键技术有哪些？三、论述题：1.试论述机器人技术的发展趋势。
2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。
3.试论述轮式行走机构和足式行走机构的特点和各自适用的场合。
4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
5.机器人单关节伺服控制中，位置反馈增益和速度反馈增益是如何确定的？6.试论述工业机器人的应用准则。
四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）：1.已知点u的坐标为[7,3,2]T，对点u依次进行如下的变换：（1）绕z轴旋转90°得到点v；（2）绕y轴旋转90°得到点w；（3）沿x轴平移4个单位，再沿y轴平移-3个单位，最后沿z轴平移7个单位得到点t。
求u, v, w, t各点的齐次坐标。
xyzOuvwt2.如图所示为具有三个旋转关节的3R 机械手，求末端机械手在基坐标系{x 0,y 0}下的运动学方程。
【机械原理课程设计】向量法运动分析
单位
数据
mm
70
mm
200
mm
315
度
60
度
120
mm
70
mm
320
mm
225
mm
150
mm
60
转/分
100
• 偏置直动滚子从动件盘形凸轮中升程h＝28mm， 偏距e＝12mm，基圆半径r＝30mm，滚子半径 r＝10mm，[α]＝30°，从动件运动规律：凸 轮转过60°时，从动件以余弦加速度运动规律 上升，其后转过30°从动件保持不动，再转过 60°时，从动件以余弦加速度运动规律返回原 处，其后又转过230°从动件保持不动。凸轮 与曲柄共轴以逆时针回转。
平面机构运动分析
（矢量方程图解法）
•矢量方程的图解法
•同一构件上各点间的运动关系
•两构件瞬时重合点间的运动关系
§3
用矢量方程图解法分析平面机构的运动 b
A
一、矢量方程的图解法
矢量：大小、方向
矢量方程
AB C
a
B
x
一个矢量方程可以解两个未知量。
AB C
大小 √ √ 方向 √ √
？ √ √ √
2
无ak 1 2 B 3
3
无ak
1
2 3
有ak B 有ak
2 B 3 1
1 B
3有ak 2
2
B 有a k 3
2 1 B 3 有ak
1
B
1
例 求图3-5所示机构的运动关系（P52） B 解：1）以长度比例尺L作机构位置图 2）速度分析 求Vc、 2 （第一类问题） VB2 4 D 2 3 C
D
//EF VD5
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。
首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。
向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。
其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。
例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。
第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。
例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。
最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。
例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。
总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。
掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。
基于向量法解决机器人正向运动学教学难题
摘 要 ： 为解 决机 器人 正向运 动 学教 学 中大学 生对位姿 矩 阵 以及 刚体 变换 难 以理 解 的难题 ， 以
向量 法建 立 了刚体 的位姿 矩 阵 ， 并 以 向 量 法推 导 了刚 体 绕 空 间任 意 轴 线 旋 转 的 变 换 矩 阵 ． 以 此
为基础 ， 证 明 了矩 阵左乘 和右 乘所 对应 的 不 同刚体 运 动 ， 最终 利 用 矩 阵右 乘 导 出 了 Ｄ－ Ｈ 变换 矩阵， 从 而建 立机 器人 学正 向运动 学方 程． 关 键词 ： 向量 ；矩 阵 ； 机 器人 ；正 向运动 学 ；教 学法 中图法 分类 号 ： ＴＰ ２ ４ 文献 标识 码 ： Ａ
第 ３ １卷
第 ４期 பைடு நூலகம்
陕 西科 技 大 学 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ａ ｎ ｘ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖ０ １ ． ３ ｌ Ｎｏ ． ４
Ａｕ ｇ． ２０ １ ３
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ １ ４ １ ８，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
２ ０ １ ３ 年 ８月
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ５ ８ １ Ｉ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ １ ４ ７ — ０ ５
基 于 向 量 法 解 决 机 器 人 正 向运 动 学 教 学 难 题
荆 学 东
机器人机构学的数学基础引用
机器人机构学的数学基础引用机器人机构学是机器人学中的一个重要领域，它研究机器人的结构、运动及其控制等问题。
机器人机构学的研究需要运用到一定的数学知识。
本文将就机器人机构学的数学基础进行引用和总结。
一、向量和矩阵机器人机构学中常用向量和矩阵来表示机器人的位置、姿态、运动等信息。
向量是一个具有大小和方向的量，可以用来表示位置、速度、加速度等物理量。
矩阵则是由多个向量组合而成，可以用来表示变换、旋转、平移等变换。
在机器人机构学中，常用齐次坐标系来表示机器人的位置和姿态。
二、三角函数三角函数是机器人机构学中常用的数学工具。
在机器人运动学中，三角函数可以用来描述机器人的角度、朝向、运动路径等信息。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例如，正弦函数可以表示机器人关节的位置，余弦函数可以表示机器人末端执行器的位置。
三、相似变换和仿射变换相似变换是机器人机构学中常用的一种变换方式，它保持物体的形状不变但可以改变物体的大小和位置。
相似变换需要用到欧氏变换、即平移和旋转。
在机器人机构学中，常用相似变换来描述机器人的运动学结构。
仿射变换也是机器人机构学中常用的一种变换方式，它可以改变物体的形状和大小，而且可以进行平移、旋转和剪切等操作。
在机器人机构学中，仿射变换常用于描述机器人末端执行器的位置和姿态。
四、李群和李代数李群和李代数是机器人机构学的重要数学工具。
李群是一种数学对象，它描述了物体的对称性和运动规律。
李代数则是对李群进行线性化的结果，它可以求出物体在某一点的切空间。
在机器人机构学中，李群和李代数可以用来描述机器人的变换及其群结构。
总结：机器人机构学的数学基础涉及到向量和矩阵、三角函数、相似变换和仿射变换以及李群和李代数等领域。
这些数学概念和工具可以帮助机器人机构学家更加准确地描述机器人的位置、姿态、运动及其控制方式，从而为机器人的应用研究提供有力的数学支撑。
机器人第2章数学基础-矢量变换
a (bc)
a (bc) 0
矢量微分和积分 r r(t) x(t) y(t) z(t)T
dr d (xi) d ( yj) d (zk)
dt dt
dt
dt
T
rdt xdt ydt zdt
2.2 矩阵基础
1 矩阵定义 2 运算 3 特征值和特征向量 （4 矩阵分解 ）
2
旋转矩阵
r ArP
旋转矩阵(Rotation Matrix)
A E u sin 2u2 sin2
2
u u1
u2
u3 T
sin 2sin cos
22
A E 2u sin (Ecos u sin )
2
2
2
定义欧拉参数 (Euler Parameters)
cos -sin
Rot(z,
)
sin
cos
1
1
1
Rot(x,
)
cos -sin sin cos
1
cos
sin
Rot(y, )
1
-sin cos
1
1
矢量运算
矢量的叉积(Cross Product)
a
b
azby aybz azbx axbz
aybx axby
i jk ax ay az bx by bz
反对称矩阵记法
机器人学第二章(数学基础)
v
y
o(o′ ) u′
y
x
o
w″
u″
y
-3 o 4 x y
u x
x
解2：用计算的方法 根据定义1，我们有：
T Trans(4 , 3 , 7) R(y, 90 ) R(Z,90
)
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
4 3 7 1
（2-20）
y
cos
， j
v
在z轴上的投影
sin
,
kw
在y轴上的投影为
j y sin
， k w 在z轴上的投影为
z
k z cos
，所以有：
i x jv j y jv k z jv ix k w jy k w kz kw
i i x R(x, ) j y i k z i
w
已知： Puvw Pu i u Pv j u Pw k w P点在ΣO´uvw中是不变的仍然 成立，由于ΣO´uvw回转，则：
Pw P Pv v y
P x Puvw i x i x ( Pu i u Pv j v Pw k w )
P y Puvw j y j y ( Pu i u Pv j v Pw k w )
x
o
(O ')
Pu u
P z Puvw j z j z ( Pu i u Pv j v Pw k w )
图 2 -4
i x k w P j y k w Pv k z k w Pw
用矩阵表示为:
Px i x i P j i y y Pz k z i
机器人动力学(一)空间向量(Spatial Vectors)简介
机器人动力学（一）空间向量（Spatial Vectors）简介介绍了机器人动力学建模和分析的空间矢量法。
这篇文章是一次演讲的汇编。
本讲座通过分析物体的运动和描述方法，介绍一种更有效的描述刚体运动的方法。
该方法使用的基本工具是六维空间矢量。
什么是空间向量？空间向量(Spatail Vectors)首先是一种向量，它提供了关于刚体运动状态或施加在其上的力的完整描述。
它与欧氏向量提供的关于运动状态和受力的完整描述是一样的。
特别的，空间向量将刚体运动或力的线性运动和旋转运动两个方面结合成了一个单独的量。
空间向量为什么好用？在描述、分析和计算单个刚体或刚体系统的运动学和动力学时，空间矢量为我们提供了简洁的符号。
向量（Vectors）•根据定义，向量就是向量空间（vector space）中的的一个元素•向量空间则是一种数学结构，它包含了一个交换群 G ，一个域 K ，以及一个二元运算符它定义了一个映射 G\times K \rightarrow G . G 的元素就叫作向量（vector）， K 的元素叫作标量（scalar）•对于所有的向量，加法和标量乘法都需要被定义不同种类的向量大多数向量都有一些额外的性质。
我们将使用三种向量，每一种都有自己的特殊属性向量场向量场是将欧几里得空间中的每一点映射到该点的欧几里得向量的函数。
事实上，它结合了空间中每一点的大小和方向。
矢量场可以描述各种物理现象，比如下图是一个向量场示意图下面是两个向量场相加的图例速度向量场体固定点（body-fixed point）是一个固定在刚体相对位置上的点，当刚体运动的时候这些点也跟着运动，如图你可以想象整个空间都是这样的不动点，那么当刚体运动的时候，我们定义了一个向量场。
特别地，物体的速度可以定义一个速度矢量场，它指定了一个固定点通过空间中每一点时的线速度。
刚体在三维空间中运动时所有可能的速度都由向量场来描述，向量场的集合可以构成一个六维向量空间。
机器人学第二章(数学基础)
微分的几何意义：切线的 纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式 或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线 性性质、乘积性质、商的 微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐 标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求 得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和 姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变 化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受 到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无 穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数 值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定 义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的 约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条 件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似 最优解。
机器人技术 二、齐次坐标变换
齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz
机构学和机器人学-2运动学中的向量法
一、平面机构的运动分析
1、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式： a、连续头尾相接的封闭链； b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。 雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。
？ ？
解题思路：
（1）位置分析
1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢
该式由相对运动速度多边形图示说明为：
iei2 、 iei3 、 iei3 分别表示 r22 、 r33 、 ra4
的方向，它们是
r2
、 r3
、 r4
的方向转过
2
所得，2
是已知的。
r22iei2 r33iei3 r44iei4
将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：
r2r22c2ossin
2
2
r33 sin r33 cos3
代入（2—28）：
r4
r2 cos 2 cos 4
（2-28） （2-29）
（2-30）
（2）速度分析
对（2—27）求导杆的速度方程：
r2i2ei2 r4ei4 r44iei4 （2-31）
e 两边乘以 i4 则：
r ei(2 4 ) 22
r4 ir44
将上式分成实数分量和虚数分量得：
r4 r22 sin(2 4 )
设在复平面上有一个单位矢量 aˆ ，则该矢量可表示为：
aˆ cos i sin ei
（2-1）
y
a
O
x
如图的自由矢量 a的表示为：
a aaˆ aei a(cos i sin) ax iay 于是矢量 a的分量分别为：ax 、 ay
1）向量 a与单位矢量 ei 相乘：
机器人运动学的表示
机器人运动学的表示机器人运动学是研究机器人在空间中的运动规律和姿态变化的学科。
它通过建立数学模型来描述机器人的运动和姿态，以便进行轨迹规划、运动控制、碰撞检测等操作。
本文将介绍机器人运动学的表示方法，包括正运动学和逆运动学表示。
一、正运动学表示正运动学表示是通过机器人的关节状态来确定末端执行器的位置和姿态。
它可以用来计算机器人的末端执行器在给定关节角度下的位置和姿态。
1. 齐次变换矩阵表示齐次变换矩阵是一种常用的正运动学表示方法。
它采用4×4的齐次变换矩阵来表示机器人的位姿变换关系。
通过逐关节的变换矩阵相乘，可以得到整个机器人的位姿变换矩阵。
2. 旋转矩阵和平移向量表示除了齐次变换矩阵，还可以使用旋转矩阵和平移向量来表示机器人的位姿变换关系。
旋转矩阵用于描述机器人的姿态变化，平移向量用于描述机器人的位置变化。
3. 世界坐标系和局部坐标系表示在正运动学表示中，通常会使用世界坐标系和局部坐标系来描述机器人的位置和姿态。
世界坐标系是一个固定的参考坐标系，而局部坐标系是机器人自身的坐标系。
通过坐标系之间的变换关系，可以将机器人的位置和姿态从局部坐标系转换到世界坐标系。
二、逆运动学表示逆运动学表示是通过机器人的末端执行器位置和姿态来确定关节状态。
它可以用来计算机器人在给定末端执行器位置和姿态下的关节角度。
1. 解析法解析法是一种常用的逆运动学表示方法。
它基于数学解析的方法，通过求解关节角度的解析表达式来确定机器人的关节状态。
解析法适用于一些简单的机器人结构，但对于复杂的机器人结构往往难以求解。
2. 迭代法迭代法是一种常用的逆运动学表示方法。
它通过迭代计算的方法，不断调整关节角度，使机器人的末端执行器逐渐接近目标位置和姿态。
迭代法适用于各种类型的机器人结构，并且具有较好的收敛性和鲁棒性。
三、运动学约束除了正运动学和逆运动学的表示方法，机器人运动学还涉及到运动学约束的问题。
运动学约束是指机器人在运动过程中受到的各种限制条件，如关节角度限制、碰撞检测等。
第二章机器人运动学
1
0
Y
0 0 1 Z
0 0 0
1
式中：第四列元素X、
Y、Z分别表示沿坐
标轴X、Y、Z的移动量。
cossin242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai242斯坦福机器人运动方程求两杆之间的位姿矩阵ai求得ai如下
k
X
kY
vers 0
kY s
kY kZ vers kX s 0
kZ kZ vers c 0
0 1
式中： vers 1 cos
反之，若给出某个旋转算子
nX oX aX 0
R
nY
oY
aY
0
nZ 0
oZ 0
aZ 0
0 1
求出其等效转轴矢量k及等效转角为
sin 1
2
oZ
aY
2
aX
nZ
4 4矩阵表达式。
图2.5 动坐标系{B}的位姿表示
解 XB的方向列阵：n cos30 cos60 cos90 0T 0.866 0.500 0.000 0T
YB 的方向列阵： o cos120 cos30 cos90 0T 0.500 0.866 0.000 0T
ZB的方向列阵： a 0.000 0.000 1.000 0T
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2.2.2 平移的齐次变换 一、点在空间直角坐标系中的平移变换
如图2.13所示，空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当 它平移至A点后，坐标为(XA，YA，ZA)。其中
机械设计基础机器人运动学和逆运动学
机械设计基础机器人运动学和逆运动学机器人技术一直是工业自动化领域的重要组成部分。
了解机器人的运动学和逆运动学是机械设计师的基本技能之一。
本文将介绍机器人运动学和逆运动学的基本概念和计算方法。
一、机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动的学科。
它主要关注机器人的位置、速度和加速度等运动状态。
机器人的运动学可以分为正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是根据机器人的关节角度计算末端执行器（例如机械臂末端的工具）的位置、速度和加速度。
正运动学通常采用变换矩阵的方法进行计算。
变换矩阵是描述坐标系之间变换关系的数学工具，可以将机器人的关节角度转化为末端执行器的位置。
逆运动学与正运动学相反，它通过给定末端执行器的位置，计算机器人各个关节的角度。
逆运动学也是机器人控制中的关键问题，因为在很多应用中，我们更希望直接控制机器人的末端位置而不是关节角度。
二、机器人运动学的计算方法机器人运动学的计算方法主要包括几何法和代数法。
几何法是一种直观的计算方法，它根据机器人各个链节的长度和关节角度，通过几何关系计算末端执行器的位置。
这个计算过程类似于通过三角函数计算一个三角形的边长。
几何法的优点是容易理解和使用，但是对于复杂的机器人结构和多自由度机器人，几何法的计算可能会变得非常复杂。
代数法则通过变换矩阵的乘法来计算机器人的运动学，相较于几何法，代数法更具有通用性和灵活性。
代数法的关键是构建机器人的正运动学和逆运动学的解析解。
解析解的计算通常基于一些代数求解的方法，例如向量法、四元数法等。
三、机器人逆运动学的解析解和数值解在机器人逆运动学的计算中，如果能够得到解析解，那么可以直接得到机器人各个关节的角度。
然而，对于大部分机器人而言，解析解可能并不存在，或者过于复杂而难以计算。
这时我们可以用数值方法来近似计算逆运动学。
数值解通常采用迭代的方法来计算。
具体来说，我们可以通过给定初始角度，计算得到末端执行器的位置，然后调整关节角度，再次计算末端位置，不断迭代，直到达到所需的位置精度。
机构学和机器人学-3运动学中的矩阵法
p1 x （3—21） p1 y
式中α为刚体相对固定坐标系x-y的转角。
q1 为已知，可将(3—20)改成 适合计算Q点新位置坐标的形式，由式（3—20）求解 q j 得：
Q(q ) 点的起始位置 因此当
通常，起始位置 p1 和最终位置 p j 及转角 1 是同时给定，
由（3—3） r2 R , z r1
p j q j R , j
可写成：
知：
p j qj
q j p j R , j
qj p j
而∵ ∴
q j q1 p j p1
q j p j q1 p1
s c 0
0 0 1
（自转） （3-18）
其中：
x1 R , x0
z R , x1 z0
1
R ， ， R ， R ， R ， z x
R
， ，
cc scs sc ccs s s
——为三只基本旋转矩阵，对于该矩阵有许多表示方法， 都有不同但实质一样，我们常见表示为旋转矩阵：
( ( ( E k 、 E i 、 E j 、 Cij ) 、 Cij ) 、 Cij )
若定长矢量 r
二、绕直角坐标轴的一组旋转 随刚体旋转，旋转次序为：
先绕z转α→绕y轴转β角→绕x轴转γ角达到终点，则：
然后使刚体绕
u
这一暂时位置
（即z轴）旋转φ角， 最后再将 u 轴转回原先的位置，这种方法 可用五次转动来实现。
r2 R , y R , x R , z R , x R , y r1
物理向量知识点总结归纳
物理向量知识点总结归纳引言在物理学中，向量是描述大小和方向的物理量。
它们在物理学中的应用非常广泛，包括力、速度、加速度等等。
因此，理解向量概念以及向量运算是物理学习的重点之一。
本文将对物理向量的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
1. 向量的定义和表示向量是一个既有大小又有方向的物理量，通常用箭头来表示。
一个向量可以用起点和终点的位置坐标来表示，也可以用矢量分量或矢量的模和方向来表示。
在直角坐标系中，一个二维向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别是向量在x轴和y轴上的分量；一个三维向量可以表示为(a, b, c)，其中a、b、c分别是向量在x、y、z轴上的分量。
向量也可以用矢量的模和方向来表示，其中模表示向量的长度，方向表示向量的指向。
2. 向量的加法和减法向量的加法和减法是按照平行四边形法则进行的。
具体来说，如果有两个向量a和b，它们的和可以表示为c=a+b，其中c的大小等于a和b的大小之和，方向与a和b相同；差可以表示为c=a-b，其中c的大小等于a和b的大小之差，方向与a和b相反。
在直角坐标系中，向量的加法和减法可以通过分量相加和减来进行。
3. 向量的数量积和矢量积向量的数量积又称为点积，它是标量，表示为a•b，其中a和b是两个向量，其大小等于a和b的模之积与它们的夹角的余弦值之积，方向与它们的夹角的余弦值一致。
向量的数量积的计算公式为a•b=|a||b|cosθ。
向量的矢量积又称为叉积，它是一个向量，表示为a×b，其大小等于a和b的模之积与它们的夹角的正弦值之积，方向由右手定则确定。
向量的矢量积的计算公式为|a×b|=|a||b|sinθn。
4. 向量的分解和合成向量的分解是指将一个向量分解成两个或多个分量的过程。
在直角坐标系中，一个向量可以被分解为垂直于两个轴的两个分量。
向量的合成是指将两个或多个向量合成为一个向量的过程，根据平行四边形法则，可以将多个向量合成为一个。
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r2 sin2 d sind
由此解得：
s in d
r2 d
s in 2
c os d
r1
r2 cos2
d
所以：
tan d
r2 sin 2 r1 r2 cos 2
（2-19）
由式（2—17）计算θd，很容易判别θd的象限， 当矢量 d 可确定后，由于：
r3ei3 deid r4ei4 消去θ4 （2-20）
如图铰链四杆机构，假设量各d。杆长度为r1、r2、r3、r4输
入角θ2 已知rB，可r列2e出i2独立r位3e置i2和3方）θ4利程。用r：1矢量rd4和eri4求4 出矢量r3，（解出2-θ136）
位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。
首先确定对角线d 的长度：
r2ei2 deid
r1
（2-17）
(d 3 ) 有两个可能解，根据连续条件确定一个。 取（2—20）的虚部得：
r3 sin3 d sind r4 sin4
sin 4
r3
sin3
r4
d sin d
（2-22）
同样，θ4有可能有2个解，根据连续条件加以确定。
（2）速度分析
由位置方程
r2ei2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r3eie3
r1
r4ei4
进行求导：
a aaˆ aaˆ
a aaˆ 2aaˆ aaˆ
式中：
aˆ ei (i sin cos) j sin
（2-13） （2-14）
aˆ ei sin(i2 ) 2iei cos ei (cos sin 2 )
j(sin cos 2 )
（2-15）
§2-2 利用复数向量进行机构的运动分析
则矢量 a 可写成：
a
a(ei
sin
j cos)
（2-11）
式中θ为矢量 a在复平面（O—RI平面）上的投影
与实轴R间夹角， 为 a 与J 轴的夹角。
J虚
矢量 a 可看成长度a与单位向量 aˆ
的乘积。由式2—11
则单位向量：
I虚
aˆ ei sin j cos （2-12）
O
R实
a
a
aˆ ，其一阶导数，二阶导数为:
的方向，它们是
r2
、
r3
分、 别r4表的示方向r2转2过、2r3所3得、，ra24
是已知的。
r22iei2 r33iei3 r44iei4
分别为它们的矢量大小（模）， ei、 iei 为单位方向矢。
二阶导数：d 2 dt 2
(rei )
rei
r(ei
i) (r r)iei
r(iei i)
(r r2 )ei (r 2r)iei （2-10）
继续求导可求出高阶导数。
三、空间矢量的复数表示 取坐 标系O—RIJ，矢量 a 如图，R为实轴，I、J为虚轴，
aei( ) aei a 相当于矢量 转过1800。
（2-4）
3） e i是单位矢量 ei 的共轭矢量
ei ei (cos i sin )(cos i sin ) cos2 sin 2 1
4）两个有用公式
cos ei ei
2
sin i ei ei
2 cos( ) cos cos sin sin
机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸 的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件 任一运动变量的变化规律。
运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析。 其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级 机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式， 而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。
（2-5）
（2-6） （2-7）
sin( ) sin cos cos sin （2-8）
5）复数矢量的微分
设矢量
r
re i
，表示某一点相对于固定参考系坐标
原点的位置，则一阶导数：
dr d (rei ) dt dt
rei r(ei i) r ei r i ei
（2-9）
等式右边可看作二个复数矢量 rei 、 riei 其中 r 、 r
二、复数矢量的表示
设在复平面上有一个单位矢量 aˆ ，则该矢量可表示为：
aˆ cos i sin ei
（2-1）
y
a
a如 图aaˆ的自aO由ei矢量a(aco的s表示i 为sin：x
于是矢量
a
的分量分别为：
a
x
) ax
、 ay
iay
1）向量 a 与单位矢量
ei 相乘：
ei (aei ) aei( )
d (rei ) r ei r i ei
dt
由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式） 矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：
r22iei2 r33iei3 r44iei4 （2-23）
r22iei2 r33iei3 r44iei4
该式由相对运动速度多边形图示说明为：
iei2 、 iei3 、 iei3
表示向量 a 逆时针转过一个 角。
2）向量 a 与虚数单位i的乘积：
（2-2）
iaei
a(i cos
sin ) acos(
) i sin(
2
2
)
i( )
ae 2 a 相当于矢量 转过900。
（2-3）
同理：i(iaei ) a( cos isim ) acos( ) i sin( )
移项，两边分别乘以各自的共轭复数：
(r3ei3 deid )(r3ei3 deid ) r4ei4 r4ei4
r42 r32 d 2 2r3dei(d 3 )
取（2—21）实部得：
（2-21）
r42 r32 d 2 2dr3 cos( d 3 )
c os ( d
3)
r32
d 2 r42 2dr3
一、平面机构的运动分析
1、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式： a、连续头尾相接的封闭链； b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。 雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。
？ ？
解题思路：
（1）位置分析
1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢
将式（2—17）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：
(deid
)(deid
)
(r1
r2ei2
)(r1
r2ei2
)
d 2 r12 r22 r1r2 (ei2 ei2 )
或： d r12 r22 2r1r2 cos2
（2-18）
将式（2—17）分解为实部和虚部，得：
r2 cos2 r1 d cosd