复变函数论期中--复习材料简答

注：期中考范围从第一章到第三章 第一章考核目标

掌握复数和复变函数的基本概念，理解复平面上一些点集的定义；掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算。 第一章练习题

1．设)

2)(3()

3)(2)(1(i i i i i z ++--+=

，则=z

2

2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg a r c t a n 8π-

3. 复数2

2)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 16i e θ

4. 方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线

5. 设35,arg()4

z iz π

==，则=z

45i

e π

6. 对于映射i

z

ω=，圆周||1z i -=的像曲线为连接点 (0,0) 和 (1,0) 的线段的垂直平分线

7. Im{ln(34)}i -= 4a r c t a n 3

-

8. 24

1lim (12)z i

z z →+++= 72i -+ 9. 10)3131(

i

i -+的实部是__12-

____，虚部是___32

_____，辐角主值是_2

3

π_____. 10. 复数tan (

)2

z i π

θθπ=-<<的三角表示式是 sec [cos()sin()22i ππθθθ-+-]

第二章考核目标

充分理解解析函数的定义；切实掌握柯西－黎曼条件及相关定理；充分掌握解析函数的等价刻画定理；了解若干初等解析函数，并能区分数学分析中相应初等函数间的异同 第二章练习题

1. 设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2

32

3(i f

27

(1)4

i - 2. 函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的 必要 条件 3. 函数()Im()Re()f z z z z =-仅在点=z （0，-1） 处可导

4. 方程01=--z e 的全部解为 2,0,1,z k i k π==±

5. i i -+1)1(的值为

_______ln 224

[cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44

k e

k π

π

ππ

++-++-+=± ____

主值为 _ln 24

[cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44

e

k πππ

+

-++-+=± _. 6. 若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常

数=a 2

7. 证明函数5

4,0,

()||0,0,z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

在原点不可微但在原点满足C._R.条件。

8. 设23()+2f z x y i =，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.

答：)(z f 在23x y =上可导，且()2f z x '=，无处解析。 9. 1） 叙述两点复指数函数和实指数函数不同之处。

2） 叙述刻画解析函数的等价条件（至少两个）。

3） 写出区域D 内解析函数()f z 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式。

10. 设⎪⎩

⎪⎨⎧=≠++=0,00

,)

()(4

22z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导. 证明：设(),f z u iv =+ 由于

0000

000

()(0)0()(0)0

lim

lim 0,lim lim 000x x y x y y x y f z f f z f z x z iy →→→→====--====--， 则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)0x x y y u v u v ====。因此)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程。

又222000()(0)()1

lim lim 0,02()()x x y y x

f z f x x i x z x x x i x →→==-+==≠-++因此)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

第三章考核目标

充分掌握作为整个复变函数论基础的柯西积分定理（包括等价 形式和两种推广形式）；充分掌握柯西积分公式和柯西高阶导数公式， 并能灵活应用；切实掌握解析函数的无穷可微性；掌握柯西不等式 刘维尔定理；充分理解解析函数与调和函数的关系，切实掌握从已知 解析函数的实部（或虚部）求出它的虚部（或实部）的方法。 第三章练习题

1.设c 为从原点沿x y =2

至i +1的弧段，则=+⎰

c

dz iy x )(2

(

15

66

i + ) 2. .对什么样的周线C , 有21

0.1

C

dz z z =++⎰

设121313,2222

z i z i =-

+=--，则当周线C 的内部不含该两点或两点都含在C 的内部时，积分为0. 3. ⎰=

-++=

321

73)(ξ

ξξξξd z

z f ，求(1)2(613).f i i π'+=-+

4. 若函数32(,)u x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a 3

5. 设w u iv =+是z 的解析函数且2

2

()(4)u x y x xy y =-++，求v ，并把w 表示成z 的函