人教版初中数学《相似三角形》完美版
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(3)如图②，在△ABC 中，AC＝2，BC＝ 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线 CD 的长．
人教版初中数学《相似三角形》完美 版1
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解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形， ∵CD 平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD 为等腰三角形， ∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD 为△ABC 的完美分割线；
[2018·杭州]如图 2，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线， DE⊥AB 于点 E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
图2 (2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AD 是 BC 边上中线， ∴BD＝CD，AD⊥BC， 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC， 又∵∠ABC＝∠ACB，∴△BDE∽△CAD；
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(2)①当 AD＝CD 时，∠ACD＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°； ②当 AD＝AC 时，∠ACD＝∠ADC＝180°－ 2 48°＝66°， ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°； ③当 AC＝CD 时，∠ADC＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， 与∠ADC＞∠BCD 矛盾，舍去． 综上所述，∠ACB＝96°或 114°；
(2)∵BC＝10，∴BD＝12BC＝5， 在 Rt△ABD 中，有 AD2＋BD2＝AB2， ∴AD＝ 132－52＝12， ∵△BDE∽△CAD，∴BCDA＝DADE， 即153＝D12E，∴DE＝6103.
如图 3，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC.
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从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与 交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一 个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美 分割线．
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图4
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(1)如图 4①，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线；
(2)在△ABC 中，∠A＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角 形，求∠ACB 的度数；
3－1， 2
∴CD＝ 3－2 1×2＝ 6－ 2.
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微专题十五 相似三角形判定的综合
(教材 P34 练习第 2 题) 图 1 中的两组三角形是否相似？为什么？
①
②
图1
解：①相似．理由：1257＝2306＝2455＝59； ②相似．理由： ∵AECC＝5346＝32，DBCC＝4350＝32，∴AECC＝DBCC. 又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC.
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(3)根据题意，得 AC＝AD＝2，
∵△BCD∽△BAC，
Hale Waihona Puke Baidu∴BBCA＝BBDC，BC2＝BD·BA，
设 BD＝x，∴( 2)2＝x(x＋2)，
∵x＞0，∴x＝ 3－1，即 BD＝ 3－1，
∵△BCD∽△BAC，∴CADC＝BBDC＝
(1)求证：△ADE∽△ABC；
图3 (2)若 AD＝3，AB＝5，求AAGF的值．
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解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， ∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠C， ∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC； (2)由(1)可知△ADE∽△ABC， ∴AADB＝AAEC＝35， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC， ∴△EAF∽△CAG，∴AAGF＝AAEC＝35.
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解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形， ∵CD 平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD 为等腰三角形， ∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD 为△ABC 的完美分割线；
[2018·杭州]如图 2，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线， DE⊥AB 于点 E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
图2 (2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AD 是 BC 边上中线， ∴BD＝CD，AD⊥BC， 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC， 又∵∠ABC＝∠ACB，∴△BDE∽△CAD；
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(2)①当 AD＝CD 时，∠ACD＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°； ②当 AD＝AC 时，∠ACD＝∠ADC＝180°－ 2 48°＝66°， ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°； ③当 AC＝CD 时，∠ADC＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， 与∠ADC＞∠BCD 矛盾，舍去． 综上所述，∠ACB＝96°或 114°；
(2)∵BC＝10，∴BD＝12BC＝5， 在 Rt△ABD 中，有 AD2＋BD2＝AB2， ∴AD＝ 132－52＝12， ∵△BDE∽△CAD，∴BCDA＝DADE， 即153＝D12E，∴DE＝6103.
如图 3，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC.
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从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与 交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一 个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美 分割线．
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图4
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(1)如图 4①，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线；
(2)在△ABC 中，∠A＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角 形，求∠ACB 的度数；
3－1， 2
∴CD＝ 3－2 1×2＝ 6－ 2.
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微专题十五 相似三角形判定的综合
(教材 P34 练习第 2 题) 图 1 中的两组三角形是否相似？为什么？
①
②
图1
解：①相似．理由：1257＝2306＝2455＝59； ②相似．理由： ∵AECC＝5346＝32，DBCC＝4350＝32，∴AECC＝DBCC. 又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC.
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(3)根据题意，得 AC＝AD＝2，
∵△BCD∽△BAC，
Hale Waihona Puke Baidu∴BBCA＝BBDC，BC2＝BD·BA，
设 BD＝x，∴( 2)2＝x(x＋2)，
∵x＞0，∴x＝ 3－1，即 BD＝ 3－1，
∵△BCD∽△BAC，∴CADC＝BBDC＝
(1)求证：△ADE∽△ABC；
图3 (2)若 AD＝3，AB＝5，求AAGF的值．
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解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， ∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠C， ∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC； (2)由(1)可知△ADE∽△ABC， ∴AADB＝AAEC＝35， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC， ∴△EAF∽△CAG，∴AAGF＝AAEC＝35.