关于线性代数课程教学的几点思考

关于线性代数课程教学的几点思考

游宏

2009年11月8日于杭州

hyou@

★课程的历史沿革与现状

★现行的教学基本内容与要求

★教学内容的组合与变革

★课程建设中的成绩与问题

★线性代数的主线与核心

一、课程的历史沿某与现状

二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程统称为高等数学，以微积分教学为主，线性代数在高等数学的教学中仅占一小部分。当时仅介绍行列式与线性方程组求解；解析几何内容则相对丰富，几何向量、空间直线与平面、极坐标、二次曲面等通常放在微积分前讲授。当然，有少数大学根据某些专业的需要，讲授更多一些的线性代数（矩阵）的知识。

文革后，由于科学技术，特别是计算机与信息科学技术的发展，我国高等数学教学的理念也逐渐发生了变化。从七十年代末、八十年代初开始，一些大学的工科数学的教学增添了线性代数、概率论与数理统计等教学内容。但初期的做法，是把线性代数放在《工程数学》中讲授的。

大约在八十年代中后期，一些大学把线性代数独立出来，成为工科数学基础课的一门独立课程。进入九十年代，在多数重点大学，线性代数成为工科数学教学的三门主要课程之一。

九十年代中后期，一些大学又将空间解析几何的内容从微积分教学中剥离出来，与线性代数融汇在一起，组成《线性代数与空间解析几何》。

过去的三十年里，线性代数课程的教学发生了三次较大的改革；一是线性代数成为一门独立的工科数学的教学课程，二是内容的扩充与重组，三是注重软件的使用与该课程的实验。

但是，该课程的教学在各大专院校中是不平衡的，重视程度差异较大。以教学时数来看：少则16-24学时（不含解析几何），多则60-90学时（含解析几何），解析几何部分一般为14-20学时。

近年来，线性代数课程的教学改革在不断深入，已逐步涉及对一些传统的教学内容、数学概念（定义）、授课方式的改革，特别是注意到和实际应用的结合，使用软件计算、解决有关线性代数中的问题。

二、现行的教学基本内容与要求

目前，大多数理工大学的线性代数教学内容基本相同，主要内容涉及：行列式、矩阵、n 维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等六大板块。一些重点大学的教学内容会更多一些。这既由线性代数本身的基本内容所决定，也与教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求和硕士研究生的考试内容有关。

二十世纪九十年代初，教育部高等教育司委托当时的教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求作了修订，修订文件于1995年下发（以下简称95年修订稿）。

95年修订稿中将线性代数作为高等学校工科数学教学的主要课程，明确了该课程的基本内涵，包括六个教学主要内容（对多数工科专业而言）。

2003年开始，教学指导委员会受教育部高教司委托又对1995年教学基本要求的修订稿再次修订，线性代数与空间解析几何在此次修订中是作为一门课程写入教学基本要求中的，但同时也列出线性代数单独作为一门课程的教学基本要求，在。

前言中声明并不要求所有学校都将线性代数和空间解析几何融汇为一门课程，各校可以有自己的独立性。

在新的基本要求中，线性代数与空间解析几何课程由八个部分组成：（1）行列式；（2）矩阵；（3）几何向量；（4）n维向量与向量空间；（5）线性方程组；（6）矩阵的特征值与特；（7）实二次型；（8）空间曲线与曲面。

其中，（1）（2）（4）（5）（6）（7）属于线性代数；（3）（8）属于空间解析几何。有关细节可见《大学数学》2004年第一期。

从总体上看，新的修订稿对线性代数课程的要求有所提高。

今天来看，我个人认为几年前修订的课程“基本要求”对于一般大学（学院）而方有些过高，而且对实际应用，比如对计算机软件的使用有所忽略（至少可以鼓励与提倡）。

修课稿中空间解析几何部分与1995年相比，基本没有变动，仅增加了一条带“*”号的条目：了解二次曲面的分类。带“*”号的条目是为有需要或有条件的学校或专业选用的。

线性代数部分变动较多一些，行列式、矩阵、线性方程组的有关要求变动不大，只是将过去对某些知识仅要求“了解”、“会”提升为“理解”与“掌握”。

n维向量与向量空间部分有四处变化：

（a）将内积概念，施密特标准正交化方法从95年修订稿中的矩阵的特征值与特征向量部分移至向量空间部分；

（b）增添了“了解线性变换的概念及其矩阵表示”的条目；

（c）增添了带“*”号的条目“了解基变换公式和坐标变换公式，会求过渡矩阵”；

（d）对会求向量组的极大线性无关组及秩提出了要求。

矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部分内容移至向量空间部分。

实二次型部分，增添的内容有两处：

（a）了解合同变换与合同矩阵的概念；

（b）了解惯性定理（对定理证明不作要求）和实二次型的规范形。

现实中，研究生入学考试的内容对学校的教学影响更大，上述的六大板块都是研究生入学考试命题的范围。

如果参加研究生考试，仅对上述的某些内容“了解”可能是不够的，因个别年份的试题（对后两部分内容而言）还是有一定难度的。近两年，研究生入学考试的命题范围略有扩大，如，增添了分块矩阵的计算，出现了解析几何与线性代数内容综合的试题（尽管较为简单）。试题中联系实际的问题虽然有，但比较少。

三、教学内容的组合与变革

1．现行教材内容的安排

从国内多数大学关于工科专业《线性代数》课程的教材来看，基本内容与教学基本要求大体一致，但各部分内容讲授多少有所不同，章节的安排也不尽相同，只有少数为特殊专业、特殊学生准备的教材，内容更多一些，更深一些。如个别教材增加了矩阵相似的标准型、多项式、仿射变换、射影变换、基本代数结构等内容。

国内教材较多见的内容安排为：

行列式→矩阵→n维向量及向量空间→线性方程组→特征值与特征向量（相似、对角化）→二次型（*）

如把空间解析几何内容加入的话，则在矩阵后介绍几何向量（包括内积、叉积、混合积、直线、平面方程等）二次型后讲授空间曲面。有的教材还含线性变