弹性力学及有限元课件
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弹性力学有限元法.ppt
2021/3/11
13
在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
2021/3/11
14
对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
2021/3/11
7
4. 多面体单元
2021/3/11
8
5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
2021/3/11
2
（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
2021/3/11
元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
2021/3/11
18
有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
(同济大学)第1讲_弹性力学及有限元方法概述
有限元分析
的一般规律物体在空间的位置随时间的改变
对象内容
任务
对象内容
任务
概述
ANSYS 静力分析z起重机械有限元应用
整机模态分析
车辆安全性
工件淬火3.06 min 时的温度、组织分布(NSHT3D)
同济大学
同济大学
金属反挤压成型：温度分布和变化铸造成型：温度变化和气泡
速度
压力导流管分析
超音速飞行压力分布汽车气动分析
高速导弹气动
同济大学
两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况
子结构方法分析大型结构的早期应用法
梁单元
建模时充分利用重复性。
有限元教程 弹性力学基础知识——虚功原理与弹性力学两类平面问题PPT课件
求：主动力FA与FB之间的关系。
解: 给虚位移 rA, rB ,
Fi ri 0
FA rA FB rB 0
由
rB cos rA sin
(
rA
,
rB
在
A
,B
连线上投影相等)
即 FA FB tan
第4页/共35页
一、虚位移原理回顾
理论力学中的虚位移原理回顾
虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
y
y
v
y
yz
w
y
dxdydz
yx
y
u
y
y
v
yz
y
w dxdydz
zx
u
z
yz
v
z
z
w
z
dxdydz
zx
z
u
zy
z
v
z
z
w
dxdydz
bx udxdydz by vdxdydz bz wdxdydz 高阶小量
进一步整理，合并同类项，利用微元体平衡方程，得
1. 平面应力问题
几何特征：厚度为t的很薄的均匀木板 外力特征：
面力只作用于板的边缘上，方向平 行于板面且不沿厚度变化
体力平行于板面且不沿厚度变化
第18页/共35页
三、弹性力学的两类平面问题
1. 平面应力问题
应力特征：
由于薄板两表面上没有垂直和平行于板 面的外力，所以板面上各点均有：
( z )z t 0， ( zx)z t 0， ( zy )z t 0
无限小的位移称为虚位移 .只与约束条件有关.
虚位移
r , x,
等
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
弹性力学与有限元法1ppt课件
➢ 稳态分析 忽略时间效应。
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
➢ 瞬态分析 确定以时间为函数的温度等。 可模拟相变（融化及凝固）。
熨斗的瞬态热分析
28
本课程涉及到的高等数学及线性代数知识
1、泰勒级数
如果函数 f(x) 在点x0的某邻域内具有各阶导数 f ' (x), f '' (x),L , f (n) (x),L ，则可以将 f(x) 按照 泰勒级数展开为
应力种类
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
应力水平/MPa 限制值/MPa
41.12
167×1.5＝250.5
73.81
167×3.0＝511
评定结果 通过 通过
路径2
一次局部薄膜应 力
薄膜加弯曲应力
48.43 163.5
167×1.5＝250.5 167×3.0＝511
通过 通过
路径3
一次局部薄膜应 力
个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐
标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。
B
y
40
第一章 绪论
弹性力学的基本方法
从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几 何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求 解，最后利用边界条件确定解中的常数。
按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）
zy x
b
xxyz zx
yz
y yx
B
o
A PA dx, PBz dy, PC dz y
x
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
38
第一章 绪论
有限元第一讲 弹性力学基础理论
k
2 23
k323
kk111111
k112 k112
0 0
0
0 0
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2 32
k
2 33
第一单元矩阵
第二单元矩阵
1.2.3.方程求解（约束条件的引入）
由前面可知，刚度矩阵是奇异阵，它的行列式值为0.矩阵的 逆不存在。故对应的线性方程组无定解，为什么？
FF43
1500 1500
11550000uu43
对弹簧1－2
对弹簧2－3
对弹簧3－4
1.2.5.实例
叠加这些方程为总的结构矩阵方程：
F1 ? 1200
FF32 F4
10 20 ?
答案是肯定的。
下面加以推导，每个弹簧单元的受力方程和单元 刚度矩阵如下：
FF12
ka ka
单元1
ka ka
uu12
FF32
kb kb
kb kb
uu32
单元2
1.2.2.组合弹簧的刚度矩阵
10 3000 20 1800
1800
3300
uu32
解得：u2＝0.0103603m；u3＝0.0117117m。将u1、u2、u3和u4代 入原方程可解得节点1和节点4处的作用力：
F1＝-12.432KN；F4＝-17.567KN
校核：F1＋F4＝-29.999KN＝30KN。
弹性力学与有限元分析.ppt
上式建立了单元中任意一点的位移与节点位移的关系，
即通过单元节点位移 e 插值求出单元中任一点位移
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。 形函数具有以下两个性质： 1、形函数 N i在节点 i处的值为1，而在其余两个节点 处的值为0。
2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
差太大，即单元划分中不应出现过大的钝角或过 小的锐角，否则，计算误差较大。 在应力较大和应力集中的区域，单元应划分细一 些，以提高精度。 如果边界上有集中力作用，则该点应被划分为点。
单元的大小和数目应根据精度要求来确定，在保证
精度的前提下，力求采用较少的单元。
当物体的厚度有突变或物体由不同材料组成时，不 要把厚度不同或材料不同的区域划分在统一单元。
x y xy
且它们只是
x, y 的函数，与 z 无关。工程实际中，炮
筒、桥梁支座的柱形辊轴等都可简化为平面应变问题。
所以无论是平面应力问题还是平面应变问题，都只 需研究3个应力分量 x ,y ,xy，3个应变分量 x , y , xy
2个位移分量 U和 V。
四、单元划分
单元划分是有限元分析的基本前提，也是有限元 法解题的重要步骤。常用的单元类型有： 杆单元 平面单元 轴对称单元
空间单元 对平面问题，一般采用三角形单元，此时单元划
分应注意以下问题：
任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角
形单元的顶点，而不能是其内点。
三角形单元的3条边长（或3个顶角）之间不应相
x y xy
x y xy
弹性力学 第12讲 有限元法(1) PPT课件
1. 有限元的概念：
有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为
一组有限个单元的集合体；
2
在每一个单元内假设近似位移函数，将其集合来表
示全求解域上的待求位移函数；
y
vi
i ui
v(x , y )
vj (x , y ) u(x , y )
j uj
vm
m um x
单元内的近似函数由单元结点的位移数值及其插 值函数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点数
amum
2
3
1
2A 1
2A
bi ui ci ui
bjuj cjuj
bmum cmum
4
1 2A
aivi
a jv j
amvm
5
6
1
2A 1
2A
bi vi civi
bjv j c jv j
1
3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
单元编码 i, j, m 应逆时针转向, 可使A(三角形面积) > 0。
11
如果令：
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j ;
1
bi
1
yj ym
y j ym
;
1 ci 1
bm v m cmvm
（d）
（e）
14
将(d)(e)代入(a):
有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为
一组有限个单元的集合体；
2
在每一个单元内假设近似位移函数，将其集合来表
示全求解域上的待求位移函数；
y
vi
i ui
v(x , y )
vj (x , y ) u(x , y )
j uj
vm
m um x
单元内的近似函数由单元结点的位移数值及其插 值函数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点数
amum
2
3
1
2A 1
2A
bi ui ci ui
bjuj cjuj
bmum cmum
4
1 2A
aivi
a jv j
amvm
5
6
1
2A 1
2A
bi vi civi
bjv j c jv j
1
3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
单元编码 i, j, m 应逆时针转向, 可使A(三角形面积) > 0。
11
如果令：
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j ;
1
bi
1
yj ym
y j ym
;
1 ci 1
bm v m cmvm
（d）
（e）
14
将(d)(e)代入(a):
弹性力学与有限元完整版164页PPT
弹性力学与有限元完整版
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
第1~3讲弹性力学及有限元
弹性力学及有限元
Elasticity Mechanics & Finite Element Method
振动噪声监测与控制研究所
Institute of Monitoring & Control of Vibration & Noise
第一讲 绪论
弹性力学及有限元 课程概述
1.1 课程性质 1.2 弹性力学的研究内容 1.3 弹性力学中的几个基本概念 1.4 弹性力学中的基本假设 1.5 弹性力学发展史 1.6 有限元方法简介 1.7 应用软件简介
z
zx xz
zy yz
y yx
y
应力用矩阵表示：
x
xy
x
弹性力学及有限元
共六个应力分量。
24 MCVN振动噪声监测与控制研究所
24
12
第一讲 绪论
1.3.4 形变（应变） 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长 度的改变和角度的改变。
线应变：图中线段PA、PB、 PC每单位长度的伸缩，即单位伸 缩或相对伸缩，称为线应变。分别 用 x、 y 、 z 表示。
其它面上的应 力分量的表示 如图所示。
y
x
弹性力学及有限元 21 MCVN振动噪声监测与控制研究所
21
第一讲 绪论
z
z zx
正负规定:
zy yz yx y
正面:截面的外法线 方向和坐标轴正向一 致，反之为负面。
y
正面上的应力沿坐标正向或负面 上的应力沿坐标负向为正。
x
弹性力学及有限元
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
18 MCVN振动噪声监测与控制研究所
弹性力学及有限元
18
9
Elasticity Mechanics & Finite Element Method
振动噪声监测与控制研究所
Institute of Monitoring & Control of Vibration & Noise
第一讲 绪论
弹性力学及有限元 课程概述
1.1 课程性质 1.2 弹性力学的研究内容 1.3 弹性力学中的几个基本概念 1.4 弹性力学中的基本假设 1.5 弹性力学发展史 1.6 有限元方法简介 1.7 应用软件简介
z
zx xz
zy yz
y yx
y
应力用矩阵表示：
x
xy
x
弹性力学及有限元
共六个应力分量。
24 MCVN振动噪声监测与控制研究所
24
12
第一讲 绪论
1.3.4 形变（应变） 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长 度的改变和角度的改变。
线应变：图中线段PA、PB、 PC每单位长度的伸缩，即单位伸 缩或相对伸缩，称为线应变。分别 用 x、 y 、 z 表示。
其它面上的应 力分量的表示 如图所示。
y
x
弹性力学及有限元 21 MCVN振动噪声监测与控制研究所
21
第一讲 绪论
z
z zx
正负规定:
zy yz yx y
正面:截面的外法线 方向和坐标轴正向一 致，反之为负面。
y
正面上的应力沿坐标正向或负面 上的应力沿坐标负向为正。
x
弹性力学及有限元
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
18 MCVN振动噪声监测与控制研究所
弹性力学及有限元
18
9
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2 2
f fx fy fz
y
o
正负号规定：
f x、 f
y
、f
z
沿坐标
x
轴正向为正、负向为负
量纲：L1MT 2
18
2) 内力
定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。 求解方法：截面法
19
3)应力:内力集度。反映内力分布情况（应力场） z ΔF m A p lim p F ΔA0 ΔA P II n 矢量 p 方向沿
1
教材：弹性力学简明教程（第三版） 徐芝纶 著 高等教育出版社 教学大纲 EFEA0.PPT 封面 第一章 绪 论
EFEA1.PPT EFEA2.PPT
EFEA3.PPT
第二章 平面问题的基本理论
第三章 平面问题的直角坐标解答
EFEA4.PPT
EFEA5.PPT EFEA6.PPT
第四章 平面问题的极坐标解答
I
o
y
F 的极限方向 沿截面切向和法 向分解为 和 量纲： L1MT 2
20
x
应力
a)沿坐标轴分解
p 的两种不同分解方
b)沿截面法向和切向分解 除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常
采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正
应力
和切应力
，因为与物体形变和材料强
度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
磁力。 2) 面力：分布在物体表面的力如流体压力和接触力。 体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考
虑平衡条件求合力时，须乘以相应的体积和面积。
无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正
标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。
16
z
V
fx
o
fz F f f y P y
ΔF f lim Δv0 ΔV
矢量 f 方向沿 F 的极 限方向
f f f f
2 x 2 y
2 z
x
正负号规定：f x 、 f y
向为正，负向为负。
2 2 量纲（因次）： L MT
、
f z沿坐标正
17
z
fz
S
F
ΔF f lim ΔS0 ΔS
f 方向沿
2
f
P
fx
fy
F 极限方向
力状态。
一点的应力状态的分析方法：单元体法
单元体——构件内的点的代表物，是包括研究点在内
无限小的几何体，常用的是正六面体。
23
经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面
14
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
1) 外力（体力、面力) 2) 内力 3) 应力
4) 位移
5) 形变 要求——了解各物理量的定义、记号、量纲、
正负方向及其符号的规定，以及与材料力学中的
符号规定的区别。
15
1) 外力（体力、面力）
定义：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。 1) 体力:分布在物体体积内的力如重力、惯性力和电
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
切线方向的分量。
21
一点的应力状态的概念 几何规律：过空间一点有无数个面。
力学特点 ：即使过同一点，作用在不同面（微 分面）上的应力矢量也不同。
一点应力的要素：大小、方向、作用点 、作用
在过该点的哪个面上（作用面）
22
一点的应力状态：过物体内某一点的各个面上的
应力情况的集合称为该点的应
12
弹性力学可分为
数学 弹性力学和应用弹性力学
两种，前者是经典的精确理论；后者是在前者各 种 基本假设 的基础上，根据实际应用的需要，再 加上一些关于形变状态和应力分布的假定来简化 数学推导，得出一些应用性很强的理论。从数学 上看，应用弹性力学粗糙一些；但它的方程和计 算公式较简单，且能满足很多结构设计的要求， 从而很实用。按分析的方法和解答的精度来说， 实用弹性力学接近材料力学。
13
I.
弹性力学与材料力学对杆件结构研究的区别
研究范围方面 弹性力学只研究弹性体和物体的弹性阶段；而材料力
学还研究物体的塑性阶段，包括蠕变、疲劳等方面的问题。
II. 研究方法方面
材料力学对 应力分布 或 形变状态 做一些近似假设， 所得结果往往是近似的、初等的，限于一定条件下应用； 而弹性力学则从 基本假设 出发，对物体的应力变形进行 精确分析，所得结果更为精确，可用来校核材力结果。
第五章 用有限单元法解平面问题 第六章 空间问题的基本理论
2
3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
理论力学 材料力学
流体力学
弹性力学
土力学
6
结构力学
力的概念 研究对象：质点、质点系、刚体、刚体系。 理论力学其实就是质点力学和刚体力学，是从牛顿定律
演绎而来的。 研究内容： 物体机械运动的一般规律 物体在空间的位置随时间的改变 a) 静力学
理论力学的研究对象和内容
b) 运动学 c) 动力学
10
§1-1 弹性力学的研究对象
弹性 ——物体的应力和应变之间有着一一对应
的关系，且当外作用除去后，物体可 恢复原状的特性。 弹性体——仅有弹性性质的一种理想物体。
弹性力学——研究弹性体在外界因素（外力作用 温度变化、边界约束等）影响下， 其内部所产生的应力、形变和位移 的学科。
11
研究对象——板、壳、地基、堤坝和挡土墙等实 体结构，以及对杆件结构做更为严 密精确的研究。 研究任务——分析各种结构物或其构件在弹性阶 段的应力和位移，校核它们是否具 有所需的强度、刚度和稳定性，寻 求或改进它们的计算方法, 采取最 优化的方案解决安全与经济的矛盾
7
假如给我一个支点，我就能撬起地球。
——阿基米德 F
能否变形是理论力学和变形体力学的重要区别
8
材料力学的研究对象、内容和任务
对象 ——杆状结构 内容 ——杆件在拉压、剪切、弯曲、扭转和组合 受力作用下的应力和位移 任务——在满足 强度 、刚度 和 稳定性 的要 求下以最经济的代价，为构件确定合理
f fx fy fz
y
o
正负号规定：
f x、 f
y
、f
z
沿坐标
x
轴正向为正、负向为负
量纲：L1MT 2
18
2) 内力
定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。 求解方法：截面法
19
3)应力:内力集度。反映内力分布情况（应力场） z ΔF m A p lim p F ΔA0 ΔA P II n 矢量 p 方向沿
1
教材：弹性力学简明教程（第三版） 徐芝纶 著 高等教育出版社 教学大纲 EFEA0.PPT 封面 第一章 绪 论
EFEA1.PPT EFEA2.PPT
EFEA3.PPT
第二章 平面问题的基本理论
第三章 平面问题的直角坐标解答
EFEA4.PPT
EFEA5.PPT EFEA6.PPT
第四章 平面问题的极坐标解答
I
o
y
F 的极限方向 沿截面切向和法 向分解为 和 量纲： L1MT 2
20
x
应力
a)沿坐标轴分解
p 的两种不同分解方
b)沿截面法向和切向分解 除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常
采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正
应力
和切应力
，因为与物体形变和材料强
度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
磁力。 2) 面力：分布在物体表面的力如流体压力和接触力。 体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考
虑平衡条件求合力时，须乘以相应的体积和面积。
无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正
标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。
16
z
V
fx
o
fz F f f y P y
ΔF f lim Δv0 ΔV
矢量 f 方向沿 F 的极 限方向
f f f f
2 x 2 y
2 z
x
正负号规定：f x 、 f y
向为正，负向为负。
2 2 量纲（因次）： L MT
、
f z沿坐标正
17
z
fz
S
F
ΔF f lim ΔS0 ΔS
f 方向沿
2
f
P
fx
fy
F 极限方向
力状态。
一点的应力状态的分析方法：单元体法
单元体——构件内的点的代表物，是包括研究点在内
无限小的几何体，常用的是正六面体。
23
经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面
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§1–2 弹性力学中的几个基本概念
1) 外力（体力、面力) 2) 内力 3) 应力
4) 位移
5) 形变 要求——了解各物理量的定义、记号、量纲、
正负方向及其符号的规定，以及与材料力学中的
符号规定的区别。
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1) 外力（体力、面力）
定义：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。 1) 体力:分布在物体体积内的力如重力、惯性力和电
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
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结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
切线方向的分量。
21
一点的应力状态的概念 几何规律：过空间一点有无数个面。
力学特点 ：即使过同一点，作用在不同面（微 分面）上的应力矢量也不同。
一点应力的要素：大小、方向、作用点 、作用
在过该点的哪个面上（作用面）
22
一点的应力状态：过物体内某一点的各个面上的
应力情况的集合称为该点的应
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弹性力学可分为
数学 弹性力学和应用弹性力学
两种，前者是经典的精确理论；后者是在前者各 种 基本假设 的基础上，根据实际应用的需要，再 加上一些关于形变状态和应力分布的假定来简化 数学推导，得出一些应用性很强的理论。从数学 上看，应用弹性力学粗糙一些；但它的方程和计 算公式较简单，且能满足很多结构设计的要求， 从而很实用。按分析的方法和解答的精度来说， 实用弹性力学接近材料力学。
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I.
弹性力学与材料力学对杆件结构研究的区别
研究范围方面 弹性力学只研究弹性体和物体的弹性阶段；而材料力
学还研究物体的塑性阶段，包括蠕变、疲劳等方面的问题。
II. 研究方法方面
材料力学对 应力分布 或 形变状态 做一些近似假设， 所得结果往往是近似的、初等的，限于一定条件下应用； 而弹性力学则从 基本假设 出发，对物体的应力变形进行 精确分析，所得结果更为精确，可用来校核材力结果。
第五章 用有限单元法解平面问题 第六章 空间问题的基本理论
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3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
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在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
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初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
理论力学 材料力学
流体力学
弹性力学
土力学
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结构力学
力的概念 研究对象：质点、质点系、刚体、刚体系。 理论力学其实就是质点力学和刚体力学，是从牛顿定律
演绎而来的。 研究内容： 物体机械运动的一般规律 物体在空间的位置随时间的改变 a) 静力学
理论力学的研究对象和内容
b) 运动学 c) 动力学
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§1-1 弹性力学的研究对象
弹性 ——物体的应力和应变之间有着一一对应
的关系，且当外作用除去后，物体可 恢复原状的特性。 弹性体——仅有弹性性质的一种理想物体。
弹性力学——研究弹性体在外界因素（外力作用 温度变化、边界约束等）影响下， 其内部所产生的应力、形变和位移 的学科。
11
研究对象——板、壳、地基、堤坝和挡土墙等实 体结构，以及对杆件结构做更为严 密精确的研究。 研究任务——分析各种结构物或其构件在弹性阶 段的应力和位移，校核它们是否具 有所需的强度、刚度和稳定性，寻 求或改进它们的计算方法, 采取最 优化的方案解决安全与经济的矛盾
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假如给我一个支点，我就能撬起地球。
——阿基米德 F
能否变形是理论力学和变形体力学的重要区别
8
材料力学的研究对象、内容和任务
对象 ——杆状结构 内容 ——杆件在拉压、剪切、弯曲、扭转和组合 受力作用下的应力和位移 任务——在满足 强度 、刚度 和 稳定性 的要 求下以最经济的代价，为构件确定合理