运筹学课件第1章_线性规划与单纯形法-习题

x3' , x3'' 0
x4 0
2 已知线性规划问题：
max Z x1 3x2
x1
x3
5 (1)
st.

x1

2x2 x2
x4
10 (2)
x5 4
(3)
x1 ... x5 0
(4)
下表中所列的解均满足约束条件(1)-(3)，试指出表中 哪些是可行解，哪些是基解，哪些是基可行解。
因为x1、x2为基变量，所以因当满足高斯消元 的形式，故c=0, d=1, b=0, f=0。
m
由检验数的定义可知： j c j ciaij i 1 -1＝3 -（0×0 ＋e×5）
e=4/5 g=0-（0×1/5＋1×5）
g=-5
综上所述： a=2, b=0, c=0, d=1, e=4/5, f=0, g=-5 由于所有检验非正，故该解是最优解 这个表格为最终单纯形表
b=2 c=4 d=-2 i=5 e=2
又有
B1b

1/ 2 1/ 2
0 6 f
1
1


4

f=3
还剩下检验数 a、j、k
m
检验数的定义为 j c j ciaij i 1
如何求得c呢？
m
j c j ciaij i 1
性规划的目标函数为 max Z 5x1 3x2 约束形式为
x3、x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得Z=10。
X1
X2
X3
x4
X3 2
c
0
1
1/5
X1 a
d
e
0
1
Cj-Zj
b
-1
f
g
(1)a~g的值。 (2) 表中给出的解是否为最优解。
因为目标函数值为10，而Z=5x1+3x2,由单纯形 表可知x1=a, x2=0， 故a = 2。
是基
0 1 0
2 0 1 是基
1 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0 1
是基
基解有(a)，(b)，(f)；基可行解有(a)，(f)。
3 已知某线性规划问题的约束条件为
2x1 x2 x3
25
st.4xx11
3x2 7x2
x3
x4 2x4
初始单纯形表的检验数行即为目标函数中的系数C。
c1 a, c2 1, c3 2, c4 c5 0
对迭代后的单纯形表有：
2 7 c2 (2*c1 0*i)
a=c1=3 至此我们已获得所有的目标函数的系数
j=2-（3×-1＋0×1）＝5
k=0-（3×1/2＋0×1/2）＝-3/2
1 3 1 不是基，故 X (5,15, 0, 20, 0) 4 7 2 不是基解，更不可能是基可行解。
2 1 1
1
3
0

不是基，故
4 7 1
X (15,5,10, 0, 0)
不是基解，更不可能是基可行解
4 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线
序号
X1
X2
X3
X4
X5
A
2
4
3
0
0
B
10
0
-5
0
4
C
3
0
2
7
4
D
1来自百度文库
4.5
4
0
-0.5
E
0
2
5
6
2
F
0
4
5
2
0
解：可行解有(a)，(c)，(e)，(f)；
p1 p2 p3 p4 p5
1 0 1 0 0 A 1 2 0 1 0
0 1 0 0 1
1 0 1 1 2 0 0 1 0
证明：因为
CX 0 CX *故C( X * X 0 ) 0
（1）
又C* X * C* X 0 ,有C*( X * X 0 ) 0 （2）
将（2）-（1）有
(C C)( X X 0 ) 0
Cj-ZJ
0
-7 (j) (k) (l)
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
再有
B1

1/ 1/
2 2
0 1
那么 1/ 2
1/ 2
0 b 1 1
c 3
d 1
e


0
2 i
1
1

½ b=1 ½ c=2 ½ d=-1 ½ c+3=i ½ d+e=1
5 已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形法
迭代后得到的表如下所示，试求括弧中未知数a~l值。
X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1
0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
第1章 线性规划与单纯形法
• 掌握图解法、图示解释、几何解释。 • 掌握单纯形法的计算步骤。 • 根据实际生产中的经济管理问题，建立线
性规划模型，在计算机上求解。
1 将下述线性规划问题化成标准形式
min Z 2x1 2x2 3x3

st.

x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
综上所述：
a=3, b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3, g=1, h=0 i=5, j=5, k=-3/2, l=0
6 设 X 0 是线性规划问题 max z CX , AX b, X 0
的最优解。若目标函数中用 C 代替 C 后，问题 的最优解变为 X
求证： (C C)( X X 0 ) 0
x5
30 85
x1 x2 x3 x4 x5 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X (5,15, 0, 20, 0)
X (15,5,10, 0, 0)
解：
2 1 1 0 0
A 1 3
0
1
0

4 7 1 2 1
2 1 0
x1 0, x2 0, x3无约束
• 解：
max Z ' 2x1' 2x2 3(x3' x3'' ) 0x4

st.

x1' 2 x1'
x2 (x3' x3'' )
4
x2 (x3' x3'' ) x4 6

x1'

0
x2 0