无穷限的广义积分

二、无界函数的广义积分
定义 2
b
设函数 f ( x ) 在区间( a , b]上连续，而在
点a 的右邻域内无界．取ε > 0 ，如果极限
ε → +0
lim ∫a +ε f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
在区间( a , b]上的广义积分，记作 ∫a f ( x )dx .
∫a
2010-1-4
+∞
f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
广义积分(22) 2
类似地，设函数 f ( x ) 在区间( −∞ , b]上连续，取
a < b ，如果极限 lim
b
∫a f ( x )dx 存在，则称此极 a → −∞
+∞
π
1 1 sin dx . 2 x x
∫
+∞
2 π
1 1 +∞ 1 ⎛1⎞ sin dx = − 2 ∫π2 sin x d ⎜ x ⎟ x x ⎝ ⎠
= − lim
b → +∞
∫
b
2 π
1 ⎛1⎞ ⎡cos 1 ⎤ sin d ⎜ ⎟ = lim ⎢ x ⎝ x ⎠ b→ +∞ ⎣ x⎥π ⎦2
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数 f ( x ) 在区间[a ,+∞ ) 上连续，取
b > a ，如果极限 lim
分，记作 ∫a
+∞
∫a f ( x )dx 存在，则称此极 b→ +∞
b
限为函数 f ( x ) 在无穷 区间 [a ,+∞ ) 上 的广义 积
f ( x )dx .
b b→ +∞
b→ +∞
− pa − pb
b − px
⎛e e ⎞ ⎟ = lim ⎜ − b→ +∞ p ⎠ ⎝ p
⎡ e ⎤ dx = lim ⎢ − b→ +∞ p ⎥a ⎣ ⎦ ⎧ e − ap , p>0 ⎪ =⎨ p ⎪∞ , p<0 ⎩
8
− px
b
即当 p > 0 时收敛，当 p ≤ 0 时发散.
2010-1-4 广义积分(22)
(a > 0).
∵ lim
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
dx 2 2 a −x
∴ x = a 为被积函数的无穷间断点.
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
x⎤ a−ε ⎡ ⎤ = π. ⎡ = lim ⎢arcsin ⎥ = lim ⎢arcsin − 0⎥ ε → +0 ⎣ a ⎦ 0 ε → +0 ⎣ a ⎦ 2
0 +∞
f ( x )dx 都收敛，则
+∞
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的广义积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim
+∞
0
+∞
f ( x )dx
∫a f ( x )dx + blim ∫0 a → −∞ → +∞
广义积分(22) 15
三、小结
无穷限的广义积分
∫−∞ f ( x )dx
+∞
∫−∞ f ( x )dx
b
∫a
+∞
f ( x )dx
b
无界函数的广义积分（瑕积分）∫a f ( x )dx
（注意：不能忽略内部的瑕点）
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
2010-1-4 广义积分(22)
b
π⎤ ⎡ 1 = lim ⎢cos − cos ⎥ = 1. b→ +∞ ⎣ b 2⎦
2010-1-4 广义积分(22) 6
例 3 证明广义积分 敛，当 p ≤ 1时发散.
∫
+∞
a
1 dx (a > 0) p 当 p > 1 时收 x
+∞ 1 1 dx = [ln x ]+∞ = +∞ , dx = ∫ 证 (1) p = 1, ∫a p a a x x + ∞, p < 1 1− p +∞ ⎧ +∞ 1 ⎡ x ⎤ ⎪ 1− p ( 2) p ≠ 1, ∫a p dx = ⎢ ⎥ = ⎨ a , p >1 x ⎣1 − p ⎦ a ⎪ p − 1 ⎩
b
c
b
f ( x )dx
16
思考题
积分 ∫0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x −1
2010-1-4
广义积分(22)
17
思考题解答 积分 ∫0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x = 0, x −1
x =1
ln x 1 = lim = 1, ∵ lim x →1 x x →1 x − 1
ln x ∵ lim =∞ x →0 x − 1
2010-1-4 广义积分(22) 12
a −ε
1 例 6 证明广义积分 ∫0 q dx 当q < 1时收敛，当 x q ≥ 1时发散.
1
11 1 dx = ∫0 dx = [ln x ]1 = +∞ , 证 (1) q = 1, ∫0 q 0 x x ⎧+ ∞, q > 1 1− q 1 1 1 ⎡x ⎤ ⎪ ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = ⎢ ⎥ = ⎨ 1 ,q<1 0 x ⎣1 − q ⎦ 0 ⎪ ⎩1 − q 1 因此当q < 1时广义积分收敛，其值为 ； 1− q 当q ≥ 1时广义积分发散.
ε → +0
lim ∫a
b −ε
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b b −ε
在区间[a , b )上的广义积分， 记作 ∫a f ( x )dx = lim ∫a
ε → +0
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
2010-1-4
1
2010-1-4 广义积分(22) 13
例7 计算广义积分 解
∫
2
1
dx . x ln x
∫1
2
dx 2 dx = lim ∫1+ε x ln x ε →0+ x ln x
2
= lim ∫1+ε
ε → 0+
ε → 0+
d (ln x ) 2 [ln(ln x )]1+ε = lim ε → 0+ ln x
∴ x = 1 不是瑕点,
是瑕点,
∴ x=0
∴ ∫0
2010-1-4
1
ln x dx x −1
的瑕点是 x = 0.
广义积分(22) 18
广义积分(22)
10
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a < c < b ) 外连 续，而在点 c 的邻域内无界.如果两个广义积分
∫a f ( x )dx 和 ∫c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
+∞
当 p ≤ 1时广义积分发散.
2010-1-4
a1− p 因此当 p > 1时广义积分收敛，其值为 p − 1 ；
广义积分(22)
7
例4
证明广义积分 ∫a e − px dx 当 p > 0 时收敛，
当p=0时,积分显然发散. 否则
+∞
当 p ≤ 0 时发散.
证
+∞
∫a
e
− px
dx = lim ∫a e
= lim [arctan x ] + lim [arctan x ]
a → −∞ 0 a b→ +∞
b 0
⎛ − π ⎞ + π = π. = − lim arctan a + lim arctan b = − ⎜ ⎟ a → −∞ b→ +∞ ⎝ 2⎠ 2
2010-1-4 广义积分(22) 5
例2 计算广义积分 ∫2 解
= lim [ln(ln 2) − ln(ln(1 + ε ))]
= ∞.
2010-1-4
故原广义积分发散.
广义积分(22) 14
例8 计算广义积分 ∫0 解
3
dx ( x − 1)
2 3
.
3
x = 1瑕点
dx ( x − 1)
2 3
2 3
∫0
1
3
dx ( x − 1) dx
2 3 2 3
=∫
1
dx ( x − 1)
广义积分(22)
0
b
f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
2010-1-4 4
例1 计算广义积分 ∫− ∞ 解
+∞
+∞
dx . 2 1+ x
0 +∞ dx dx dx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫−∞ 1 + x 2 + ∫0 1 + x 2 b 1 1 = lim ∫a dx + lim ∫0 dx 2 2 b→ +∞ a → −∞ 1 + x 1+ x 0
1−ε
2 3
0
+∫
1
∫0 ( x − 1) ∫1
3
= lim ∫0
ε → 0+ ε → 0+
dx ( x − 1) dx ( x − 1)
=3
= 3 ⋅ 3 2,
dx ( x − 1) 3 dx
2 3
= lim ∫1+ε
2 3
3
2 3
∴ ∫0
2010-1-4
( x − 1)
= 3(1 + 3 2 ).
= lim
ε → +0 a
f ( x )dx
∫
c −ε
f ( x ) dx + lim
b
η → + 0 c +η
∫
来自百度文库
b
f ( x ) dx
否则，就称广义积分 ∫a f ( x )dx 发散.
定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.
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例5 计算广义积分 ∫0 解
a
dx a2 − x2
b
限为函数 f ( x ) 在无穷区间 ( −∞ , b] 上的广义 积 分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx
b
= lim
∫a f ( x )dx a → −∞
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
2010-1-4 广义积分(22) 3
设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ ,+∞ ) 上连续,如果 广义积分 ∫− ∞ f ( x )dx 和 ∫0
∫a f ( x )dx = εlim0 ∫a +ε →+
b
2010-1-4 广义积分(22)
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点 b 的左邻域内无界.取 ε > 0 ，如果极限