《最短路径问题(1)》教案

《最短路径问题（1）》教案

13.4.1 将军饮马问题

【一】教学目标

(一) 学习目标

1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;

2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;

3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

〔二〕教学重点

教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为〝两点之间，线段最短〞和〝垂线段最短〞的问题.

〔三〕教学难点

教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

【二】教学过程

〔一〕课前设计

1．预习任务

前面我们研究过一些关于〝两点的所有连线中，

〞，

〝连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，

〞

等的问题，我们称它们为问题．

【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径

2．预习自测

⑴如下图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.

【设计意图】让学生回顾旧知〝两点之间，线段最短〞，为引入新课作准备.

【知识点】两点之间、线段最短

【答案】②，两点之间，线段最短〔或者三角形中两边之和大于第三边〕

⑵：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.

【知识点】两点之间线段最短

【思路点拨】依据〝两点(直线异侧)一线型〞，和〝两点之间，线段最短〞，那么AP+PB的最小值为线段AB的值.

【解题过程】连接AB交于直线l于点P，那么点P就是所求的点.

【答案】如图，那么点P就是所求的点.

⑶如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

【知识点】两点之间线段最短

【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测〔1〕，根据〝两点之间，线段最短〞，连接AB即可.

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，那么点P就是所求的点.

【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短.

⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，那么点P可能的个数为〔〕个

A. 3

B. 2

C. 1

D.0

【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质

【思路点拨】将〝A，B在直线l的同侧〞利用轴对称转化为〝A，B 在直线l的异侧〞，又根据〝两点之间线段最短〞可得出只有唯一的点P.

【答案】C

【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受〝两点之间，线段最短〞，为新课中〝同侧的两点〞转化为〝异侧的两点〞做铺垫．〔二〕课堂设计

1.知识回顾

⑴两点的所有连线中，线段最短；

⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

⑶三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边.

2.问题探究实际问题转化为数学问题

探究一〝两点一线〞的最短路径问题★▲

今天我们借助〝轴对称的知识〞和〝两点之间线段最短〞一起来解决生活中的〝最短路径问题〞.

●活动①创设情境，引入新知

师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B、牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？

【知识点】两点之间线段最短

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.

【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，那么AC+BC的最小值为线段AB的值.此情况可简称为〝两点(直线异侧)一线型〞.

【答案】如图，那么点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:

●活动②整合旧知，探究新知

师：问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：

问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的〝将军饮马问题〞．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

l

将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？

【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短

【思路点拨】将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线.

那么〝所走的路线全程最短〞转化为〝在直线l上找到一点C，使AC+BC 最小〞的数学问题. 此情况可简称为〝两点(直线同侧)一线型〞.

【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为〝线段和最小问题〞.

3．尝试解决数学问题

●活动③大胆猜想，建立模型

【解题过程】〔1〕作点B 关于直线l 的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线l 相交于点C、那么点C 即为所求．

【答案】如图，那么点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.

师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.

学生假设有困难，教师可作如下提示：

假设点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小；

现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB= CB′?

⑶你能根据轴对称的知识，找到〔2〕中符合条件的点B′吗？

【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供〝脚手架〞，将〝同侧〞难于解决的问题转化为〝异侧〞容易解决的问题，渗透转化思想.

4．证明AC +BC 〝最短〞

●活动④反思过程，验证新知