18.高中数学平面向量的数量积说课课件
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《平面向量的数量积 》课件
平面向量的数量积
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
平面向量的数量积说课课件
Biblioteka .设力对物体所做的功为
usr
F
， ，
则当 30o 时，W =
J；当 60o 时，W =
J.
复习回顾 创设情境 夹角的概念 数量积概念 几何意义 概念应用 归纳总结
【设计意图】力对物体所做的 功，就是力与其作用下物体 产生 的位移的数量积.
类比分力对物体做的功，明确数量积的几何意义
问题：当力、位移的大小不变，随 着夹角的变化，功也在变化．这种变化 如何解释？
复习回顾 创设情境 夹角的概念 数量积概念 几何意义 概念应用 归纳总结
学情分析
基础知识：学生之前学习了向量的相关概念以及平面 向量基本定理等内容，同时学生对平面向量数量积的物理 背景有一定的了解，为概念的形成和理解作了必要的铺垫.
认知水平与能力：学生已经具备初步的抽象概括能力， 能在教师的引导下，通过自主探究、合作交流，解决一些实 际问题.
任教班级学情：我班学生有较好的学习习惯，基础知识 较扎实，但是对数学概念的深入理解和灵活运用的能力还都 有待进一步提高.
=
r 5, b
=
4
,
r a
与
r b
的夹角为 120°,求 a b .
复习回顾 创设情境 夹角的概念 数量积概念 几何意义 概念应用 归纳总结
【设计意图】两个向量的数量积是一个数量，而不是向量.
课堂练习 巩固概念
r
3.如图，物体在力的作用下在水平面上发生一段位移
其中
ur F 10N,
r s
2m
抽象 概括
数学本质（数量积）
非零向量夹角的概念
向量数量积的概念
数量积的几何意义
教学过程分析
复习回顾 (1分钟) 创设情境 (2分钟) 夹角的概念(8分钟)
usr
F
， ，
则当 30o 时，W =
J；当 60o 时，W =
J.
复习回顾 创设情境 夹角的概念 数量积概念 几何意义 概念应用 归纳总结
【设计意图】力对物体所做的 功，就是力与其作用下物体 产生 的位移的数量积.
类比分力对物体做的功，明确数量积的几何意义
问题：当力、位移的大小不变，随 着夹角的变化，功也在变化．这种变化 如何解释？
复习回顾 创设情境 夹角的概念 数量积概念 几何意义 概念应用 归纳总结
学情分析
基础知识：学生之前学习了向量的相关概念以及平面 向量基本定理等内容，同时学生对平面向量数量积的物理 背景有一定的了解，为概念的形成和理解作了必要的铺垫.
认知水平与能力：学生已经具备初步的抽象概括能力， 能在教师的引导下，通过自主探究、合作交流，解决一些实 际问题.
任教班级学情：我班学生有较好的学习习惯，基础知识 较扎实，但是对数学概念的深入理解和灵活运用的能力还都 有待进一步提高.
=
r 5, b
=
4
,
r a
与
r b
的夹角为 120°,求 a b .
复习回顾 创设情境 夹角的概念 数量积概念 几何意义 概念应用 归纳总结
【设计意图】两个向量的数量积是一个数量，而不是向量.
课堂练习 巩固概念
r
3.如图，物体在力的作用下在水平面上发生一段位移
其中
ur F 10N,
r s
2m
抽象 概括
数学本质（数量积）
非零向量夹角的概念
向量数量积的概念
数量积的几何意义
教学过程分析
复习回顾 (1分钟) 创设情境 (2分钟) 夹角的概念(8分钟)
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积：课件一(10张PPT)
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1° e⋅a = a⋅e =|a|cosθ ⋅ ⋅ 2° a⊥b ⇔ a⋅b = 0 ⊥ ⋅ 3° 当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = −|a||b|. ⋅ ⋅ 特别的a⋅a = |a|2或 | a |= a ⋅ a ⋅ 4° cosθ =
a ⋅b | a || b |
5° |a⋅b| ≤ |a||b| ⋅
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 与 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， ， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ ＝ ； － BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ， ０ ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ) ·c= ａ·(ｂ ·c) （
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
两个向量的数量积与实数同向量的积的区别 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号 返回 由cosθ的符号所决定,而实数同向量的积是一个向量
概念：作3．“投影”的图
定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0°时投影 为 |b|；当θ = 180°时投影为 −|b|.
平面向量的数量积PPT教学课件
正面——实写
高 雅 脱 俗
反面——虚写
不 慕 富 贵
山——仙名
何陋之有
南洋诸葛庐
西蜀子云亭
斯是陋室，惟吾得馨
无
丝
谈
可
竹
笑
以
之
有
调
乱
鸿
素
耳水
——
儒Hale Waihona Puke 琴无往，
案
来 无
阅 金
牍 之
龙
白
经
劳灵
丁
形
苔痕上阶绿，草色入帘青
举例说出修辞手法 和 论证方法
• 比（喻）（起）兴
• 对比 可以调素琴，阅金经。 • 借代 无丝竹之乱耳，无案牍之劳形。对比论证
作业：
课本P121A组6 ~ 9
《玄都观桃花》
元和十年自朗州召至京戏赠看花诸君子
• 紫陌红尘拂面来，无人不道看花回。
• 玄都观里桃千树，尽是刘郎去后栽。
• 【注】新栽桃树喻攀附新当权者的新贵。
•
刘郎因此诗恶相遭贬。
•
《再游玄都观》
• 百亩庭中半是苔， 桃花净尽菜花开。
失望 再度失望
• 种桃道士归何处？ 前度刘郎今又来。
另一方面 3 1cos 3 1sin 2
∴ a b 3 1cos 3 1cos ……①
又 sin2 cos2 1
解之得：
cos 1 ，sin 3
或 cos
2
3 2
2
，sin
1 2
b1
3 2
,
1 2
或b2
1, 2
3 2
……②
小结：
1.平面向量的数量积的定义及几何意义 2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
平面向量的数量积课件
简化计算过程。
乘法交换律
在计算数量积时，可以运用乘法 交换律，将向量的顺序进行交换
，从而得到不同的结果。
代数化简
在计算数量积时，可以通过代数 化简的方法，将复杂的表达式进 行化简，从而得到更简洁的结果
。
向量分解技巧
向量分解
在计算数量积时，可以将向量分解为若干个简单向量的和或差， 从而简化计算过程。
单位向量的运用
单位向量是模长为1的向量，在计算数量积时，可以运用单位向量 的性质，将复杂的向量进行转化。
向量投影
在计算数量积时，可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到 一个新的向量，简化计算过程。
坐标变换技巧
1 2 3
坐标变换
在计算数量积时，可以通过坐标变换的方法，将 复杂的几何问题转化为代数问题，从而简化计算 过程。
在解析几何中的应用
直线方程
利用平面向量数量积，可 以推导直线的方程，特别 是当已知直线上两点坐标 时。
平面方程
通过平面向量数量积，可 以推导平面的方程，例如 已知平面上的三个点坐标 时。
曲线方程
利用平面向量数量积，可 以推导曲线的方程，特别 是当已知曲线上两点坐标 时。
在物理中的应用
力的合成与分解
与自身正交时取等号。
交换律
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积课件
目录 CONTENTS
乘法交换律
在计算数量积时，可以运用乘法 交换律，将向量的顺序进行交换
，从而得到不同的结果。
代数化简
在计算数量积时，可以通过代数 化简的方法，将复杂的表达式进 行化简，从而得到更简洁的结果
。
向量分解技巧
向量分解
在计算数量积时，可以将向量分解为若干个简单向量的和或差， 从而简化计算过程。
单位向量的运用
单位向量是模长为1的向量，在计算数量积时，可以运用单位向量 的性质，将复杂的向量进行转化。
向量投影
在计算数量积时，可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到 一个新的向量，简化计算过程。
坐标变换技巧
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坐标变换
在计算数量积时，可以通过坐标变换的方法，将 复杂的几何问题转化为代数问题，从而简化计算 过程。
在解析几何中的应用
直线方程
利用平面向量数量积，可 以推导直线的方程，特别 是当已知直线上两点坐标 时。
平面方程
通过平面向量数量积，可 以推导平面的方程，例如 已知平面上的三个点坐标 时。
曲线方程
利用平面向量数量积，可 以推导曲线的方程，特别 是当已知曲线上两点坐标 时。
在物理中的应用
力的合成与分解
与自身正交时取等号。
交换律
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积课件
目录 CONTENTS
平面向量的数量积课件
已知$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2,2)$，求$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积。
进阶习题1
平面向量数量积等于两向量长度之积与其夹角的余弦值之积。
当两向量夹角为锐角时，数量积大于0；当夹角为直角时，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量积小于0。
角度
长度
平面向量数量积的结果是一个实数，其值始终为非负数。
正定性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$。
进阶习题2
已知$overset{longrightarrow}{a} = (2, - 3)$，$overset{longrightarrow}{b} = (x,y)$，若$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积为0，求$x$和$y$的值。
利用平面向量数量积，可以求解三角形中的一些问题，例如求三角形的边长或角度。
03
02
01
通过平面向量数量积，可以求解两条直线的交点坐标。
求解交点
利用平面向量数量积的性质，可以判断两条直线是否平行或垂直。
判断平行或垂直
在解析几何中，一些复杂的问题可以通过平面向量数量积进行简化。
简化几何问题
在物理学中，力是向量，力的合成与分解可以通过平面向量数量积进行计算。
进阶习题1
平面向量数量积等于两向量长度之积与其夹角的余弦值之积。
当两向量夹角为锐角时，数量积大于0；当夹角为直角时，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量积小于0。
角度
长度
平面向量数量积的结果是一个实数，其值始终为非负数。
正定性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$。
进阶习题2
已知$overset{longrightarrow}{a} = (2, - 3)$，$overset{longrightarrow}{b} = (x,y)$，若$overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积为0，求$x$和$y$的值。
利用平面向量数量积，可以求解三角形中的一些问题，例如求三角形的边长或角度。
03
02
01
通过平面向量数量积，可以求解两条直线的交点坐标。
求解交点
利用平面向量数量积的性质，可以判断两条直线是否平行或垂直。
判断平行或垂直
在解析几何中，一些复杂的问题可以通过平面向量数量积进行简化。
简化几何问题
在物理学中，力是向量，力的合成与分解可以通过平面向量数量积进行计算。
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
《平面向量数量积》课件
向量夹角的度数等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积
根据向量数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的 乘积。因此，当夹角为θ度时，θ等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积。
THANK YOU
向量数量积的正负与夹角 余弦值正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当 夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积的绝对值等于两向量模的乘积。
向量数量积与向量夹角的关系
向量夹角与数量积的正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积为0。
公式
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$为向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
表示向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$在夹角$theta$方向上 的投影长度乘积。
分配律
总结词
平面向量数量积满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。
详细描述
根据平面向量数量积的运算性质，我们可以将$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c})$展开为 $vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。这是因为数量积满足分配律，即对于任 意向量a、b和c，有$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b}
根据向量数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的 乘积。因此，当夹角为θ度时，θ等于数量积的绝对值除以两向量模的乘积。
THANK YOU
向量数量积的正负与夹角 余弦值正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当 夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积的绝对值等于两向量模的乘积。
向量数量积与向量夹角的关系
向量夹角与数量积的正负相关
当两向量的夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角 时，数量积为0。
公式
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$为向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
表示向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$在夹角$theta$方向上 的投影长度乘积。
分配律
总结词
平面向量数量积满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。
详细描述
根据平面向量数量积的运算性质，我们可以将$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c})$展开为 $vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot vec{c}$。这是因为数量积满足分配律，即对于任 意向量a、b和c，有$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b}
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夹角 的范围
教学过程设计
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
教学过程设计
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结 果又该如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
教学过程设计
2、明晰数量积的定义
（1）定义 ： （2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
１、高效实用的电脑多媒体课件
２、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念 二、数量积的性质 １、概念：
２、概念强调：（1）记法
（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：
4、物理意义：
四、应用与提高 例1：
例2：
例3：
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
六、教学评价设计
1、问答评价。 2、活动评价。 3、练习评价。 4、作业评价。
返回
S
①、在水平面上位移为10米；
G
教学过程设计
②、竖直下降10米；
S G
S
③、竖直向上提升10米；
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
教学过程设计
活动三：探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，
你能得到哪些结论？
（2）比较
的大小，你有什么
结论？
教学过程设计
3、运算律的证明
学生独立证明运算律（2）
教学过程设计
证明反思：当λ<0时，向量 与 、 与
的方向的关系如何？此时，向量 与 、 与 的夹角与向量 与 的夹角相等吗？ 师生共同证明运算律（3）
教学过程设计
活动五:应用与提高
学生练习
教学过程设计
教学过程设计
活动六、课堂小结与布置作业
的两个基本应用是什么？ 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些 数学思想？
二、教学目标设计
1、“数学课程标准（实验）”对本节内容的要求
（1） 通过物理中“功”等事例，理解平面向
量数积的含义及其物理意义；
（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； （3） 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用
数量积判断两个平面向量的垂直关系。
教学目标设计
2、教学目标：
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数 量积的含义及其物理意义；
五、教学过程设计
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣 活动二: 探究数量积的含义 活动三：探究数量积的运算性质 活动四：探究数量积的运算律 活动五: 应用与提高 活动六: 课堂小结与布置作业
教学过程设计
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
普通高中课程标准实验教科书（人教A版） 数学必修4
平面向量数量积的 物理背景及其含义
（说课稿）
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
一、背景分析
1、学习任务分析
(1)学习任务 通过“功”的事例抽象平面向量数量积的含义,
探究数量积的性质与运算律,体会类比的思想方法, 提高学生抽象概括、推理论证的能力。
(2)教学重点 数量积的概念
背景分析
2、学生情况分析及教学难点
（1）学生情况 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的
运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具 备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运 算的一般方法。 （2）教学难点
对数量积的概念的理解
返回
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
物理模型 概念 性质 运算律 应用
教学过程设计
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生
位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２） 请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。
S
教学过程设计
活动二:探究数量积的含义
１、概念的抽象
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?
4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量 积？
返回
教学过程设计
作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。
拓展与提高：
已知 与 都是非零向量，且
垂直，
与
垂直，求
与 与 的夹角。
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系， 理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运 算律进行相关的运算和判断；
（3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学 生抽象概括、推理论证的能力。
返回
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
2、明晰数量积的性质
vv
（（12））设当av向⊥avv 量与bv avbv与同向b都时av 是，· avv非bv =·零0vbv向=|量av|v，| bv则v|
当a 与 b 反向时，a · b=-|a |b| |
v
特别地，a
v
·a
=︱av ︱2 或︱av︱=
v
（3）︱a
·
v b
︱≤
| av
v
||b
|
创设问题情景
三、 课 抽象概念 堂 结 探究性质 构 设 探究运算律 计
应用与提高
数学背景 方法
物理背景 定义分析 几何意义
物理意义 性质 证明 运算律 证明
例题与练习
课堂小结
返回
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
四、教学媒体设计
3、性质的证明
教学过程设计
活动四：探究数量积的运算律 1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？ 这些 运算律对向量是否也适用？
学生可能的回答: ① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
教学过程设计
2、明晰运算律
已知向量
和实数λ，则：
教学过程设计
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
教学过程设计
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结 果又该如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
教学过程设计
2、明晰数量积的定义
（1）定义 ： （2）定义的简单说明： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
１、高效实用的电脑多媒体课件
２、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念 二、数量积的性质 １、概念：
２、概念强调：（1）记法
（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：
4、物理意义：
四、应用与提高 例1：
例2：
例3：
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
六、教学评价设计
1、问答评价。 2、活动评价。 3、练习评价。 4、作业评价。
返回
S
①、在水平面上位移为10米；
G
教学过程设计
②、竖直下降10米；
S G
S
③、竖直向上提升10米；
G
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
教学过程设计
活动三：探究数量积的运算性质
1、性质的发现
问题８：
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，
你能得到哪些结论？
（2）比较
的大小，你有什么
结论？
教学过程设计
3、运算律的证明
学生独立证明运算律（2）
教学过程设计
证明反思：当λ<0时，向量 与 、 与
的方向的关系如何？此时，向量 与 、 与 的夹角与向量 与 的夹角相等吗？ 师生共同证明运算律（3）
教学过程设计
活动五:应用与提高
学生练习
教学过程设计
教学过程设计
活动六、课堂小结与布置作业
的两个基本应用是什么？ 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些 数学思想？
二、教学目标设计
1、“数学课程标准（实验）”对本节内容的要求
（1） 通过物理中“功”等事例，理解平面向
量数积的含义及其物理意义；
（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； （3） 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用
数量积判断两个平面向量的垂直关系。
教学目标设计
2、教学目标：
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数 量积的含义及其物理意义；
五、教学过程设计
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣 活动二: 探究数量积的含义 活动三：探究数量积的运算性质 活动四：探究数量积的运算律 活动五: 应用与提高 活动六: 课堂小结与布置作业
教学过程设计
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
普通高中课程标准实验教科书（人教A版） 数学必修4
平面向量数量积的 物理背景及其含义
（说课稿）
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
一、背景分析
1、学习任务分析
(1)学习任务 通过“功”的事例抽象平面向量数量积的含义,
探究数量积的性质与运算律,体会类比的思想方法, 提高学生抽象概括、推理论证的能力。
(2)教学重点 数量积的概念
背景分析
2、学生情况分析及教学难点
（1）学生情况 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的
运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具 备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运 算的一般方法。 （2）教学难点
对数量积的概念的理解
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说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
物理模型 概念 性质 运算律 应用
教学过程设计
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生
位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２） 请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F
F（力）是 量，
S（位移）是 量
θ是
。
S
教学过程设计
活动二:探究数量积的含义
１、概念的抽象
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?
4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量 积？
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教学过程设计
作业: 课本P121习题2.4A组1、2、3。
拓展与提高：
已知 与 都是非零向量，且
垂直，
与
垂直，求
与 与 的夹角。
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系， 理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运 算律进行相关的运算和判断；
（3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学 生抽象概括、推理论证的能力。
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说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
2、明晰数量积的性质
vv
（（12））设当av向⊥avv 量与bv avbv与同向b都时av 是，· avv非bv =·零0vbv向=|量av|v，| bv则v|
当a 与 b 反向时，a · b=-|a |b| |
v
特别地，a
v
·a
=︱av ︱2 或︱av︱=
v
（3）︱a
·
v b
︱≤
| av
v
||b
|
创设问题情景
三、 课 抽象概念 堂 结 探究性质 构 设 探究运算律 计
应用与提高
数学背景 方法
物理背景 定义分析 几何意义
物理意义 性质 证明 运算律 证明
例题与练习
课堂小结
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说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
四、教学媒体设计
3、性质的证明
教学过程设计
活动四：探究数量积的运算律 1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？ 这些 运算律对向量是否也适用？
学生可能的回答: ① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
教学过程设计
2、明晰运算律
已知向量
和实数λ，则：