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(完整版)湘教版八年级数学下册各章节知识点汇编,推荐文档
图像经过一、三、四象限， x y 随 x 的增大而增大。
5、一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象平移的方法：b 的值加减即可（加是向上移，
减则下移）。
y
6、同一平面内两直线的位置关系： y=k1+b1,与 y=k2+b2 7、坐标轴上点的特征： x 轴上的点纵坐标为 0 即（a，0）； y 轴上的点横坐标为 0.即（0，b）
图像经过一、二、三象限， x y 随 x 的增大而增大。
即 kx+b=0 就与一元一次方程完全相同．
k>0
结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形
y
式．
所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值．
b<0
从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值．
八年级数学下册知识点汇编
④三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半
第一章 直角三角形
如图，在⊿ABC 中，∵E 是 AB 的中点，F 是 AC 的中点 A
∴EF 是⊿ABC 的(
) ∴EF‖BC，EF=( )BC
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。
3、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
建议收藏下载本文，以便随时学习！ （2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中
k 的符 b 的符
新湘教版八年级下数学知识点大全修订版
新湘教版八年级下数学知识点大全修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】cba CBADC BAPF E D CB21APE DC BA新湘教版八年级下册数学复习资料一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。
∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB PE=PF ∴点P 在∠BAC 的平分线AD 上2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。
如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。
边，则c =求斜边，则a =求直角b②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
5、直角三角形的其它性质直角三角形两锐角互余②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半CBACBAFE CBA如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=12AB。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴BC=12AB 。
③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°如图，在Rt ∆ABC 中，∵BC=12AB，∴∠A=30°。
2015年新湘教版八年级下数学复习资料
C BAC BAcbaCB ADC BAPF ED CB21APE DC BAFE CBA新湘教版八年级下册数学复习资料一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。
如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。
求斜边，则ca =或b =②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
5、其它性质①直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=12AB。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴BC=12AB。
③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°如图，在Rt ∆ABC 中，∵BC=12AB，∴∠A=30°。
④三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半如图，在⊿ABC 中，∵E 是AB 的中点，F 是AC 的中点， ∴EF 是⊿ABC 的中位线 ∴EF ‖BC ，12EF BC =二、四边形1、多边形内角和公式：n 边形的内角和=(n －2)·180ºB A DCoB A DC求n边形的方法：2180n=+内角和2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数）成中心对称的两个图形中，对应点得连线经过对称中心，且被对称中心平分会画与某某图形成中心对称图形会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形3、特殊四边形的判定①平行四边形：方法1两组对边分别平行的四边形是平行四边形如图，∵ AB‖CD，AD‖BC，∴四边形ABCD是平行四边形方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，∵ AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形方法3两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形方法4一组对边平行相等的四边形是平行四边形如图，∵ AB‖CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形或∵AD‖BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形方法5 对角线互相平分的四边形是平行四边形如图，∵ OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形②矩形：方法1 有三个角是直角的四边形是矩形方法2 对角线相等的平行四边形是矩形③菱形：方法1 四边都相等的四边形是菱形方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形④正方形方法1 有一个角是直角的菱形是正方形方法2有一组邻边相等的矩形是正方形4、面积公式①S平行四边形=底×高②S矩形=长×宽③S正方形=边长×边长④S菱形＝底×高＝×(对角线的积),即：S=(a×b)÷2三、图形与坐标1、点的对称性：关于x轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相等；关于y轴对称的点，横坐标相等，纵坐标相反；关于原点对称的点，横、纵坐标都相反。
湘教版八年级下册数学期末复习资料
2016年新湘教版八年级下册数学期末复习整理资料一、直角三角形 1、直角三角形的性质 ① 直角三角形的两个锐角互余。
如图，Rt △ ABC 中，T / C=90°「./ A+ / B =90 ° ② 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 形全等的独有方法。
如图，在 Rt △ ABC 中，T CD 是斜边 ③在直角三角形中，如果一个锐角等于 边等于斜边的一半 1AB 的中线，••• CD= —」230 °那么它所对的直角 4、角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，T AD 是/ BAC 的平分线(或/ 1 = / 2),PE 丄 AC , PF 丄 AB• PE=PF角平分线逆定理：到个角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
如图，T PE 丄 AC , PF 丄 AB PE=PF• AD 是/ BAC 的平分线(或/1 = / 2)、四边形BD• “ 1 --BC= AB o2 ④ 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于 30° 1 如图，在 Rt △ ABC 中，T BC=—AB ，•/ A=30 °。
2⑤ 勾股定理：直角三角形两直角边 如图，在 Rt △ ABC 中，T / A=30 ° a 、 b 的平方和等于斜边 1、n 边形:a 2b 2 求斜边, 则c x 2 b 2 ；求直角边，则2、直角三角形的判定 ① 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
② 有两个角互余的三角形是直角三角形。
③勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c 有关系a c 的平方，即b 22c ，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方，相等就是 就不是Rt △o 3、直角三角形全等的判定(5种方法) SAS —边角边、ASA —角边角、SSS —边边边、AAS —角角边、Rt △，不相等HL —斜边直角边HL :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，这是证明两个直角三角(1) n 边形的内角和等于(n 2) 180(2)任意多边形的外角和等于360n(n 3)(3) n 边形共有 2 条对角线(4)在平面内，内角都相等且各边都相等的多边形叫做正多边形。
湘教版数学八年级下册 全册单元复习课1-5单元
在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀 速前往甲地，两人之间的距离x(km)与出发时间t(h)之 间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-EF所示.
(1)小丽和小明骑车的速度各是多少？ (2)求点E的坐标，并解释点E的实际意义.
略
专家这样说 1.类题说明：通过函数图象求取点的对应坐标，然后 利用待定系数法求函数表达式，最后通过代入函数值 列出方程解得对应的自变量的值.
本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围 内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不 完整的频数分布表、频数直方图和扇形统计图，如下 所示：
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
年龄段 10≤x<20 20≤x<30 30≤x<40 40≤x<50 50≤x<60
频数(人数) 5 a 35 20 15
考点2 平行四边形的性质(考查方式：平行四边形的性 质及全等三角形的判定与性质) 解题关键：利用全等三角形的性质求出OM=ON.
教材这样教(P43例4) 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的 直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的 中点.
证明：∵AC，BD为▱ABCD的对角线，且相交于点O， ∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠MAO=∠NCO， 又∠AOM=∠CON， ∴△AOM≌△CON，∴OM=ON， ∴点O是线段MN的中点.
解：(1)学生总数：22÷0.11=200， m=200×0.42=84，n=66÷200=0.33. (2)其他类别的频数为200-84-22-66=28，频率为 28÷200=0.14， 结合频数分布表可以看出：最受学生欢迎的读物是文 学类，有84人，受学生欢迎程度最少的读物是艺术类 读物，有22人.
新湘教版八年级下数学知识点大全精编版
新湘教版八年级下数学知识点大全精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】CBAC BAc baCB A DCBAPF E DCB21APEDCB AFECBA 新湘教版八年级下册数学复习资料 一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。
∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB PE=PF ∴点P 在∠BAC 的平分线AD 上2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。
如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB 3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。
求斜边，则c =a =b =②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
5、直角三角形的其它性质直角三角形两锐角互余②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=12AB。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴BC=12AB 。
③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°Rt ∆ABC 中，如图，在∵BC=12AB ，∴∠A=30°。
最新精编湘教版八年级数学下册全册配套课时练习课课练(全面详细)47课时
最新湘教版八年级数学下册全册配套课时练习课课练总目录：湘教版八年级数学下册第1章直角三角形全单元课时练习（10课时）精编最新湘教版八年级数学下册第2章四边形全单元课时练习（15课时）精编最新湘教版八年级数学下册第3章图形与坐标全单元课时练习同步练习（7课时）精编最新湘教版八年级数学下册第4章一次函数全单元课时练习同步练习（11课时）精编最新湘教版八年级数学下册第5章数据的频数分布全单元课时练习同步练习（4课时）湘教版八年级数学下册第1章直角三角形全单元课时练习目录1.1直角三角形的性质与判定Ⅰ课时练习含答案(2课时)1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ课时练习含答案(3课时)1.3直角三角形全等的判定练习课课练含答案1.4角平分线的性质课时练习课课练含答案(2课时)第1章直角三角形专题训练一直角三角形与勾股定理的应用课时练习含答案第1章直角三角形本章中考演练练习含答案1.1直角三角形的性质与判定Ⅰ课时练习含答案(2课时)课时作业(一)[1.1 第1课时直角三角形的性质和判定]一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是链接听课例1归纳总结( )A．66° B．56° C．46° D．36°2．在直角三角形中，若斜边和斜边上的中线的长度之和为9，则斜边上的中线长为( )A．3 B．4.5 C．6 D．93．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是链接听课例2归纳总结( )A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C4．如图K－1－1，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )图K－1－1A．10 B．11 C．12 D．135．如图K－1－2，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，则( )图K－1－2A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．无法确定∠1与∠2的大小关系6．如图K－1－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高．若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B 的度数是( )图K－1－3A．60° B．45° C．30° D．15°二、填空题7．如图K－1－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，D 为AB的中点，则CD＝________cm.图K－1－48．如图K－1－5，AD⊥BC，∠BAD＝∠B，∠C＝65°，则∠BAC 的度数为________．图K－1－59．在直角三角形中，若两个锐角的度数之比为2∶3，则它们中较大锐角的度数为________°.10．2017·常德如图K－1－6，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一个动点，过点D作CD交BE 于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是____________．图K－1－6三、解答题11．如图K－1－7，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC是直角三角形．链接听课例2归纳总结图K－1－712．如图K－1－8，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°，BD⊥DC，且BD平分∠ABC，那么AD与BC有什么位置关系？请说明理由．图K－1－813.如图K －1－9，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F.求证：AF ＝AD.图K －1－914．如图K －1－10，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 边上的中线，且DC ＝BE.求证：∠B ＝2∠BCE.图K －1－1015．如图K －1－11，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD ＝BC ，E 为BD 的中点，F 为AC 的中点，连接EF 交CD 于点M ，连接AM.(1)求证：EF ＝12AC ；(2)若∠BAC ＝45°，求线段AM ，DM ，BC 之间的数量关系.链接听课例3归纳总结图K－1－1116．如图K－1－12，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.求证：(1)△MED与△BMD都是等腰三角形；(2)∠EMD＝2∠DAC.图K－1－12动点问题如图K－1－13，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC边的中点．(1)写出点D到△ABC三个顶点 A，B，C的距离的关系(不要求证明)；(2)如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动， 在移动过程中保持AN ＝BM ，请判断△DMN 的形状，并证明你的结论．图K －1－13详解详析课堂达标1．[解析] D ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝54°， ∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－54°＝36°.故选D.2．[解析] A 设该直角三角形斜边上的中线长为x ，则斜边长为2x ，则x ＋2x ＝9，解得x ＝3.故选A.3．[解析] D A 选项中，∠A ＋∠B ＝∠C ，即2∠C ＝180°，∠C ＝90°，所以△ABC 为直角三角形；同理，B ，C 选项均为直角三角形．D 选项中，∠A ＝∠B ＝3∠C ，即7∠C ＝180°，三个角中没有90°角，故不是直角三角形．故选D.4．[解析] B ∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，BC ＝6，∴AD ⊥BC ，CD ＝BD ＝12BC ＝3.∵E 为AC 的中点，∴DE ＝CE ＝12AC ＝4，∴△CDE 的周长＝CD ＋DE ＋CE ＝3＋4＋4＝11.故选B.5．[解析] B ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，∴BE ＝12AC ，ED ＝12AC ，∴ED ＝BE ，∴∠1＝∠2. 6．[解析] C在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是AB 的中点，∴EC ＝EA ＝12AB.根据对称，得EC ＝AC ，∴EC ＝AC ＝EA ，∴△ACE 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. 7．58．[答案] 70°[解析] ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠B ＝45°.在Rt △ADC 中，∠DAC ＝90°－∠C ＝90°－65°＝25°， ∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝45°＋25°＝70°. 9．[答案] 54[解析] 设直角三角形的两个锐角分别为α，β(α＜β)，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝90°，αβ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝36°，β＝54°.所以两个锐角中较大的锐角为54°. 10．[答案] 0<CD ≤5[解析] 根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，当点D运动至点A时，CD最长，为5.11．证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，即∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．12．解：AD∥BC.理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°.∵∠C＝60°，∴∠DBC＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝60°.∵∠A＝120°，∴∠A＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC.13．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ADF＝90°－∠ABD.∵AE⊥BC于点E，∴∠AFD＝∠BFE＝90°－∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ADF＝∠AFD，∴AF＝AD.14．证明：如图，连接DE.∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，DE 是AB 边上的中线， ∴DE ＝12AB ＝BE ，∴∠B ＝∠EDB. ∵DC ＝BE ， ∴DE ＝DC ， ∴∠DEC ＝∠BCE.∵∠EDB ＝∠DEC ＋∠BCE ＝2∠BCE ， ∴∠B ＝2∠BCE.15．解：(1)证明：∵CD ＝BC ，E 为BD 的中点， ∴CE ⊥BD.在Rt △ACE 中，∵F 为AC 的中点， ∴EF ＝12AC.(2)∵∠BAC ＝45°，CE ⊥BD ， ∴△AEC 是等腰直角三角形． ∵F 为AC 的中点，∴EF 垂直平分AC ，∴AM ＝CM. ∵CD ＝CM ＋DM ＝AM ＋DM ，CD ＝BC ， ∴BC ＝AM ＋DM.16．证明：(1)∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴ME ＝12AB ，MD ＝12AB ，∴ME ＝MD ，∴△MED 是等腰三角形． ∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ， ∴MD ＝MB ＝12AB ，∴△BMD 是等腰三角形． (2)∵ME ＝12AB ＝MA ，∴∠MAE ＝∠MEA ，∴∠BME ＝2∠MAE. 同理MD ＝12AB ＝MA ，∴∠MAD ＝∠MDA ，∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2(∠MAE －∠MAD)＝2∠DAC.素养提升解：(1)DC ＝DA ＝DB.(2)△DMN 是等腰直角三角形． 证明：连接AD.∵∠BAC ＝90°，D 为 BC 边的中点， ∴DC ＝DA ＝DB ，∴∠C ＝∠CAD ，∠B ＝∠DAB. 又∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ， ∴∠CAD ＝∠B.在△AND和△BMD中，∵AN＝BM，∠NAD＝∠B，DA＝DB，∴△AND≌△BMD，∴DN＝DM，∠ADN＝∠BDM，∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADM＋∠BDM＝90°，∴∠ADM＋∠ADN＝90°，即∠NDM＝90°，∴△DMN是等腰直角三角形．课时作业(二)[1.1 第2课时含30 °角的直角三角形的性质及应用]一、选择题1．如图K－2－1，一棵大树在一次强台风中从距离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树在折断前的高度是( )图K－2－1A．10米 B．15米 C．25米 D．30米2．如图K－2－2，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D为斜边AB的中点，则图中与线段AC的长度相等的线段有( )图K －2－2A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条3．如图K －2－3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∠A ＝30°，AB ＝4，则BD 的值为( )图K －2－3A ．3B ．2C ．1 D.124．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，若这个三角形的最短边长为2，则它的最长边长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 25．如图K －2－4，AB ⊥BC 于点B ，AD ∥BC ，BE ⊥CD 于点E ，CE ＝12BC ，E 为CD 的中点，那么∠ADB 的度数为( )图K －2－4A ．75°B ．60°C ．45°D ．无法确定6．2018·郴州如图K －2－5，∠AOB ＝60°，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 分别于点C ，D ；分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 中截取OM ＝6，则点M 到OB 的距离为( )图K －2－5A ．6B ．2C ．3D ．3 37．如图K －2－6，已知∠1＝∠2，AD ＝BD ＝4，CE ⊥AD 于点E ，2CE ＝AC ，那么CD 的长是( )图K －2－6A ．2B ．3C ．1D ．1.5 二、填空题8．若直角三角形的两个锐角的度数比是2∶1，斜边长为8，则这个直角三角形最短的边长为________．9．如图K －2－7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D.若BC ＝12AB ，则∠DCB ＝________°.图K－2－710．如图K－2－8，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝1，则BD＝________．图K－2－811．如图K－2－9，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，AD＝2BC，则∠A＝________°.链接听课例2归纳总结图K－2－912．如图K－2－10，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________．图K－2－10三、解答题13．如图K－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E 是边BC的中点，BF∥AC，EF∥AB，EF＝4 cm.求：(1)∠F的度数；(2)AB的长.图K－2－1114．如图K－2－12，△ABC是等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AC于点E.试探索线段CE与线段AC之间的数量关系，并说明理由．图K－2－1215．如图K－2－13，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC 上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.(1)求证：∠ABE＝∠CAD；(2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.图K－2－1316．如图K－2－14，∠AOP＝∠BOP ＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D.若PC＝4，求PD的长．图K－2－141．分类讨论思想在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BD是高，且∠ABD ＝30°，求CD的长2．图形全等与变换如图K－2－15，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB ＝90°，D是AB上一点，∠ACD＝15°，点B，E关于CD对称，连接BE交CD于点H，交AC于点G，连接DE交AC于点F.(1)求∠ADF的度数；(2)求证：AF ＝CG.图K －2－15详解详析课堂达标1．[解析] B 由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是10米，则大树在折断前的高度是5＋10＝15(米)．2．[解析] D 由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知，AC ＝12AB ＝AD ＝BD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD ＝12AB ，所以AC＝AD ＝BD ＝CD.故选D.3．[解析] C ∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，∴CB ＝12AB＝2，∠B ＝60°.∵CD 是AB 边上高，∴∠BDC ＝90°，∴∠BCD ＝30°， ∴BD ＝12BC ＝1.4．[解析] B 设三个内角的度数分别为x °，(2x)°，(3x)°，则x ＋2x ＋3x ＝180，解得x ＝30，∴三个内角分别为30°，60°，90°，∴这个三角形是直角三角形，30°角所对的直角边为最短边，斜边为最长边．∵最短边长为2，∴它的最长边为2 2.5．[解析] B 由BE ⊥CD ，CE ＝12BC ，根据“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”得∠EBC ＝30°.又由BE 垂直平分CD 得△BCD 为等腰三角形，所以∠DBE ＝∠EBC ＝30°，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠ADB ＝∠DBC ＝60°.故选B.6．[解析] C 由作图知，OP 是∠AOB 的平分线，点M 到OB 的距离即为垂线段的长，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得点M 到OB 的距离是3.7．[解析] A 在Rt △AEC 中，由CE AC ＝12，可以得到∠1＝∠2＝30°.又∵AD ＝BD ＝4，得到∠B ＝∠2＝30°，从而求出∠ACD ＝90°，然后由直角三角形的性质求出CD 的长．8．4 9．[答案] 30[解析] ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝12AB ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.∵CD ⊥AB ，垂足为D ，∴∠CDB ＝90°，∴∠DCB ＝30°.10．[答案] 2[解析] ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝12∠CAB ＝30°，∴∠BAD ＝∠B ，∴AD ＝BD.∵CD ＝1，∴AD ＝2CD ＝2，∴BD ＝AD ＝2. 11．[答案] 15[解析] 连接BD.∵DE 垂直平分AB 于点E ，∴AD ＝BD ＝2BC ，∴在Rt △BCD 中，∠BDC ＝30°.又∵BD ＝AD ，∴∠A ＝∠DBA ＝12∠BDC＝15°.12．[答案] 3[解析] 如图，过点P 作PC ⊥MN 于点C.∵PM ＝PN ，∴C 为MN 的中点，即MC ＝NC ＝12MN ＝1.∵在Rt △OPC 中，∠AOB ＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC ＝12OP ＝4，则OM ＝OC －MC ＝4－1＝3.13．解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝60°. ∵EF ∥AB ，∴∠BEF ＝∠ABC ＝60°. ∵BF ∥AC ，∴∠EBF ＝∠C ＝90°， ∴∠F ＝30°.(2)∵∠EBF ＝90°，∠F ＝30°，EF ＝4 cm ， ∴BE ＝12EF ＝2 cm.∵E 是边BC 的中点，∴BC ＝4 cm. ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝8 cm. 14．解：CE ＝14AC.理由：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C ＝60°，BC ＝AC. ∵D 是△ABC 中BC 边的中点， ∴BD ＝CD.又∵∠C ＝60°，DE ⊥AC ， ∴∠CDE ＝30°， ∴CE ＝12CD ＝14BC ＝14AC.即CE ＝14AC.15．证明：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴BA ＝AC ，∠CAB ＝∠C ＝60°. 又∵AE ＝CD ， ∴△ABE ≌△CAD ， ∴∠ABE ＝∠CAD.(2)∵∠BPH ＝∠BAD ＋∠ABP ＝∠BAD ＋∠CAD ＝60°，BH ⊥AD 于点H ，∴∠EBH ＝30°，∴在Rt △PBH 中，PB ＝2PH.16．解：过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，则∠PQO ＝∠PDO ＝90°. ∵∠DOP ＝∠QOP ＝15°，∠PDO ＝∠PQO ＝90°，OP ＝OP ，∴△OPD ≌△OPQ ，∴PD ＝PQ.∵PC ∥OA ，∴∠QCP ＝∠BOD ＝∠AOP ＋∠BOP ＝30°， ∴PQ ＝12PC ＝2.故PD ＝2.素养提升1．解：分两种情况讨论．(1)如图①，当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°，则AD ＝12AB ＝5 cm ，∴CD ＝AC －AD ＝5 cm.(2)如图②，当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝30°，∴AD ＝12AB ＝5 cm ，∴CD ＝AC ＋AD ＝15 cm.2．解：(1)∵在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠CBA ＝45°. ∵∠ACD ＝15°，∴∠CDB＝∠ACD＋∠CAD＝60°.∵点B，E关于CD对称，∴∠EDC＝∠CDB＝60°，∴∠ADF＝180°－60°－60°＝60°.(2)证明：如图，过点A作AM⊥AC交ED的延长线于点M，则∠FAM＝90°＝∠GCB，∠MAD＝90°－45°＝45°＝∠CAD.∵∠MAD＝45°，∠ADF＝60°，∴∠M＝60°－45°＝15°＝∠ACD.∵点B，E关于CD对称，∴CD⊥BE，∴∠CHG＝90°，∴∠CGB＋∠ACD＝90°.∵∠GCB＝90°，∴∠CGB＋∠CBG＝90°，∴∠CBG＝∠ACD＝15°＝∠M.在△ACD和△AMD中，∵∠CAD＝∠MAD，∠ACD＝∠M，AD＝AD，∴△ACD≌△AMD，∴AC＝AM.又∵AC＝BC，∴AM＝BC.在△FAM和△GCB中，∵∠M＝∠CBG，AM＝CB，∠FAM＝∠GCB，∴△FAM≌△GCB，∴AF＝CG.1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ课时练习含答案(3课时)[1.2 第1课时勾股定理]一、选择题1．2018·滨州在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( ) A．5 B．6C．7 D．82．如图K－3－1，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )图K－3－1A．5 B．6 C．7 D．253．如图K－3－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若CE＝5，AC＝12，则BE的长是( )A．5 B．10 C．12 D．134．如图K－3－3，长方形OABC的边OA的长为3，边AB的长为2，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )图K－3－3A．3.5 B．2 2 C. 5 D.135．2018·泸州“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图K－3－4所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 ( )图K－3－4A．9 B．6C．4 D．36．2017·大连如图K－3－5，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A ．2aB ．2 2aC ．3a D.4 33 a二、填空题7．若直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是__________．8．如图K －3－6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD ＝________．图K －3－69．直角三角形斜边长是5，一条直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．10．如图K －3－7，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为________.链接听课例3归纳总结图K －3－711．2017·徐州如图K －3－8，已知OB ＝1，以OB 为直角边作等腰直角三角形A 1BO ，再以OA 1为直角边作等腰直角三角形A 2A 1O ……如此下去，则线段OA n 的长度为________．图K－3－812．2017·黑龙江在△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC的面积是________．13．如图K－3－9，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，则△ABC的周长是________(结果保留根号)．图K－3－9三、解答题14．如图K－3－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长.链接听课例2归纳总结图K－3－1015．如图K－3－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，DE＝1.(1)求∠A的度数；(2)求AB的长度．图K－3－1116．2017·徐州如图K－3－12，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．图K－3－1217. 如图K－3－13，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，一个动点P 从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动，同时另一个动点Q 从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段AQ和CP的长．(2)当t为何值时，AP＝AQ?(3)是否存在某一个t值，使AP＝BP？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图K－3－13数形结合题在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图K－3－14所示，过点C作CH⊥AB于点H，延长CH交MN 于点I.(1)若AC＝3 2，BC＝2 3，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积；(2)请结合图形，证明勾股定理：AC2＋BC2＝AB2.链接听课例3归纳总结图K－3－14详解详析课堂达标1．[解析] A 根据勾股定理直接求得弦长为32＋42＝5.2．[解析] A 如图，AB＝AC2＋BC2＝5.故选A.3．[解析] D 在Rt△CAE中，CE＝5，AC＝12，由勾股定理，得AE＝CE2＋AC2＝52＋122＝13.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝13.4．[解析] D 由勾股定理可知OB ＝32＋22＝13，∴这个点表示的实数是13.5．[解析] D 设直角三角形斜边长为c ，根据勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.∵大正方形的面积为25，∴c 2＝25，即a 2＋b 2＝25.∵ab ＝8，∴(a －b)2＝a 2＋b 2－2ab ＝25－2×8＝9，即a －b ＝3，即小正方形的边长为3.6．[解析] B 因为CD ⊥AB ，CD ＝DE ＝a ，所以CE ＝CD 2＋DE 2＝a 2＋a 2＝2a.又△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是AB 的中点，所以AE ＝BE ＝CE ，所以AB ＝2CE ＝2 2a.7．[答案] 5[解析] 已知直角三角形的两直角边长分别为6，8，则斜边长为62＋82＝10，故斜边的中线长为12×10＝5.故答案为5.8．[答案] 8[解析] 因为CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，且DE ＝5，所以AC ＝10.在Rt △ADC 中，CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.9．[答案] 6[解析] ∵直角三角形的斜边长是5，一条直角边的长是3，∴另一条直角边的长为52－32＝4，∴该直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.10．[答案] 16[解析] ∵a ，b ，c 都是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DCE.又∵∠ABC＝∠CED＝90°，AC＝CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB＝CE，BC＝ED.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋ED2，即S b＝S a＋S c＝5＋11＝16.11．[答案] 2n[解析] ∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，∴A1B＝OB＝1，OA1＝2OB＝ 2.∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2＝OA1＝2，OA2＝2OA1＝2.∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝2OA2＝2 2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4＝OA3＝2 2，OA4＝2OA3＝4……∴OA n的长度为2n.12．21 3或15 313．[答案] 6＋2 3[解析] ∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°.∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，∴BC＝2AB＝4.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝2 3，∴△ABC 的周长是AC ＋BC ＋AB ＝2 3＋4＋2＝6＋2 3.14．解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8. ∵AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴AB ＝10.∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ＝12×6×8，∴CD ＝6×810＝4.8.15．解：(1)由DE 垂直平分AB ， 得AD ＝BD ，从而得∠A ＝∠DBE. 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBE ＝∠DBC ＝∠A. 又∵∠C ＝90°， ∴∠A ＝30°.(2)∵DE ＝1，DE ⊥AB ，∠A ＝30°， ∴AD ＝2DE ＝2， ∴AE ＝AD 2－DE 2＝3， ∴AB ＝2AE ＝2 3. 16．解：(1)4(2)过点D 作DE ⊥BC 于E. ∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△CAD 是等边三角形， ∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°. ∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°， ∴∠BCD ＝30°.在Rt △CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°， ∴DE ＝12CD ＝2，CE ＝23，∴BE ＝ 3.在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.17．解：(1)∵在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10，∴AQ ＝10－2t ，CP ＝8－t. (2)AP ＝t ，AQ ＝10－2t ， 令t ＝10－2t ，解得t ＝103.故当t 为103时，AP ＝AQ.(3)不存在．理由：在Rt △PCB 中，∠PCB ＝90°， ∴CP 2＋BC 2＝BP 2.∵CP ＝8－t ，BC ＝6，BP ＝AP ＝t ，∴(8－t)2＋62＝t 2，解得t ＝254.∵254>10÷2＝5， ∴不存在使AP ＝BP 成立的t 值． 素养提升证明：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3 2，BC ＝2 3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝（3 2）2＋（2 3）2＝30， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CH ，即12×3 2×2 3＝12×30CH ， ∴CH ＝6 55，∴AH ＝AC 2－CH 2＝3 305.∵四边形ABMN 为正方形， ∴AN ＝AB ＝30.∵S 四边形AHIN ＝AH ·AN ＝3 305×30＝18，S 四边形AEFC ＝AC 2＝(3 2)2＝18，∴四边形AHIN 的面积等于正方形AEFC 的面积． (2)∵四边形AHIN 的面积等于正方形AEFC 的面积， ∴AC 2＝AH ·AB ， 同理可得BC 2＝BH ·AB ，∴AC 2＋BC 2＝AH ·AB ＋BH ·AB ＝AB 2.课时作业(四)[1.2 第2课时勾股定理的应用]一、选择题1．如图K－4－1所示，一文物C被探明位于点A地下24 m处，由于点A地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离点A 10 m的B处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖( )链接听课例1归纳总结图K－4－1A．20 m B．24 m C．26 m D．34 m2．2017·绍兴如图K－4－2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )图K－4－2A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米3．如图K－4－3，将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水桶中．设筷子露在水桶外面的长度为h cm，则h的最小值是( )图K－4－3A．13 cm B．12 cmC．11 cm D．9 cm4．自动门开启的联动装置如图K－4－4所示，∠AOB为直角，滑竿AB为定长100 cm，端点A，B可分别在OA，OB上滑动，当滑竿AB的位置如图所示时，OA＝80 cm.若端点A向上滑动10 cm，则端点B滑动的距离( )图K－4－4A．大于10 cm B．等于10 cmC．小于10 cm D．不能确定二、填空题5．如图K－4－5，一条公路的两边AB∥CD，在AB上有两棵树M，N，在另一边CD上有一棵树P，测得M，N相距50 m，∠MPC＝30°，∠NPD＝75°，则公路的宽度为________m.图K－4－56．如图K－4－6是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为________米(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．图K－4－67．2018·黄冈如图K－4－7，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计).链接听课例2归纳总结图K－4－7三、解答题8．如图K－4－8，甲、乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去，乙船沿南偏东55°方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达目的地．若C，B两岛的距离为30海里，则乙船的航速是多少？图K－4－89．如图K－4－9，在长为12 cm，宽为10 cm的长方形零件上钻两个半径为1 cm的孔，孔心离零件边沿的距离都是2 cm，求两个孔心之间的距离．图K－4－910．如图K－4－10，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？图K－4－1011．如图K－4－11所示，一根长2.5米的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的长为0.7米，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少米？(2)请判断木棍滑动过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．(3)在木棍滑动过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？请简述理由，并求出面积的最大值.链接听课例1归纳总结图K－4－11构造法的应用如图K－4－12，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160 m，假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．若受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受噪声影响的时间为多少秒？图K－4－12详解详析课堂达标1．[解析] C 在Rt△ABC中，BC＝AB2＋AC2＝102＋242＝26(m)．2．[解析] C 如图，由题意，得AC＝2.4米，BC＝0.7米，在Rt△ABC中，AB＝ 2.42＋0.72＝2.5米，又因为AB＝BD，所以在Rt △BDE中，BE＝BD2－DE2＝ 2.52－22＝1.5(米)，则小巷的宽度为BC ＋BE＝0.7＋1.5＝2.2(米)．3．C4．[解析] A 如图，在Rt△AOB中，已知∠AOB＝90°，AB＝100 cm，OA＝80 cm，根据勾股定理，得OB＝60 cm.若端点A向上滑动10 cm，则OA′＝90 cm.在Rt△OA′B′中，已知A′B′＝100 cm，OA′＝90 cm，则根据勾股定理，得OB′＝1900 cm＜50 cm，故BB′＝OB－OB′＞10 cm.5．[答案] 25[解析] 过点M作ME⊥CD于点E.∵∠MPC＝30°，∠NPD＝75°，∴∠MPN ＝75°.∵AB ∥CD ，∴∠MNP ＝∠NPD ＝75°，∴∠MPN ＝∠MNP ，∴MP ＝MN ＝50 m.在Rt △MPE 中，∵∠MPC ＝30°，∴ME ＝12MP ＝25 m. 故答案为25.6．[答案] 2.9[解析] ∵AM ＝4米，∠MAD ＝45°，∴DM ＝4米．∵AM ＝4米，AB ＝8米，∴MB ＝12米．∵在Rt △MBC 中，∠MBC ＝30°，∴BC ＝2MC ，∴MC 2＋MB 2＝(2MC)2，即MC 2＋122＝(2MC)2，∴MC ＝4 3，则DC ＝4 3－4≈2.9(米)．7．[答案] 20[解析] 如图，将该圆柱的侧面展开，由题意得BC ＝32÷2＝16，A ′C ＝14－5＋3＝12，在Rt △A ′BC 中，A ′B ＝162＋122＝20，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.8．解：根据题意，得AB＝12×2＝24(海里)，BC＝30海里，∠BAC＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2，∴AC2＝BC2－AB2＝302－242＝324，∴AC＝18海里．故乙船的航速为18÷2＝9(海里/时)．答：乙船的航速为9海里/时．9．解：如图，过圆心O作BC的平行线，过圆心E作CD的平行线，两线相交于点F，则OF⊥EF.∵长方形的长为12 cm，宽为10 cm，两圆的半径均为1 cm，孔心离零件边沿都是2 cm，∴EF＝CD－2－2＝12－2－2＝8(cm)，OF＝BC－2－2＝10－2－2＝6(cm)．在Rt△EOF中，OE＝OF2＋EF2＝62＋82＝10(cm)．答：两个孔心之间的距离为10 cm.10．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝AC.设AC＝x cm，则BC＝x cm，OC＝(45－x)cm.由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2，即152＋(45－x)2＝x2，解得x＝25.答：机器人行走的路程BC是25 cm.11．解：(1)如图①，设顶端A下滑至C处，顶端B向外移至D 处．在Rt△ABO中，已知AB＝2.5米，OB＝0.7米，则AO＝ 2.52－0.72＝2.4(米)．∵AO＝AC＋OC，AC＝0.4米，∴OC＝2米．∵在Rt△CDO中，CD＝AB＝2.5米，∴OD＝CD2－OC2＝1.5米，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．答：木棍的底端B向外移动0.8米．(2)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由于斜边AB的长度不变，故斜边上的中线OP的长度不变．(3)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大．如图②，若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形的面积公式，可知当h与OP相等时，△AOB的面积最大，此时S△AOB＝12 AB·h＝12×2.5×1.25＝1.5625(米2)． 故△AOB 的最大面积为1.5625米2.素养提升解： 如图所示，过点A 作AB ⊥MN ，B 为垂足．在Rt △ABP 中，∵∠APB ＝30°，AP ＝160 m ，∴AB ＝12AP ＝80 m. ∵点A 到直线MN 的距离小于100 m ，∴这所中学会受到噪声的影响．假设拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶到点C 处时，学校开始受到噪声影响，那么AC ＝100 m.由勾股定理，得BC ＝60 m.同理，假设拖拉机行驶到点D 处时，学校开始脱离噪声影响，则AD ＝100 m ，∴BD ＝60 m ，∴CD ＝120 m.18 km/h ＝5 m/s ，120÷5＝24(s)．即学校受噪声影响的时间为24 s.课时作业(五)[1.2 第3课时勾股定理的逆定理]一、选择题1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．若△ABC的三边a，b，c满足(a－c)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC 是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图K－5－1，其中正确的是 ( )图K－5－14．如图K－5－2，在正方形网格中有一个△ABC，若小方格的边长均为1，则△ABC是 ( )图K－5－2A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不正确5．2018·长沙我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米二、填空题6．2017·益阳如图K－5－3，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB ＝13，CD是AB边上的中线．则CD＝________．图K－5－3。
湘教版八年级数学下册知识点总结
湘教版八年级数学下册知识点总结湘教版初二数学下册（义务教育教科书）第1章直角三角形1．1 直角三角形的性质和判定（I）1．2 直角三角形的性质和判定（II）1．3 直角三角形全等的判定1．4 角平分线的性质本章复习与测试第2章四边形2．1 多边形2．2 平行四边形2．3 中心对称和中心对称图形2．4 三角形的中位线2．5 矩形2．6 菱形2．7 正方形本章复习与测试第3章图形与坐标3．1 平面直角坐标系3．2 简单图形的坐标表示3．3 轴对称和平移的坐标表示本章复习与测试第4章一次函数4．1 函数和它的表示法4．2 一次函数4．3 一次函数的图象4．4 用待定系数法确定一次函数表达式4．5 一次函数的应用本章复习与测试第5章数据的频数分布5．1 频数与频率5．2 频数直方图本章复习与测试期末考点第一章直角三角形一、已学须用知识点回顾知识点1、等腰三角形的性质(bjvdhuibf )(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴. (2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等. 提示：“三线合一”是指对应的角平分线、中线、高线在画图时实际上只是一条线段，即是一条线段既是顶角的平分线，又是底边上的中线，还是底边上的高，不能混淆.三角形的高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，还有可能和三角形的边重合。
知识点2、等腰三角形的判定定理1、定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边). 2、提示：(1)定理题设中的两个角必须是同一个三角形中的两个内角，不能出现在两个三角形中;(2)结论中的两条边应是这两个内角的“对边”，这种对应关系不能混淆;(3)此定理的作用在于证明一个三角形为等腰三角形. 知识点3、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.2、等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”.因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴. 3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等.知识点4、等腰三角形性质的应用等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：(1) 等腰三角形两底角的平分线相等;(2)等腰三角形两腰上的中线相等; (3)等腰三角形两腰上的高相等;(4)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.知识点5、全等三角形的判定1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。
最新湘教版八年级下册数学复习归纳
cb aCB AP FE D C B21A P E DC B A ED CB A 新湘教版八年级下册数学复习知识点梳理一、直角三角形 1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。
·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。
如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线， ∴PA=PB·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。
·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等， 且P 到∠MON 两边的距离也相等．3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。
求斜边，则22c a b =+； 求直角边，则22a c b =-或22b c a =-。
·如图是拉线电线杆的示意图。
已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。
OC B AO N M··A BGFEDC B A·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
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益阳市九中教案八年级下册第一章直角三角形课题第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）主备教师使用教师教学目的1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。
2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
教学重点直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
教学难点直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
教学方法观察、比较、合作、交流、探索.教学课时一个课时教学过程个性化设计一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?二、新授（一）直角三角形性质定理1请学生看图形：1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。
3、巩固练习：练习1、（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理11、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”2、利用三角形内角和定理进行推理3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理21、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边AB的长度。
（2）找到斜边的中点，用字母D 表示。
（3）画出斜边上的中线。
（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
新湘教版八年级下数学知识点大全
C B AC BAcba C BA PF E D C B21AP ED C B A D CBA新湘教版八年级下册数学复习资料 一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。
∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB PE=PF ∴点P 在∠BAC 的平分线AD 上2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。
如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。
求斜边，则cab = ②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
5、直角三角形的其它性质 ① 直角三角形两锐角互余 ②②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=12AB。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴BC=12AB。
③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30° 如图，在Rt ∆ABC中，∵BC=12AB，∴∠A=30°。
6、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
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期中数学复习直角三角形题型训练〔一〕1、角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线〔或∠1=∠2〕，PE⊥AC，PF⊥AB PE=PF·如图，在 ABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线 BD交AC 于点 假设BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，那么点D 到直线AB 的距离是________厘米。
·如图：在△ ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
F BA1 P D2ECD,COAB2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点C PAEB的距离相等 。
如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，PA=PB·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线， AE=4cm ，△ABC 的周长是DA E·：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等，且P 到∠MON 两边的距离也相等．O3、勾股定理及其逆定理Bac①勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2b 2c 2 。
Cb求斜边，那么ca2b2；求直角边，那么ac2b2或bc 2 a 2 。
D18cm ，那么△BDC 的周长是＿＿。
CB M A··B N A·如图是拉线电线杆的示意图。
CD ⊥AB ， ，CAD=60°，那么拉线AC 的长是________m 。
·假设一个直角三角形的两边长分别为 6和10，那么这个三角形的第三条边长是 ______。
②逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a 2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“a 2b 2〞和“c 2〞，相等就是 Rt ，不相等就不是 Rt。
·在Rt△ABC中，假设AC=2，BC=7，AB=3，那么以下结论中正确的选项是〔〕。
湘教版数学八年级教学下册期末考试总结复习计划题
湘教版数学八年级下册期末考试复习题期末复习(一) 直角三角形考点一 直角三角形的性质【例1】如图，在△ABC 中，BF ，CE 分别是AC ，AB 两边上的高，D 为BC 中点，试说明△DEF 是等腰三角形.【解答】∵BF,CE 分别是AC,AB 两边上的高， ∴∠BEC=∠BFC=90°. 又D 为BC 中点，∴ DE=1BC ，DF=1BC.22DE=DF.∴△DEF 是等腰三角形.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E.如果DE=1，求BC 的长.考点二 直角三角形的判定：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠1=∠B.求证：△ABC 是直角三角形.考点三 勾股定理【例3】如图，四边形 ABCD ，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC 的度数.【解答】连接BD.在Rt △BAD 中，∵AB=AD=2，∴∠ADB=45°，BD=AD 2AB 2=22.222 222在△BCD 中，DB+CD=(2 )+1=9=CB ，∴△BCD 是直角三角形.∴∠BDC=90°.-2--3-期末复习(二) 四边形考点一 多边形的内角和与外角和【例1】小杰在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1290°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？ 【解答】设这个多边形的边数为 n ，少算的这个内角为α，那么有： (n-2)·180°-α=1290°.=(n-2)·180°-1290°. 显然：0°＜α＜180°，∴0°＜(n-2)·180°-1290°＜180°.解得91<n<101.因此n=10.6=(10-2)·180°-1290°=150°. 答：这个内角是150°，这个多边形的边数是10. 如果一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是90°，求这个多边形的内角和.考点二 中心对称和中心对称图形考点三 三角形的中位线 【例3】如下图，点D ，E 分别在AB ，AC 上，BD=CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q.求证：AP=AQ.【解答】取BC 的中点H ，连接MH ，NH.∵M ，H 分别为BE ，BC 的中点，MH ∥EC ，MH=1EC.2∵N ，H 分别为CD ，BC 的中点，NH ∥BD ，NH=1BD.2BD=CE ，∴MH=NH.∴∠HMN=∠HNM.MH ∥EC ，∴∠HMN=∠PQA.同理∠HNM=∠QPA. ∴∠APQ=∠PQA ，∴AP=AQ.如下图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点.求证：△EFG 是等腰三角形.考点四 特殊四边形的性质与判定-4-【例4】：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形.【解答】∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形.1∵E是AB的中点，∴BE=DE=AB.2∴∠EDB=∠EBD.CB=CD，∴∠CDB=∠CBD.AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB.∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD.又∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD(ASA).BE=BC.又∵BE=DE，BC=CD，CB=CD=BE=DE.∴四边形BCDE是菱形.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为点F.求证：DF=DC.如图，在□ABCD中，AE=CG，DH=BF，顺次连接E，F，G，H，E.求证：四边形EFGH是平行四边形.18.(8分)如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论.19.(12分)如图，在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE.求证：CD=BE；如果∠ABD=2∠BED，求证：四边形BECD是菱形.20.(12分)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，-5-以AD为边作等边△ADE.(1)求∠CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连接CF，CE，试证明四边形AFCE是矩形.考点三轴对称的坐标表示【例3】点(-3，1)关于x轴对称的点坐标为(-3，-1)，关于y轴对称的点坐标为(3，1).【方法归纳】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.点A的坐标为(-2，3)，点B与点A关于x轴对称，点C与点B关于y轴对称，那么点C关于x轴对称的点的坐标为()A.(-2，3)B.(2，-3)C.(2，3)D.(-2，-3)考点四平移的坐标表示【例4】如果把点A(-1，4)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么平移后的坐标是( )A.(1，7)B.(-1，7)C.(1，-7)D.(-1，-7)14.【方法归纳】此题需要掌握点的平移坐标变化规律：①向右平移a个单位，坐标P(x，y)P(x+a，y)；②向左平移a个单位，坐标P(x，y)P(x-a，y)；③向上平移b个单位，坐标P(x，y)P(x，y+b)；④向下平移b个单位，坐标P(x，y)P(x，y-b).11.如果点P(x2-4，y+1)是坐标原点，那么2x+y=__________.如图，在直角坐标系中，A(-3，-1)、点B(-2,1)，平移线段AB，使点A落在点A1(0，-1)点B落在B1，那么点B1的坐标为__________.在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(-1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，那么点A′的坐标为__________.-6-三角形ABC 的三个顶点坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0).在三角形ABC 中有一点P(x ，y)经过平移后对应点 P 1为(x+3，y+5)，将三角形ABC 作同样的平移得到三角形 A 1B 1C 1，那么 A 1的坐标为__________.考点一 函数的概念与函数的表示法【例1】以下图象中，表示 y 不是x 的函数的是( )考点二 一次函数的图象和性质【例2】如图，一次函数y=kx+b 的图象与正比例函数y=2x 的图象平行且经过点A(1，-2)，那么kb=__________.2. 【解答】∵y=kx+b 的图象与y=2x 的图象平行， k=2.y=kx+b 的图象经过点A(1，-2)，∴2+b=-2.解得b=-4. ∴kb=2×(-4)=-8. 故答案为-8.假设直线y=mx+2m-3经过二、三、四象限，那么m 的取值范围是()＜2＞0＞2＜033考点三 用待定系数法求一次函数解析式 【例3】正比例函数 y=kx 和一次函数y=ax+b 的图象都经过点 A(1，2)，且一次函数的图象交 x轴于点B(4，0).求正比例函数和一次函数的表达式.【解答】正比例函数的表达式为 y=2x ；得ab2,a2,y=-2x+8.解得 3∴一次函数的表达式为4a b 0.b 8.33 3一次函数y=kx-b 表示的直线经过A(1，-1)、B(2，-3)，试判断点P(0，1)是否在直线AB 上？7. 考点四 一次函数的应用甲、乙两人同时从相距90千米的A 地前往B 地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B 地停留半个小时后返回A 地，如图是他们离A 地的距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系图象.-7-(1)求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；假设乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？x，y满足关系式3x+4y=1，用含x的代数式表示y,那么y=__________.一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，且kb>0，那么这个函数的图象一定不经过第__________象限.把直线y=-3x-2向上平移5个单位，得到直线______________.2方程kx+b=0的解为x=3，那么直线y=kx+b与x轴的交点为__________.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如下图，那么不挂物体时弹簧的长度是__________.17.(10分)从A地向B地打长途，通话3分以内收费元，3分以后每增加通话时间1分钟加收1元.写出通话费用y(单位：元)随通话时间x(单位：分，x为整数)变化的函数关系式；当有10元钱时，打一次最多打多少分钟?19.(10分)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克.现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，假设这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如下图的一次函数关系，求y与x之间的函数关系式.〔12分〕某医药研究所开发了一种新药，在试验时发现，如果成人按规定剂量服用2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y(微克)随服药后时间x(小时)的变化如下图，当成人按规定剂量服药后.分别求出x＜2与x＞2时y与x的函数关系式；〔2〕如果每毫升血液中含药量为3微克或3微克以上时，在治疗时是有效的，请你预测这个有效时间是多长？-8-。
湘教版八年级数学(下)知识点(K12教育文档)
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第一章直角三角形一、直角三角形的性质和判定1。
直角三角形：有一个内角是直角的三角形。
三角形内角和等于180°.三角形中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。
2。
直角三角形的性质A.直角三角形的两个锐角互余.B。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
C。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
D.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
3.直角三角形的判定A.有两个角互余的三角形是直角三角形。
B.如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
二、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方,即a2＋b2=c2。
2。
在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。
3。
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.三、直角三角形全等的判定1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL)。
2。
直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等）四、角平分线的性质1。
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。
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cbaCB AP E DC BAEDCBAPFE D CB21A直角三角形题型训练（一）1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。
·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。
如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB ·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。
·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等，且P 到∠MON 两边的距离也相等．3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。
求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22b c a =-。
·如图是拉线电线杆的示意图。
已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。
·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
OCBAONM ·· A B·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。
A ．∠C=90°B ．∠B=90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形·若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是 三角形.·一块木板如图所示，已知AB =4，BC =3，DC =12，AD =13， 90B ∠=︒，木板的面积为 .·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？ADBCC BAC BADCBAFE CBA GF EDC BA 直角三角形题型训练（二）4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
·如图，在ΔABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G 。
求证：BF=CG 。
5、其它性质①直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴12CD AB =。
·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 .②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。
如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴12BC AB =。
·在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。
A ．AB=2BC B ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。
如图，在Rt ∆ABC 中，∵12BC AB =，∴∠A=30°。
·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。
④三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
如图，在⊿ABC 中，∵E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，∴EF 是⊿ABC 的中位线 ∴EF ‖BC ，12EF BC =·如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为·在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=14，BD=8，AB=x ，那么x1、多边形内角和公式：n边形的内角和=(n－2)·180ºn2180n=+︒内角和求边形的方法：·一个多边形的内角和为12600，它是边形。
·一个n边形的n – 1个内角和为23500，它是边形，另一个内角是。
2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数）成中心对称的两个图形中，对应点得连线经过对称中心，且被对称中心平分会画与某某图形成中心对称图形会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形·下列几张扑克牌中，中心对称图形的有________张·图6中4张扑克牌如图（1）所示放在桌面上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左数起是（）A．第一张 B．第二张 C．第三张D．第四张·在字母C、H、V、M、S中是中心对称图形的是·下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A: 等边三角形 B : 平行四边形C: 等腰梯形 D : 矩形·下列图案是中心对称图形，不是轴对称图形的是（）．oB ADCEANMFC B O B ADC3、特殊四边形的判定 ①平行四边形：方法1两组对边分别平行的四边形是平行四边形如图，∵ AB ‖CD ，AD ‖BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，∵ AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法3两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，∵∠A=∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法4一组对边平行相等的四边形是平行四边形如图，∵ AB ‖CD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形 或∵AD ‖BC ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法5 对角线互相平分的四边形是平行四边形如图，∵ OA=OC ，OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形·如图，在□ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交于点F 。
试连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并证明你的结论．②矩形：方法1 有三个角是直角的四边形是矩形 方法2 对角线相等的平行四边形是矩形 ·如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；（2）猜想△ABC 是何形状三角形时，矩形AECF 会是正方形？并证明你的结论。
③菱形：方法1 四边都相等的四边形是菱形方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形·已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F. 求证:四边形AFCE 为菱形④正方形方法1 有一个角是直角的菱形是正方形 方法2有一组邻边相等的矩形是正方形·正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A: 对角线互相平分 B 对角线相等C:对角线平分一组对角 D:对角线互相垂直A BCD FE O为( )A.60°B.30°C.45°D.90°·下列说法错误的是（）A对角线互相垂直平分的四边形是菱形B对角线平分且相等的四边形是矩形C:对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D对角线互相平分的四边形是平行四边形。
·如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______．·如图为四边形、平行四边形、矩形、正方形菱形、梯形集合示意图，请将字母所代表的图形分别填入下表：4、面积公式①S平行四边形=底×高②S矩形=长×宽③S正方形=边长×边长④S菱形＝底×高＝×(对角线的积),即：S=(a×b)÷2·矩形ABCD的对角线相交于O，AB=6，AC=10，则面积为·菱形的周长为20，一条对角线长为6，则其面积为图形与坐标题型训练1、点的对称性：关于x轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相等；关于y轴对称的点，横坐标相等，纵坐标相反；关于原点对称的点，横、纵坐标都相反。
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。
解题方法：相等时用“=”连结，相反时两式相加=0。
·已知A、B两点的坐标分别是（-2,3）和（2,3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4。
其中正确的有个。
·已知点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于x轴对称，则m= ，n= 。
·已知点P（3，-1）关于y轴对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则b a的值是。
2、坐标平移：左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变；上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减。
例如：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）.·将四边形ABCD先向左平移3个单位，再想上平移2个单位，那么点A（3，-2）的对应点A 的坐标是＿＿＿＿＿.·已知点A（m，n），把它向左平移3个单位后与点B(4,-3)关于y轴对称，则m=＿＿,n=＿＿.·在平面直角坐标系中，点M的坐标为（b，-2b），将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，则b的取值范围是＿＿＿.3、在平面直角坐标系中会画轴对称、平移后的图形，并写出图形顶点的坐标。
·在平面直角坐标系中描出点A（3,5）、B（1,1）、C（5,3）的位置，连成△ABC.ΔA B C，①作出△ABC关于x轴对称的111并写出三个顶点的坐标；②作出△ABC关于原点O成中心对称ΔA B C，并写出三个顶点的坐标；的222③将△ABC向左平移6个单位长度，画出平ΔA B C，并写出三个顶点的坐标；移后的333BB B B的面积。