动态规划法-经典兔子问题

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斐波那契数列与黄金分割

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答案是 6710。
4
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
5
一、兔子问题和斐波那契数列
1．兔子问题 1）问题 ——取自意大利数学家斐波那契的《算盘书》（1202年）
解：设跳到第n格的方法有 tn种。
由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一
种方法，从而 t1 t2 1
22
而能一次跳入第n格的，只有第 n 1
和第 n 2 两格，因此，跳入第 n 格的方法
数，是跳入第n 1格的方法数 tn1，加上跳入
第 n 2 格的方法数 tn2 之和。
2
再作
A(AE)交 AB于 C ，则
AC
AB
5 1 ，C 即
2
为 AB的黄金分割点。
D
5
E
1
A
C
B2Βιβλιοθήκη 38证：不妨令 BD 1 ，则 AB 2 ， AD 22 1 5 ， AE AD ED 5 1，
AC AE
AC 5 1,
5 1
AB 2
证完。
39
4. 黄金分割的美黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐”。例如:
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
把第n 1条分数线上、下的部分都删去，就
得到该连分数的第n 次近似值，记作 un 。
vn

信息学奥赛考察的知识与能力

培养学生如下几方面的能力：l 想象力与创造力；l 对问题的理解和分析能力；l 数学能力和逻辑思维能力；l 对客观问题和主观思维的口头和书面表达能力；l 人文精神：包括与人的沟通能力，团队精神与合作能力，恒心和毅力，审美能力等。

信息学奥赛考察的知识与能力一、计算机基本常识1．信息输入输出基本原理（信息交换环境、文字图形多媒体信息的输入输出方式）2．信息的表示与处理（信息编码、微处理部件MPU、内存储结构、指令，程序，和存储程序原理、程序的三种基本控制结构）3．信息的存储、组织与管理（存储介质、存储器结构、文件管理、数据库管理）4．信息系统组成及互连网的基本知识（计算机构成原理、槽和端口的部件间可扩展互连方式、层次式的互连结构、互联网络、TCP/IP协议、HTTP协议、WEB应用的主要方式和特点）5．人机交互界面的基本概念（窗口系统、人和计算机交流信息的途径（文本及交互操作））6．信息技术的新发展、新特点、新应用等。

二、程序设计基本知识（1）数据结构1．程序语言中基本数据类型(字符、整数、长整数、浮点)2. 浮点运算中的精度和数值比较3．一维数组（串）与线性表4．记录类型（PASCAL）/ 结构类型（C）5．指针类型6．多维数组7．单链表及循环链表8．二叉树9．文件操作（从文本文件中读入数据，并输出到文本文件中）2）程序设计语言（3）结构化程序设计的基本概念三、程序设计基本能力1．阅读理解程序的基本能力2．具有将简单问题抽象成适合计算机解决的模型的基本能力3．具有针对模型设计简单算法的基本能力4．程序流程描述（自然语言/伪码/NS图/其他）5．算法的实现能力6．程序调试基本能力7．设计测试数据的基本能力8．程序的时间复杂度和空间复杂度的估计四、程序设计基本算法1．初等算法（计数、统计、数学运算等）2．排序算法（冒泡法、插入排序、合并排序、快速排序）3．查找（顺序查找、二分法）5．离散数学知识的应用（如排列组合、简单图论、数理逻辑）6．分治思想7．模拟法8．贪心法9．简单搜索算法（深度优先广度优先）搜索中的剪枝10．动态规划的思想及基本算法一、全国信息学奥赛联赛全国信息学奥赛联赛全称是：全国青少年信息学奥林匹克竞赛联赛。

数学建模例题题

数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。

【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。

语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。

pre

背包问题（4）
• 现在有N种物品，每种物品有一个重量Mi和一个价值Vi，每种物品有无限多件。 • 现在你有一个背包，背包体积不限但是所能装的物品的重量上限为MX
• 在满足重量限制的前提下使得背包内物品的总价值最大
背包问题（5）
• 现在有N种物品，每种物品有一个重量Mi和一个价值Vi，每种物品有Ci件。 • 现在你有一个背包，背包体积不限但是所能装的物品的重量上限为MX
最大矩形问题（2）
• 给定一个M行N列的图，图中的一些格子是坏的，请找出最大的长方形矩阵，其中不包含任何一个坏格子。
最大矩形问题（3）
• 给定一个M*N的网格，每个格子可以是黑色或白色。
• 现在要求你按照如下方式从M*N的网格中剪出围棋棋盘：围棋棋盘必须为黑白相间正方形棋盘，每次从棋盘中剪出可能的最大棋盘，如果有多个的话选择最上方的一个，如果还有多个的话选择最左边的一个，直到把M*N的网格剪完为止（最后你要cut out所有1*1的棋盘）。 • 输入每一个大小的棋盘各剪出了多少个。
xjepkx1JO&S=prefix
家谱个数
• 农民约翰准备购买一群新奶牛。在这个新的奶牛群中, 每一个母亲奶牛都生两小奶牛。这些奶牛间的关系可以用二叉树来表示。这些二叉树总共有N个节点(3 <= N < 200)。这些二叉树有如下性质: • 每一个节点的度是0或2。度是这个节点的孩子的数目。 • 树的高度等于K(1 < K < 100)。高度是从根到最远的那个叶子所需要经过的结点数; 叶子是指没有孩子的节点。
• 在满足重量限制的前提下使得背包内物品的总价值最大
货币系统
• 母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。由于他们特殊的思考方式，他们对货币的数值感到好奇。 • 传统地，一个货币系统是由1,5,10,20 或 25,50, 和 100的单位面值组成的。 • 母牛想知道有多少种不同的方法来用货币系统中的货币来构造一个确定的数值。

鸡兔同笼13种解题方法

鸡兔同笼13种解题方法鸡兔同笼问题是一类经典的数学问题，常见于初中数学题目中。

这个问题的基本思路是通过解方程组来求解鸡和兔子的数量。

在本文中，将介绍13种不同的解题方法，包括逆向思维、代数法、图形法等多种方法，帮助读者更好地理解和掌握这一问题。

一、逆向思维法逆向思维法是一种比较简单易懂的方法，其基本思路是先确定总数量，再确定其中一个物品的数量，最后计算出另一个物品的数量。

1. 假设笼子里有13只动物，则鸡和兔子的总数量为13。

2. 假设有x只鸡，则有13-x只兔子。

3. 根据题目所给条件“总腿数为32”，得到方程式2x+4(13-x)=32。

4. 解方程得到x=6，则笼子里有6只鸡和7只兔子。

二、代数法代数法是一种常用的解题方法，其基本思路是通过设定未知量来建立方程组，并通过求解方程组来得到答案。

1. 设鸡和兔子的数量分别为x和y，则有方程组：x+y=132x+4y=322. 通过求解方程组得到x=6，y=7，则笼子里有6只鸡和7只兔子。

三、图形法图形法是一种直观易懂的方法，其基本思路是通过画图来解决问题。

1. 在平面直角坐标系中，设鸡和兔子的数量分别为x和y，则可以用一条直线表示鸡和兔子的总数量为13。

2. 根据题目所给条件“总腿数为32”，可以得到另一条直线表示鸡和兔子的总腿数为32。

3. 通过求解两条直线的交点，即可得到笼子里有6只鸡和7只兔子。

四、枚举法枚举法是一种简单易行的方法，其基本思路是通过列举所有可能情况来找到符合条件的答案。

1. 从1到12枚举鸡的数量x。

2. 根据题目所给条件“总腿数为32”，计算出相应的兔子数量y。

3. 如果x+y=13，则找到符合条件的答案。

五、分段函数法分段函数法是一种利用函数性质解题的方法，其基本思路是将问题拆分成多个部分，并建立相应的函数关系式来求解问题。

1. 假设笼子里有x只鸡，则有13-x只兔子。

2. 根据题目所给条件“总腿数为32”，可以得到下列函数关系式： f(x)=2x+4(13-x)3. 通过求解f(x)=32的解，即可得到笼子里有6只鸡和7只兔子。

分治算法

65 97
13 76
38 49 65 97
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归调用
49 38 65 97 76 13 27
38 49
65 97
13 76
27
38 49 65 97
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
=
n
递归的概念
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
黑盒划分典型问题—合并排序
【例5】合并排序
任务描述：任意给定一包含n个整数的集合，把n个整数按升序排列。输入：每测试用例包括两行，第一行输入整数个数，第二行输入n个整数，数与数之间用空格隔开。最后一行包含-1，表示输入结束。输出：每组测试数据的结果输出占一行，输出按升序排列的n个整数。样例输入：
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归调用自然合并排序
49 38 65 97 76 13 27
49
38 65 97
76
13 27
38 49 65 97
黑盒划分典型问题—逆序对问题

16个趣味数学小故事集锦

16个趣味数学小故事集锦因为他在使用电脑模拟天气预报时，发现微小的初始条件差异会导致预测结果的巨大不同。

这个概念不仅在气象学中有应用，还被广泛应用于其他领域，如经济学和生物学等。

5、趣味数学小故事——200字在一次数学课上，老师给学生们出了这样一道题：有一个正方形，边长为1，现在在正方形内随机取一点，求这个点到正方形某个角的距离的期望值。

学生们纷纷开始思考，但是没有一个人能够解决这个问题。

老师开始讲解，他告诉学生们，这个问题可以通过几何概型来解决，最终得出答案为√2-1.学生们惊叹不已，数学真是神奇。

6、趣味数学小故事——200字有一个人在沙漠中走迷了路，他需要到达沙漠的另一端，但是他只有一只马和一桶水。

他知道整个沙漠的面积，但是不知道该怎么走才能最快地到达目的地。

最后他想到了一个方法，将水倒在沙漠上，等水蒸发后，留下的盐分会形成一条直线，他只需要沿着这条直线走，就能够最快地到达目的地。

这个方法被称为“盐线法”，是一种优化路径的方法。

7、趣味数学小故事——200字在一个数学竞赛中，有一道题目是这样的：给定一个正整数n，求小于等于n的正整数中，每个数的二进制表示中1的个数的总和。

这个问题看起来非常复杂，但是有一个巧妙的解法，可以使用动态规划算法，在O(n)的时间复杂度内解决这个问题。

这个算法被称为“位计数”，是一种高效的计算二进制中1的个数的方法。

8、趣味数学小故事——200字在一个城市中，有一座桥，只能承受一定的重量。

一天，有三个人要过桥，他们的体重分别为60kg、80kg和120kg。

由于桥的限制，每次只能有两个人同时过桥，且必须有一个人留在桥的一端，用手电筒照明。

这三个人需要尽快地过桥，问最少需要多少时间？这个问题看起来很难，但是有一个巧妙的解法。

首先，60kg的人和80kg的人一起过桥，用时80秒。

然后，60kg的人回来，用时60秒。

接下来，120kg的人和80kg的人一起过桥，用时120秒。

信息学奥赛——动态规划法专题

信息学奥赛——动态规划法专题全国青少年信息学奥林匹克联赛动态规划算法一、动态规划的定义在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程(如图)就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。

在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。

应指出，动态规划是考察求解多阶段决策问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。

不像线性规划那样，具有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规划。

因此我们在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。

二、动态规划最优化原理作为整个过程的最优策略具有这样的性质:即无论过去的状态和决策如何，对以前的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。

（无论过程的初始状态/初始决策是什么，其余决策活动必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列，才可能使整个决策活动构成最优决策序列。

）简单地说，一个整体过程的最优策略的子策略一定是最优策略。

利用这个原理，可以把多阶段决策问题的求解过程看成是一个连续的逆推过程。

由后向前逐步推算。

在求解时，各种状态前面的状态和决策，对后面的子问题，只不过相当于其初始条件而己，不影晌后面过程的最优策略。

原理的证明可用反证法。

在此把它略去。

三、动态规划的求解方法是先把问题分成多个子问题（一般地每个子问题是互相关联和影响的），再依次研究逐个问题的决策。

兔王的难题案例分析

兔王的难题案例分析这是一个兔王激励小兔努力工作的一个案例,从此案例中我们可以了解到,对于一个组织来说,经理应该经常采取激励措施来激发员工积极性,应该明确激励措施的类型来针对每一个员工,从而增大激励作用的有效性.根据激励的基本原则来说，此案例给的启示有以下几点：第一，兔王应该注重集体的目标与个人的目标的结合，实行按需激励。

企业应该通过激励约束机制促使代理人更加努力的工作、降低代理成本、避免偷懒的机会等，从兔王的组织结构上来看，基本上组织上都是兔王一人说了算，没有很好地监管机制，没有很好的反馈信息，导致信息的不对称，降低了组织管理的有效性。

第二，企业应该注重激励的形式的拓展，实行物质与精神相结合的激励机制。

兔王组织中单人董事独权，激励中只注重物质激励、为量论。

这种单一的保健的激励机制不能够更好的激发员工的潜力，企业应该采取与其他激励措施相结合即物质与精神结合，使得员工在得到基本的物质激励后还能够享受到精神上的满足感。

此案例中兔王完全可以在奖励小兔萝卜的时候，也进行一种评优活动，越优秀得到的越多，而且受到的尊重感也越强大。

第三，企业应该做好激励工作的引导性。

企业在将员工的需要与企业目标相结合之后，应该做好激励机制的宣传工作，将激励的目的和好处深入每一位员工心中，使得员工从心里接受并且自觉的履行。

第四，企业兔王采取措施时没有关注信息的沟通情况，没有做好激励信息的反馈的收集和信息传达的及时性。

对于企业来说，企业要注重信息的传播，准确、及时、全面的沟通激励机制，才能提高激励的有效性。

第五，企业的激励措施应该采取正负激励相结合的方式。

按照绩效对每一员工排名，对于绩效高的员工进行大力的奖励，为大家树立榜样；而对于绩效不好的员工，采取适当的惩罚措施，给予大家一定的警告，使得员工的工作更好的朝着企业的总体目标发展。

第六，企业采取的激励措施应该更加的明确，而且要具有足够的耐心。

激励的目的、激励的物质和精神的具体奖惩措施、激励的发放方式、达到激励的员工应该达到的最低标准，更加的直观、可量化，不能够一人说表现的好就说奖励就奖励，不具有说服力，易于形成员工之间的矛盾。

递推法

然后根据公式①递推求出am，问题解决。
改进算法

但仔细分析，上述算法有一个明显的缺陷：在求由于在求a2要运用除法，因此会存在实数误差，这个误差在以后递推求am的过程又不断的扩大。在实际中，当m超过30时，求出的am就明显偏离正确值。显然，这种算法虽简单但不可靠。为了减少误差，我们可设计如下算法： ∵ ai=Pia2+Qid+Ria1 =Pi-1a3+Qi-1d+Ri-1a2 =Pi-2a4+Qi-2d+Ri-2a3 …… =Pi-2+kak+Qi-2+kd+Ri-2+kak-1 ∴ an=Pn-k+2ak+Qn-k+2d+Rn-k+2ak-1 ak=(an-Qn-k+2d+Rn-k+2ak-1)/Pn-k+2 ……⑤ 根据公式⑤，可以顺推a2、a3、…、aM。虽然仍然存在实数误差，但由于Pn-k+2递减，因此最后得出的am要比直接利用公式①精确得多。

解答

由问题,可写出递推方程
1n 0 fn 2n 1 f f n 2 n2 n 1
算法：
F[0] := 1; F[1] := 2; FOR i := 2 TO N DO F[I] := F[I – 1] + F[I – 2];
总结

ans A[i]
i 1
z 1
例2 : Hanoi塔问题

Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图1所示。要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：

算法设计与分析报告习题

《算法设计与分析》习题第一章算法引论1、算法的定义？答：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。

2、算法的特征？答：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性；４)有穷性3、算法的描述方法有几种？答：自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言4、衡量算法的优劣从哪几个方面？答：(1) 算法实现所耗费的时间（时间复杂度）；(2) 算法实现所所耗费的存储空间（空间复杂度）；(3) 算法应易于理解，易于编码，易于调试等等。

5、时间复杂度、空间复杂度定义？答：指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。

6、时间复杂度计算：{i=1；while（i<=n）i=i*2； }答：语句①执行次数1次，语句②③执行次数f(n), 2^f(n)<=n,则f(n) <=log2n;算法执行时间： T(n)= 2log2n +1时间复杂度：记为O(log2n) ；7.递归算法的特点？答：①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件）②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式）8、算法设计中常用的算法设计策略？答：①蛮力法；②倒推法；③循环与递归；④分治法；⑤动态规划法；⑥贪心法；⑦回溯法；⑧分治限界法9、设计算法：递归法：汉诺塔问题？兔子序列（上楼梯问题）？整数划分问题？蛮力法：百鸡百钱问题？倒推法：穿越沙漠问题？答：算法如下：（1）递归法● 汉诺塔问题void hanoi(int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b);hanoi(n-1, c, b, a); } }● 兔子序列（fibonaci 数列）递归实现：Int F(int n) {if(n<=2) return 1; elsereturn F(n-1)+ F(n-2); }● 上楼梯问题 Int F(int n) {if(n=1) return 1 if(n=2) return 2; elsereturn F(n-1)+ F(n-2); }● 整数划分问题问题描述：将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n1+n3+…将最大加数不大于m 的划分个数，记作q(n,m)。

斐波那契数列小兔子问题

斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
1 2 4 5
3
6
7 9 10
8 11
12
一
对
大
兔
子
一
对
小
兔
子
从第三个月开始：兔子的对数是前两个月的兔子对数的和。

上上个月兔子的对数决定过了两个月后，具有生育能力的兔子个数，也就确定新生的幼兔的个数（F(n-2)）
上个月兔子的对数，决定了一个月后，是大兔子的个数。

（F(n-1)）
从第一个月一步一步求到第五个月，过程会明白，原理自然会懂。

计算思维之常用算法设计

在此范围内对所有可能的情况逐一验证若某个情况符合题目的条件，则为本题的一个答案；若全
部情况验证完后均不符合题目的条件，则问题无解。
算法应用举例
【案例一】警察破案张三在家中遇害，侦查中发现A、B、C、D四人到过现场。 A说：“我没有杀人。” B说：“C是凶手。” C说：“杀人者是D” D说：“C在冤枉好人。”
四皇后问题
四皇后问题的搜索过程
Q
Q
×× Q
(a)
(b)
Q
Q
Q
×Q
× ×××
(f)
(g)
Q
Q
Q
×× Q
Q
Q
××××
×Q
(c) Q ×××Q
(h)
(d) Q
Q Q
(i)
(e)
Q Q
Q ××Q
(j)
数学建模
求解思路
j
i
设棋盘的横坐标为i，纵坐标为j。当某个皇后占了位置（i,j），在这个位置的垂直方向、水平方向、对角线方向都不能再放其它皇后。
求解思路
定义三个整型数组：a[8],b[15],c[15] 数组a[8]标识各列是否放置了皇后，如果a[j]=0，表示
第j列没有皇后；若a[j]=1，表示第j列已经放置了皇后。
求解思路
j
i
数组b[15]标识主对角线（左上至右下）是否放置了皇后，共15 条主对角线。
主对角线上格子的坐标满足ij+7依次是14—0，对应b[15]数组的15个元素下标
if(n= =1) move(A,C); else
{ hanoi(n-1,A,C,B); move(A,C); hanoi(n-1,B,A,C);
} }

中学校本课程教材《趣味数学》

（校本课程）目录总体规划…………………………………………………………课程实施…………………………………………………………第一节有趣的数学谜语………………………………………第二节鸡兔同笼问题…………………………………………第三节九宫图的应用…………………………………………第四节让梨游戏………………………………………………第五节数学中的简单逻辑推理问题…………………………第六节欺骗眼睛的几何问题…………………………………第七节抽屉原理的简单应用…………………………………第八节帕斯卡三角形与道路问题…………………………第一部分总体规划为了切实提高高中学生的数学推理能力，培养学生学习数学的兴趣，落实《普通高中数学新课程标准》，发挥数学学科在培养学生动手动脑、自主创新、合作探究、提高逻辑思维能上的重要作用，以适应未来学习、生活和工作的需要，我们根据新课标中的总体设计，面向高二年级的同学开设校本课程《趣味数学》。

《趣味数学》选取不同题材的数学故事与实际问题，使学生在自主阅读的同时能够提高兴趣，积极思考，努力探索，找到解决问题的方案，同时提高学生的思维推理能力，在不知不觉中感受数学，融入数学。

一、课程性质数学是最重要的学习工具，是各门功课的桥梁与基础。

趣味性与逻辑推理的统一是本课程的基本特点。

《趣味数学》一课，旨在通过对趣味数学故事的研读与学习，培养与提高学生的基本推理能力，培养学生的应用能力和思维发散的意识，在数学的魅力中提高个人的数学素养，从而提高人生素养。

课本选取的各类数学故事、数学背景都是非常经典的且具有比较高的欣赏学习价值，能够提高学生分析问题和逻辑推理的能力。

用数学氛围去感染学生，用数学情趣去陶冶学生，用数学益智去激励学生，进而把学生一步一步领进数学的殿堂。

二、课程理念1、本着以生为本、主动发展的原则选择符合学生需要的知识内容编写课本。

2、本着以实际生活为本，以兴趣、求知为基点，以能力提高为目标开展教学。

五年级奥数第03讲-鸡兔同笼问题(学)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：五年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第03讲——鸡兔同笼问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题；②掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？意思是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

鸡和兔各有几只？这就是著名的“鸡兔同笼”问题。

如何解决这道数学趣题，就是我们今天要学习的内容。

解决鸡兔同笼问题的主要方法有：1、砍足法（抬腿法）解答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）．显然，鸡的只数就是知识梳理2、假设法（经典）鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数3、方程法根据鸡兔的脚之和列方程解答。

典例分析考点一：图解法和列表法例1、鸡兔同笼，有20个头，54只脚，鸡兔各多少只？例2、有鸡兔共30只，兔脚比鸡脚多60只，问鸡兔各多少只？实战演练➢课堂狙击1、今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只？2、鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？3、在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？与跳棋各有多少副?6、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错或不做一题倒扣1分．小华得了88分，问他做对几题？7、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。

活动用递归法求解“兔子问题”

我身高 170厘
米
我比她高2厘米
我比他高2厘米
我比她高2厘米
你身高多少厘米？
你能算出我的身高吗？
2.问题分析
要求第4个人的身高就必须先知道第3个人的身高，而第3个人的身高取决于第2个人的身高,第2个人的身高又取决于第1个人的身高,且每个人的身高都比前一个人要高2厘米,这类问题就是一个典型的递归问题。
传说在古印度的一个庙宇中，僧人们试图将一堆圆盘从一根木桩移到另一根木桩上，最初有64个圆盘套在一根木桩上，并且自下而上从大到小的顺序排列。圆盘移动的规则为：一次只能移动一个圆盘，并且不允许大的圆盘放在小的上面，你能编程展示僧人们的移动过程吗？
1.问题分析：
移动n个圆盘的问题可以转化为移动n-1圆盘的问题（出现了递归）：从木桩1移动n-1个圆盘到木桩2，利用木桩3作为暂时保存区；移动最后一个（最大）圆盘到木桩3；从木桩2移动n-1个圆盘到木桩3，木桩1作为暂时保存区；当移动n=1个圆盘（递归终止条件）时。这个任务便完成了。
End Sub Function Fi(n As Long) As Long
If n = 1 Or n = 2 Then Fi = 1
Else Fi = Fi(n - 1) + Fi(n - 2)
End If End Function
运行
5、调试运行程序
⑴.按F8键逐句运行程序，观察程序的执行过程，记录递归函数的调用情况。
使用一个有四个参数的tower过程，这些参数分别为：移动的圆盘数；圆盘最初所在的木桩；要移动到的目标木桩；暂时存放圆盘的木桩。
2.程序实现：
Dim i As Long
Private Sub Command1_Click()

狼追兔动态曲线的绘制

实验案例狼追击兔子的问题1.1 狼追击兔子问题的建模1.1.1 问题重述与分析狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。

当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。

当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。

狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。

狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

1.1.2 变量说明1v ：兔子的速度（单位：码/秒） r ：狼与兔子速度的倍数；2v ：狼的速度（单位：码/秒），显然有12rv v = t ：狼追击兔子的时刻（t =0时，表示狼开始追兔子的时刻）1s ：在时刻t ，兔子跑过的路程（单位：码），)(11t s s = 2s ：在时刻t ，狼跑过的路程（单位：码），)(22t s s = Q ),(11y x ：表示在时刻t 时，兔子的坐标 P ),(y x ：表示在时刻t 时，狼子的坐标1.1.3 模型假设1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P ),(y x 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(x y y =。

1.1.4 模型建立（一）建模准备以t ＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向；则显然有兔子位置的横坐标01=x 。

对狼来说，当x ＝100，y ＝0，即0100==x y在t ＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x 轴负方向，则有0100='=x y（二）建立模型 1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P ),(y x 点过狼的轨迹处的切线方向在y 轴上的截距为1y 。

设切线上的动点坐标为（X ，Y ），则切线方程为)(x X y y Y -'=- （1）在（1）中，令X ＝0，则截距x y y Y '-=。