第九讲 卡方检验

e
■注
-如果实际观察次数与理论次数的差异越
大，卡方检验的结果就越可能拒绝无差
虚无）假设接受备择假设。
-理论次数 f e 越大（ f e 5）拟合效果 越
好。
1、卡方检验基本公式

2
K
f o f e
f
e
2
■注 K 为类别的数目； f o 是实际观察值； f e是理论（期待）次数；
f
.1
f
.2
f
.j
f
.R
N
3、独立性检验的一般问题与步骤
⑴统计假设
H : 二因素或多因素之间是独立；（数据）
0
⑵理论次数的计算
fe

f i. f
N
.j
ij
⑶自由度的确定
df R 1K 1
⑷卡方检验

2
f o f e
f
e
2
………（公式1）
⑸统计推断
2 N
X 154.62
理论次数
1 7 24 60 104 130 114 70 31 9 2
f o f e
f
e
2
3.03 2.44 1.85 1.26 0.67 0.07 -0.52 -1.11 -1.70 -2.29 -2.88
0.00237 0.01201 0.04260 0.10888 0.18858 0.23544 0.20615 0.12746 0.05562 0.01710 0.00396
绿色字母 17 12 20 25
蓝色字母 19 9 14 28
二、 检验的基本原理
2
理论基础是1899年皮尔逊的工作：在分
布拟合优度检验中，实际观察次数 f 与理 论次数 f 之差的平方除以理论次数近似服
o e
从 分布，即：
2

2 K
f o f e ~
2
2
f
df
经 济 低 手机品牌 甲 性 男 13 乙 2 丙 3
水 甲 4
平 高 乙 12 丙 4
别
女 9
3
7
8
5
2
四、同质性检验与数据的合并
1、同质性检验（test for homogeneity）
◆几个不同的因素之间是否有实质差异 ◆判断几次重复实验的结果是否同质 ⑴单因素分类数据的同质性检验 ①样例
2
ห้องสมุดไป่ตู้
49 64

e
即：实际观察次数与某分布理论次数 之间无差异；
H:f
1
o
f
e
⑵数理基础
H0:
f
0

f
e

2 K 2
f o f e ~
2
2
f
df
e
⑶依统计检验公式，计算实得卡方值

2
K
f o f e
f
e
f
e
N
p
e
⑷作出统计决断
2
N:总数 Pe：具体类别理论概率
⑵ 检验校正公式
2

2

A B C D A C B D
N N AD BC 2
2
6、多重列联表分析 ⑴适用范围 分类变量数目多于2个
■例：讨论性别（男、女）、婚姻（未
婚、已婚）及生活满意状况（刺
激、规律、无聊）之间的关系。
⑵多重列联表的分析 ①确定控制变量（分层变量） [例]性别 ②分别对在控制变量的每一水平下的另两个 变量形成的列联表进行分析； [例] *男性婚姻状况与生活满意状态关联分析 *女性婚姻状况与生活满意状态关联分析
f o f e 2
2
2
f
~

2 df 1
e
■结论：Z检验与卡方检验一致 （样本比率p的真正分布是二项分布）
■例 某班有100名学生，男生的有42人，问男生
的比率是否与0.5有显著差异？ ①比率显著性检验
Z p
p pq
0
e
1.6
0
②用卡方检验（配合度）

2
n
4250 5850 2.56
M :是约束条件数或利用观察数据时使
用的样本统计量的数目；
2、卡方检验的假设
⑴分类相互排斥，互不包容；
⑵观察值相互独立； ⑶期望次数的大小应大于或等于5（较好趋 近卡方分布的前提）；
■注
①自由度小时，必须 f 5 ,否则利用卡方 检验需要进行较正或用精确的分布 进行 检验； ②自由度大时，可以有少许类别的理论次 数少于5； ③应用卡方检验时，应注意取样设计，保 证取样的代表性，否则依据卡方检验的 结果难以保证结论的科学性；
⑶同质性检验
主要用于检验不同人群母总体在某一个变
量上的反应是否有显著差异。 [例]从四所幼儿园分别随机抽出6 岁儿童若 干，各自组成一个实验组，进行识记测 验。测验材料是红、绿、蓝三种颜色书
写的字母，以单位时间内的识记数量为
指标，结果如下。问四组数据是否可以 合并分析。
分组 1 2 3 4
红色字母 24 15 20 10

2
3.905
2 .05 93
12.6
5、二项分类的配合度检验与比率显著检验 ⑴设总体比率为 p 0 , p0 q0 且n p0 5时
Z p
p pq
0
e
~ N 0,1
0
n Z p
p pq
0
e

np n
0
p np q
0
e

f
o

e
f

e
0
f
n
1 2
Z
2
2
比率差异的显著性检验。
■例 随机抽取90名学生，将学生按性别与学习
成绩进行分类，结果如下表，问男女大学生 在学业成绩上是否有关联？或男女学生在成 绩中等以上的比率是否存在显著差异？
学 业 水 平
中等以上 中等以下
性 男 别 女
23 28
17 22
5、四格表中若有单元格理论次数<5 ⑴Fisher精确概率检验（略）
自由度是各样本组累计自由度与合并后总
数据的自由度之差。
◆异质性 值大于临界值，样本组间数据
2
异质； ◆不显著，则同质；
■例 从四所幼儿园分别随机抽出6 岁儿童若干 ，各自组成一个实验组，进行识记测验。测 验材料是红、绿、蓝三种颜色书写的字母， 以单位时间内的识记数量为指标，结果:
分组 1 2 3 4 红色字母 24 15 20 10 绿色字母 17 12 20 25 蓝色字母 19 9 14 28
名与年龄是否有关联？
年龄组
4岁组
A幼儿园 11 18
B幼儿园 10 15
C幼儿园 15 20
D幼儿园 13 17
达标 未达标 达标 未达标 达标 未达标 达标 未达标
6岁组
14
9
17
10
16
9
17
2
11
合 并 4岁组 数 据 6岁组 表 小计
年龄组
颜色命名能力 达标 未达标
小计 110 103
变异原因 自由 P 合并 9.705 1 <.05
0.125 0.167 0.150 0.471 0.277 0.035 1.429 1.161 0.09
N 552
S 5.07
■分析
其一、分组数据第1组理论次数的计算
f
e1
N
p
e1
i pe1 y Z X S C1
i 注： S
=组上限的Z值-组下限的Z值
其二、拟合指标卡方值的计算
2 2
男 生
1.6
2
女 生 58 50
50
50
f 42 f 50
o e
⑵当 p q 且 n p0 5时卡方检验公式
0 0

2
f o f e
f
e
2
⑶ 的连续性校正（二项分类数据或比率）
2
当期望次数小于5时，卡方检验需要校正，
Yates建议的校正公式为：

2

f
o
信息判断其是否服从某种确定的连续性分布。 ⑴检验方法 ①将连续性的测量数据整理成次数分布表 ②画出相应的次数分布曲线；
③选择恰当的理论分布；
④进行拟合检验；
■例:下表是552名学生的身高次数分布，问这 些学生的身高分布是否符合正态分布？
身高 组中值 次数 离均差 Z分数 P
169~ 166~ 163~ 160~ 157~ 154~ 151~ 148~ 145~ 142~ 139~ 170 167 164 161 158 155 152 149 146 143 140 2 7 22 57 110 124 112 80 25 8 4 15.38 12.38 9.38 6.38 3.38 0.38 -2.62 -5.62 -8.62 -11.62 -14.62
f e 12 f
e

2
■注：校正后的结果与二项分布的结果一致
四、独立性检验（test of independence） 1、功能（例）
主要通过对两个或两个以上因素多项分
类的计数资料的分析，以研究两变量或多
个变量之间的关联性与依存性。
2、一个术语-列联表
独立性检验一般多采用表格的形式记录
观察结果的计数资料，这种表格即列联表。
4、独立样本四格表 检验（列联表特例）
2
⑴检验公式（各单元格理论次数>5）

2

N
A B C D A C B D
因 素 A 分类1 分类2 因
分 类 1
AD BC
2
⑵自由度
df 2 12 1
A C
B D
素 分 类 B 2
■注:独立样本四格表 检验相当于独立样本
③对于控制变量的不同水平所进行的单个列联
表分析 ⅰ、如果 值不显著，此时可以将各个水
2
平下的 值相加，以推测列联表中两
2
个变量总的 值，并进行关联性检定。
2
ⅱ、当控制变量各水平不一致时，必须单独就 个别关联表进行分析。
■例
某通讯公司想了解大学生最喜欢的手机品
牌，随机抽取了72名大学生，调查性别、 家庭经济水平以及最喜欢的手机品牌，来 探讨这三个变量之间的关系，调查结果如 下表。
f ij f i. f
2
1 .j

2
实际
2

2
df
2

拒绝假设
实际
df

接受假设
■注 ◆R×C的卡方检验，允许有的格内的实计数
为0，最小的理论次数为0.5； ◆R×C 的卡方检验中最小的理论次数小于 0.5 或1（2 ×C列联表），一般采用合并 项目的方法，而不用连续性校正公式；
(df )
3、离散型分布的拟合检验 ■例
某项民意测验，答案有同意、不臵可否、 不同意3种。调查了48人，结果同意的24人 ，不臵可否的人12人，不同意的12人，问持 这3种意见的人数是否存在显著差异？
4、连续型分布拟合检验(例)
对于连续随机变量的测量数据，有时不知
道其总体分布，需要根据样本的次数分布的
②检验过程
ⅰ、计算各个样本组的 值和自由度；
2
ⅱ、累加各样本组 值，计算其总和及自由
2
度的总和； ⅲ、将各个样本组原始数据按相应类合并， 产生一个总的数据表，并计算这个总数
据表的 值和自由度；
2
iv、计算各样本组的累计 值与总测试次数合
2
并获得的 值之差（异质性 值），其
2 2
问四组数据是否可以合并分析?
⑵列联表形式的同质性检验
[例]对四所幼儿圆的幼儿颜色命名能力进行
了调查，调查材料是15种颜色的彩色铅
笔。凡能正确命名8种及8种以上颜色者 为达标，低于8 种颜色则未达标。调查 对象分4岁组、6岁组。四所幼儿园调查 的数据见下表。问这四所幼儿园儿童颜
色命名能力调查结果是否同质？颜色命
节目1 节目2 节目3 节目4 节目5 节目6
85
80
55
10
40
30
问：就调查的300人而言，他们对6个节目的 偏好（体现在人数）是否存在显著的差 异？
⑵变量间的独立性检验 在对一批观察数据进行双向多项分类之 后，这两个分类特征是独立无关的还是具 有连带相关的关系？
■例
某师范大学为了了解广大师生对实行“中 期选拨”制度的态度。曾以问卷调查的形式 对977名低年级学生、790名高年级学生和 764名教师进行随机调查，调查结果：
第九讲 卡方检验
一、 检验的功能
2
1、适用资料─计数数据
计数数据的统计分析，测量数据的统计
方法并不适用，卡方检验是较为常用的一
种方法。
2、卡方检验的功能 ⑴拟合优度检验[例]
即通过实际调查与观察所得到的一批 数据，其次数分布是否服从理论上所假 定的某一概率分布；
■例 某广播电视台为了了解广大儿童对其提供 的6种儿童节目的偏好（态度），随机抽取 了300名儿童，问他们最喜欢哪一种节目（ 每人只能选一种），得到的数据如下表：
R×K 型列联表（二个因素：一个因素有
R个分类，另一有K个分类）
R×K 型列联表一般数据结构示意图
因素A 因素B
A1
A2
…….. Aj
12
……
1j
AR
B1 B2
f f
11
f f f f
f
f
1R
f
1.
21
22
f f
f
2j
f
f
2R
f
f f
2.
…
Bi … Bk
f
f
i1
i2
ij
iR
i.
k1
k2
kj
f
kR
k.
e
三、卡方检验应用一——总体分布的拟合检 验（goodness of fit test 配合度检验） 由于检验内容仅涉及一个变量多项分类 的计数资料，也称one-way test）
1、配合度检验的一般问题
即检验实际观察数据的分布与某理
论分布是否有显著的差别。
2、检验过程
⑴统计假设
H :f
0
0

f