3.3 数学期望的定理

i j i j i j
利用数学归纳法可以把这个定理推广到有限多个
独立随机变量的情形：
[定理6] 有限个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们的数学期望的乘积：
E ( X i ) E ( X i ).
i 1 i 1
n
n
小结
1 设C是常数， 则有E (C ) C . 2 设 X 是一个随机变量，C是常数， 则有
于是
2k 2 E ( X ) k e 2, k! i 0

E ( Z ) E (3 X 2) 3E ( X ) 2 3 2 2 4.
[定理3] 两个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和：
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) .
证：对于离散随机变量，
E ( X Y ) ( xi y j ) p( xi , y j )
i j
xi p ( xi , y j ) y j p ( xi , y j )
注意： （1）由定理2,定理3可得 E ( X Y ) E ( X ) E (Y ), 其中 , 为实数. （2）利用数学归纳法可将定理3推广到有限多个
随机变量的情形: [定理4] 有限个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和:
E ( X i ) E ( X i ).
证：因为 X 与 Y 独立， 所以对于离散随机变量，
E ( XY ) xi y j p ( xi , y j ) xi y j p X ( xi ) pY ( y j ) xi p X ( xi ) y j pY ( y j )
E ( X ) E (Y ). 对于连续随机变量类似可证.
第三章 随机变量的数字特征
§3.3 关于数学期望的定理
[定理1] 常量的数学期望等于这个常量：
E (C ) C ,
其中C 是常量.
证： 常量 C 可以看作这样一个随机变量，它只可能
取得一个值 C , 显然， 它取得这个值的概率等于 1 . 所以
E (C ) C 1 C.
[定理2] 常量与随机变量的乘积的数学期望等于这个 常量与随机变量的数学期望的乘积：
i j i j
E ( X ) E (Y ).
对于连续随机变量，
E( X Y )
( x y) f ( x , y)dxdy



xf ( x , y)dxdy yf ( x , y)dxdy
E ( X ) E (Y ).
推广： 若 X 1 , X 2 , , X n 相互独立， 则
E ( X i ) E ( X i ).
i 1 i 1
n
n
思考题
已知离散随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布， 即 2k e 2 P( X k ) , k 0 ,1 ,2 ,, k! 求随机变量 Z 3 X 2 的数学期望 E (Z ). 解： 已知 X ~ P(2) , 则
E (CX ) CE ( X ).
证：对于离散随机变量X ， 我们有
i i
E (CX ) Cxi p( xi ) C xi p( xi ) CE (X ). E (CX )

对于连续随机变量 X , 我们有
C

Cxf ( x)dx xf ( x)dx CE (X ).
E (CX ) CE ( X ).
3 设 X ,Y 是两个随机变量，则有
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ).
推广： E ( X i ) E ( X i )
i 1 i 1
n
n
则有 4 设 X ,Y 是相互独立的随机变量，
E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
E ( X ) E ( X1 X 2 X 3 ) E ( X1 ) E ( X 3 ) E ( X 3 )
0.1 0.2 0.3 0.6.
[定理5] 两个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们数学期望的乘积： E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
解： 设随Biblioteka Baidu变量
1 , 第i个部件需要调整; Xi 0 , 第i个部件不需要调整.
i 1 ,2 ,3.
则
X X1 X 2 X 3.
X1 0 pi 0.9
而
1
0.1
E ( X 1 ) 0 0.9 1 0.1 0.1,
同理 E ( X 2 ) 0.2, E ( X 3 ) 0.3, 由数学期望的性质得
i 1 i 1
n
n
[例1] 一台设备由三大部件构成， 在运行中各个部件
需要调整的概率分别为 0.10 ,0.20 ,0.30 . 设 X 表示
同时需要调整的部件数. 求 X 的数学期望 E (X ) .
其可能取的值为 0,1, 2, 3. 分析: 易知 X 为离散随机变量， 无法求 X 但由于不知各部件的运行状态是否相互独立， 的概率分布. 但可将 X 分解成一些随机变量的和，利用 定理3来计算数学期望 .