3.3 数学期望的定理
第三章 数学期望
r ( x ) f ( x)(离散变量)
r
r ( x ) r f ( x)dx(连续变量)
X关于原点的r阶矩也称为r阶原点矩，定义为 ‘r = E(Xr)
矩母函数
X的矩母函数定义为： MX(t)=E(etX) 在假设收敛的条件下，它是
M X (t ) e tX f ( x)(离散的变量) M X (t )
数学期望
数学期望的定义
数学期望就是一个随机变量的期望值或简称期望。 离散随机变量的期望定义： E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn) =xjP(X=xj) = xjf(xj) 如果随机变量取值概率都是相等的，那么我们就可 以得到一个特殊的期望，算术平均： E(X)=(x1+x2+…+xn)/n
对联合分布的方差和协方差
若X和Y是有联合密度函数f(x,y)的两个连续随机变 量，则X和Y的均值或期望是
X E( X ) Y E (Y )
xf ( x, y)dxdy
yf ( x, y)dxdy
方差是
2 X E[( X X ) 2 ]
标准化随机变量
令X是带均值和标准差的随机变量，则我 们用下式定义标准化的随机变量 X*=(X-)/ X*的一个重要性质是均值为0且方差为1，标 准化的变量对比较不同分布是有好处的。
矩
随机变量X关于均值的r阶中心矩，定义为： r=E((X-)r) 这里r=0,1,2,…。由此得到0=1 1=0 2=2
相关系数
若X和Y是独立的，则Cov(X,Y)=0。另一方面，若X 和Y是完全相关的。例如，当X=Y，则 Cov(X,Y)=XY=XY。由此我们引入变量X和Y相互 依赖的测度： ＝ XY/XY 根据定理四，我们知道－1<=<=1。在＝0时，我 们称X和Y是不相关的。然而在这些情况下，变量可 以是独立的，也可以是不独立的。我们将在后面的 章节中会进一步讨论相关性。
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。
数学期望的性质与条件期望
η
的条件期望, 的条件期望 记作
E{η ξ = xi },
有
同样可以定义给定的 η = y j 时关于 ξ 的条件期望为
E ξ η = y j = ∑ xi P{ξ = x i η = yi }
i
E { ξ = xi } = ∑ y j P{η = y j ξ = xi } η
{
}
对于二元连续型随机变量 (ξ ,η ), 定义
ξ 表示 名射手所需子弹数目， 则 ξ = ∑ ξ i , 表示9名射手所需子弹数目 名射手所需子弹数目， i =1 的分布如下： 并且 ξi 的分布如下：
9
2 3 1 P 0.8 0.16 0.04 Eξ i = 0.8 + 2 × 0.16 + 3 × 0.04 = 1.24
Eξ = E ( ∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = 9 × 1.24 = 11.16
ξ 与 η 是否独立？ 是否独立？
ξ /η
−1 1
0 .3 0.6 解 ξ⋅η − 1 0 1 0 .1 0 .2 0 .1 0.4 P 0.4 0.2 0.4 η 0.4 0.2 0.4 1 1.因为 p−1,0 = 0 ≠ P{ξ = −1} ⋅ P {η = 0} = 0.6 × 0.2 0
2. Eξ = −1 × 0.6 + 1 × 0.4 = −0.2, Eη = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0 E (ξ ⋅ η ) = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0
( 2) j
= ∑ x i p (i 1) ⋅ ∑ y j p (j2 ) = Eξ ⋅ Eη
i
3.3期望的性质与随机变量函数的期望
P X 1
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
Y
100
1 e 4
4
100 300
1 1 e 4
- 1 4
p
E (Y ) = 100e
- 1
- 200 (1 - e
)
33.64 (元).
发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润. 解: 设每张彩票中奖的金额为随机变量X, 则
二、 随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出
数学期望 X g(X) 数学期望 E(X)
E( X ) =
E ( X ) xk pk
k
ò
+
-
xf (x )dx
E轾 g (X ) = 臌
g(x)是连续函数, g(X) 是 随机变量, 如: aX+b, X2等 等.
2. 随机变量函数数学期望的计算 如何计算随机变量函数的数学期望?
例 设随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 X
1 求 E ( ) , E ( X 2 2). X 1 1 1 解: E ( ) 1 0.1 0.7 0.2 0.52 X 2 3
P
0.1
0.7
0.2
E ( X 2)
2
(1 2) 0.1 (2 2) 0.7 (3 2) 0.2 6.7
X 10000 p 1 105
第29讲 数学期望的性质
第29讲数学期望的性质2数学期望的性质:可推广到任意有限个随机变量线性组合的情况：0011()().n ni i i i i i E c c X c c E X ==+=+∑∑1. 设c 是常数, 则有();E c c =2. 设X 是一个随机变量, c 是常数, 则有()();E cX cE X =3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有()()();E X Y E X E Y +=+()()();E aX bY c aE X bE Y c ++=++将上面三点合起来，则有3可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况：11()(),,1,2,,, n ni i i i i E X E X X i n ==∏=∏= 其中 相互独立.4. 设X , Y 是相互独立的两个随机变量, 则有()()();E XY E X E Y =4()().E X E Y =+1.()1,()()1.c P X c E c E X c c ====⨯=是常数，2. ()()()().X X E cX cx f x dx c xf x dx cE X +∞+∞-∞-∞===⎰⎰ 3. ()()(,) (,)(,)E X Y x y f x y dxdy xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明：((),(,)(,))X X f x X Y f x y ~~下面仅对连续型随机变量给予证明 设（利用随机变量函数的数学期望的两个定理来证）54. ()(,) ()() ()() ()().X Y X Y E XY xyf x y dxdyxyf x f y dxdyxf x dx yf y dyE X E Y +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰数学期望的性质:1. 设c是常数, 则有();E c c=2. 设X是一个随机变量, c是常数, 则有()();E cX cE X=3. 设X, Y是两个随机变量, 则有()()();+=+E X Y E X E Y 将上面三点合起来，则有()()();++=++E aX bY c aE X bE Y c4. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 则有=E XY E X E Y()()().672~(,)().X N E X μσμ= 设 ，证明: 例1:, , (0.)X Z Z E Z μσ-==令 则服从标准正态分布且证明:()()()()()0.E X E Z E E Z E Z μσμσμσμσμ=+=+=+=+= 故 2(,) .N μσμ服从 的随机变量的期望为即,X Z μσ=+此时8~(,),01,1,().X B n p p n E X <<≥ 设 求 例2:,, (). X n A P A p =由题意知随机变量可看成是重贝努里试验中事件发生的次 解: 数此时 引入随机变量1,;1,2,,.0,,k A k X k n A k ⎧==⎨⎩ 在第次试验发生在第次试验不发生()()12 ,,,,01,(),, n k X X X p E X p k -=∀ 于是相互独立服从同一分布参数为 121.nn k k X X X X X ==+++=∑ 且 11()()(),n n k k k k E X E X E X np =====∑∑故 ,.() B n p np 服从 的随机变量的期望为即注: 以n , p 为参数的二项分布的随机变量,可分解为n 个相互独立且都服从以p 为参数的(0-1)分布的随机变量之和.9(),1,2,,,,1,2,,.,,,,().n n n X n E X 配对问题一个小班有个同学 编号为号 中秋节前每人准备一件礼物 相应编号为将所有礼物集中放在一起 然后每个同学随机取一件 若取到自己的礼物 就认为配对成功.以表示个同学配对成功的个数求 例3: 1, ;1,2,,.0,,i i X i n i ⎧==⎨⎩ 第号同学配对成功引入随机变量 第号同学未配对成功解:121,01,. n i X X X X X n=+++- 易知： 且服从分布参数为1111()()() 1.n n n i i i i i E X E X E X n=======∑∑∑故 X 注: 不服从二项分布！10,,.X 本题是将分解成数个随机变量之和 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望 这种处理方法具有一定的普遍意义1110010010011()()() 4.5.i i i i E Y E X E X ===∏=∏=从而 0~9,100,,1,2,,100.100,,,().i X i i Y E Y = 计算机程序随机产生中的数字 独立进行次记为第次产生的数字将这个数进行乘积运算得到一数记为求 例4:12100,,,,,,{}1/10,0,1,,9.i X X X P X k k === 由题意知独立同分布其分布律均为 解：901() 4.5,10i k E X k ==⋅=∑故 100121001,i i Y X X X X ===∏ 又。
第三节 数学期望的L-S积分表示
g fdP
2017/11/2
g fdP g fdP
5
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二、数学期望的L-S积分表示
定义3.3.2 若f是（R 1, B 1 , PF）上的实可测函数， f在R 1上 关于PF的积分存在，则称积分
Pf B P f 1B ，B B
为P在（R, B）上由f导出的测度。 （若f为随机变量，则Pf B 为的分布函数）
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 1
定理3.3.1（积分变换定理）f是测度空间
（,,P）到可测空间（R,）上的可测映射， g是（R,）上的可测函数，Pf是（R,）上由f 导出的测度，则：
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10
1、关于事件的 条件 数学期望
定义3.5.1 设是概率空间 ,F , P 上的随机变量，
Ω, F, PB 为 且E 存在，B F，P B 0，
Ω, F, P 在事件B下的条件概率空间，称 dPB为
在给定事件B下的条件数学期望，记 为E / B 。 定理3.5.1 若在上关于P的数学期望E 存在， PB 0，则E / B 存在，且： 1 E B E / B dP
R 1
fdPF 为f在R 1上关于PF的L S
积分，也可记为
f x dF x ，称为f在R 1上关于PF的L S积分。
定理3.3.2 设是（Ω,F, P）上的随机变量，其分 布函数为F x ， 则对任意的 B B 1 ，有： P B
数学期望
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 是随机变量 X（吨），X ~ U[2000,4000]，每售出这 种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出 而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要 组织多少货源，才能使国家收益最大。 解： y 为预备出口的该商品的数量，则 设 用 Z 表示国家的收益（万元）
§1 数学期望
一、数学期望定义
1） 离散型
设离散型随机变量X的, k 1,2,
若级数
x
i 1
k
p k 绝对收敛，则称随机变量 X 的数
学期望存在，记作 EX，
且
EX x k pk
i 1
数学期望也称为均值。
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
说 明
(1)X 的数学期望刻划了 X 变化的平均值．
(2)由于随机变量 X 的数学期望表示的是随机变 量 X 变化的平均值。
因此，只有当级数 保证级数
x
n 1
n
pn 绝对收敛时，才能
x
n 1
n
pn 的和与其级数
x
n 1
n
pn的求
和顺序无关．
3).几种常见的随机变量的期望 几种离散型随机变量的期望
（1） 两点分布
若 X B(1,p),则 E[X]=p
(2) 二项分布
若 X B(n,p),则 E[X]=np
(3) 超几何分布
nM 若 X H(n,M,N) 则 E[X]= N
第四章
随机变量的数字特征
§3 几种期望与方差
(4) poisson分布
06-第二十三讲 数学期望的性质及应用
所以
E(
X
Y
)
xy
f
( x,
y)dxdy
xy
fX
( x)
fY
(
y)dxdy
xf
X
(
x)dx
yfY
(
y)
dy
E( X )E(Y ).
第23讲 数学期望的性质及应用
定理 (数学期望的性质)
( 1 ) 若 a X b (a.e) 则 a E ( X ) b.(a,b为常数).
(2)若 c 为常数,则 E(cX )cE( X ).
(3) E( X Y ) E( X ) E(Y ).
( 4 ) 若X ,Y相互独立,则E( X Y ) E( X )E(Y ).
推论
(5)若X c (a.e)则 E( X ) c. (c 为常数).
(6) 若c1,c2 ,,cn 均为常数,则 E(n ck X k ) n ck E( X k ).
500h
300
(
x
)
1 200
dx
1 200
{3a0
[
0
x
1 2
(
a
x)
]
d
x
5
a
0
0adx}
1 800
(3
a2
2600a
90000)
第23讲 数学期望的性质及应用
解 设公司应组织货源 a 吨（300a500）. 又设公司获利Y 千元,则
1a ,
a X 500,
Y
h(
X
)
1 X
12 ( a
X
E( Xi ) k (1 pi )k 1 pi
k 1
1 pi
概率论与数理统计教程第四版课后答案
2
j
j
i
j
i
j
6
连续型随机变量 ( X,Y),
DX = ∫
( x − EX )2 f X ( x )dx −∞
+∞
( x − EX )2 f ( x , y )dxdy , =∫ ∫ −∞ −∞
+∞ +∞
DY = ∫
( y − EY ) −∞
+∞
2
f Y ( y )dy
+∞ 2 −∞
=
∫ ∫ ( y − EY ) f ( x , y )dxdy .
D( X ) = E( X 2 ) − E 2 ( X ) = 0 .319
(X σX = D ) = 0 .565
13
3.3 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 对一目标射击，直至击中为止。 p，求射击次数的数学期望和方差。 ，求射击次数的数学期望和方差。 解 设随机变量X表示射击次数， 服从几何分布。 设随机变量 表示射击次数， 则X 服从几何分布。 表示射击次数 P ( X = m ) = p(1 − p ) m −1 m = 1 , 2L ∞ ∞ 1 1 1 n−1 n−1 = p⋅ = p⋅ E(X) = = ∑npq = p∑nq 2 2 = (1−q) [1−(1− p)] p n=1 n=1 =1 ∞ ∞ 1+ q 2− p 2 n−1 2 n−1 2 n pq = p∑n q = p⋅ . E(X ) = ∑ 3 = 2 (1+q) p n=1 n=1
第三章 随机变量的数字特征小结
一、一维随机变量的数学期望
定义1 设X是一离散型随机变量，其分布列为： 定义 是一离散型随机变量，其分布列为： 是一离散型随机变量
概率论与随机过程----第七讲资料
四是三的推广，因此要注意理解协方差矩阵的定义、性 质以及其物理意义。
五、复随机变量的数字特征（自学）
注意区别复随机变量的数学期望与实随机变量的数学期 望的定义；同意注意区别两个复随机变量的协方差与两 个实随机变量的协方差的定义。
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R1
R1
定理3.3.（3 随机变量函数的数学期望问题）设是（Ω,F, P）上的随
机变量，其分布函数为Fx，g是R1上的有限实可测函数，则
g 的数学期望存在 gx在R1关于PF（或Fx）的积分存在，且：
E Eg gxdFx
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20
证明：在（3.3.1）式中取R R1，f ，则：
（1）若c为常数，则Dc c2D ；
（2）若1,n是概率空间（Ω, F, P）上的随机变量，有有限的
数学期望，且两两独立，则：
D1 n D1 Dn
若1,n的方差有限，则1 n的方差也有限
（3）D 0 E（ a.e.）
证明略，同学们可自证。
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17
若g为一般的实可测函数，则：
g fdP gdPf g fdP gdPf
R
R
根据复合函数的性质，有g f g f
则：
gdPf gdPf gdPf
R
R
R
g fdP g fdP g fdP
1
n
j 2n
n
Bk Bn2n
k 2n
n
k 1 2n
,
数学期望
定义：设离散型随机变量X 的分布律为
xk pk
k 1
P{ X xk } pk , k 1,2, .
如果级数 xk pk 绝对收敛，则称 xk pk 的和为 X 的数学期
k 1
k1
望，记为 E( X ). 即 E( X ) xk pk .
i 1
n
E(X) E(Xi ) np i1
Xi（i 1,2, , n）相互独立.
n
D(X) D(Xi ) np(1 p)
i1
3. 设 X ~ ()
分布律为：P( X k) ke , k 0, 1, 2,
k!
E( X ) k ke k ke
4). 设 X,Y 相互独立，则有 E(XY ) E( X ) E(Y ),
推广：设 X1, X2, , Xn 相互独立，
证明则：仅E对( 连 X1续X2型 随X机 n ) 变E量( X加以 1 ) 证E(明X。2 ) E( Xn ),
1) E(C) Cf (x)dx C f (x)dx C.
1 (b2 ab a2 ) ( a b )2 1 (b a)2
3
2
12
即 E( X ) a b , D( X ) (b a)2 .
2
12
23
5. 指数分布
设 X 是服从参数为 的指数分布，
密度函数为
f
(
x
)
1
e
x
/
0
x0 其它
E(X)
E(X) 的偏离程度，又因为E[ X E(X) ] 的运算复杂。
数学期望
数学期望1、定义：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
2、离散型数学期望：如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望[2] (若该求和绝对收敛），记为。
它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
公式离散型随机变量X的取为，为X对应取值的概率，可理解为数据出现的频率，则：例子某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个。
则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X。
它可取值0，1，2，3。
其中，X取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03。
则，它的数学期望，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。
定理：设Y是随机变量X的函数：（是连续函数）它的分布律为若绝对收敛，则有:3、连续性数学期望设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。
[2]若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
数学期望完全由随机变量X的概率分布所确定。
若X服从某一分布，也称是这一分布的数学期望。
定理若随机变量Y符合函数，且绝对收敛，则有：[2]该定理的意义在于：我们求时不需要算出Y的分布律或者概率密度，只要利用X的分布律或概率密度即可。
概率论数学期望
x
k 1
k
pk 不绝对收敛，则称 E ( X ) 不存在
概率统计
例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望.
n 1
(n 1) t t p q
n1 t t (n 1) t np ( p q ) np C k p q 1
n 1
np[ p (1 p)] np
概率统计
k 0
n1
即: E ( X ) np
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为： 0,1, 2, 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
e
( x )2 2 2
dx
y2 2
令:y
x
ye
y 2
2
2
概率统计
dy 2
2
1
( y )e
dy
e
y2 2
dy
2 0 2 即: E ( X )
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.
P( X k )
k e
k!
k 0,1, 2, 即: X～P ( )
数学期望
1 2 EW ∫ kν fV (ν)dν = k∫ν (1/ a)dν = ka = 3 −∞ 0
2 2 ∞ a
例4 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴， y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 y 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
∞
则EY ∫ g(x) f (x)dx 。 =
−∞
−∞
定理 2： ： 若 (X,Y) 是二维随机变量， g(x, y) 是二元连续函数，
Z = g(x, y)
(1). 若 (X,Y) 的分布律为 P{X = xi ,Y = y j } = P ， ij 且 ∑g(xi , y j )P 绝对收敛；则 EZ= ∑g(xi , y j )P 。 ij ij
0
x + y +1= 0
例 5 设在国际市场上每年对我国某种出口商品的 需求量是随机变量 X（吨） ，它在[2000,4000]上 服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可 为国家挣得外汇 3 万元，但假如销售不出而囤 积在仓库，则每吨需浪费保养费 1 万元。 问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。 解：设 y 为预备出口的该商品的数量，这个数 量可只 介于 2000 与 4000 之间， 用 Z 表示国家的收益（万元） X≥y 3y, Z = 3X − (y − X), X < y
8 0.1
8 0.2
9 0.3
9 0.5
10 0.6
10 0.3
试 哪 个 的 击 平 高 问 一 人 射 水 较 ？
解 ：
甲 乙 平 环 可 为 、 的 均 数 写
数学期望的定义及性质
§ 2.4 数学期望的定义及性质我们已经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这个随机变量的统计规律,但在许多实际总是中,这样的全面描述有时并不使人感到方便.举例来说,已知在一个同一品种的母鸡群中,一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只要比较这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。
平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只看它们的分布列，虽然全面，去合人不得要领，既难以掌握，又难以迅速地作出判断.这样的例子可以举出很多:例如要比较不同班级的学习成绩,通常就比较考试中的平均成绩;要比较不同地区的粮食收成,一般也只要比较平均亩产量等.既然平均值这么有用,那是值得花力气来研究一番的.例 2.13 (略) 见P 79例 2.14 若随机变量ξ服从二项分布),;(p n k b ,试求它的数学期望ξE 解 这时n k q p k n k P P kn k k ≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡===-0,)(ξ所以k n k nk nk k q p k n k P k E -==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⋅=∑∑00ξ)1()1(1011----=∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=k n k nk q p k n nP np q p nP n =+=-1)( (2.22)例 2.15 (略)P 80定义 2.5 若离散型随机变量ξ可能取值为),,2,1(Λ=i a i 其分布列为),,2,1(Λ=i P i 则当∞<∑∞=1||i i ip a(2.24)时,称ξ存在数学期望,并且数学期望为∑∞==1i i i p a E ξ (2.25)如果∞=∑=i i ip a||1则称ξ的数学期望不存在.对于这个定义,读者也许会问,既然数学期望∑==1i ii pa E ξ,那么只要∑∞=1i ii pa 收剑就可以了,为什么还要求∞<∑∞=1||i i ip a是不是有点多余?我们已经知道,离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的,对同一个随机变量,它的取值的列举次序可以有所不同,当改变列举次序时它的数学期望是不应该改变的,这就意味着无穷级数∑∞=1i ii pa 的求和次序可以改变而其和要保持不变,由无穷级数的理论知道,必须有∑∞=1i ii pa 绝对收剑即∞<∑∞=1||i i ip a,才能保证它的和不受求和次序变动的影响.定理 2.2 若ξ是一个离散型随机变量,其分布列为又g(x)是实变量x 的单值函数,如果∞<∑∞=1||i i ip a,则有∑∞==0)()(i i i p a g Eg ξ (2.26)证明 令),(ξηg =则η仍是一个离散型随机变量,设其可能取的值为)2,1(Λ=j b j ,于是由(2.20)式有∑====ji b a g ij a P b P )()()(ξη由数学期望定义有∑∞====1)()(j i j b p b E Eg ηηξ∑∑=∞===ji b a g ij ja pb )(1)(ξ∑∑=∞===ji b a g iij a p a g )(1)()(ξ∑∞==⋅=1)()(i i i a p a g ξ即为所证类似还可以证下述定理.定理 2.3 若(ξ,η)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为Λ2,1,,),(====j i p b a p ij j i ηξ又),(y x g 是实变量x,y 的单值函数,如果∞<∑∑∞=∞=11|),(|i j ijjipb a g则有∑∑∞=∞==11),(),(i j ij j i p b a g Eg ηξ (2.27)对一般的n 维随变量的函数,也有相应的定理成立,这里就不再叙述了.由于这些定理,在求离散型随机变量函数的数学期望时,就可以直接利用原来随机变量的分布,而不必先求随机变量函数的分布列.现在进一步讨论数学期望的性质.随机变量的数学期望具有下述基本性质:(1) 若b a ≤≤ξ,则ξE 存在,且有b E a ≤≤ξ.特别,若C 是一个常数,则EC=C. (2) 对于一二维离散型随机变量(ξ,η),若ξE ,ηE 存在,则对任意的实数),(,,2121ηξk k E k k 存在且ξξηξE k E k k k E 2121)(+=+ (2.28)(3) 又若ξ,η是相互独立的,则ξηE 存在且ηξξηE E E ⋅=)( (2.29)性质(1)的证明是显然的,下面证明性质(2)和(3). 设(ξ,η)的联合分布列和边际分布列为:Λ,,,),(j i p b a P ij j i ===ηξΛ2,1,)(===⋅i P a P i i ξ Λ2,1,)(===⋅j P b P j j η由定理2.32有∑∑∞=∞=+=+112121)()(i j ij j i P b k a k k k E ηξ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=112111i j ij j i j ij i p b k p a k∑∑∞=⋅∞=⋅+=1211j j j i i i p b k p a kηξE k E k 21+=这里级数∑∑∞=∞=+1121)(i j ij j ip b k ak 绝对收剑是明显的,所以)(21ηξk k E +存在且(2.28)式成立,性质(2)证得.仍得用定理2.3并由独立性有ηξξηE E p b p a p b a E j j j i i i i j ij j i •=•==∑∑∑∑∞=⋅∞=⋅∞=∞=1111)(这里级数∑∑∞=∞=11i j ij jip ba 的绝对收剑也是显然的,所以ξηE 存在且(2.28)式成立,性质(3)得证.性质(2)和(3)都可以推广到任意n 维随机变量的场合,当然,就性质(3)来说,要求这n 维随机变量是相互独立的.一个随机变量η,如果它的分布列是0---1分布:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p p 110 则显然有ηE =⋅P例 2.14 (略)见P 87。
数学期望几个公式的证明
＜ Ｘ ＜ ．．… ．．＜ ｊｃ ｒｔ＜ ＋ ∞
１ 一
ｌ
．
且 相邻 的两 点相差 一个很 小 的常数 ，即这些点将 Ｘ轴
划分成无 数个小 区间．
２．区域 划 分．在 密度 函数坐 标 系中 ，由 轴 、直线
（ｉ＝Ｏ，１，２… … ）和 曲线 ／’（ ）将 ／’（ ）与 轴所 夹 的 ｘｏｙ
Ｊ ｇ（ｘ）Ｊ’（ｘ） 绝对收敛，则称此积分为随机变量Ｙ的
相 同 的 结 论 。 三 、连 续 型 随 机 向量 函 数 的数 学 期 望 定理 ｔ，羽 设 连续 型二 维 随机 向量 （ｘ，Ｙ）的联 合
概率密度 函数为ｆ（ｘ，Ｙ），且 Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）是二维随机 向
量（ｘ，Ｙ）的函数．若积分Ｊ Ｊ． ｇ（ｘ， ） ’（ｘ， ） 绝对
收敛 ，则称此 收敛值 为随机 变量 ｚ的数学期望 ，则
平 面 内的区域 划分成 无数 个小 曲边梯 形．且令
Ａｘ ＝ ，
一 ｉ＝０，１。２，… … ， ．
Ｐ（Ｘ＝ ）＝Ｐ ，ｋ＝１，２，… ，若级数 己 ｘ￣．Ｐｋ绝对 收敛 ，则称
ｋ＝ｌ
级数 ｘｘｐｋ的和为随机 变量 ｘ的数 学期望 ，记 为 Ｅ（ｘ）．
ｋ １
即
．
Ｅ（Ｘ） ｘｇｐ
实际上 ，我们 可 以按如 下几步 得到公式 （２）： １．将连 续型 随机 变量 离散 化．即将 连续型 随机变
量 ｘ看成 在 Ｘ轴 上可 密集 取值 的离 散型 随机 变量 ， 即 ＝ ，， ……， ， ，．．……Ｘ．（如 图 １），满 足
一 ∞ ＜ ｊｃＯ ＜ ｊ亡ｌ＜ Ｘ ！ ＜ … … ＜
Байду номын сангаас
说 明了这几个公 式是如何成立的。不仅有助于学生理解掌握这几个公式，而且使学生领略极 限在解决问题时的
数学期望
( 2)2 0.1 ( 1)2 0.2 02 0.4 12 0.2 22 0.1 1.2
由于D < D ，因此，从走时稳定程度看，甲 种牌号的手表要优于乙种牌号的手表。
例1 设随机变量 服从参数为p的(0-1)分布， 试求D 。 解 因为 E =0×（1－p）＋1×p＝p， 又，E 2=02×（1－p）+12×p=p。因此 D=E2－(E)2=p－p2=p(1－p)=p（1－p）。
这个数能否作为 X的平均值呢？
可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品， 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一 般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数 也不一定是1.27. 一般来说,若统计n天, n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
解 : 显然, P{ i} (1 p)i 1 p, i 1,2,.
因此, E iP{ i} i (1 p) p
i 1 i 1
i i p (1 p) p (1 p) i 1 i 1 1 p 1 p p 1 (1 p) p p
p
-2 -1 0 +1 +2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
容易验证E =E =0，从数学期望(即日走时误 差的平均值)去看这两种牌号的手表，是分不出优 劣的。 如果仔细分析一下两个分布律，可以发现乙种 牌号手表的日走时误差比较分散而显得不稳定。相 对来说，甲种牌号手表的日走时误差比较稳定。因 此从这个意义上讲，牌号甲的手表要优于牌号乙！ 也就是说，这两个随机变量从平均值(数学期望) 上看没有差异，但从取值的分散程度上看还是有差 异的。 为了描述这种差异，我们引入另一个数字特 征——方差和标准差。
3.3.1(二维随机变量的期望)
例 8. （匹配问题） 某人任意地将写好的 n 张信纸随意地 装入 n 个信封中，记 为信纸与信封 配对的个数，设法求 E 与 D .
E E ( E ( | ))
证：仅对连续型场合进行证明.
设 ( , ) 联合密度为 p ( x, y ) ，
则p ( x , y ) p | ( x | y ) p ( y )
记g( y ) E ( | y )
E
1 p ( x , y ) 0 , 0 x 1, 0 y 1 其他
E
1 0
1 0
0
1 0
x y 1 dxdy
1 1 0 x
[ ( x y )dy]dx [ ( y x )dy]dx
x2 1 2 dx 0 2 3
x
p ( u, y )du p ( y )
p | ( x | y )
p ( x , y ) p ( x )
， ( p ( y ) 0)
条件数学期望
定义 以条件分布构成的数学期望（若存在）
称之为条件期望
xi P ( xi | y j ) x E ( | y j ) xP | ( x | y j )dx
x
y2 2
dy]dx
y2 2
[
1
x
e
y2 2
dy]d (e
x2 2
)
1
{
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解： 设随机变量
1 , 第i个部件需要调整; Xi 0 , 第i个部件不需要调整.
i 1 ,2 ,3.
则
X X1 X 2 X 3.
X1 0 pi 0.9
而
1
0.1
E ( X 1 ) 0 0.9 1 0.1 0.1,
同理 E ( X 2 ) 0.2, E ( X 3 ) 0.3, 由数学期望的性质得
第三章 随机变量的数字特征
§3.3 关于数学期望的定理
[定理1] 常量的数学期望等于这个常量：
E (C ) C ,
其中C 是常量.
证： 常量 C 可以看作这样一个随机变量，它只可能
取得一个值 C , 显然， 它取得这个值的概率等于 1 . 所以
E (C ) C 1 C.
[定理2] 常量与随机变量的乘积的数学期望等于这个 常量与随机变量的数学期望的乘积：
于是
2k 2 E ( X ) k e 2, k! i 0
E ( Z ) E (3 X 2) 3E ( X ) 2 3 2 2 4.
E (CX ) CE ( X ).
证：对于离散随机变量X ， 我们有
i i
E (CX ) Cxi p( xi ) C xi p( xi ) CE (X ). E (CX )
对于连续随机变量 X , 我们有
C
Cxf ( x)dx xf ( x)dx CE (X ).
E (CX ) CE ( X ).
3 设 X ,Y 是两个随机变量，则有
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ).
推广： E ( X i ) E ( X i )
i 1 i 1
n
n
则有 4 设 X ,Y 是相互独立的随机变量，
E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
i j i j
E ( X ) E (Y ).
对于连续随机变量，
E( X Y )
( x y) f ( x , y)dxdy
xf ( x , y)dxdy yf ( x , y)dxdy
E ( X ) E (Y ).
注意： （1）由定理2,定理3可得 E ( X Y ) E ( X ) E (Y ), 其中 , 为实数. （2）利用数学归纳法可将定理3推广到有限多个
随机变量的情形: [定理4] 有限个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和:
E ( X i ) E ( X i ).
i j i j i j
利用数学归纳法可以把这个定理推广到有限多个
独立随机变量的情形：
[定理6] 有限个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们的数学期望的乘积：
E ( X i ) E ( X i ).
i 1 i 1
n
n
小结
1 设C是常数， 则有E (C ) C . 2 设 X 是一个随机变量，C是常数， 则有
[定理3] 两个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和：
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) .
证：对于离散随机变量xi , y j )
i j
xi p ( xi , y j ) y j p ( xi , y j )
推广： 若 X 1 , X 2 , , X n 相互独立， 则
E ( X i ) E ( X i ).
i 1 i 1
n
n
思考题
已知离散随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布， 即 2k e 2 P( X k ) , k 0 ,1 ,2 ,, k! 求随机变量 Z 3 X 2 的数学期望 E (Z ). 解： 已知 X ~ P(2) , 则
E ( X ) E ( X1 X 2 X 3 ) E ( X1 ) E ( X 3 ) E ( X 3 )
0.1 0.2 0.3 0.6.
[定理5] 两个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们数学期望的乘积： E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
i 1 i 1
n
n
[例1] 一台设备由三大部件构成， 在运行中各个部件
需要调整的概率分别为 0.10 ,0.20 ,0.30 . 设 X 表示
同时需要调整的部件数. 求 X 的数学期望 E (X ) .
其可能取的值为 0,1, 2, 3. 分析: 易知 X 为离散随机变量， 无法求 X 但由于不知各部件的运行状态是否相互独立， 的概率分布. 但可将 X 分解成一些随机变量的和，利用 定理3来计算数学期望 .
证：因为 X 与 Y 独立， 所以对于离散随机变量，
E ( XY ) xi y j p ( xi , y j ) xi y j p X ( xi ) pY ( y j ) xi p X ( xi ) y j pY ( y j )
E ( X ) E (Y ). 对于连续随机变量类似可证.