数学建模案例之多变量最优化2

数学建模案例之

多变量有约束最优化

问题2[1]（续问题1）：在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现在我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白电视记得生产。这样装配厂就有了额外的生产能力。这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每年可以生产10000台电视（约每周200台）。公司有充足的19英寸、21英寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？

清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？

1．问题分析、假设与符号说明

这里涉及的变量和问题１相同：

s：19英寸彩电的售出数量（台）；

t：21英寸彩电的售出数量（台）；

p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；

q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；

C：生产彩电的成本（美元）；

R：彩电销售的收入（美元）；

P：彩电销售的利润（美元）

这里涉及的常量同问题１：

两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元；

每种彩电的生产成本分别为：195美元和225美元；

每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；

种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；

固定成本400000美元。

变量之间的相互关系确定：

假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。 假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制

5000,8000s t ≤≤；

假设３：公司年内的生产能力有上限c=10000台，即 10000s t +≤；

假设４：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。 因此，19英寸彩电的销售价格为：

p=339 - a ×s - 0.03×t ，此处a=0.01

21英寸彩电的销售价格为：

q=399 - 0.01×t - 0.04×s

因此，总的销售收入为：

R=p ×s + q ×t

生产成本为：

C=400000 + 195×s + 225×t

净利润为：

P = R - C

2．建立数学模型

根据前面的分析，原问题的数学模型如下：

max (,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225),

..10000,

5000,8000,

0,0

P s t as t s s t t s t s t s t s t s t =--+---

+++≤≤≤≥≥ （2.1）

这里 a=0.01。

3．模型求解

3.1 求解方法----Lagrange 乘子法

这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用Lagrange 乘子法求解。 第1步：确定目标函数P(s,t)的可行域S

目标函数P(s,t)的可行域S （见图1）为：

{(,):10000,05000,08000}S s t s t s t =+≤≤≤≤≤

图1 目标函数的可行域图

第2步：计算P ∇

(,)(1440.020.007,1740.0070.02)

P P

s t P s t s t ∂∂∂∂∇==---- （2.2） 在可行域S 的内部，0P ∇≠，因此，最大值一定在边界上达到。 第3步：计算边界上的极大值

由于可行域由5条直线围成，因此需要分别计算P(s,t)在每一条边界线段上的最大值，下面分别计算，重点介绍如何计算P(s,t)在直线10000s t +=上的最大值。 （1）P(s,t)在约束直线10000s t +=上的最大值 此时，需要求解问题

max (,)

..(,)10000

P s t s t g s t s t =+= （2.3）

其Lagrange 乘子方程为P g λ∇=∇，即

1440.020.0071740.0070.02s t s t λ

λ--=⎧⎨

--=⎩

与约束方程

10000s t +=

联立求解，得到

003846

615424s t λ≈⎧⎪

≈⎨⎪=⎩

（2.4） 代入目标函数P(s,t)可得极大值为00(,)532308P s t =。

图2 可行域及水平集图

上面的图2给出了可行域以及P(s,t)的水平集图像。水平集P(s,t)=C 为一簇同心环，这些环与可行域相交，水平集P(s,t)=532308为最小的环。这个集合刚刚接触到可行域S ，且与直线10000s t +=在极值点相切。由图2还可以看出，利用Lagrange 乘子法在约束直线

10000s t +=上找到的临界点就是P(s,t)在整个可行域上的最大值。但要证明它却比较麻烦。

（2）P(s,t)在其它约束直线上的最大值

采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对P(s,t)的极大值点，结果如下：

直线段5000s =：极大值点（5000，5000），极值为515000美元； 直线段8000t =：极大值点（2000，8000），极值为488000美元； 直线段0s =：极大值点（0，8000），极值为352000美元； 直线段0t =：极大值点（5000，0），极值为70000美元。

第4步：比较边界极大值，求出最大值点

比较函数P(s,t)在区域S 的五段边界直线上的最大值，可得到P(s,t)在区域上的最大值为532308美元，在点(3846,6154)处取得。 3.2 结果解释

公司为获得做大利润应生产3846台19英寸彩电和6154台21英寸彩电，从而每年的总生产量为10000台，这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。能够供应的立体声电路板的资源限制不是关键的。这样可以得到预计每年532308美元的利润。

4．灵敏性分析与影子价格

我们先讨论19英寸彩电的价格弹性系数a 的灵敏性，即售出量s,t 和利润P 关于a 的灵敏性，然后讨论最优产量s,t ，利润P 对可利用生产能力c=10000台的灵敏性。 4.1 最优解关于19英寸彩电的价格弹性系数a 的灵敏性分析

仍利用Lagrange 方法来求解该问题。Lagrange 乘子方程为P g λ∇=∇，即