高一数学集合知识点归纳与典型例题

集合
一、知识点：
1、元素：
a 是集合A的元素，记作a A ；若b不是集合A的
（ 1）集合中的对象称为元素，若
元素，记作 b A ;
（ 2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性;
（3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法；
（4）常用数集：N; N*; N ;Z; Q;R
2、集合的关系：
子集
相等
3、全集
交集
并集
补集
4、集合的性质：
（1）A A A,A,ABBA;
(2)A A, A B B A;
(3)( A B)(A B);
(4)A B A B A ABB;
(5) C S(A B) (C S A) (C S B),C S( A B) (C S A) (C S B);
二、典型例题
例1.已知集合 A { a 2, (a 1)2 ,a 23a 3} ，若1 A ，求a。

例 2. 已知集合M ＝x R | ax
2
2x10
中只含有一个元素，求a的值。

例3.已知集合 A { x | x2x 6 0}, B { x | ax 1 0}, 且B A ，求 a 的值。

\
例 4. 已知方程x2bx c 0 有两个不相等的实根x ， x
2.设 C＝ {x ， x
2}，A＝{1，3，
11
5，7，9}， B＝{1 ，4，7，10} ，若A C,C
B
C
，试求 b， c 的值。

例 5.设集合A
{ x | 2 x 5}, B { x | m 1 x 2m 1} ，
（1）若A B，求 m 的范围；（2）若A B A ，求m的范围。

例 6. 已知 A ＝{0 ，1} ， B ＝ {x|x
A} ，用列举法表示集合 B ，并指出集合 A 与 B 的关系。

三、练习题
1. 设集合 M ＝
{ x | x
17}, a
4 2,则（
）
A.
a M
B.
a M
C. a ＝ M
D. a > M
2. 有 下 列 命 题 ： ①
{ }
是 空 集 ② 若 a
N, b N ， 则 a b 2③ 集合
100
N , x Z}
为无限集，其中正确命
{ x | x
2
2x 1
0}
有两个元素 ④
集合 B { x |
x
题的个数是（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 下列集合中，表示同一集合的是（
）
A. M ＝{ （3， 2）} ， N ＝{ （2， 3）}
B. M ＝{3 ，2} ， N ＝{（ 2，3）}
C. M ＝{ （ x ， y ） |x ＋ y ＝ 1} ， N ＝ {y|x ＋ y ＝ 1}
D.M ＝{1 ，2} ， N ＝{2，1}
4. 设集合 M
{ 2,3, a
2
1}, N
{ a
2
a
4,2a
1}，若M
N
{ 2}
， 则 a 的取值集
合是（ ）
{
3,2, 1
}
B. { －3}
C. { 3, 1
}
D. { － 3，2}
A.
2
2
5. 设集合A ＝
{x| 1 < x < 2} ， B ＝ {x| x < a} ， 且
A
B ， 则实数 a 的范围是 （
）
A.
a
2
B.
a
2
C.
a 1
D.
a
1
{( x, y) | y 1}
6.
x
设 x ，y ∈ R ，A ＝ {（ x ，y ）|y ＝ x} ， B ＝
， 则集合 A ，B 的关系是（
）
A.A B
B.B A
C. A ＝B
D.A B
7. 已知 M ＝ {x|y ＝ x 2－ 1} ， N ＝ {y|y ＝x 2
－1} ， 那么 M ∩ N ＝（ ）
A. Φ
B. M
C. N
D. R 8. 已知 A ＝ {－2，－ 1，0，1} ， B ＝ {x|x ＝ |y|，y ∈ A} ，则集合 B ＝ _________________
9. 若 A
{ x | x 2
3x
2 0}, B
{ x | x 2 ax a
1 0}, 且B
A
，则 a 的值为 _____
10. 若 {1，2， 3}
A
{1 ， 2，3， 4， 5} ， 则 A ＝ ____________
11. 已知 M ＝ {2 ， a ， b} ， N ＝ {2a ， 2，b 2 } ，且 M ＝N 表示相同的集合，求 a ， b 的值
12. 已知集合 A
{ x | x
2
4x
p 0}, B { x | x
2
x 2 0}且A
B,
求实数 p 的范
围。

13. 已知 A { x | x 2
ax a
2
19 0}, B { x | x
2
5x 6
0}
，且 A ， B 满足下列三
个条件：①
A B
② A
B B ③ Φ A B ，求实数 a 的值。

四、练习题答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.B
7.C
8. {0 ，1， 2} 9. 2，或 3
10. {1 ，2，3}或{1 ，2，3，4}或{1 ，2，3，5} 或{1 ，2，3，4，5}
a
1
2
4
a 2a
a
b
a 0 a 0
b
1 11. 解： 依题意，得：
b b 2 或
b
2a
，解得：
b
0 ，或 b
1
，或
2
a 1
4
a
b
1
结合集合元素的互异性，得
b 1 或
2 。

12. 解： B ＝ {x|x< － 1， 或 x>2}
①若A ＝Φ，即
16 4 p
，满足 A
B ，此时
p
4
② 若 A
，要使 A
B ，须使大根 2
4 p 1
或小根 2 4 p 2
（舍），解得：
3 p
4
所以
p
3
13. 解： 由已知条件求得 B ＝{2 ，3}，由
A
B
B ，知 A
B 。

而由 ①知A
B ，所以 A
B 。

又因为 Φ
A B
，故 A ≠Φ，从而 A ＝ {2} 或{3} 。

当 A ＝ {2} 时，
将经检验，当 a ＝
x ＝ 2 代入 x 2
ax
a 2 19 0 ，得 4 2a a 2 19 0
a
3或 5
－3 时， A ＝{2， － 5}; 当 a ＝ 5 时， A ＝ {2 ， 3} 。

都与 A ＝{2} 矛盾。

当A ＝ {3}
时，将 x ＝ 3 代入 x 2
ax a 2
19 0 ，得
9 3a a 2
19 0 a2或5
经检验，当 a ＝ － 2 时， A ＝ {3 ， －
综上所述，不存在实数
a 使集合 A ， 5}; 当 a ＝ 5 时， A ＝ {2 ， 3} 。

都与 A ＝ {2} 矛盾。

B 满足已知条件。