数学建模减肥减肥计划

（4）
由式（1.1）
dw dt

0即
a/d
<
w，体重从w0
递减，这
是减肥产生的效果，另外由式 （1.2）可以看到 t 时
w(t) w* a / d A /(B R) ，也就是说式（1.1）的解渐进
稳定于 w* a / d ，它给出了减肥过程的最终结果，因此不
妨称 w*为减肥效果指标，由 w* A /(B R) ，因为 B 是基础
自行车 2330.200 2016.400 2135.600 2217.000
游泳 2735.300 2448.400 2567.600 2676.000
2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800
（2） 在 h = 2 的情况下运动所消耗的能量，如下表：
根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不 能低于维持人体正常生理功能所需要的能量。
因此作为人体体重极限值减肥效果指标一定存在一个下 限w1，当w < w1 时表明能量的摄入过低并致使维持他本人 正常的生理功能的所需，这是减肥所得到的结果不能认为有 效的，它将危及人的身体健康，是危险的，称 w1 为减肥的 临界指标。
表四
运动
跑步
跳舞
乒乓
自行车
游泳
122
155
141
160
116
187
261
229
274
176
时间/天
173
232
207
243
164
148
198
177
206
140
163
220
196
230
154
（3）要使体重稳定在一个定值，则有
w* A BR
根据自己的不同理想目标和 B (每人每千克体重基础代谢的能量消 耗)， 在 不同小时下的能量消耗表：
34.6
33.5
35.2
34.8
25.6
理想目标 75
80
80
85
90
题目要求如下：
(1) 在基本不运动的情况下安排计划，每天吸收的 热量保持 下限，减肥达到目标：
(2) 若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经 过调查资 料得到以下各项运动每小时每kg体重 消耗的热量如下 表二所示：
表二
运动
跑步 跳舞 乒乓
(2) 忽略个体间的差异（年龄，性别，健康状况等） 对减 肥的影响，人体的体重仅仅看成时间t 的函数 w(t) 。
(3) 由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以 w(t) 是连续而且是光滑的。
(4) 运动引起的体重减少成正比于体重； (5) 正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗
热量一般为 28.75 ~ 45.71 kcal,且因人而异。 (6) 人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收
（2）
利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想目标所需的天数。
5.模型的建立
（1） 首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 B, 因为没有运动，所以有 R = 0， 根据公式 （2）式，
得到：
B A W
从而得到没人每千克体重基础代谢的能量消耗。
从假设（5）可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人， 加上吃得比较多，没有运动，所以会长胖，进一步，由
另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消 耗也有一个所能承受的范围，
计为 0 < R < R1 ,为三个区域 A,B,C 这表明能量的摄取 量高于体重 w0 时的摄入量 A，这是体重不会从 w0 减少， 称之为非减肥去，C 区为危险区，B 区为有效减肥区，可以 看到单一的减肥措施达不到减肥效果。
t 1 ln w a / d D ln w(B R) A d w0 a / d B R w0(B R) A
将A（五个人每天分别摄入的能量）的值代入时，取不同的r , 得到一组据
在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同的运动
强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表所示：
2007 年。 [3] 戴朝寿等，数学建模简明教程，北京，高等教育出版社，2007年。
[4] 江世宏，MATLAB 语言与数学实验，北京 科学出版社，2007 年。 [5] 胡良剑 孙晓君 matlab 数学实验，北京，高等教育出版社。
附录： Matlab 程序
% (1) 在不运动情况下：
clear
（3） a/d 是模型中的一个重要参数，由于 a = A/D 表明由 于能量的摄入而增加的体重，而 d = (B + R)/D 表示由于 能量的消耗而失掉的体重，于是 a/d 就表示摄取能量而获 得的补充量，综合以上分析可知：
t 时刻的体重有两部分组成，一部分是初始体重中由于能 量的消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得 的补充部分，这一解释从直观上理解也是合理的。
R = 0;
D = 8000;
% 能量转换系数
A0 = 1429; % 没提阿吸收热量的下限
W1 = [75 80 80 85 90]; % 理想的体重目标
n = length(w);
3080.400 3199.600 3348.000
3274.800
2554.800
2806.800
2464.800
3436.800
6． 模型的分析与讨论
(1) 从以上几个表可知，普遍管擦得出结论，游泳是减肥的 最佳方法，无论是在长时间还是在短时间内，从结果来 看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥的最 佳方法，也可以从下图可知，
3. 模型的假设与符号说明 3.1 模型假设： (1) 人体的脂肪是能量的主要存储和提供方式，而且也是减
肥的主要目标，因为对于一个成年人来说体重主要由分 组成，包括骨骼，肌肉，水和脂肪。骨骼，肌肉和水大 体上可以认为是不变的，所以不妨以人体的脂肪的重量 作为体重的标志，已知脂肪的转化率为 100% ，每千克 的脂肪可以转化为 8000kcal 的能量 （kcal 为国际单位 制单位）。
自行车
游泳
（中速） （50m/min）
热量消耗/k 7.0 3.0
4.4
2.5
7.9
(3) 给出达到目标后维持体重的方案。
2. 问题的背景与分析
随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高，饮 食营养摄入的改善和变化，生活方式的改变，使得肥胖成了 社会关注的一个问题，为此，联合国世界卫生组织颁布人体 体重指数（简记BMI）：
热量不要小于 1429 kcal
3.2 符号说明：
D： 脂肪的能量转化系数 W(t)：人体的体重关于时间 t 的函数。
r ：每千克体重每小时运动所消耗的能量 ( kcal/kg)/h b ：每千克体重每小时所消耗的能量 ( kcal/kg)/h
A0 ： 每天摄入的能量 W1 ：五个人理想的体重目标向量
A ： 五个人每天分别摄入的能量 W ：五个人减肥前的体重 B ：每个人每千克体重基础代谢的能量消耗
4. 问题分析
如果以 1 天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能 量消耗量应为 B=24b ( kcal/d)，由于人的某种运动一般不会 是全天候的，不妨假设每天运动 h 小时，则每天由于运动所 消耗的能量应为 R= rh ( kcal/d)，在时间段 ( t , t + ∆t) 内能 量的变化基本规律为：
【关键字】： 微分方程 转化 能量转化系数
1. 问题重述
现有五个人，身高，体重和BMI指数分别如下表所示，体 重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重 减至自己的理想目标，并维持下去：
表一人数1源自2345
身高
1.7
1.68
1.64
1.72
1.71
体重
100
112
113
114
124
BMI
达到自己的理想目标所需的天数，如下表所示：
表三
人
1
2
3
4
5
天数
194
372
313
266
298
（2） 为加快进程，增加运动，结合调查资料得到以下各项运动每小时 每千克 体重消耗的热量表：
运动
跑步
能量消耗/k 7.0
跳舞 3.0
乒乓 4.4
自行车 （中速）
2.5
游泳 （50m/min）
7.9
由假设（4）可知，表中热量消为 r ,取 h = 1 h ，R= rh =r ，根据（2）式有：
[w(t t) w(t)] D [A (B R) w(t) ] t
取 ∆t →0, 可得
dw a dw dt w(0) w0
（1）
其中 a = A/D, d = (B + R)/D, t = 0 (模型开始考察时刻)， 即 减肥问题的数学模型求解有：
w(t) w0edt a (1 edt ) d
图一表示每个人的能量消 耗图，都是离散的，并且都是递增 的，表明了游泳时能 量消耗最快的，选此方法减肥是最 合理有效的。
图一
(2) 在式（2）中假设 a = 0，即假设停止进食，无任何能 量摄入。于是有
w(t) w0 e dt 或
w(t ) edt w0
这表明 在 t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由 给出，称 edt 为 （0，t）时间内的体重保存率，特别当 t = 1 时， edt 给出了单位时间内体重的消耗率，它表明 在 （0，t）体重减少的百分率，可见这种情况下体重的 变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去， 由 limw(t) 0 ，即体重（脂肪）消耗殆尽，可知不进食 的进食t减肥方法是危险地。