第九章 力矩分配法原理
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MB1= 0= C1BM1B MC1=－i1Cθ=(－ 1)M1C=C1CM1C
M j 1 C1 j M 1 j——传递弯矩：远端获得的由近端分配
弯矩传递而来的弯矩。
8
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩及 20kN/m 200kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 结点不平衡力矩 C 200 6 A B g 3i 4i 结点不平衡力 M AB 150kN m 8 矩要反号分配 . 3m 3m1/2 1/2 6m μ 200 6 g 结点不平衡力矩 M BA 150kN m g Mg －150 8 150∑M － 90 B =固端弯矩之和 20kN/m 200kN 20 6 2 g 1/2 M BC 90kN m －15 －30 －30 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 C A B ∑MBg=150－90=60kN· m M －165 ∑MBg 150 120 － 120 －150 － 90 2）放松结点， 相当于在结点上施加反号 MBCg MBAg 的结点不平衡力矩，并将 120 即单结点结构在结点力 165 90 － ∑MBg =－60 它按分配系数分配给各个 300 偶作用下的力矩分配法 近端并传递到远端。 C A B C A B －图（ 30 kN ·m) －15 －30 SBA=4×3i=12i M SBC=3×4i=12i 3）叠加1）、2）步结果得到杆端的最后弯矩。9 μBA=μBC= 12i/24i=1/2 计算过程可列表进行。
－1
∑MAg = －45 D MABg M=15
g A MAD
40
70 65
－10 － 10 C
100 B
A 10 D 80 M图（kN ·m)
C
11
§9-2 多结点的力矩分配
力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松每一个结点，应用单结 点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。
1、加入刚臂，锁住刚结点， 由结点力矩平衡条件求结点 不平衡力矩∑MBg、∑MCg。
+ +
M分
MB传
M传 4、重复2、3步骤直至结果 M分 M分 收敛。 5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
12
+ ··
§9-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松 所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩反号分配。
解：1）求 μ g 2）求 M SDE=0
0
§9-2 多结点的力矩分配
A
15kN/m
B
↓↓ ↓↓↓ ↓
i=3 4m
30.8 － 30.8
i=1 8m
150kN · m C
10kN D
i=2 8m
E
2m
20 －20
M 89.1
36.4 113.6
30.8
36.4 20
30 89.1
M图（kN· m) 113.6
=
∑MBg
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 MABg 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传 3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点 B又取得新的不平衡力矩 MB传 M传 MBAg
∑MCg
MBCg MCBg
MCDg
－∑MBg M分
∑MCg +MC传 M传 －(∑MCg +MC传)
2i 3m i i i
4i
G
i
C
!!
2i H
i
3m
i
3m
i
E
1.5m
M AG
g
20 1.52 15kN m 3
20 1.5 2 7.5kN m 6
18
M GA
g
有侧移刚架?
AC AG
0.5 A 0.5 －15 7.5 7.5 －0.75 0.375 0.375 7.13 －7.13
1/2 1/2 1/2 1/2
10 56 84
－30.8 12.3 18.5 －1.8 0.7 1.1
1/2 0
1/2
M
89.1
30.8 － 30.8
36.4 113.6
g =(1/3) M 15×42 μBA μDE× =0 DC=1 = · m SBA=i= 3 80SkN BC=4×i=4 MABg =(1/6) ×15×42 μBA=3/7 μBC= 4/7 = 40 kN· m S g = 3×i=6 MDECD = －10×2 － 20 20 － 20 kN m SCB= =4 × i= 4· 16 4 μCD=0.6 μCB=0.
4m 4m
μAC= 2/9
μAD= 3/9
70 65 15kN· m 40kN/m 40 100kN 100 15kN· m 100kN 100 40kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D A B i=1 D i=1 A B g ∑MA10 80 g M =15 MAB i=2 A MADg M图（kN.m) M图（kN ·m) MACg C C 2m 2m 4m 2m 2m 4m A C AC 2/9 CA D DA
17
§9-2 多结点的力矩分配
例9.3 力矩分配法计算并画M图。
20kN/m
↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓
20kN/m A↓↓↓↓↓↓
解：利用对称性取半刚架. SAG=4i SAC=4i SCA=4i SCH=2i SCE=4i μAG=0.5 μCA=0.4 μCE=0.4 μAC=0.5 μCH=0.2
1 1
③
④
1
确定转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）、远端看支承。 5
Δ
√
MAB
§9-1 力矩分配法的基本概念
问题：如下杆件转动刚度SAB=4i 的是（ ）
√ √ √
①
A
i i
B
② A
A
B
③
i i i
B
B
④
⑤
A
A
B
i 4i>SAB>3i
6
§9-1 力矩分配法的基本概念
二、力矩分配法的基本原理 1、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法 S1 A M B M1A=4i1Aθ=S1Aθ S
A
i
B
A
i
B
A
i
B
A
B
与近端支承形式无关
AB杆的线刚度 i 影响SAB的因素 （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长） AB杆的远端支承形式
3
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、传递系数C： 当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：
M远 C M近
∴远端弯矩可表达为： M BA C AB M AB 等截面直杆的传递系数
1.58 1.58
0.79 E M图（kN.m)
可不急传递
0.79
－0.79 E
19
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
100kN/m
i=1.92 2.5m
1
i=1.37 3.5m
2
i=2.4 2m
3
i=1 4.8
13
A
2
24kN/m B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
令= EI/8=1 μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4 μCD=0.6 分配系数 固端弯矩
2EI
8m ∑ MB
EI
g =－128
8m
1
C
4m 2EI 4m ∑MCg =53
50kN
2
50kN
D
24kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
－128
0.6 －∑MBg=128
M S
M 1 j 1 j M ——近端获得的分配弯矩
7
§9-1 力矩分配法的基本概念
M1A=4i1Aθ=S1Aθ M1B=3i1Bθ=S1Bθ
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S1 A M S S1 B M S S 1C M S
M
B 1 A
θ
C
b)传递弯矩 MA1=2i1Aθ=(1/2)M1A =C1AM1A
§9-1 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法 力矩分配法概述 计算对象：杆端弯矩
计算方法：增量调整修正的方法
适用范围：连续梁和无侧移刚架
正负号规定—— 杆端转角规定顺时针为正； 杆端弯矩、固端弯矩规定对杆件顺时针转动为正；相应地对结 点逆时针转动为正。
1
§9-1 力矩分配法的基本概念
一、名词解释
A
CAB=1/2 i CAB= －1
SBA=2i
B A
CAB=0 i
SBA=0
B
SBA=－i
B
4
A
i
i
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
固定支座 铰支座 定向支座 4i 3i i 1/2 0
－1
问题：下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？ MAB MAB ① ② θ 1 MAB
86.6
24kN/m A B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C
124.2
50kN C
M图（kN· m) 8m 最后弯矩 0 86.6 －86.6
192 8m 4m 124.2 －124.2
100 4m
15
§9-2 多结点的力矩分配
例9.2 力矩分配法计算并画M图。
A
15kN/m
↓↓ ↓↓↓ ↓
B
i=3 4m
§9-2 多结点的力矩分配
G －7.5 －7.5
7.13 A
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
7.13
－0.375
－15.38
15.38
2.36 2.36
0.78 C
H 0.75 0.03 0.78
CA CE CH
0.4C 0.4 0.2 3.75 －1.5 －1.5 －0.75 0.19 －0.08 －0.08 －0.03 2.36 －1.58 －0.78
例9.1 力矩分配法计算并画M图。
解：1）求μ μAB= 4/9
2）求Mg MABg= 50 MBAg= － 50 MADg=－ 80 ∑MAg=MABg+MADg+MACg － M =50+－80－15= －45 kN· m
结点
杆端 μ Mg 分配与传递 M
B BA AB 4/9 － 50 10 － 40
1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。 使AB杆件的A杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作SAB
习惯上将发生转动的杆端称为“近端”，而杆件的另一端称为“远端 当远端是不同支承时，等截面wk.baidu.com的转动刚度
A
i
1
B
A
i
1
B
A
i
1
B
A
BB
2
§9-1 力矩分配法的基本概念
如果把近端改成固定支座，转动刚度SAB的数值不变， 此时SAB表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩。
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S 1B M S S 1C M S
M
M1B 1 M1C M1A M 1 A
θ
C
M1C=i1Cθ=S1Cθ
∑M1= M1A+M1B+M1C－M=0
a)分配系数与分配弯矩 (∑μ=1) S1 j ——分配系数，μ1j等于杆1j的转动刚度S1j与交于结 1 j S 点1的各杆转动刚度之和的比值(j=A，B，C)。
128 －75 ∑MCg = 53 +25.6 0.4 0.6 =78.6 128 －75 25.6 25.6 －31.4 －47.2 g －∑MC = －78.6 3.2 －1.3 －1.9 －31.4 －47.2 0.2 －0.1 －0.1 14 124.2 3.2 －124.2
§9-2 多结点的力矩分配
AD 3/9 － 80 15 － 65
50
20 70
10 10
－10 － 10
10
§9-1 力矩分配法的基本概念
例9.1力矩分配法的计算过程也可在计算简图中列表进行。
100kN B － 50 10 － 40 AB AC15kN· AD m 40kN/m 4/9 2/9A 3/9 ↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 50 － 80 1/2 20 10 15 70 10 － 65
0.4 －128 76.8 76.8 51.2 3 8 22 24 g 0.6 逐次放 M 128 －15.7 －15.7 BC BA 3 2 4 1 12 松结点 4 9.4 6.3 21 进行分 g 0 . 4 24 8 BC M 128 1 CB 3 2 4 －15.7 0.7 配与传 － 12 CB 0.4 0.4 0.3 15.7 递 3 50 8 g 0 . M CD CD 6 75 16 86.6 最后弯矩 0 －86.6 9.4 6.3
3/7 4/7 80
i=1 8m
∑MBg =108
10kN 150kN · m ∑MCg =－140 D C E
i=2 8m
2m
1 0 －20 20 0
μ
Mg 40
0. 4 0.6
力 28 矩 －1 －46.4 －61.6 分 46.4 配 6.2 与 2.7 －1 －2.7 －3.5 传 0.4 递 －0.1 －0.3
M j 1 C1 j M 1 j——传递弯矩：远端获得的由近端分配
弯矩传递而来的弯矩。
8
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩及 20kN/m 200kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 结点不平衡力矩 C 200 6 A B g 3i 4i 结点不平衡力 M AB 150kN m 8 矩要反号分配 . 3m 3m1/2 1/2 6m μ 200 6 g 结点不平衡力矩 M BA 150kN m g Mg －150 8 150∑M － 90 B =固端弯矩之和 20kN/m 200kN 20 6 2 g 1/2 M BC 90kN m －15 －30 －30 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 C A B ∑MBg=150－90=60kN· m M －165 ∑MBg 150 120 － 120 －150 － 90 2）放松结点， 相当于在结点上施加反号 MBCg MBAg 的结点不平衡力矩，并将 120 即单结点结构在结点力 165 90 － ∑MBg =－60 它按分配系数分配给各个 300 偶作用下的力矩分配法 近端并传递到远端。 C A B C A B －图（ 30 kN ·m) －15 －30 SBA=4×3i=12i M SBC=3×4i=12i 3）叠加1）、2）步结果得到杆端的最后弯矩。9 μBA=μBC= 12i/24i=1/2 计算过程可列表进行。
－1
∑MAg = －45 D MABg M=15
g A MAD
40
70 65
－10 － 10 C
100 B
A 10 D 80 M图（kN ·m)
C
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§9-2 多结点的力矩分配
力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松每一个结点，应用单结 点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。
1、加入刚臂，锁住刚结点， 由结点力矩平衡条件求结点 不平衡力矩∑MBg、∑MCg。
+ +
M分
MB传
M传 4、重复2、3步骤直至结果 M分 M分 收敛。 5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
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+ ··
§9-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松 所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩反号分配。
解：1）求 μ g 2）求 M SDE=0
0
§9-2 多结点的力矩分配
A
15kN/m
B
↓↓ ↓↓↓ ↓
i=3 4m
30.8 － 30.8
i=1 8m
150kN · m C
10kN D
i=2 8m
E
2m
20 －20
M 89.1
36.4 113.6
30.8
36.4 20
30 89.1
M图（kN· m) 113.6
=
∑MBg
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 MABg 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传 3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点 B又取得新的不平衡力矩 MB传 M传 MBAg
∑MCg
MBCg MCBg
MCDg
－∑MBg M分
∑MCg +MC传 M传 －(∑MCg +MC传)
2i 3m i i i
4i
G
i
C
!!
2i H
i
3m
i
3m
i
E
1.5m
M AG
g
20 1.52 15kN m 3
20 1.5 2 7.5kN m 6
18
M GA
g
有侧移刚架?
AC AG
0.5 A 0.5 －15 7.5 7.5 －0.75 0.375 0.375 7.13 －7.13
1/2 1/2 1/2 1/2
10 56 84
－30.8 12.3 18.5 －1.8 0.7 1.1
1/2 0
1/2
M
89.1
30.8 － 30.8
36.4 113.6
g =(1/3) M 15×42 μBA μDE× =0 DC=1 = · m SBA=i= 3 80SkN BC=4×i=4 MABg =(1/6) ×15×42 μBA=3/7 μBC= 4/7 = 40 kN· m S g = 3×i=6 MDECD = －10×2 － 20 20 － 20 kN m SCB= =4 × i= 4· 16 4 μCD=0.6 μCB=0.
4m 4m
μAC= 2/9
μAD= 3/9
70 65 15kN· m 40kN/m 40 100kN 100 15kN· m 100kN 100 40kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D A B i=1 D i=1 A B g ∑MA10 80 g M =15 MAB i=2 A MADg M图（kN.m) M图（kN ·m) MACg C C 2m 2m 4m 2m 2m 4m A C AC 2/9 CA D DA
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§9-2 多结点的力矩分配
例9.3 力矩分配法计算并画M图。
20kN/m
↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓
20kN/m A↓↓↓↓↓↓
解：利用对称性取半刚架. SAG=4i SAC=4i SCA=4i SCH=2i SCE=4i μAG=0.5 μCA=0.4 μCE=0.4 μAC=0.5 μCH=0.2
1 1
③
④
1
确定转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）、远端看支承。 5
Δ
√
MAB
§9-1 力矩分配法的基本概念
问题：如下杆件转动刚度SAB=4i 的是（ ）
√ √ √
①
A
i i
B
② A
A
B
③
i i i
B
B
④
⑤
A
A
B
i 4i>SAB>3i
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§9-1 力矩分配法的基本概念
二、力矩分配法的基本原理 1、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法 S1 A M B M1A=4i1Aθ=S1Aθ S
A
i
B
A
i
B
A
i
B
A
B
与近端支承形式无关
AB杆的线刚度 i 影响SAB的因素 （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长） AB杆的远端支承形式
3
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、传递系数C： 当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：
M远 C M近
∴远端弯矩可表达为： M BA C AB M AB 等截面直杆的传递系数
1.58 1.58
0.79 E M图（kN.m)
可不急传递
0.79
－0.79 E
19
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
100kN/m
i=1.92 2.5m
1
i=1.37 3.5m
2
i=2.4 2m
3
i=1 4.8
13
A
2
24kN/m B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
令= EI/8=1 μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4 μCD=0.6 分配系数 固端弯矩
2EI
8m ∑ MB
EI
g =－128
8m
1
C
4m 2EI 4m ∑MCg =53
50kN
2
50kN
D
24kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
－128
0.6 －∑MBg=128
M S
M 1 j 1 j M ——近端获得的分配弯矩
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§9-1 力矩分配法的基本概念
M1A=4i1Aθ=S1Aθ M1B=3i1Bθ=S1Bθ
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S1 A M S S1 B M S S 1C M S
M
B 1 A
θ
C
b)传递弯矩 MA1=2i1Aθ=(1/2)M1A =C1AM1A
§9-1 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法 力矩分配法概述 计算对象：杆端弯矩
计算方法：增量调整修正的方法
适用范围：连续梁和无侧移刚架
正负号规定—— 杆端转角规定顺时针为正； 杆端弯矩、固端弯矩规定对杆件顺时针转动为正；相应地对结 点逆时针转动为正。
1
§9-1 力矩分配法的基本概念
一、名词解释
A
CAB=1/2 i CAB= －1
SBA=2i
B A
CAB=0 i
SBA=0
B
SBA=－i
B
4
A
i
i
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
固定支座 铰支座 定向支座 4i 3i i 1/2 0
－1
问题：下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？ MAB MAB ① ② θ 1 MAB
86.6
24kN/m A B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C
124.2
50kN C
M图（kN· m) 8m 最后弯矩 0 86.6 －86.6
192 8m 4m 124.2 －124.2
100 4m
15
§9-2 多结点的力矩分配
例9.2 力矩分配法计算并画M图。
A
15kN/m
↓↓ ↓↓↓ ↓
B
i=3 4m
§9-2 多结点的力矩分配
G －7.5 －7.5
7.13 A
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
7.13
－0.375
－15.38
15.38
2.36 2.36
0.78 C
H 0.75 0.03 0.78
CA CE CH
0.4C 0.4 0.2 3.75 －1.5 －1.5 －0.75 0.19 －0.08 －0.08 －0.03 2.36 －1.58 －0.78
例9.1 力矩分配法计算并画M图。
解：1）求μ μAB= 4/9
2）求Mg MABg= 50 MBAg= － 50 MADg=－ 80 ∑MAg=MABg+MADg+MACg － M =50+－80－15= －45 kN· m
结点
杆端 μ Mg 分配与传递 M
B BA AB 4/9 － 50 10 － 40
1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。 使AB杆件的A杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作SAB
习惯上将发生转动的杆端称为“近端”，而杆件的另一端称为“远端 当远端是不同支承时，等截面wk.baidu.com的转动刚度
A
i
1
B
A
i
1
B
A
i
1
B
A
BB
2
§9-1 力矩分配法的基本概念
如果把近端改成固定支座，转动刚度SAB的数值不变， 此时SAB表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩。
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S 1B M S S 1C M S
M
M1B 1 M1C M1A M 1 A
θ
C
M1C=i1Cθ=S1Cθ
∑M1= M1A+M1B+M1C－M=0
a)分配系数与分配弯矩 (∑μ=1) S1 j ——分配系数，μ1j等于杆1j的转动刚度S1j与交于结 1 j S 点1的各杆转动刚度之和的比值(j=A，B，C)。
128 －75 ∑MCg = 53 +25.6 0.4 0.6 =78.6 128 －75 25.6 25.6 －31.4 －47.2 g －∑MC = －78.6 3.2 －1.3 －1.9 －31.4 －47.2 0.2 －0.1 －0.1 14 124.2 3.2 －124.2
§9-2 多结点的力矩分配
AD 3/9 － 80 15 － 65
50
20 70
10 10
－10 － 10
10
§9-1 力矩分配法的基本概念
例9.1力矩分配法的计算过程也可在计算简图中列表进行。
100kN B － 50 10 － 40 AB AC15kN· AD m 40kN/m 4/9 2/9A 3/9 ↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 50 － 80 1/2 20 10 15 70 10 － 65
0.4 －128 76.8 76.8 51.2 3 8 22 24 g 0.6 逐次放 M 128 －15.7 －15.7 BC BA 3 2 4 1 12 松结点 4 9.4 6.3 21 进行分 g 0 . 4 24 8 BC M 128 1 CB 3 2 4 －15.7 0.7 配与传 － 12 CB 0.4 0.4 0.3 15.7 递 3 50 8 g 0 . M CD CD 6 75 16 86.6 最后弯矩 0 －86.6 9.4 6.3
3/7 4/7 80
i=1 8m
∑MBg =108
10kN 150kN · m ∑MCg =－140 D C E
i=2 8m
2m
1 0 －20 20 0
μ
Mg 40
0. 4 0.6
力 28 矩 －1 －46.4 －61.6 分 46.4 配 6.2 与 2.7 －1 －2.7 －3.5 传 0.4 递 －0.1 －0.3