矩阵及其运算测试题
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第二章 矩阵及其运算测试题
一、选择题
1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（ ）。 (A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换；
(C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）
(A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。 3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，则*
C =( )。 (A) **00
A B ⎛⎫
⎪⎝⎭ (B) **||00
||A A B B ⎛⎫
⎪⎝⎭ (C) **||00||B A A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) **||||0
0||||A B A A B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（ ）。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C)
A
A B B
=- (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ⨯==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3
x 的系数为（ ）。
(A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++
6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111()B A B A -----+
7.若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式
()()12311223,,,,,,,m n αααβααβα==
则4阶行列式()32112,,,(
)αααββ+=。
(A)m n + (B)mn (C)n m - (D)m n -
8.设A 、B 、C 均为可逆矩阵，且ABC E =，则必有( )。 (A)BCA E = (B)CBA E = (C)BAC E = (D)ACB E =
9.设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第1列加到第2列得到的矩阵记为B ，*A 、*B 分别为A 、B 的伴随矩阵，则( )。 (A)将*A 的第1列加到第2列得到*B ； (B)将*A 的第1行加到第2行得到*B ；
(C)将*A 的第2列乘以（-1）加到第1列得到*B ； (D)将*A 的第2行乘以（-1）加到第1行得到*B 。
10.设A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，且A E +可逆。下列各式中，哪一个不正确的（ ）。
(A)22()()()()A E A E A E A E +-=-+ (B)()()()()T T A E A E A E A E +-=-+ (C)11()()()()A E A E A E A E --+-=-+ (D)**()()()()A E A E A E A E +-=-+
二、填空：
1.设矩阵A 、B ，若AB 有意义，则A 、B 的行数和列数需满
足 ；[]21123⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦= ，431512325701⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
= 。 2.矩阵120132A ⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
的转置矩阵是 。 3.设矩阵4321A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，B 1123B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1123-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,则2T AB A B -= ，
2T B A E -= 。
4.设矩阵A 是n 阶方阵，0,A a =≠则*A = 。
5.方阵A=111221
22a a a a ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
的伴随矩阵为*A = ，已知det()A A =,det(2)A = 。 6.设1225A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则1A -= ，520
02
10
000120
011B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
-⎢⎥
⎣⎦
，则1B -= 。 7.设矩阵A 、B 均可逆，O A X B O ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，则1X -= 。 8.设100220345A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= 。 9.设300140003A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则1(2)A E --= 。 10.A 是3阶方阵，1
2
A =，则1*(3)2A A --= 。
三、计算题
1.已知11
(1,2,3),(1,,),,23
T A αβαβ===求n A 。
2.设100101010A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，证明当3n ≥时，恒有22n n A A A E -=+-，并求100A 。 3.1
P AP -=Λ，其中1411P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1002-⎡⎤
Λ=⎢⎥
⎣⎦
，求11A 。 4.设210120001A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，求B 。 四、证明题
1.设矩阵A 、B 都是对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是AB BA =。