一元线性回归模型

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第三章 一元线性回归模型

第三章  一元线性回归模型

第三章 一元线性回归模型一、预备知识(一)相关概念对于一个双变量总体,若由基础理论,变量和变量之间存在因果),(i i x y x y 关系,或的变异可用来解释的变异。

为检验两变量间因果关系是否存在、x y 度量自变量对因变量影响的强弱与显著性以及利用解释变量去预测因变量x y x ,引入一元回归分析这一工具。

y 将给定条件下的均值i x i yi i i x x y E 10)|(ββ+=(3.1)定义为总体回归函数(PopulationRegressionFunction,PRF )。

定义为误差项(errorterm ),记为,即,这样)|(i i i x y E y -i μ)|(i i i i x y E y -=μ,或i i i i x y E y μ+=)|(i i i x y μββ++=10(3.2)(3.2)式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中,称为解释变量x (explanatory variable )或自变量(independent variable );称为被解释y 变量(explained variable )或因变量(dependent variable );误差项解释μ了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

误差项的构成包括以下四个部分:(1)未纳入模型变量的影响(2)数据的测量误差(3)基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式,比如自变量与因变量之间可能是非线性关系(4)纯随机和不可预料的事件。

在总体回归模型(3.2)中参数是未知的,是不可观察的,统计计10,ββi μ量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。

给定一组随机样本,对(3.1)式进行估计,若的估计量分别记n i y x i i ,,2,1),,( =10,),|(ββi i x y E 为,则定义3.3式为样本回归函数^1^0^,,ββi y ()i i x y ^1^0^ββ+=n i ,,2,1 =(3.3)注意,样本回归函数随着样本的不同而不同,也就是说是随机变量,^1^0,ββ它们的随机性是由于的随机性(同一个可能对应不同的)与的变异共i y i x i y x 同引起的。

一元线性回归模型

一元线性回归模型
2
1 n ˆ xi )2 = 1 ( Lyy − bLxy ). ˆ ˆ 即 σ = ∑ ( yi − a − b ˆ n i =1 n
2
n σ 2. 而σ 的无偏估计是 ˆ n−2
2
∴σ ˆ
*2
n 1 2 ˆ σ = ( Lyy − bLxy ). = ˆ n−2 n−2
ex1. 设有一组观察值如下,求回归方程 设有一组观察值如下,求回归方程.
ˆ ˆ ˆ 对于x0可得 y0 = a + bx0 , 称其为 Y0的点预测.
( 2) Y0的区间估计 : 选取 T =
σ* ˆ
ˆ Y0 − y0 ~ t ( n − 2) 2 1 ( x0 − x ) 1+ + n Lxx
对于任意给定的 0 < α < 1, 有 P { T < tα ( n − 2)} = 1 − α .
研究变量间的相关关系,确定回归函数, 研究变量间的相关关系,确定回归函数,由此预测和控 制变量的变化范围等就是回归分析。 制变量的变化范围等就是回归分析。 研究两个变量间的相关关系,称为一元回归分析; 研究两个变量间的相关关系,称为一元回归分析; 研究多个变量间的相关关系,称为多元回归分析; 研究多个变量间的相关关系,称为多元回归分析; 若回归函数为线性函数,则称为线性回归分析。 若回归函数为线性函数,则称为线性回归分析。
所以y与 之间显著地存在线性关系 之间显著地存在线性关系. 所以 与x之间显著地存在线性关系
四、一元线性回归模型的应用—预测与控制 一元线性回归模型的应用 预测与控制 1. 预测问题
(根据 = a + bx + ε , 研究 = x0时如何估计 0 ) Y x Y
(1) Y0的点估计 :

一元线性回归模型(计量经济学)

一元线性回归模型(计量经济学)

总体回归函数说明被解释变量Y的平均状 态(总体条件期望)随解释变量X变化的 规律。至于具体的函数形式,则由所考 察的总体的特征和经济理论来决定。
在例2.1中,将居民消费支出看成是其可 支配收入的线性函数时,该总体回归函
数为: E (Y |X i)01 X i
它是一个线性函数。其中,0,1是未知
第二章 经典单方程计量经济学模型: 一元线性回归模型
§2.1 回归分析概述 §2.2 一元线性回归模型的基本假设 §2.3 一元线性回归模型的参数估计 §2.4 一元线性回归模型的统计检验 §2.5 一元线性回归模型的预测 §2.6 一元线性回归建模实例
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数
1430 1650 1870 2112
1485 1716 1947 2200
2002
2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
一个抽样
由于调查的完备性,给定收入水平X的消费 支出Y的分布是确定的。即以X的给定值为条 件的Y的分布是已知的,如 P(Y=561 | X = 800) =1/4。 进而,给定某收入Xi,可得消费支出Y的条 件均值,如 E(Y | X = 800) =605。 这样,可依次求出所有不同可支配收入水平 下相应家庭消费支出的条件概率和条件均值 ,见表2.1.2.
相关分析主要研究随机变量间的相关形式 及相关程度。变量间的相关程度可通过计 算相关系数来考察。
具有相关关系的变量有时存在因果关系,
这时,我们可以通过回归分析来研究它们
之间的具体依存关系。
课堂思考题

21一元线性回归模型.ppt

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同理,p(Y= ? /X=260)=1/7
条件均值(条件期望 ) :
对Y的每一条件概率分布,我们能算出它 的均值 :
记做E(Y/X=Xi)
[简写为E(Y/Xi) ]
并读为“在X取特定Xi值时的Y的期望值”。
计算方法:
将表2.1中的有关列乘以表2.2中的相应列 的条件概率,然后对这些乘积求和便是。
第二章 一元线性回归模型
§2.1 一元线性回归模型概念基础 回归是计量经济学的主要工具 一、“回归”一词的历史渊源
Francis Galton F.加尔顿
回归一词最先由F.加尔顿 (FrancisC,alton)引入
加尔顿的普遍回归定律还被他的朋友 K.皮尔逊(KartPearson)证实
Karl Pearson K.皮尔逊
综合来看,回归分析一般可以用来:
(1) 通过已知变量的值来估计因变量的均值。
(2)对独立性进行假设检验―――根据经济理 论建立适当的假设。
例如,对于需求函数,你可以检验假设:需求的 价格弹性为-1.0;即需求曲线具有单一的价格 弹性。也就是说,在其他影响需求的因素保持 不变的情况下,如果商品的价格上涨1%,平 均而言,商品的需求量将减少1%。
P (
1/7 1/5 1/5 1/6 1/5 1/7 1/5 1/7 1/5
Y/ 1/7 1/5 1/5 1/6 1/5 1/7 1/5 1/7 1/5
Xi ) 1/7
1/6
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
Y的条 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30
件均值
E(Y/X=Xi) Y的条件均值
·
·
·
· ·

计量经济学第二篇一元线性回归模型

计量经济学第二篇一元线性回归模型

第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型(统计模型)如下, y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。

其中y t 称被解释变量(因变量),x t 称解释变量(自变量),u t 称随机误差项,β0称常数项,β1称回归系数(通常未知)。

上模型可以分为两部分。

(1)回归函数部分,E(y t ) = β0 + β1 x t ,(2)随机部分,u t 。

图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义,居民收入与支出的关系;商品价格与供给量的关系;企业产量与库存的关系;身高与体重的关系等。

以收入与支出的关系为例。

假设固定对一个家庭进行观察,随着收入水平的不同,与支出呈线性函数关系。

但实际上数据来自各个家庭,来自同一收入水平的家庭,受其他条件的影响,如家庭子女的多少、消费习惯等等,其出也不尽相同。

所以由数据得到的散点图不在一条直线上(不呈函数关系),而是散在直线周围,服从统计关系。

“线性”一词在这里有两重含义。

它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系,即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系,即。

1ty x β∂=∂,221ty β∂=∂0 ,1ty β∂=∂,2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同,消费习惯不同,不同地域的消费指数不同,不同家庭的外来收入不同等因素。

所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。

随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在,也是其优势所在,今后咱们的很多内容,都是围绕随机误差项u t 进行了。

回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容: (1)非重要解释变量的省略,(2)数学模型形式欠妥, (3)测量误差等,(4)随机误差(自然灾害、经济危机、人的偶然行为等)。

2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的,利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计,即对β0和β1的估计。

一元回归线性模型

一元回归线性模型

一元回归线性模型
一元线性回归模型,又称为简单线性回归模型,是机器学习中常
用的回归模型,它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。

一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线,如y=ax+b,其中a是斜率,b是截距,也就是说,一元线性回归模型中的参数是斜率和截距,而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。

目标函数是求解参数 a 和 b,使得误差平方和最小,具体来说,
目标函数的表达式为:J(a,b)=Σi(yi-f(xi))^2,其中f(x)=ax+b,yi为观测值,xi为观测值对应的自变量。

对于一元线性回归模型,求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解,要么是用最小二乘法求解。

梯度下降法求解时,需构造损失函数,使用梯度下降法迭代更新参数,直到获得最优结果;而最小二乘法求解时,通过求解参数关于损失函数的导数,便可解出
模型参数,从而得到最优结果。

一元线性回归模型在实际应用中有很多优点,其中最重要的就是
它易于拟合和解释,它求解简单,可以很大程度上减少了计算复杂度,而且可以很好地预测因变量的值,也可以用来检验变量之间的关系。

第2章一元线性回归模型

第2章一元线性回归模型
第二章
一元线性回归模型
回归分析是计量经济学的基础内容!
本章介绍一元线性回归模型,最小二乘估计方法及 其性质,参数估计的假设检验、预测等。
浙江财经大学 倪伟才
1
本章主要内容
2 .1 一元线性回归模型
2 .2 参数β0、β1的估计
2 .3 最小二乘估计的性质
2 .4 回归方程的显著性检验 2 .5 残差分析 2 .6 回归系数的区间估计
浙江财经大学 倪伟才 10
回归的术语
y的各种名称: 因变量(dependent variable)或被解释变量 (explained variable)或回归子(regressand)或内 生(endogenous); X的各种名称: 自变量(independent variable)或解释变量 (explanatory variable)或回归元(regressor)或外 生(exogenous) U的各种名称: 随机误差项或随机扰动项(stochastic error term, random disturbance term ): 表示其它因素的影响,是不可观测的随机误差!
浙江财经大学 倪伟才
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2.1一元线性回归模型
由于两个变量y, x具有明显的线性关系,故考虑直 线方程y=0+1x(函数表达的是确定性关系,有缺 陷!) y=0+1x+u, 其中u表示除x外,影响y的其它一切 因素。 将y与x之间的关系用两部分来描述: a. 一部分0+1x ,由x的变化引起y变化; b.另一部分u ,除x外的其它一切因素引起y变化。 参数(parameters) 0 , 1 ; 0 称为回归常数(截距)(intercept, constant), 1称为回归斜率(slope)

第二章 一元线性回归模型

第二章  一元线性回归模型
0 1
∂Q ˆ ˆ = −2∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ∂β ˆ0 ˆ ˆ ∂Q = −2∑ (Y − β − β X )X = 0 i 0 1 i i ˆ ∂β1
化简得: 化简得:
ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i ) = 0 ˆ ˆ ∑ (Yi − β 0 − β1 X i )X i = 0
2.总体回归方程(线)或回归函数 总体回归方程( 总体回归方程 即对( )式两端取数学期望: 即对(2.8)式两端取数学期望:
E y i)= β 0 + β 1 x i (
(2.9)
(2.9)为总体回归方程。由于随机项的影响,所 )为总体回归方程。由于随机项的影响, 有的点( )一般不在一条直线上; 有的点(x,y)一般不在一条直线上;但所有的点 (x,Ey)在一条直线上。总体回归线描述了 与y )在一条直线上。总体回归线描述了x与 之间近似的线性关系。 之间近似的线性关系。
Yi = β X i + ui
需要估计, 这个模型只有一个参数 需要估计,其最 小二乘估计量的表达式为: 小二乘估计量的表达式为:
∑XY ˆ β= ∑X
i i 2 i
例2.2.1:在上述家庭可支配收入-消费支出例中,对 :在上述家庭可支配收入-消费支出例中, 于所抽出的一组样本数据, 于所抽出的一组样本数据,参数估计的计算可通过下面 的表2.2.1进行。 进行。 的表 进行
二、一元线性回归模型 上述模型中, 为线性的, 上述模型中, 若f(Xi)为线性的,这时的模型 为线性的 一元线性回归模型: 即为 一元线性回归模型:
yi = β 0 + β1 xi + ui 其中:yi为被解释变量,xi为解释变量,ui为随机误 差项,β 0、β1为回归系数。

从统计学看线性回归(1)——一元线性回归

从统计学看线性回归(1)——一元线性回归

从统计学看线性回归(1)——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。

⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式(1)的形式:y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。

⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分,即β0+ β1x,另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的,记为ε。

该式确切的表达了变量x与y之间密切关系,但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。

式(1)称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。

⼀般称y为被解释变量(因变量),x为解释变量(⾃变量),β0和β1是未知参数,成β0为回归常数,β1为回归系数。

ε表⽰其他随机因素的影响。

⼀般假定ε是不可观测的随机误差,它是⼀个随机变量,通常假定ε满⾜:(2)对式(1)两边求期望,得E(y) = β0 + β1x, (3)称式(3)为回归⽅程。

E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0,也就是说在给定 x 下,由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定,现在只有ε对 y 产⽣影响,在 x = x0,ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时,设 y = y0,经过多次采样,y 的值在 y0 上下波动(因为采样中ε不恒等于0),若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果,ε对 y 的综合影响为0,则可以很好的分析 x 对 y 的影响(因为其他⼀切因素的综合影响为0,但要保证样本量不能太少);若 E(ε) = c ≠ 0,即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数,则E(y) = β0 + β1x + E(ε),那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获,从⽽变为公式(3);若 E(ε) = 变量,则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同,那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。

一元线性回归模型

一元线性回归模型

一.一元线性回归模型1. 一元线性回归模型的基本假设有哪些?违背假设是否能估计?为什么? 答:①E(i V |i X )=0 随机项i V 的数学期望为0 ②Var(i V |i X )=E{[i V —E(i V )]2}=E (2i V )=2u σ③COV(i V ,j V )=E{[i V —E(i V )][j V —E(j V )]}=0 i V ,j V 相互独立不相关 ④COV(i V ,i X )=0 解释变量i X 与误差项i V 同期独立无关 ⑤i V ~N(0,2u σ) i X ,i V 服从正态分布的随机变量 违背的话可以估计 但是要对原数据适当的处理 2. 方差分析表与参数估计表的结构变差来源 平方和 自由度 均方F统计量回归 残差 ESS RSS 12n - ESS22e RSS n S -= 1(2)ESSF RSSn =-总变差 TSS1n -21y TSS n S -=―2R =ESS TSS =1—RSSTSS=2212211[()()]()()ni i i n niii i x x y y x x y y ===----∑∑∑TSS=21()nii yy =-∑ ESS=21ˆ()ni yy =-∑ RSS=21ˆ()ni i y y =-∑ Eviews 输出结果 参数估计值 估计值标准差 F 检验 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C (0β) (S(0ˆβ)) 0β<对0β显著 X 1β>非线性不通过R-squared Adjusted R-squaredProb(F-statistic) >方程本身不是线性的 结论:该案例结果不理想 无论从个别还是总体上原因:(1) 0β,1β个别检验不通过 (2)F 检验远远超过期望的值(>5%or>10%) (3) 2R =拟合度特别差<50%(注:2R >80%or>70%认为拟合度好)3. 回归方程的标准记法ˆi y=0β+1βi x Se=(S(0ˆβ)) (S(1ˆβ)) 22211ˆ()ˆ22nni i i i uey yn n σ==-==--∑∑2221121ˆ()2()ni u i nii e s n x x σβ===--∑∑222211ˆ()[]()Xn ii x s nx x βσ==+-∑ 111ˆˆ()t s ββ= *代表显著性大小 **代表1%下显著 *代表5%下显著 无*代表5%下不显著 4. t 检验与F 检验的步骤(1) t 检验:01:0H β=11:0H β≠Next 111ˆˆ()t s ββ=~t(n-2) Next 查t 分布表临界值2(2)t n α- α取1%或5% Next 当|t|≥2(2)t n α-拒绝原假设10β≠说明y 对x 的一元线性相关显著当|t|<2(2)t n α-不拒绝原假设10β≠说明y 对x 的一元线性相关不显著(2) F 检验:01:0H β=11:0H β≠ Next 12ESSF RSS n =-(上:回归 下:残差)=?(假设=100)Next 查F α(1,n-2) Next 当100≥F α(1,n-2)拒绝0H 说明y 对x 的一元线性相关显著当100<F α(1,n-2)不拒绝0H 说明y 对x 的一元线性相关不显著(注:统计软件用P 值进行检验P>α等价F<F α(1,n-2)此时不拒绝0H 当P<αF>F α(1,n-2)此时拒绝0H ) 二.多元线性回归模型1. 基本假设:(1) 随机误差项i V 的条件期望值为0 即E(i V |1i X …ki X )=0 (2) 随机误差项i V 的条件方差相同Var(i V |1i X …ki X )=2u σ (3) i V 之间无序列相关COV(i V ,j V )=0 (4) i V ~N(0,2u σ)(5)各种解释变量之间不存在显著的线性相关关系 2.矩阵表达式12ˆˆˆ.ˆn y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 11112211...1.....1...k k n kn x x x x x x x ⎫⎛⎪⎪ =⎪ ⎪ ⎝⎭0ˆˆ.ˆk βββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1ˆ()()x x x y β-''= 参见P51 例3-1 3随机误差项u 的方差2u σ的最小二乘估计量221ˆ1nii X en k σ==--∑=21ˆ()1niii y yn k =---∑随机误差项i U 同方差且无序列相关 则方差协方差矩阵Var-COV(u)=E(uu ')=)(112.,...n n u E u u u u ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=2u σI4.方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方F统计量回归 残差 ESSRSS 12n - ESS22e RSS n S -= 1(2)ESSF RSSn =-总变差 TSS1n -21y TSS n S -=―2R =ESS TSS TSS=21()n i i y y =-∑ ESS=21ˆ()n i y y =-∑ RSS=21ˆ()ni i y y =-∑ 221111(1)11RSSn n k R R TSS n k n ---=-=----- 222211ˆ()ˆ11nniiii i u ey ySe n k n k σ==-===----∑∑5. P69 8(1) 0β1β3β的个别检验不通过,2β的个别检验通过 (2)F 检验通过 对结果不满意三.违背古典假定的计量经济模型 2. 自相关D-W 检验 (1)d< L d ,u 存在一阶正自相关(2)d>4-L d ,u 存在一阶负自相关 (3)u d <d<4-u d ,不存在自相关(4)L d <d<u d ,或4-u d <d<4-L d 时,u 是否存在自相关,不能确定 4.异方差的white 检验(以二元线性模型为例) 二元线性回归模型:01122i i i i y x x u βββ=+++ ① 异方差与解释变量12,x x 的一般线性关系为:2i σ=0α+11i x α+22i x α+231i x α+242i x α+512i i x x α+i V ②<1>运用OLS 估计的式① <2>计算残差序列i并求2i<3>做2i对1i x ,2i x ,21i x ,22i x ,12i i x x 的辅助回归,即222011223142312ˆˆˆˆˆˆˆi i i i i i i e x x x x x x αααααα=+++++ ③其中2ˆi e 为2i e 的估计<4>计算估计量2nR ,n 为样本容量2R 为辅助回归的可决定系数<5>在不存在异方差的原假设下2nR 服从自由度为5的2χ分布,给定显著性水平α查2χ分布表得临界值2αχ(5) 如果2nR >2αχ(5)则拒绝原假设,表明模型中随机误差存在异方差 5.杜宾二步法:第一步求出自相关系数的估计值ˆ第二步利用ˆ进行广义差分变换 对差分模型利用OLS 求的参数0β和1β的估计值0ˆβ和1ˆβ 6.方差扩大因子检验多元回归模型中多重共线性:1x =f(x2,x3….xk) x2=f(x1,x3…xk) …xj=(x1,x2...1j x -…xk) xk=f(x1,x2….1k x -)对每个回归方程求其决定系数分别为12R ,22R (2)j R (2)k R ,在决定系数中寻求最大而接近者,比如2x R 最大,则可判定解释变量Xj 与其他解释变量的一个或多个相关程度高,因此就使回归方程式y=f(x1,x2….xk)表现高度多重共线性,计量经济学中检验多重共线性时,往往称(1-2j R )为自变量Xj 的容忍度,其倒数为方差扩大因子,记为211j jVIF R =- 当模型中全部k 个自变量所对应的方差扩大因子平均数远远大于1时就表明存在严重的多重共线性。

一元线性回归模型(计量经济学)

一元线性回归模型(计量经济学)

回归分析是一种统计方法,用于研究变量之间的关系。它基于最小二乘法,寻找最合适的直线来描述变 量间的线性关系。通过回归分析,我们可以理解变量之间的因果关系和预测未知数据。
一元线性回归模型的假设
1 线性关系
2 独立误差
一元线性回归模型假设自变量和因变量之 间存在线性关系。
模型的残差项是独立的,不受其他因素的 影响。
3 常数方差
4 正态分布
模型的残差项具有恒定的方差,即方差齐 性。
模型的残差项服从正态分布。
一元线性回归模型的估计和推断
1
模型估计
使用最小二乘法估计模型的回归系数。
2
参数推断
进行参数估计的显著性检验和置信区间估计。
3
模型拟合程度
使用残差分析和R平方评估模型的拟合程度。
模型评估和解释结果
通过残差分析和R平方等指标评估模型的拟合程度,并解释模型中回归系数的 含义。了解如何正确使用模型的结果,并识别异常值和离群点对模型的影响。
一元线性回归模型(计量 经济学)
在本节中,我们将介绍一元线性回归模型,探讨回归分析的基本概念和原理, 了解一元线性回归模型所做的假设,并学习模型的估计和推断方法。我们还 将探讨模型评估和解释结果的技巧,并通过实例应用和案例分析进一步加深 对该模型的理解。最后,我们将总结和得出结论。
回归分析的基本概念和原理
实例应用和案例分析
汽车价格预测Байду номын сангаас
使用一元线性回归模型预 测汽车价格,考虑车龄、 里程等因素。
销售趋势分析
通过一元线性回归模型分 析产品销售的趋势,并预 测未来销售。
学术成绩预测
应用一元线性回归模型预 测学生的学术成绩,考虑 学习时间、背景等因素。

第二章 一元线性回归模型

第二章   一元线性回归模型

__
__
2
/n
★样本相关系数r是总体相关系数 的一致估计
相关系数有以下特点:
• • • • 相关系数的取值在-1与1之间。 (2)当r=0时,线性无关。 (3)若r>0 ,正相关,若r<0 ,负相关。 (4)当0<|r|<1时,存在一定的线性相关 关系, 越接近于1,相关程度越高。 • (5)当|r|=1时,表明x与y完全线性相关 (线性函数),若r=1,称x与y完全正相关; 若r=-1,称x与y完全负相关。 • 多个变量之间的线性相关程度,可用复相 关系数和偏相关系数去度量。
●假定解释变量X在重复抽样中取固定值。 但与扰动项u是不相关的。(从变量X角度看是外生的)
注意: 解释变量非随机在自然科学的实验研究中相对
Yi 1 2 X i ui
●假定解释变量X是非随机的,或者虽然X是随机的,
容易满足,经济领域中变量的观测是被动不可控的, X非随机的假定并不一定都满足。
E( y xi ) 0 1xi
11
• 可以看出,虽然每个家庭的消费支出存在差 异,但平均来说,家庭消费支出是随家庭可 支配收入的递增而递增的。当x取各种值时, y的条件均值的轨迹接近一条直线,该直线称 为y对x的回归直线。(回归曲线)。 • 把y的条件均值表示为x的某种函数,可写 为:
E( y xi ) 0 1xi
Var ( y xi ) 2
Cov( yi , y j ) 0
y | xi ~ N (0 1xi , )
2
22
第三节 参数估计
• 一、样本回归方程
• 对于
yi 0 1 xi ui
• 在满足古典假定下,两边求条件均值,得到总体 回归函数:

第2章一元线性回归模型

第2章一元线性回归模型

布图上的点接近于一条曲线时,称为非线性相关。简单相关按
符号又可分为 正相关 (见图2.3.4 )、负相关 (见图2.3.8 )和零 相关 (见图2.3.6 )。两个变量趋于在同一个方向变化时,即同
增或同减,称为变量之间存在正相关;当两个变量趋于在相反
方向变化时,即当一个变量增加,另一个变量减少时,称为变 量之间存在负相关;当两个变量的变化相互没有关系时,称为
4、普通最小二乘法
为什么要使用OLS? (1)OLS的应用相对简便; (2)以最小化残差平方和为目标在理论很合理; (3)OLS估计量有很多有用的性质。 1)估计的回归线通过Y和X的均值。下列等式总是
ˆ ˆX 严格成立的:设下,可以证明,OLS是 “最优”的估计方法。
2.2.2 最小二乘估计量的性质
一个用于考察总体的估计量,可从如下几个方面考察其
优劣性: (1)线性。即它是否是另一个随机变量的线性函数;
(2)无偏性。即它的均值或期望是否等于总体的真实值;
(3)有效性。即它是否在所有的线性无偏估计量中具有 最小方差; (4)渐近无偏性。 即样本容量趋于无穷大时,它的均值 序列趋于总体的真值; (5)一致性。即样本容量趋于无穷大时,它是否依概率 收敛于总体的真值;
1.总变差的分解
ˆ b ˆX ˆ b Yt的估计值位于估计的回归线 Y t 0 1 t 上,Y围绕其均值的变异 (Y Y )可被分解为两部分:
ˆ Y ) (1) (Y t
ˆ) (2) (Yt Y t
样本回归函数:
3.相关系数检验
(1)变量相关的定义和分类
相关:指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。
2 2 ˆ e ( Y Y ) i i OLS 最小化 i i 1 i 1

一元线性回归模型及其假设条件

一元线性回归模型及其假设条件

§4.2 一元线性回归模型及其假设条件1.理论模型y=a+bx+εX 是解释变量,又称为自变量,它是确定性变量,是可以控制的。

是已知的。

Y 是被解释变量,又称因变量,它是一个随机性变量。

是已知的。

A,b 是待定的参数。

是未知的。

2.实际中应用的模型x b a yˆˆˆ+= ,bˆ,x 是已知的,y ˆ是未知的。

回归预测方程:x b a y += a ,b 称为回归系数。

若已知自变量x 的值,则通过预测方程可以预测出因变量y 的值,并给出预测值的置信区间。

3.假设条件满足条件:(1)E (ε)=0;(2)D (εi )=σ2;(3)Cov (εi ,εj )=0,i ≠j ; (4) Cov (εi ,εj )=0 。

条件(1)表示平均干扰为0;条件(2)表示随机干扰项等方差;条件(3)表示随机干扰项不存在序列相关;条件(4)表示干扰项与解释变量无关。

在假定条件(4)成立的情况下,随机变量y ~N (a+bx ,σ2)。

一般情况下,ε~N (0,σ2)。

4.需要得到的结果a ˆ,b ˆ,σ2§4.3 模型参数的估计1.估计原理回归系数的精确求估方法有最小二乘法、最大似然法等多种,我们这里介绍最小二乘法。

估计误差或残差:y y e i i i -=,x b a y i +=,e e y y ii i i x b a ++=+= (5.3—1)误差e i 的大小,是衡量a 、b 好坏的重要标志,换句话讲,模型拟合是否成功,就看残差是否达到要求。

可以看出,同一组数据,对于不同的a 、b 有不同的e i ,所以,我们的问题是如何选取a 、b 使所有的e i 都尽可能地小,通常用总误差来衡量。

衡量总误差的准则有:最大绝对误差最小、绝对误差的总和最小、误差的平方和最小等。

我们的准则取:误差的平方和最小。

最小二乘法:令 ()()∑∑---∑======n i ni n i i x b a y y y e i i i i Q 112212 (5.3—2)使Q 达到最小以估计出a 、b的方法称为最小二乘法。

第二节一元线性回归分析

第二节一元线性回归分析

第二节一元线性回归分析本节主要内容:回归是分析变量之间关系类型的方法,按照变量之间的关系,回归分析分为:线性回归分析和非线性回归分析。

本节研究的是线性回归,即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系.回归分析的主要内容:1.从样本数据出发,确定变量之间的数学关系式;2.估计回归模型参数;3.对确定的关系式进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。

一、一元线性回归模型:一元线性模型是指两个变量x、y之间的直线因果关系。

理论回归模型:理论回归模型中的参数是未知的,但是在观察中我们通常用样本观察值估计参数值,通常用分别表示的估计值,即称回归估计模型:回归估计模型:二、模型参数估计:用最小二乘法估计:【例3】实测某地四周岁至十一岁女孩的七个年龄组的平均身高(单位:厘米)如下表所示某地女孩身高的实测数据建立身高与年龄的线性回归方程。

根据上面公式求出b0=80。

84,b1=4。

68。

三.回归系数的含义(2)回归方程中的两个回归系数,其中b0为回归直线的启动值,在相关图上变现为x=0时,纵轴上的一个点,称为y截距;b1是回归直线的斜率,它是自变量(x)每变动一个单位量时,因变量(y)的平均变化量。

(3)回归系数b1的取值有正负号。

如果b1为正值,则表示两个变量为正相关关系,如果b1为负值,则表示两个变量为负相关关系。

[例题·判断题]回归系数b的符号与相关系数r的符号,可以相同也可以不同.( )答案:错误解析:回归系数b的符号与相关系数r的符号是相同的=a+bx,b<0,则x与y之间的相关系数( )[例题·判断题]在回归直线yca。

r=0 b.r=1 c。

0<r〈1 d.—1<r〈0答案:d解析:b〈0,则x与y之间的相关系数为负即—1〈r〈0[例题·单选题]回归系数和相关系数的符号是一致的,其符号均可用来判断现象( )a。

线性相关还是非线性相关 b.正相关还是负相关c。

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Yi Xi i
(i 1,, N)
(3.1)
第3章 一元线性回归模型
如果回归模型满足: ⑴X与Y之间的关系是线性的; ⑵X是非随机变量,它的取值是确定的; (i 1,, N) ⑶误差项的期望为0; E(i ) 0 ⑷对于所有的观测值,误差项ε i具有相同的 方差;即 Var ( ) E(2 ) 2 (i 1,, N) i i ⑸随机变量ε i之间统计上是独立的。 ⑹误差项ε i服从正态分布N(0,σ 2)。(i 1,, N) 则 Y X 称为古典线性回归模型。
R

TSS
第3章 一元线性回归模型
R2也称为判定系数,它是一个描述性统计量, 通常认为R2的值高则回归直线拟合的好。值得 注意的是在截面数据的研究中,即使模型令人 满意,R2值仍可能很低,原因是各观测值之间 存在较大的变差。书中第46页的例3.5,公立 和私立学校的入学人数的回归模型说明了这一 点。与此不同的是在时间序列分析中,人们经 常会得到高的R2值,这是因为随着时间增长的 变量都有可能很好地解释另一个随时间增长的 变量。
第3章 一元线性回归模型
如在回归模型中斜率β 和截距α 的估计量
i i 2 i i i i
2、高斯-马尔可夫定理:如果回归模型(3立,估计量 小方差的线性无偏估计。
x y x ˆ c y , 其中c x x 1 ˆ ˆ Y X d Y , 其中 d Xc N
i
i i i
2 i
i
第3章 一元线性回归模型
ˆ 和 ˆ 的分布 3、估计量 因为它们都是Yi的线性组合,也服从正态分布。
ˆ ~ N(,
2
X 2 1 ˆ ~ N , ( ) 2 N xi
2
x
) 2
i
第3章 一元线性回归模型
此外还有两者的协方差
第3章 一元线性回归模型
由⑵ 和⑶,可以推出,误差项ε i与X不相关。 对因变量Y i来说,对应于误差项有: 随机变量Y i的期望值满足 E(Y ) X i i 随机变量Y i具有相同的方差; 随机变量Y i是相互独立。 (i 1,, N) §3.2 最佳线性无偏估计 1、线性估计量的定义 如果用随机变量Y i的线性表达式:k1Y1+…+kNYN作 为参数α 或β 的估计,它就称为该参数的线性估计 量。
当误差项的方差未知时,可用其样本方差代替:
X ˆ, ˆ) Cov( 2 xi
2
s
2
ˆ
2 i
4、例子(例3.1)
N2

2 ˆ ˆ X i ) (Yi
N2
第3章 一元线性回归模型
§3.3 参数假设检验、置信区间和回归系数检验 1、假设检验方法 有三种检验方法,第一种可以用置信区间法(计算 参数分布的置信区间不用原假设),第二种是统计 量法,即根据原假设确定统计量,再算出统计量的 样本值,判断是否大于由显著性水平确定的临界值, 决定接受还是拒绝原假设。第三种p值法,是第二 方法的变化,由统计量的样本值获得对应的显著性 水平(通常计量软件提供,很便利)。 2、回归系数的检验 由于误差项的方差通常未知,用t统计量如斜率β
t N2
第3章 一元线性回归模型 2 ˆ ( ) / s ˆ , 其中s ˆ s / x
0 i
对截距α 可类似处理。s2是回归方程的残差 平方和除以N-2(误差项的样本方差)。 ˆ t sˆ 例3.1(续),参数β 置信区间 c §3.4 方差分析和相关性 1、离差平方和的分解

§2.1.4 回归与因果关系


回归分析研究的一个变量对另一个变量的依 赖关系可以是一种因果关系,但也可能不是 因果关系。 统计关系本身不可能意味着任何因果关系

§2.1.5 回归与相关




回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学 课题 两者的主要差别: ◇回归分析中需要区别自变量和因变量;相关分析 中则不需要区分 ◇相关分析中所涉及的变量y与x全是随机变量。而 回归分析中,因变量y是随机变量,自变量x 可以是 随机变量,也可以是非随机的确定变量 ◇相关分析的研究主要是为刻画两类变量间线性相 关的密切程度。而回归分析不仅可以揭示变量X对 变量y的影响大小,还可以由回归方程进行预测和 控制
2 2 ˆ ˆ (Yi Y) (Yi Yi ) (Yi Y) 2
第3章 一元线性回归模型
2、拟合优度R2 在上式中左边项称为总变差(与因变量Y的样本方差 相对应),记为TSS;右边第一项称为回归方程的残 差平方和,记为ESS;右边第二项称为回归平方和 (是回归项的变差,与回归项的样本方差相对应)。 记为RTT。上面的分解式就变为:TSS=ESS+RSS 这里实际上是用残差平方和、回归平方和来解释总 变差。回归平方和能够解释总变差的成份越大,回 归方程拟合曲线的程度就越高,为此引入拟合优度 这一指标: RSS 2
第3章 一元线性回归模型
3、R2与相关系数 由拟合优度(也称判定系数)的定义
2 ˆ (Yi Y)
RSS R T SS
2
( Y Y)
i
2
ˆ2
( X X) (Y Y)
i i
2 2 rXY
2
ˆ X ) ( ˆ X) ˆ (X X) ˆ Y ( 因为 Y ˆ ˆ i i i 这样拟合优度就等于相关系数的平方。但拟合优度 不仅反映两个变量的相关性,而且还表明了两个变 量的因果关系。相关系数无法反映变量间的因果关 系,因此高相关并不能推断因果关系的存在。
第3章 一元线性回归模型
§3.1 模型 在第1章中介绍了最小二乘法(LS),是一种用 曲线拟合数据的方法。下面还要进一步讨论 回归模型的定义以及相关的概率性质。 1、一元线性回归模型的定义 对于给定的X(自变量)的观测值,可以观测到 Y(因变量)的多个可能值(差异反映在误差项 ε 上)。可用模型表示为
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