高二数学组合课件1
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3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件4.3第1课时组合与组合数
(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
【高中数学】组合数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
根据分步乘法计数原理，有 34 =
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
高二数学人选修课件时组合与组合数公式
02 03
案例二
假设有一个边长为1的正方形区域，任意投掷一个点，求 该点落在正方形内切圆内的概率。根据二维几何概型的计 算方法，内切圆的面积为π/4，正方形的面积为1，因此该 事件的概率为π/4。
案例三
假设有一个半径为1的球体，任意投掷一个点，求该点落 在球体内接正方体内的概率。根据三维几何概型的计算方 法，内接正方体的体积为2/√3，球体的体积为4π/3，因 此该事件的概率为(2/√3) / (4π/3) = √3/(2π)。
互斥事件的概率加法公式
若事件A与事件B互斥，则$P(A cup B)=P(A)+P(B)$。
对立事件的概率
若事件A与事件B对立，则$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$。
案例分析
案例一
掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的 点数。求事件A（出现偶数点）的概 率。
案例三
某射手进行射击训练，每次射击命中 目标的概率为0.8，现连续射击5次， 求事件C（至少命中4次）的概率。
A
计算机科学
在算法设计和分析中，组合数学提供了许多有 用的工具和方法，如动态规划、分治法等。
物理学
在量子力学和统计力学中，组合数学用于 描述微观粒子的状态和相互作用。
B
C
化学
在化学中，组合数学可用于计算分子的可能 构型和化学键的组合方式。
生物学
在遗传学和生物信息学中，组合数学用于分 析基因序列的组合和变异情况。
常见问题类型
01
求组合数
直接利用组合数公式进行计算。
02
验证组合数性质Leabharlann 如验证C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n等。
高二数学《排列组合》复习课件
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
*
一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型
组合与组合数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3
件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
3
100
−
3
98
98 × 97 × 96
= 161700 −
= 9604
3！
探究新知
题型探究
题型一
有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例 1]
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人
有 C511＝462 种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，
有 C411＋C411＝660 种选法．
所以至多有 1 名队长被选上的方法有 462＋660＝1 122 种.
探究新知
2. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名．选派 5 人外出比赛，
典型例题
例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人
认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、
木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素
，则2类元素相生的选取方案共有多少种？
解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，
有什么发现？
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，
（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
人教版数学高二《组合与组合数公式》 名师课件
高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
组合、组合数 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
元素中取出个元素的组合数，用符号C 表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
高二数学排列组合概率PPT课件
轮船2
第1页/共64页
问题2 某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲 地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那 么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
B
a
甲
乙
A
丙
C
b
显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个 步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）
第2页/共64页
由问题1可得 分类计数原理： 若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种
N=3×2=6
第6页/共64页
单击鼠标继续
1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、 科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同 的选法？
2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1 人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好 学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？
第8页/共64页
扩展：快速调整魔方
问题1 北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的飞机票？
这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按 照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不 同排法的问题。
起点站 北京 上海 广州
终点站
上海 广州
北京 广州
北京 上海
飞机票
北京→上海 北京→广州
N k1 k2 ... kn 种不同的方法。
第3页/共64页
例题解析
例1 书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不 同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：
（1）从中任取1本，有多少种不同取法？ （2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种 不同的取法？
解 （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取
高二数学(选修人教B版)组合(1)
组合与元素的顺序无关.
排列是先选后排， 组合是只选不排.
组合数 从n个不同元素中，任意取出 m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个 元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
如“从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人去图书馆参加
志愿服务”的组合数表示为 C24 .
问题 从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人，分别参加
组合数的两个性质
性质1 Cmn =Cnnm.
1.反映了组合数的对称性；
例如
C28 30
=C33002
=C320
2.作用：为了简化计算，当 m n 时，
通常将计算 Cmn 化为 Cnnm.
2
= 30 29 2 1
= 435.
C30 31
=C131
=
31.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
C85
87654 5 4 3 2 1
=
876 3 2 1
=
C83
，
C180
10 9 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 2 1
= 10 9 2 1
= C120
，
C96 100
4！1009！6！=
100 99 98 4 3 2 1
97
=
C4 100
.
.
3.计算： C22 +C32 +C42 + +C1200.
5个球即可，不同取法的种数是
C57
=C72
=
7 2
6 1
=21.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
中任取5个球
排列是先选后排， 组合是只选不排.
组合数 从n个不同元素中，任意取出 m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个 元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
如“从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人去图书馆参加
志愿服务”的组合数表示为 C24 .
问题 从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人，分别参加
组合数的两个性质
性质1 Cmn =Cnnm.
1.反映了组合数的对称性；
例如
C28 30
=C33002
=C320
2.作用：为了简化计算，当 m n 时，
通常将计算 Cmn 化为 Cnnm.
2
= 30 29 2 1
= 435.
C30 31
=C131
=
31.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
C85
87654 5 4 3 2 1
=
876 3 2 1
=
C83
，
C180
10 9 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 2 1
= 10 9 2 1
= C120
，
C96 100
4！1009！6！=
100 99 98 4 3 2 1
97
=
C4 100
.
.
3.计算： C22 +C32 +C42 + +C1200.
5个球即可，不同取法的种数是
C57
=C72
=
7 2
6 1
=21.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
中任取5个球
【高中数学】组合与组合数 课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种方法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，
有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有
多少种取法？
作业布置：
1.总结一下知识点
2.同步练习册19页到20页随堂检
测1-5题做完。
3.课时跟踪检测第105页做完
总结归纳：
1.组合的定义，
3. 组合数公式：
①组合数乘积式公式：C
=
(−1)(−2)........(−+1)
=
!
=
(−)(−)........(−+)（−）⋯⋯⋯⋯×××
=
!（−）！
②组合数阶乘式公式：C
!
!(−)!
=
××
7
8
把5本不同的书分给5个学生，每人一本。
从7本不同的书中取出5本给某个学生。
9 从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和
1.组合数的概念：
1.组合数的定义：
2.符号：C
3.组合数公式：前边讲过的例题我们回过头来回顾一
下：
若3人发言无顺序有多少种选择方案？分析：在解决第一题时我们知道每三个按照
第六章
6.2.3-6.2.4
教学目标：
1.理解和掌握组合和组合数的概念
2.会运用组合数的公式及性质化简证
明和求值，解决简单的组合问题
探究一：组合的定义
情景导入：
在某次团代会上，某班级需要
从5名候选人中选择3人担任代
表上台发言
问题：（1）若3人发言有顺序
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，
有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有
多少种取法？
作业布置：
1.总结一下知识点
2.同步练习册19页到20页随堂检
测1-5题做完。
3.课时跟踪检测第105页做完
总结归纳：
1.组合的定义，
3. 组合数公式：
①组合数乘积式公式：C
=
(−1)(−2)........(−+1)
=
!
=
(−)(−)........(−+)（−）⋯⋯⋯⋯×××
=
!（−）！
②组合数阶乘式公式：C
!
!(−)!
=
××
7
8
把5本不同的书分给5个学生，每人一本。
从7本不同的书中取出5本给某个学生。
9 从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和
1.组合数的概念：
1.组合数的定义：
2.符号：C
3.组合数公式：前边讲过的例题我们回过头来回顾一
下：
若3人发言无顺序有多少种选择方案？分析：在解决第一题时我们知道每三个按照
第六章
6.2.3-6.2.4
教学目标：
1.理解和掌握组合和组合数的概念
2.会运用组合数的公式及性质化简证
明和求值，解决简单的组合问题
探究一：组合的定义
情景导入：
在某次团代会上，某班级需要
从5名候选人中选择3人担任代
表上台发言
问题：（1）若3人发言有顺序
【高中数学】组合、 组合数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
个班2个名额，共有几种不同的报名结果？
由列举法可知有3种
问题3：上述两个问题的区别是什么？
问题1有顺序，是排列问题
问题2没有顺序
将具体背景舍去，问题2可以概括为从3个不同元素中取出2
个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
这就是我们要研究的组合问题
新知探索
组合： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
3
abd adb bad bda dab dba 4 种不同的取法；
acd
acd adc cad cda dac dca
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
abc
第2步, 将取出的3个元
3
素做全排列, 共有3 种不
同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有 = ，即 =
=
!
.
!(−)!
0
另外，我们规定
= 1.
能否用
阶乘表示
判断正误.
√)
(1)1，2，3与3，2，1是同一组合.(
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(
√)
(3)从，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是
×)
32 .(
√
(4)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得42 个积.( )
练习巩固
现有1，3，7，13这4个数，
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个
不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个
不相等的差？
6.2.4 组合数
复习回顾
什么是排列数？排列数公式是什么？
1、排列数：从n个不同的元素中取出m(m ≤ n)个元素
由列举法可知有3种
问题3：上述两个问题的区别是什么？
问题1有顺序，是排列问题
问题2没有顺序
将具体背景舍去，问题2可以概括为从3个不同元素中取出2
个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
这就是我们要研究的组合问题
新知探索
组合： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
3
abd adb bad bda dab dba 4 种不同的取法；
acd
acd adc cad cda dac dca
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
abc
第2步, 将取出的3个元
3
素做全排列, 共有3 种不
同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有 = ，即 =
=
!
.
!(−)!
0
另外，我们规定
= 1.
能否用
阶乘表示
判断正误.
√)
(1)1，2，3与3，2，1是同一组合.(
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(
√)
(3)从，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是
×)
32 .(
√
(4)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得42 个积.( )
练习巩固
现有1，3，7，13这4个数，
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个
不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个
不相等的差？
6.2.4 组合数
复习回顾
什么是排列数？排列数公式是什么？
1、排列数：从n个不同的元素中取出m(m ≤ n)个元素
高二数学人教A版选修2-3课件：1.2.2 组合
=
C������������ =左边,
故原式成立.
迁移应用
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
三、简单组合问题 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出 元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数. 在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.
种,从4名C女62教师中选2名的选法有 种,根据分步乘法计数C原42理,共有选法
C62
×
C42
=
6×5 ×
2×1
42××31=90(种).
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )
A.360
B.520
C.600
D.720
答案:C
解析:分两类:第1类,甲、乙中只有一人参加,则有
=2×10×24=480(种)选法.
C21 × C53 × A44
一 二三四
知识精要
典题例解
【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并分别求出对应的方法数.
迁移应用
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?
答)
组合,组合数(课件)-高二数学教材配套学案 课件
经典例题
总结
题型三 “含有”或“不含有”、“至少”或“至多”组问题
1.“含有”或“不含有”某些元素的组合问题： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩余元素中去取． 2.“至少”或“至多”含有几个元素的问题： “至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注 意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析
问题、解决问题的能力.(数学建模)
自主学习
一、组合的相关概念 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个 组合.
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 3. 排列与组合的区别与联系 (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
经典例题
题型一 组合概念的理解与应用
解：(1)每两人握手一次,无顺序之分,是组合问题. (2)每两人相互写一封信,是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别 的. (3)是排列问题,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,便会得到 不同的三位数. (4)是组合问题,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构 成的集合都不变.
例3 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选 出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
经 典 例 题 题型三 “含有”或“不含有”、“至少”或“至多”组问题
专题课排列组合综合应用课件高二下学期数学人教A版选择性
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
多少种不同的选法？ 方法一 直接分类（从元素考虑）
由图可知既会英语又会日语的有
7+3-9=1人，记为甲，只会英语6人，只会日语2人。
Ⅰ类：甲去教英语，有 N1 C12 2种方法； Ⅱ类：甲去教日语，有 N2 C16 6 种方法； Ⅲ类：甲未被选中，有 N3 C16C12 12 种方法； 由分类加法计数原理得 N N1 N2 N3 20
专题课 排列组合综合应用
排列组合题 型
有条件的抽（选）取问题 多面手问题 分组分配问题
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选.
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (2)至多有两名女生当选； 解 直接法（分类加法原理，从元素角度考虑）
Ⅰ类：0名女生当选，有 N1 C85 56 种方法； Ⅱ类：1名女生当选，有 N2 C15C84 350 种方法； Ⅲ类：2名女生当选，有 N3 C52C83 560 种方法； 由分类加法原理得 N N1 N2 N3 966
英语 日语 7人 3人
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
高二数学(理)《组合(1)：组合及组合公式》(课件)(1)
3 7 2 6
2 6
3 8 3 8 2 5
( 3)C C ; (4)3C 2C ;
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
②求证：
m 1 m 1 C C n1 n1
m n
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
* 例2. 证明： (m、n N , m n)
《组合(1)：组合及组合公式》
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
探究1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学。 (1)选两名同学参一项活动, 有多少种 不同选法？ (2)若这两名同学分别参加上、下午的 一项活动, 又有多少种选法？
湖南长郡卫星远程学校 制作 17 2012年下学期
探究1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学。 (1)选两名同学参一项活动, 有多少种 不同选法？ (2)若这两名同学分别参加上、下午的 一项活动, 又有多少种选法？ 再请利用列举法, 对比(1)(2), 想一想两 问的方法有何区别与联系。
(1)C C
m n
n m n m n
;
m 1 n
( 2)C
m n1
C C
;
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
例3. 甲、乙、丙、丁4个足球队举 行单循环赛，列出：
(1)所有各场比赛的双方；
(2)所有冠亚军的可能情况。
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
例4. 已知平面内A,B,C,D这4个点
2012年下学期
训练3. 学校开设了6门任意选修 课, 要求每个学生从中选学3门, 共有
多少种不同选法？
2 6
3 8 3 8 2 5
( 3)C C ; (4)3C 2C ;
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
②求证：
m 1 m 1 C C n1 n1
m n
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
* 例2. 证明： (m、n N , m n)
《组合(1)：组合及组合公式》
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
探究1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学。 (1)选两名同学参一项活动, 有多少种 不同选法？ (2)若这两名同学分别参加上、下午的 一项活动, 又有多少种选法？
湖南长郡卫星远程学校 制作 17 2012年下学期
探究1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学。 (1)选两名同学参一项活动, 有多少种 不同选法？ (2)若这两名同学分别参加上、下午的 一项活动, 又有多少种选法？ 再请利用列举法, 对比(1)(2), 想一想两 问的方法有何区别与联系。
(1)C C
m n
n m n m n
;
m 1 n
( 2)C
m n1
C C
;
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
例3. 甲、乙、丙、丁4个足球队举 行单循环赛，列出：
(1)所有各场比赛的双方；
(2)所有冠亚军的可能情况。
湖南长郡卫星远程学校
制作 17
2012年下学期
例4. 已知平面内A,B,C,D这4个点
2012年下学期
训练3. 学校开设了6门任意选修 课, 要求每个学生从中选学3门, 共有
多少种不同选法？
高二数学选修课件时组合与组合数公式
可能的结果。
适用范围
适用于组合元素个数较少，且 可以直观列举出所有可能结果 的情况。
优点
直观、易懂，能够直接得到问 题的答案。
缺点
当组合元素个数较多时，列举 过程可能变得繁琐，容易出错
。
插空法
01
定义
插空法是一种求解组合问题的 方法，它适用于某些特殊的组 合问题，如“不相邻”问题等 。该方法的基本思想是将需要 排列的元素先排好，然后将需 要插入的元素插入到已排好元 素的空隙中。
存在问题分析
在教学过程中，我发现部分学生在理解和运用组合数公式时存在一定困难。这可能是由于学生对阶乘运算和代数 运算掌握不够熟练所致。针对这些问题，我将加强相关知识点的讲解和练习，帮助学生更好地掌握所学知识。
XX
THANKS
感谢观看ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
REPORTING
图论算法
图论算法是解决图论问题的有效方法 ，如最短路径算法、最小生成树算法 等。这些算法在组合优化问题中也有 广泛应用。
组合优化问题
组合优化是图论与组合数学的重要交 叉点，涉及如何在满足一定条件下寻 找最优的组合方案。例如，旅行商问 题、最小生成树问题等。
代数结构与组合设计
代数结构基础
代数结构是研究数学对象之间运算规律的数学分支，如群、环、域等。这些结构与组合数学中的计数、排列、组合等 问题密切相关。
，可以吸引玩家的兴趣并提高游戏的趣味性。例如，一些益智类游戏就
需要运用组合数学的知识来设计关卡和难度等级。
XX
PART 05
拓展：组合数学与其他学 科联系
REPORTING
图论与组合优化
图论基本概念
图论是研究图的结构、性质及其应用 的数学分支，与组合数学密切相关。 图由顶点和边组成，可用于表示对象 之间的关系。
适用范围
适用于组合元素个数较少，且 可以直观列举出所有可能结果 的情况。
优点
直观、易懂，能够直接得到问 题的答案。
缺点
当组合元素个数较多时，列举 过程可能变得繁琐，容易出错
。
插空法
01
定义
插空法是一种求解组合问题的 方法，它适用于某些特殊的组 合问题，如“不相邻”问题等 。该方法的基本思想是将需要 排列的元素先排好，然后将需 要插入的元素插入到已排好元 素的空隙中。
存在问题分析
在教学过程中，我发现部分学生在理解和运用组合数公式时存在一定困难。这可能是由于学生对阶乘运算和代数 运算掌握不够熟练所致。针对这些问题，我将加强相关知识点的讲解和练习，帮助学生更好地掌握所学知识。
XX
THANKS
感谢观看ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
REPORTING
图论算法
图论算法是解决图论问题的有效方法 ，如最短路径算法、最小生成树算法 等。这些算法在组合优化问题中也有 广泛应用。
组合优化问题
组合优化是图论与组合数学的重要交 叉点，涉及如何在满足一定条件下寻 找最优的组合方案。例如，旅行商问 题、最小生成树问题等。
代数结构与组合设计
代数结构基础
代数结构是研究数学对象之间运算规律的数学分支，如群、环、域等。这些结构与组合数学中的计数、排列、组合等 问题密切相关。
，可以吸引玩家的兴趣并提高游戏的趣味性。例如，一些益智类游戏就
需要运用组合数学的知识来设计关卡和难度等级。
XX
PART 05
拓展：组合数学与其他学 科联系
REPORTING
图论与组合优化
图论基本概念
图论是研究图的结构、性质及其应用 的数学分支，与组合数学密切相关。 图由顶点和边组成，可用于表示对象 之间的关系。
人教版高中数学必修二 组合与组合数(1)-课件
1
.
对于组合数的概念以及在应用时，需注意：
（1）组合数 Cmn 既表示一个结果，又表示一种运算.
（2）Cmn
A
m n
A
m m
n n 1 n m 1 m m 1 21
n!
n m!m!
（连乘）
（阶乘）
通 使常 用进 连行 乘具形体式计比算较，方或便组，合如数：CC120mn 中1m20较19小时4，5 .
（连乘形式）
n!
（2） Cmn
A
m n
A
m m
n m!
m!
n!
n m!m!
（阶乘形式）
特殊组合数：
（1）当
m
0
时，C0n
n! n!0!
1（注意
0! 1）；
（2）当 m 1 时，C1n
n! n n 1 !1!
；
结合具体问题来直观解 释这3个组合数的含义.
（3）当 m
n
时，Cnn
n! 0!n!
相对于问题（2），问题（1）也可以看作分成两步完成：
第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题（2），
设有 x 种方法；
第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为
A
2 2
.
根据分步乘法计数原理：方法数为 xA22 .
所以
A
2 3
xA22
，即：问题（2）的方法数
x
A32 A 22
.
事实上，问题（2）也是计数问题中的一种重要模型. 问题4：你能否类比排列的知识，从问题（2）中提炼出数学本质吗？
选出剩余（ n–m ）个对象的每一个组合是一一对应的.那
么，从n个不同对象中取出m个对象的组合数 Cmn ，与从n个
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n! m !(nm)!.
C C
m n
nmm1.
m1 n
例题讲解
例4. 5个足球队进行单循环比赛，
（1）共需比赛多少场？ C52 10(场)
（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军 的可能情况共有多少种？A52 20(种)
例5. 壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张， 一共可以组成多少种币值？
C1 4C2 4C3 4C4 415
2,求n.
n
C A 解 ： 由3 n
2 ,得
n
n(n16)(2n)n(n1).
∵n≥2 . ∴ n26.
n8.
例题讲解
C C C 证 例 、3 明 :求 n mm :证 ! （ n m n n m n！ m m 1） ! . n m1
n m m 1Cn m 1n m m 1.( m1( ) n! n ! m1)!
§10.3 组合（第1课时）
情境创设
问题一：甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候 选人，需要选2名作主持人，其中1名作正式 主持人，1名作候补主持人，有多少种不同
问的题选二法：？甲、乙、丙三人作A 3为2 元6旦晚
会的候选人，需要选2名共同主持节目，
有多少种不同的选法？ 3
甲、乙；甲、丙；乙、丙
概念讲解
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：Cn mA An m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
这里m、n∈N*,且m≤n ,这个公式叫做组合数公 式．
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
有多少种不同的选法?
组合问题
(2)有4盆不同的花，从中选出3盆分别送给甲乙丙
3人，每人一盆，共有多少种不同的送法? 排列问题
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需
准备多少种车票?
排列问题
(4)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多
少种不同的火车票价？
组合问题
下列问题是组合问题还是排列问题?
个不同元素中取出m个元素的组合
数，用符号 C
m n
表示.
思考:
组合数 C
m 如何求呢
n
？
1、甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，
需要选2名共同主持节目，有多少种不同的
选法？ 甲乙；甲丙；乙丙
C32 3
2、从a、b、c、d4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法?
a bc
b cd c d d
2、预习下节内容
谢谢大家！
（3）5名工人分别要3在53天2中4选3择1天休息，
不同方法的种数是
小结 1、组合的概念
2、排列与组合的区别与联系 3、组合数公式及应用
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
作业：1、课本111页 习题10.3第 1 题、第3题、第4题
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)有4盆不同的花，从中选出3盆放在教室里，共
我 们 规 定 ： Cn01.
例题讲解
例1、计算（1）C
3 7
与
C
4 10
C C （2）3
3 8
2
2 5
C C 解解 ：： ((2)1 3 3 7 3) 8 3 72 6 2 C 525 135
C
3
3
8
1 42 0 71164 03292258 1147210；
148.
例题讲解
C A 例2、已知3n
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不
同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个游览,并确定这2个
风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
• 想一想
排列问题
组合与排列有联系吗?
构造排列分两步完成，即先选后排；
而构造组合就是其中第一步——选取.
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素的所有组合的个数，叫做从n
答：一共可以组成15种币值.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练 1．圆习上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 45 条弦； （2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可 画120个圆内接三角形.
2.如果A3m 6C4m,则 （ m） B
A.6 B.7 C.8 D.9
3.证明:
Cm1 n1
mn11Cnm
课堂练 习
4.（参1观），有不3同张方参法观的券种，数要是在5C人35 中1确0 定3人去 （位2同）学要，从不5件同不的同方的法礼种物数中是选A出35 3件60分送3
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
排列与组合的概念 有什么共同点与不同 点？
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.
C42 6
那么
C
m n
呢？
例:有4盆不同的花，从中选出3盆,分别送 给甲乙丙3人，每人一盆，共有多少种不 同的送法?
组合数公式
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素 的排列数，可以分为以下两步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元
素的组合C数nm .
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．
C C
m n
nmm1.
m1 n
例题讲解
例4. 5个足球队进行单循环比赛，
（1）共需比赛多少场？ C52 10(场)
（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军 的可能情况共有多少种？A52 20(种)
例5. 壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张， 一共可以组成多少种币值？
C1 4C2 4C3 4C4 415
2,求n.
n
C A 解 ： 由3 n
2 ,得
n
n(n16)(2n)n(n1).
∵n≥2 . ∴ n26.
n8.
例题讲解
C C C 证 例 、3 明 :求 n mm :证 ! （ n m n n m n！ m m 1） ! . n m1
n m m 1Cn m 1n m m 1.( m1( ) n! n ! m1)!
§10.3 组合（第1课时）
情境创设
问题一：甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候 选人，需要选2名作主持人，其中1名作正式 主持人，1名作候补主持人，有多少种不同
问的题选二法：？甲、乙、丙三人作A 3为2 元6旦晚
会的候选人，需要选2名共同主持节目，
有多少种不同的选法？ 3
甲、乙；甲、丙；乙、丙
概念讲解
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：Cn mA An m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
这里m、n∈N*,且m≤n ,这个公式叫做组合数公 式．
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
有多少种不同的选法?
组合问题
(2)有4盆不同的花，从中选出3盆分别送给甲乙丙
3人，每人一盆，共有多少种不同的送法? 排列问题
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需
准备多少种车票?
排列问题
(4)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多
少种不同的火车票价？
组合问题
下列问题是组合问题还是排列问题?
个不同元素中取出m个元素的组合
数，用符号 C
m n
表示.
思考:
组合数 C
m 如何求呢
n
？
1、甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，
需要选2名共同主持节目，有多少种不同的
选法？ 甲乙；甲丙；乙丙
C32 3
2、从a、b、c、d4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法?
a bc
b cd c d d
2、预习下节内容
谢谢大家！
（3）5名工人分别要3在53天2中4选3择1天休息，
不同方法的种数是
小结 1、组合的概念
2、排列与组合的区别与联系 3、组合数公式及应用
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
作业：1、课本111页 习题10.3第 1 题、第3题、第4题
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)有4盆不同的花，从中选出3盆放在教室里，共
我 们 规 定 ： Cn01.
例题讲解
例1、计算（1）C
3 7
与
C
4 10
C C （2）3
3 8
2
2 5
C C 解解 ：： ((2)1 3 3 7 3) 8 3 72 6 2 C 525 135
C
3
3
8
1 42 0 71164 03292258 1147210；
148.
例题讲解
C A 例2、已知3n
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不
同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个游览,并确定这2个
风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
• 想一想
排列问题
组合与排列有联系吗?
构造排列分两步完成，即先选后排；
而构造组合就是其中第一步——选取.
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素的所有组合的个数，叫做从n
答：一共可以组成15种币值.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练 1．圆习上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 45 条弦； （2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可 画120个圆内接三角形.
2.如果A3m 6C4m,则 （ m） B
A.6 B.7 C.8 D.9
3.证明:
Cm1 n1
mn11Cnm
课堂练 习
4.（参1观），有不3同张方参法观的券种，数要是在5C人35 中1确0 定3人去 （位2同）学要，从不5件同不的同方的法礼种物数中是选A出35 3件60分送3
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
排列与组合的概念 有什么共同点与不同 点？
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.
C42 6
那么
C
m n
呢？
例:有4盆不同的花，从中选出3盆,分别送 给甲乙丙3人，每人一盆，共有多少种不 同的送法?
组合数公式
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素 的排列数，可以分为以下两步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元
素的组合C数nm .
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．