椭圆的几何性质知识点归纳及典型
根据椭圆的知识点方法总结椭圆的几何性质
根据椭圆的知识点方法总结椭圆的几何性质椭圆是一个具有特殊几何性质的曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将总结一些关于椭圆的基本知识点和方法，并探讨椭圆的几何性质。
1. 椭圆的定义和基本要素椭圆可以通过以下定义来描述：给定确定的两点F₁和F₂（焦点）以及不小于焦点间距离之和的固定值2a（长轴长度），椭圆是所有与这两点间距离之和等于2a的点的集合。
椭圆有几个基本要素需要了解：- 近焦点F₁和远焦点F₂：这两个点决定了椭圆的位置和形状。
- 焦距：焦距是指焦点到椭圆上任意一点的距离之和，等于2a。
- 长轴和短轴：长轴是连接两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直且通过椭圆中心的线段。
- 焦半径：焦半径是指从焦点到椭圆上一点的距离。
2. 椭圆的性质椭圆有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：- 对称性：椭圆是关于长轴和短轴的对称图形，这意味着如果一个点在椭圆上，那么它关于长轴或短轴的镜像点也在椭圆上。
- 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，焦距FP₁ + FP₂的值是一个常数，等于2a。
- 切线性质：椭圆上的切线与径垂直，也就是说切线与焦半径相切。
- 弦性质：椭圆上的弦与焦半径平行，也就是说弦的中垂线与焦半径重合。
3. 椭圆的方程椭圆可以用数学方程来表示，其中一个常见的方式是使用焦点坐标法。
椭圆的焦点坐标是(F₁,0)和(F₂,0)，椭圆的方程可表示为：(x - F₁)² + y² = (x - F₂)² + y² = 2a另外，椭圆的标准方程是：x²/a² + y²/b² = 1其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴长度。
总结椭圆是一种具有特殊性质的几何曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
本文总结了椭圆的基本知识点和方法，包括椭圆的定义和基本要素、椭圆的性质以及椭圆的方程。
通过了解这些内容，我们可以更好地理解和应用椭圆的几何性质。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆的基本知识1 •椭圆的定义：把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).2.椭圆的标准方程：焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图，已知一个圆的圆心为坐 标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的解:段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹 得 x o =x , y o = 2y.2x o 2+ y o 2= 4,得 x 2+ (2 y ) 2= 4,即- y 21.所以点M 的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点 只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令 y = 0,得x =± a ,点A ( —a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点：A ( — a , 0)、A(a , 0)、B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.y| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .在 Rt △ OBF 2中，|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2, AZ b即 c 2 = a 2 — b 2.x7.椭圆的几何性质:mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考2 2a b2 2a b椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐和召Hi¥厂1,J /1 .PjAJ4j对 关T r 轴・，、轴・燮标原点荊称荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K 点Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —At tO-B — a J » A* a }(CXr-CI) a几点说明:(1)长轴：线段 AA ，长为2a ；短轴：线段B 1B 2，长为2b ；焦点在长轴上。
专题10 椭圆及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题10椭圆及其性质【知识梳理】知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=>注意：当22a c =时，点的轨迹是线段；当22a c <时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>>()222210y x a b a b +=>>统一方程221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠参数方程cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）范围a x a -≤≤且b y b-≤≤b x b -≤≤且a y a-≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A①2max 12122cos 1,b F BF r r θθ=-=∠，（B 为短轴的端点）②1202012|s |,1tan 2|in 2|,PF F c y x S x r b r c y θθ∆⎧⎪===⎨⎪⎩焦点在轴上焦点在轴上12()F PF θ=∠考点1：椭圆的定义与标准方程考点2：椭圆方程的充要条件考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：椭圆上两点距离的最值问题考点5：椭圆上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：椭圆的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹【典型例题】考点1：椭圆的定义与标准方程1．（2021·湖北·高二期中）椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，与y 轴的一个交点为A ，若12π3F AF ∠=，则m =（）A ．1B CD ．2【答案】C 【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a =，b m =，1c =.易知12AF AF a ==.又12π3F AF ∠=，所以12F AF 为等边三角形，即112AF F F =2=，即m =.故选：C.2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆2251162x y +=上点P 到上焦点的距离为4，则点P 到下焦点的距离为（）A ．6B ．3C ．4D ．2【答案】A【解析】椭圆2251162x y +=，所以225a =，即5a =，设上焦点为1F ，下焦点为2F ，则12210PF PF a +==，因为14PF =，所以26PF =，即点P 到下焦点的距离为6；故选：A3．（2021·山东山东·高二期中）已知椭圆的两个焦点为(10,F ，(2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22194x y +=B ．22149x y +=C ．22127x y +=D ．22172x y +=【答案】B【解析】由212PF PF a +=，得()222121222124PF PF PF PF PF F a P ++⋅+==，又因为12MF MF ⊥，所以()22212220PF PF c +==，由22121220,8PF PF PF PF +=⋅=，得222121242201636a PF PF PF PF =++⋅=+=，所以29,3a a ==，又2c b =∴=.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的方程是22149x y +=.故选：B.4．（2021·四川·遂宁中学高二期中（文））与椭圆229436x y +=有相同的焦点，且短半轴长为）A ．2212520x y +=B ．2212520y x +=C ．2214520y x +=D ．2218580y x +=【答案】B【解析】椭圆229436x y +=的标准方程为22194y x +=，该椭圆的焦点坐标为(0,，设所求椭圆的长半轴长为a ，则5a =，故所求椭圆的标准方程为2212520y x +=.故选：B.5．（2021·全国·高二期中）设1F 、2F 分别是椭圆E ：2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且222AB AF BF =+，则AB 的长为______．【答案】43【解析】由椭圆的定义得：122AF AF a +=，122BF BF a +=，又222||||||AB AF BF =+，11AB AF BF =+，所以43AB a =，由椭圆222:1y E x b+=知1a =，所以43AB =.故答案为：436．（2021·江苏省南通中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点()3,2M ；(2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．【解析】（1）由焦距是4可得2c =，又焦点在y 轴上，所以焦点坐标为()0,2-，()02,，由椭圆的定义可知28a ==，所以4a =，所以22216412b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为2211612y x +=；（2）由题意知226a =，即13a =，又513c e a ==，所以5c =，所以22222135144b a c =-=-=，当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的方程为221169144x y +=；当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为221169144y x +=，所以椭圆的方程为221169144x y +=或221169144y x +=7．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）（1）求焦点的坐标分别为(0,3),(0,3)-，且过点16(,3)5P 的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点11(,33P 、1(0,)2Q -的椭圆标准方程.【解析】（1）由题意，椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为22221y x a b+=由椭圆定义，210a ==故5,3,4a cb ===故椭圆的标准方程为：2212516y x +=（2）不妨设椭圆的方程为：221mx ny +=经过两点11(,)33P 、1(0,2Q -故11199114m n n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5,4m n ==即22541x y +=故椭圆的标准方程为：2211145y x +=8．（2021·吉林油田高级中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆22184x y +=有相同的焦点，且经过点()2,3-；(2)点A，B-，(2,C -，()3,0D 中恰有三个点在椭圆上.【解析】(1)椭圆22184x y +=的焦点坐标为()2,0-，()2,0.所以设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意得()222222231,4,a ba b ⎧-⎪+=⎨⎪-=⎩解得2216,12.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2211612x y +=.(2)根据椭圆的对称性，A，B-两点必在椭圆上，因为点A 和点C的纵坐标为A ，C 两点并不关于y 轴对称，故点C 不在椭圆上.所以点A，B-，()3,0D 三点在椭圆上.设椭圆方程为()2210 ,0mx ny m n +=>>，代入A ，D 两点得381,91,m n m +=⎧⎨=⎩解得1,91.12m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为221912x y +=.考点2：椭圆方程的充要条件9．（2021·安徽·芜湖一中高二期中）若方程22191x y k k +=--表示椭圆C ，则下面结论正确的是（）A ．()1,9k ∈B ．椭圆C的焦距为C ．若椭圆C 的焦点在x 轴上，则()1,5k ∈D ．若椭圆C 的焦点在x 轴上，则()5,9k ∈【答案】C【解析】因方程表示椭圆，则有90k ->，10k ->，且91k k -≠-，即()()1,55,9k ∈，A 错误；焦点在x 轴上时，910k k ->->，解得()1,5k ∈，D 错误，C 正确；焦点在x 轴上时，则()291102c k k k =---=-，焦点在y 轴上时，()219210c k k k =---=-，B 错误.故选：C10．（2021·北京工业大学附属中学高二期中）设22:1p mx ny +=表示的是椭圆；:0,0q m n >>，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若221mx ny +=表示的是椭圆，则0,0m n >>且m n ≠，即p q ⇒成立；反例：当1m n ==时，221mx ny +=表示的是圆，即q p ⇒不成立；即p 是q 成立的充分不必要条件，故选：A.11．（2021·上海·高二期中）对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当0mn >时，方程221mx ny +=的曲线不一定是椭圆，例如：当1m n ==时，方程221mx ny +=的曲线不是椭圆而是圆；或者是m ，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，应有m ，n 都大于0，且两个量不相等，得到0mn >；由上可得：“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B.12．（多选题）（2021·江苏·无锡市第一女子中学高二期中）已知曲线22:1C mx ny +=（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确，故B 错误；对于C ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半的圆，故C 不正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，y n=，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：AD.13．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知方程22164x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______；【答案】61m -<<-【解析】由于方程22164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，所以4660m m m ->+⎧⎨+>⎩，解得61m -<<-.故答案为：61m -<<-14．（2021·广西·钦州一中高二期中（文））若椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，则实数k的取值范围是___________.【答案】(1,2)【解析】因为椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，所以313010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得12k <<，即实数k 的取值范围为(1,2).故答案为：(1,2)考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题15．（2021·全国·高二期中）已知椭圆2214x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上动点，则12PF PF +的值是______；12PF PF ⋅的取值范围是______．【答案】4[]2,1-【解析】对椭圆2214x y +=，其2224,1,3a b c ===，焦点坐标分别为())12,F F ，由椭圆定义可得：12PF PF +24a ==；设点P 的坐标为(),x y ，则2214x y =-，且[]2,2x ∈-，故12PF PF ⋅())222123,,324x y x y x y x =-⋅-=+-=-，又[]2,2x ∈-，故[]2322,14x -∈-，即12PF PF ⋅的取值范围为：[]2,1-.故答案为：4；[]2,1-.16．（2021·安徽滁州·高二期中）已知1F 、2F 是椭圆22110020x y +=的两个焦点，M 是椭圆上一点，且12MF MF ⊥，则12F MF △的面积为______．【答案】20【解析】由22110020x y +=，得2100a =，220b =，所以10a =，c ==所以122F F c ==1MF m =，2MF n =，所以220m n a +==，因为12MF MF ⊥，所以22320m n +=，所以()()222280mn m n m n =+-+=，所以12F MF △的面积为12mn 20=．故答案为：20.17．（2021·安徽·高二期中）设12,F F 是椭圆22:1167x yC +=的左，右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，且||3OP =，则12PF F △的面积为___________.【答案】7【解析】由题意得，4a =，3c =，12132OP F F ==，∴P 在以线段12F F 为直径的圆上，∴12PF PF ⊥，∴222121236PF PF F F +==①，由椭圆的定义知，128PF PF +=②，由①②，解得1214PF PF ⋅=，∴1212172PF F S PF PF =⋅=△.故答案为：7.18．（2021·山东师范大学附中高二期中）已知椭圆221126x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，P 在椭圆上，且12PF F △是直角三角形，这样的P 点有______个【答案】6【解析】当P 不是直角顶点时，P 为过焦点与x 轴垂直的直线与椭圆的交点，易知这样的点有4个；当P 是直角顶点时，P 在以12F F为直径的圆上，c =故圆方程为226x y +=，联立方程：222211266x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.综上所述：共有6个点满足条件.故答案为：6.19．（2021·上海市控江中学高二期中）设1F ､2F 分别是椭圆22:12516x yC +=的左､右焦点，点P在椭圆C 上，且满足120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=___________.【答案】32【解析】由题意，椭圆22:12516x y C +=，可得5,4a b ==，则3c =，根据椭圆的定义，可得1210PF PF +=，又由120PF PF ⋅=，可得12PF PF ⊥，所以22212436PF PF c +==，因为()2221212121221002PF PF PF PF PF PF PF PF +=+-=-，即12100236PF PF -=，解得1232PF PF =.故答案为：32.20．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）已知1F ，2F 是椭圆22:1123x y C +=的两个焦点，点P 在椭圆上，120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积是（）A ．3B ．6C．D．【答案】A【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，2221212PF PF F F +=，则()221212122PF PF PF PF F F +-⋅=，所以222122226PF PF a c b ⋅=-==，所以1212132PF F S PF PF =⋅=△，故选：A21．（多选题）（2021·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △C ．12PF PF -的最大值为D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个【答案】ABC【解析】在椭圆M 中，2a =，1b =，c =12F F =对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠=，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即222PF ≤≤，所以，()12222222PF PF a PF a a c c -=-≤--==C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()100F P x y =，()200F P x y =，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-=，所以，0y =03x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.22．（多选题）（2021·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M ：2212520x y +=的左右焦点分别为12F F 、，左右顶点分别为12A A 、，P 是椭圆上异于12A A 、的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．12PF F △周长为10B ．12PF F △面积最大值为10C ．存在点P 满足：1290F PF ︒∠=D ．若12PF F △面积为P横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F，2F，短轴一个端点2B，由题知12210PF PF a +==，故12PF F △周长为10+A 错误；利用椭圆的性质可知12PF F △面积最大值为1102⨯=，故B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，故C 错误；因为121212PF F P P S F F y y =⋅=△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确．故选：BD ．23．（2021·湖南·长沙市明德中学高二期中）椭圆221169x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B ，则2ABF 的周长为（）A ．32B ．16C ．8D ．4【答案】B【解析】在椭圆221169x y +=中，4a =，则2ABF 的周长为1212416AF AF BF BF a +++==.故选：B.24．（2021·广东·广州市番禺区实验中学高二期中）已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C【解析】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号），12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.考点4：椭圆上两点距离的最值问题25．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆22:14x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为________.【答案】3【解析】根据题意，易知()0,1B ，设(),P x y ，则2214xy +=，即2244x y =-，故PB =因为11y -≤≤，所以当13y =-时，max PB ==26．（2021·福建宁德·高二期中）点P 为椭圆22159x y +=上一点，F 为焦点，则PF 的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【解析】22159x y +=，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：C27．（2021·河北·正定一中高二期中）椭圆22195x y +=上任一点P 到点()1,0Q 的距离的最小值为（）AB ．152C ．2D ．3【答案】B【解析】设点P 的坐标为(),m n ，其中[3,3]∈-m ，由22195m n +=，可得22559m n =-，又由PQ ====，当94m =时，PQ 取得最小值，最小值为min 2PQ =.故选：B.28．（2021·上海市行知中学高二期中）设1F 、2F 是椭圆2216416x y+=的左右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则22AF BF +的最大值为______.【答案】28【解析】由题意，椭圆2216416x y +=，可得2264,16a b ==，即8,4a b ==，根据椭圆的定义，可得121216,16AF AF BF BF +=+=，则22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=，所以2232AF BF AB +=-，当AB 垂直于x 轴时，AB 取得最小值，此时22AF BF +取得最大值，此时2221648b AB a ⨯===，所以22AF BF +的最大值为32428-=.故答案为：28.考点5：椭圆上两线段的和差最值问题29．（2021·四川·树德中学高二期中（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y+=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB +的最大值为______．【答案】10+221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC +=-+=+-，MB MC BC -≤==，所以MA MB +的最大值为10+故答案为：10+30．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，点(4,4)A -，则2||PA PF -的最小值为__________．【答案】1【解析】依题意，椭圆22143x y +=的左焦点1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ，点P 为椭圆上一点，点A 在此椭圆外，由椭圆的定义得21||4||PF PF =-，因此，211||||4||4PA PF PA PF AF -=+-≥-41=-=，当且仅当点P 是线段1AF 与椭圆的交点时取“=”，所以2||PA PF -的最小值为1.故答案为：131．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知椭圆C 的方程为221,(2,0),(4,2)95x y B A +=-，M 为C 上任意一点，则||||MA MB -的最小值为___________.【答案】6【解析】由题意，3,a b ==2c =，所以(2,0)B -为左焦点，(2,0)D 为右焦点，所||||||(2||)||||2||26MA MB MA a MD MA MD a AD a -=--=+-≥-=，当且仅当M ､D ､A 共线时取等号.故答案为：6.32．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设F 1，F 2分别是椭圆225x +216y=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为____.【答案】15【解析】如图所示：在椭圆225x +216y=1中，a =5，b =4，c =3，所以焦点坐标分别为F 1(-3，0)，F 2(3，0).|PM |+|PF 1|=|PM |+(2a -|PF 2|)=10+(|PM |-|PF 2|).∵|PM |-|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号，∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |-|PF 2|)max =|MF 222(6-3)(40)+-=5，此时|PM |+|PF 1|取最大值，最大值为10+5=15.故答案为：1533．（多选题）（2021·河北·石家庄市第四中学高二期中）已知椭圆22x y E :13620+=的左、右点分别为1F ，2F ，定点()1,4A ，若点P 是椭圆E 上的动点，则1PA PF +的值可能为（）A ．7B ．10C ．18D ．20【答案】AB【解析】由椭圆方程得6,25,4a b c ===，则由椭圆定义可得1212PF PF +=，∴1221212PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，()24,0F ，()2221445AF ∴-+=，255PA PF ∴-- ，则1717PA PF + .故选：AB.34．（2021·河北·石家庄二十三中高二期中）设P 是椭圆2212516x y +=上一点，M ，N 分别是圆221:(3)1C x y ++=和222:(3)4C x y -+=上的点，则PM PN +的最大值为（）A ．13B ．10C ．8D ．7【答案】A【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中1F 、2F 是椭圆的左，右焦点，在1PMF 中可得：1111PF PM PF -≤≤+①，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时，等号成立，在2PNF 中可得：2222PF PN PF -≤≤+②，当且仅当P 、N 、2F 三点共线时，等号成立，由①+②得：121233PF PF PM PN PF PF +-≤+≤++，由椭圆方程2212516x y +=可得：225a =，即5a =，由椭圆定义可得：12210PF PF a +==，所以，713PM PN ≤+≤.故选：A.考点6：离心率的值及取值范围35．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））设P 是椭圆C ：2221(6x y a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，PF C 的离心率为_________．【答案】12【解析】P 是椭圆222:1(6x y C a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，||PF 的最，可得a c -=所以a =即a 所以(226a a =-，解得a =所以12c e a =．故答案为：12．36．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高二期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上有一点P ，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若使得12F PF △为直角三角形的点P 有8个，则椭圆的离心率的范围是______．【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】由椭圆的对称性，1221,PF F PF F ∠∠为直角，共有4个位置，12F PF ∠为直角，共有4个位置，于是以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P 在y轴上时，2,2c b c e a ==,12e ⎫∈⎪⎪⎝⎭.故答案为：2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.37．（2021·广西柳州·高二期中（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（）A3B ．12C ．25D【答案】A【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的斜率为12121y y x x -=-，又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22460a b -=，即2223b a =，所以椭圆C的离心率33e a ==.故选：A38．（2021·宁夏·吴忠中学高二期中（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为C 上一点，若212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．16B．6C ．13D【答案】D 【解析】P 点椭圆C 上的点，12+2PF PF a∴=212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒2124,33PF a PF a ∴==在12PF F △中，2221221F F PF PF +=即22224(2)()()33c a a +=，整理得：2213c a=即213,33e e =∴=故选：D39．（2021·四川·阆中中学高二期中（文））已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．33(]，B ．32[]，C ．3[312，D ．2[1)2【答案】B【解析】设点(,)P x y ，22212(,)(,)=PF PF c x y c x y x c y ⋅=---⋅---+22222222222b c x c b x x c b a a=-+-=-+，因为220x a ≤≤，所以22212b c PF PF b -≤⋅≤，即2222b c c b -≤≤，结合222=b a c -可得221132c a ≤≤，所以3232e ∈⎣⎦.故选：B.40．（2021·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，P 是椭圆C 上的点，()()12,0,,0F c F c -是椭圆C 的左右焦点，若12PF PF ac ⋅≤恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．1,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．(1⎤⎦C ．12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．)1,1【答案】A【解析】设()()()222002001001200,,,,,,P x y PF c x y PF c x y PF PF x c y ac ∴=--=---∴⋅=-+≤，P 在椭圆上，[]2222222000002221,,,x y a b b x x a a y a b a -∴+=∈-∴=，222222222002a b b x x c y x c ac a -∴-+=-+≤，两边都乘以2a 化简后得：22224302c x a c a a c -+≤，3422220220,a a x a x a c c⎡⎤∴≤+-∈⎣⎦，2342222111152,12,24a a a a c c e e e ⎛⎫∴≤+-∴≤+-⇒-≤ ⎪⎝⎭e ∴≥()0,1e ∈，1,12e ⎫∴∈⎪⎢⎪⎣⎭.故选：A.41．（2021·浙江浙江·高二期中）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ．若椭圆C 上有一点P 满足1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的最小值为（）A 22B ．3C ．13D 【答案】A【解析】由椭圆的几何性质知当点P 在短轴顶点时，12F PF ∠最大，设短轴顶点为B ，则1290F BF ∠≥︒，得sin 452c a ≥︒=，故选：A42．（2021·江苏·扬州中学高二期中）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1-C D 【答案】A【解析】连接1F P ，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-==，故可得：3131c a =-+．故选：A.考点7：椭圆的简单几何性质问题43．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）焦点在x 轴的椭圆2214x y m +=的焦距是4，则m 的值为（）A ．8B ．3C ．5或3D ．20【答案】A【解析】因为焦点在x 轴，故4m >，而焦距是442m -=即8m =，故选：A.44．（2021·辽宁·高二期中）已知椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =（）A ．2B ．1C ．14D ．4【答案】C【解析】因为椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上，故01m <<，且椭圆的标准方程为：2211y x m+=，所以221,1a b m==所以141m=⨯，故14m =，故选：C.45．（2021·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．247B ．127C．7D．7【答案】A【解析】设直线AB 方程为1y x =-，联立椭圆方程22143x y+=整理可得：27880x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1287x x +=，1287x x ⋅=-，根据弦长公式有：AB ==247．故B ，C ，D 错误.故选：A.46．（2021·安徽·高二期中）已知圆()()222x a y b r -+-=经过椭圆C ：22198x y +=的右焦点，上顶点与右顶点，则b =（）A ．8B ．118C ．1124D ．114【答案】A【解析】椭圆C ：22198x y +=，右焦点为()1,0，上顶点为(0,，右顶点为()3,0，代入圆的方程222()()x a y b r -+-=，得()()()()()()22222222210030a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得22112815332a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以该圆的方程为()221532832x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选：A47．（2021·广西玉林·高二期中（理））已知点P (k ，1)，椭圆2294x y +=1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为_____.【答案】∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【解析】因为点P (k ，1)在椭圆2294x y +=1外，所以2194k +>1，解得k <k >2，故实数k 取值范围为22∞⎛⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，-.故答案为：∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-考点8：利用第一定义求解轨迹48．（2021·辽宁沈阳·高二期中）已知圆M ：()22236x y ++=，定点()2,0N ，A 是圆M 上的一动点，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则P 点的轨迹C 的方程是（）A ．22143x y +=B ．22195x y +=C ．22134x y +=D ．22159x y +=【答案】B【解析】由题可得圆心()2,0M ，半径为6，P 是垂直平分线上的点，PA PN ∴=，6PM PN PM PA ∴+=+=，∴P 点的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且26,2a c ==，a 3∴=，2225b a c ∴=-=，故P 点的轨迹方程为22195x y +=.故选：B.49．（2021·吉林油田高级中学高二期中（文））已知ABC 的周长是20，且顶点B 的坐标为(0,4)-，C 的坐标为(0,4)，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)2036x y x -=≠B ．221(0)3620x y x +=≠C ．221(0)2036x y x +=≠D ．221(0)3620x y x -=≠【答案】C【解析】由题意可知20812AC AB BC +=-=>，则点A 的轨迹是焦点在y 轴且中心为原点的椭圆，且点A 不在y 轴上2226,4,6420a c b ===-=，即221(0)2036x y x +=≠故选：C50．（2021·云南省昆明市第十二中学高二期中）一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（）A ．2212516y x +=B ．2212516x y +=C ．221169y x +=D ．221169x y +=【答案】A【解析】设动圆半径为r ，圆心为M ，根据题意可知，2(0,3C ）和1(0,3C -），1||1+MC r =，2||9MC r =-，12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>，故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆，且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -），其中210,5a a ==,122||6,3c C C c ===，所以222=25916b a c -=-=，故椭圆轨迹方程为:2251162x y +=，故选：A.51．（2021·广东·深圳外国语学校高二期中（理））△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22+1259x y ＝B ．22+1259y x ＝（y ≠0）C ．()22+10169x y y ≠D ．()22+10259x y y ≠【答案】D【解析】因为++18AB AC BC =，所以+10>AC BC AB =，所以顶点C 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，去掉A ，B ，C 共线的情况，即2210,4,9a c b ==∴=，所以顶点C 的轨迹方程是()22+10259x y y ≠，故选：D.52．（2021·安徽·肥东县综合高中高二期中（理））已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D53．（2021·宁夏·贺兰县景博中学高二期中（理））已知动点P 与平面上两定点()A ，)B连线的斜率的积为定值－12．则动点P 的轨迹方程为________【答案】(2212x y x +=≠【解析】设动点(),P x y ，则PA k =PB k =12=-，整理得：2212x y +=，又因为动点P 不能与定点()A ，)B重合，故x ≠综上：动点P 的轨迹方程为(2212x y x +=≠故答案为：(2212x y x +=≠54．（2021·福建福州·高二期中）已知动圆P 过定点(3,0)A -，且在定圆22:(3)64B x y -+=的内部与其相内切，则动圆P 的圆心的轨迹方程为____________________.【答案】221167x y +=【解析】设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动点P 到定点(3,0)A -和定圆圆心(3,0)B 距离之和恰好等于定圆半径，即||||||||||86PA PB PM PB BM +=+==>，∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4的椭圆，b =∴点P 的轨迹方程为221167x y +=，故答案：221167x y +=．55．（2021·黑龙江·哈师大附中高二期中）ABC 中，()12,0B -，()12,0C ，AC ，AB 边上的两条中线之和为39，则ABC 的重心的轨迹方程为___________.【答案】()221016925x y y +=≠【解析】根据题意，设ABC 的重心为G ，因为AC ，AB 边上的两条中线之和为39，所以23926243GB GC +=⨯=>，根据椭圆定义可知，点G 轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且13a =，12c =，因此ABC 的重心的轨迹方程为()221016925x y y +=≠.故答案为：()221016925x y y +=≠.56．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知圆1C ：()2211x y ++=和圆2C ：()22125x y -+=，动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为________．【答案】22198x y +=【解析】由圆1C ：()2211x y ++=可得圆心()11,0C -，半径11r =，由圆2C ：()22125x y -+=可得圆心()21,0C ，半径25r =，设圆M 的半径为r ，因为动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切，所以11MC r =+，25MC r =-，所以12121562MC MC r r C C +=++-=>=，所以点M 的轨迹是以()11,0C -，()21,0C 为焦点，26a =的椭圆，所以3a =，1c =，b ==，所以动圆的圆心M 的轨迹方程为：22198x y +=，故答案为：22198x y +=.57．（2021·四川·雅安中学高二期中）平面上一动点(),P x y满足4=，则P 的轨迹方程为__________．【答案】22143x y +=【解析】动点(,)P x y4=，∴动点(,)P x y 到(1,0)A -和(1,0)B 的距离之和等于4||2AB >=，∴动点P 的轨迹是以点,A B 为焦点的椭圆，设其方程为22221(0)x ya b a b+=>>，由题得21,24,2,413c a a b ==∴==-=.∴动点P 的轨迹方程是22143x y +=.故答案为：22143x y +=．58．（2021·天津河西·高二期中）动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l ：254x =的距离的比是常数45，则动点M 的轨迹方程是___________.【答案】221259x y +=【解析】因为动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l ：254x =的距离的比是常数45，45=，即()22225254164x y x ⎛⎫⎡⎤-+=- ⎪⎣⎦⎝⎭，整理可得：22925225x y +=，即221259x y +=，故答案为：221259x y +=.。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳一、椭圆的定义1. 椭圆的数学定义- 椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
- 椭圆的标准方程。
2. 椭圆的基本要素- 焦点（F1, F2）- 长轴（2a）- 短轴（2b）- 焦距（2c）- 离心率（e）二、椭圆的性质1. 焦点性质- 焦点位于主轴上。
- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数，等于长轴的长度。
2. 离心率- 离心率是衡量椭圆形状的一个参数。
- 离心率的计算公式：e = c/a。
3. 椭圆的对称性- 椭圆关于长轴和短轴具有对称性。
三、椭圆的几何关系1. 长轴和短轴的关系- b^2 = a^2 - c^2。
2. 焦点与椭圆的关系- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。
四、椭圆的方程1. 标准方程- 椭圆的标准方程形式为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
2. 椭圆的参数方程- 参数方程的形式：x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中t为参数。
五、椭圆的应用1. 天文学- 行星轨道的描述。
2. 工程学- 轮轴和凸轮设计。
3. 物理学- 电场和磁场中的某些路径。
六、椭圆的图形绘制1. 绘制方法- 使用绘图工具（如圆规）绘制椭圆。
2. 椭圆的变换- 平移和旋转椭圆。
七、椭圆与圆的关系1. 特殊情形- 当离心率为0时，椭圆变为圆。
- 当两个焦点重合时，椭圆退化为抛物线。
八、练习题1. 椭圆方程的求解。
2. 焦点性质的应用。
3. 椭圆的几何关系计算。
以上是关于高中椭圆知识点的归纳文档的大纲和示例内容。
在实际编写文档时，每个部分都应包含详细的解释、公式推导、图示和实例。
此外，文档应使用专业的排版和格式，确保清晰易读，并且方便编辑和打印。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结一、椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的焦点到中心的距离是c，满足c^2 = a^2 - b^2。
二、椭圆的性质1. 椭圆对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。
2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 长短轴性质：椭圆的长轴和短轴互相垂直，长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。
4. 离心率：椭圆的离心率e定义为c/a，表示椭圆拉伸的程度，离心率介于0到1之间。
5. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t为参数。
6. 弦长：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，因此椭圆上任意一条弦的长度小于或等于2a。
7. 焦准线性质：椭圆上任意一点到两个准线的距离之差等于常数2a。
三、椭圆与圆的关系1. 圆是椭圆的特殊情况：当椭圆的长轴和短轴相等时，椭圆就变成了圆。
2. 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率等于0时，椭圆就是一个圆。
因此，椭圆和圆可以看作是同一种几何图形的不同特例。
四、椭圆的应用1. 天体运动：椭圆轨道是描述天体运动的重要数学工具，如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动等。
2. 光学：椭圆镜片和椭圆抛物面反射器是光学领域常用的元件，用于聚焦和成像。
3. 工程设计：椭圆的性质在设计椭圆形建筑、椭圆形机械零件、椭圆形轨迹等方面有重要应用。
4. 地理测量：椭圆在地图投影和地理测量中有广泛应用，如椭球面测量、椭圆地图投影等。
五、椭圆的求解1. 椭圆的参数方程可以通过消除参数t来得到椭圆的标准方程。
2. 根据椭圆的焦点性质和准线性质，可以求解椭圆的焦点和准线方程。
3. 椭圆的面积可以通过积分求解，面积公式为S = πab。
4. 椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程求解，周长公式为L = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分。
六、椭圆的变换1. 平移变换：椭圆的平移变换可以用矩阵形式表示，通过平移变换可以将椭圆移动到任意位置。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
椭圆知识点与性质大全
椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。
此定义为椭圆的第一定义。
2、椭圆的简单性质3、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =.4、通径过椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且22b AB a =。
P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆.7、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内。
椭圆知识点详细总结
椭圆知识点详细总结椭圆是平面上的一个特殊几何图形，其形状和性质具有独特的特点。
在学习椭圆的知识时，我们需要了解它的定义、性质、方程和应用等方面的内容。
一、椭圆的定义和性质：1.定义：在平面上给定一对焦点F1和F2以及一个距离2a（长轴）,该点到两个焦点F1和F2的距离之和是常数2a（2a>0）。
以两个焦点F1、F2和连接它们的直线段为轴的点的轨迹，构成了一个椭圆。
2.性质：a)长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离2a，短轴是通过中点M的两条焦半径之间的距离2b。
b)焦点关系：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
c)中点关系：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之差等于长轴的长度。
d)准线：椭圆上的点到两条焦半径的距离之和等于准线的长度。
e) 离心率：椭圆的离心率ε的定义为eccentricity=e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
f)焦半径和法线：椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于该点到准线的距离，即焦半径等于法线。
二、椭圆的方程和参数方程：1.方程：a)标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a是长轴的长度，b是短轴的长度。
b) 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中θ为参数。
2.其他形式的方程：椭圆还可以通过平移、旋转和缩放等变换得到其他形式的方程。
比如椭圆的中心在坐标原点的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1三、椭圆的性质：1.对称性：椭圆具有相对于两个轴的对称性，即关于x轴和y轴对称。
2.离心角和弧长：任意两个焦点之间的线段所对应的圆心角等于椭圆上的弧的长度。
3.焦点面积和弧长：椭圆上两个焦点和一点的连线所围成的三角形面积等于以该点为焦点的椭圆弧长的一半。
4.弦：椭圆上的弦的长度是准线的长度小于2a。
5.游程：椭圆上两个焦点之间的距离等于椭圆上两个点之间的最短路径长度。
6.光学性质：椭圆是一个反射光线的特殊曲面，具有反射原则和等角反射原理。
椭圆知识点归纳总结
椭圆知识点归纳总结椭圆的定义可以用数学表达式表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中a和b分别表示椭圆的主轴长度和次轴长度，椭圆的标准方程为椭圆定点到F1、F2的距离之和等于常数2a的定点轨迹的数学描述。
椭圆是一种非常基本的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
本文将对椭圆的性质、参数方程、焦点、直径、离心率、焦距、渐近线、面积等方面进行归纳总结。
第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的对称性1.4 椭圆的离心率和焦点第二部分：椭圆的参数方程和一般方程2.1 参数方程和一般方程的含义2.2 椭圆的参数方程2.3 椭圆的一般方程第三部分：椭圆的焦点、直径和离心率3.1 椭圆的焦点特点3.2 椭圆的直径特点3.3 椭圆的离心率特点第四部分：椭圆的焦距和渐近线4.1 椭圆的焦距含义4.2 椭圆的渐近线含义4.3 椭圆的焦距和渐近线的性质第五部分：椭圆的面积和周长5.1 椭圆的面积公式5.2 椭圆的周长公式5.3 椭圆的面积和周长的计算方法第六部分：椭圆的相关定理和实例分析6.1 椭圆的凸性定理和实例分析6.2 椭圆的垂直切线定理和实例分析6.3 椭圆的切线与法线定理和实例分析结论部分：椭圆的应用和拓展7.1 椭圆在日常生活中的应用7.2 椭圆的拓展和推广第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的主轴长度。
椭圆的主轴长度决定了椭圆的大小和形状。
椭圆的参数包括主轴长度a、次轴长度b、焦距2c、离心率e等。
其中焦距2c和主轴长度a之间有关系：c^2 = a^2 - b^2。
离心率e的计算公式为：e = c/a。
主轴长度a和次轴长度b决定了椭圆的形状，焦距2c和离心率e描述了椭圆与焦点之间的距离关系。
1.2 椭圆的性质椭圆具有许多特殊的性质，如平行轴定理、离心角定理、矩形椭圆定理等。
椭圆的经典知识总结
椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。
一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。
2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。
(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。
长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。
(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。
(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。
(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。
3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。
(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。
(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。
4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。
二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。
(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。
2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。
(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。
3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。
(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。
4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。
5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。
(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
《椭圆的简单几何性质》知识点总结椭圆的简单几何性质中的考查点:
（一）、对性质的考查：
1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。
2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。
4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
（二）、课本例题的变形考查：
1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦1
————来源网络整理，仅供供参考
点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；
2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：
5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
————来源网络整理，仅供供参考 2。
(完整版)椭圆基本知识点总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 223.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。
4.焦点三角形的面积2tan221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为2222by a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，2222b y a x +>1, 点在椭圆外。
椭圆几何性质总结
高二数学椭圆几何性质总结一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3．参数方程 ：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )(为参数θ4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④ 准线方程：c a x 2±=；或ca y 2±=⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
椭圆知识点归纳汇总和经典例题
椭圆知识点归纳汇总和经典例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2．7.椭圆的几何性质：a A 1yO F 1F 2x B 2B 1A 2c b yO F 1F 2xMc cxF 2F 1O y Mc cy xPO P 'M椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b+=>>的有关性质。
椭圆几何性质知识点总结
椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
即PF1+PF2=2a。
其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。
椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。
椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。
2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。
椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。
离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。
一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。
其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。
4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。
5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。
c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。
d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。
6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。
7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。
标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。
8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。
因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。
(完整版)椭圆的性质及判定归纳
(完整版)椭圆的性质及判定归纳1. 背景介绍椭圆是几何学中的一种重要的二次曲线，具有独特的性质和形式。
在实际应用中，我们经常需要理解和判定一个曲线是否为椭圆，因此有必要深入了解椭圆的性质及其判定方法。
2. 椭圆的定义在平面解析几何中，椭圆是指到两个给定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
这两个点称为椭圆的焦点，定值称为椭圆的长轴。
3. 椭圆的性质椭圆具有以下几个基本的性质：3.1 长轴和短轴椭圆的长轴是通过焦点且垂直于短轴的线段，是椭圆的最长直径。
而短轴是通过焦点且垂直于长轴的线段，是椭圆的最短直径。
3.2 焦点和准线椭圆的焦点是确定椭圆的两个点，修改这两个点的位置可以改变椭圆的形状和大小。
准线是垂直于长轴且通过焦点的直线。
3.3 离心率椭圆的离心率定义为焦点到准线的距离与长轴的比值。
离心率的值在0到1之间，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形。
3.4 对称性椭圆具有两种对称性：关于长轴的对称性和关于短轴的对称性。
通过这两种对称性，我们可以更好地理解和分析椭圆的性质。
4. 椭圆的判定方法在解决实际问题中，我们常常需要判断一个曲线是否为椭圆。
以下是几种常用的判定方法：4.1 椭圆方程椭圆方程是判定一个曲线是否为椭圆的主要方法之一。
一般而言，椭圆的方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中h、k为椭圆的中心坐标，a、b分别为长轴和短轴的长度。
通过将曲线的方程与椭圆方程进行对比，我们可以确定该曲线是否为椭圆。
4.2 轴积性质椭圆具有轴积性质，即椭圆的长轴与短轴的乘积等于焦点到准线的距离与长轴的乘积。
通过计算曲线的焦点到准线的距离与长轴的乘积，我们可以判断该曲线是否满足轴积性质，从而确定是否为椭圆。
4.3 椭圆的图形特征椭圆的图形特征也可以用来判定是否为椭圆。
椭圆具有规则的椭圆形状，不会存在异常的伸缩或扭曲情况。
通过观察图形特征，我们可以直观地判断一个曲线是否为椭圆。
椭圆知识点总结加例题
椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。
1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。
（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。
（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。
（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。
（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。
1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。
通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。
1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。
椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。
二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。
2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。
椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。
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Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A.（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。
同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。
椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。
总结如下：几点说明：（1）长轴：线段12A A，长为2a；短轴：线段12B B，长为2b；焦点在长轴上。
（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0<e<1，离心率反映了椭圆的扁平程度。
由于22221c a b bea a-===-，所以e越趋近于1，b越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。
（3）观察下图，22||,||OB b OF c==，所以22||B F a=，所以椭圆的离心率e = cos ∠OF2B2（三）直线与椭圆：直线l：0Ax By C++=（A、B不同时为0）椭圆C：2222x y1(a b0)a b+=>>那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。
方法如下：22221Ax By Cx ya b++=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下20(0)mx nx p m ++=>， 24n mp ∆=-（1）当0∆>时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当0∆=时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0∆<时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。
注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么线段AB 的长度（即弦长）为||AB =k ，可得：||AB ==12|x x -，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。
典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ，∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ， 即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=， ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ． 整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin34222+--=θθb b b3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b 成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，． 典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫ ⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m，此时0=m；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m，∴15=m．∴xyx222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12已知椭圆()012222>>=+babyaxC：，A、B是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP'，求证：不论a、b如何变化，120≠∠APB．（2）如果椭圆上存在一个点Q，使120=∠AQB，求C的离心率e的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB∠和AQB∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：ax≤，by≤，根据120=∠AQB得到32222-=-+ayxay，将22222ybaax-=代入，消去x，用a、b、c表示y，以便利用by≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，cF，()0，aA-，()0，aB．⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=abcPbayaxbcx2222222，于是()acabkAP+=2，()acabkBP-=2．∵APB∠是AP到BP的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠ ∵120=∠AQB ， ∴32222-=-+a y x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ． 典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(． 典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x)0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ． (1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134e a c x -=代入12222=+by a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin c n m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ． (2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos ba b -=θ， ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－23，25）；（3）焦点在坐标轴上，且经过点A （3，－2）和B （－23，1）分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a 、b 即可。