高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识
§1.1任意角和弧度制
⎪⎩
⎪
⎨⎧零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转
任意角..1
2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{}
Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈⨯=,90| ββ
⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+⨯=,45180|
ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-⨯=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα
360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα
180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=，
90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角所对
的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r
l
=
α,其中r 是圆的半径。

5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π
180）°≈57.30° 1°＝180
π
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+<
<Z k k k ,222|ππ
απα 锐角：⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧
<
<20|παα ； 小于o
90的角：⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<2|παα（包括负角和零角） 7. 弧长公式：||l R α= 扇形面积公式：2
11||2
2
S lR R α==
§1.2任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上
的任意一点（异于原点）
，它与原点的距离是0r =
>，那么
sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y
x x
α=≠
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P
2.. 三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：3.三角函数在各象限的符号：
＋ ＋ － ＋ － － － ＋ sin α cos α tan α
4. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2
2221
sin
cos 1,1tan cos αααα
+=+=
（2）商数关系：sin tan cos α
αα
=
（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。

注意“1”的代换
§1.3三角函数的诱导公式
1.诱导公式（把角写成απ
±2
k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）
Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+α
απααπsin )2cos(cos )2sin( §1.4三角函数的图像与性质
1.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()+=f x T f x 都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

（并非所有函数都有最小正周期） ①x y sin =与x y cos =的周期是π.
②
)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ω
π
2=T .
③ω
πϕω=
+=T x A y 的周期为)tan( 2
tan
x y =的周期为2π（πωπ
2=⇒=T T ，如图）
（1）几个物理量：A ―振幅；1
f T
=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+—相位；ϕ―初相；
（2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 期确定；
ϕ由图象上的特殊点
确()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2
π
ϕ<()f x ＝_____（答：15()2sin()23
f x x π
=+）
； （3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：
①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，
3,,
,22
2
π
π
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；
③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数
sin()y A x ωϕ=+的图象；
④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移
|
|ϕ
ω
个单位 例：以sin y x =变换到4sin(3)3
y x π=+为例
sin y x =向左平移3π
个单位 （左加右减） sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
横坐标变为原来的
13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
sin y x =横坐标变为原来的1
3
倍（纵坐标不变）()sin 3y x =
向左平移
9π个单位 （左加右减） sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
注意：在变换中改变的始终是x 。

（5）函数性质（潜在换元思想）：求对称中心、对称轴、单调区间的方法（特别注意先0>ω）
9.正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”。