长安大学609数学分析2012年考研专业课真题试卷
2012年考研数学二真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐近线的条数为（）221x xy x +=-（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】：C【解析】：，所以为垂直的221lim 1x x xx →+=∞-1x =，所以为水平的，没有斜渐近线 故两条选22lim 11x x x x →∞+=-1y =C （2）设函数，其中为正整数，则2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =--- n '(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn --（C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn -【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+--- 所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)（4）设sin x d x (k=1,2,3),则有D2kx keI e =⎰（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3.【答案】：(D)【解析】：：看为以为自变量的函数，则可知2sin kx keI e xdx =⎰k ，即可知关于在上为单调()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈2sin kx k eI e xdx =⎰k ()0,π增函数，又由于，则，故选D()1,2,30,π∈123I I I <<（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有 >0,<0,f (x 1,y 1)<f(,)f x y x ∂∂(,)f x y y∂∂(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2.(B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D)【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于(,)0f x y x ∂>∂(,)0f x y y∂<∂(,)f x y x 变量是单调递减的。
2012年考研《数学》真题
2012年考研《数学》真题2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 （4）设2sin k x k I e xdx π=⎰ (k=1,2,3),则有D（A ）123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I <<（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=（） 1124()()()()5355A B C D（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）11()1()()()122A B C D --二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及xe xf x f 2)()('=+，则)(x f =________。
2012年考研数学试题详解及评分参考
P{X < Y} =
(A)
1 5
(B)
1 3
(C)
2 3
(D)
4 5
【答】 应选 (A) .
【解】 由题设，知 X 与Y 的概率密度分别为
f
X
(
x)
=
ìe- x
í î
0,
,
x > 0, x£0
fY
(
y)
=
ì4e-4
í î
0,
y
,
又 X 与Y 相互独立，所以 X 与 Y 的联合密度函数为
y >0， y£0
æ1 0 0ö
(A)
ç ççè
0 0
2 0
0 1
÷ ÷÷ø
æ1 0 0ö
(B)
ç ççè
0 0
1 0
0 2
÷ ÷÷ø
æ2 0 0ö
(C)
ç ççè
0 0
1 0
0 2
÷ ÷÷ø
æ2 0 0ö
(D)
ç ççè
0 0
2 0
0 1
÷ ÷÷ø
【答】 应选 (B) .
【解法一】 显然 Q 是将 P 的第 2 列加到第 1 列得到的，所以有 Q = PE(1)+(2) ，因而
(A) a1,a2 ,a3
(B) a1,a2 ,a4
(C) a1,a3,a4
(D) a2 ,a3,a4
【答】 应选 (C) .
【解】 由 a1,a2 ,a3 = - c1 ，知 c1 ¹ 0 时，a1,a2 ,a3 线性无关，故排除(A)；
同理，由 a1,a2 ,a4 = c1 ，知 c1 ¹ 0 时，a1,a2 ,a4 线性无关，故排除(B)；
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)lim x y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k xK exdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1QAQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15(B) 13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12(C) 12-(D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)20x =⎰(11)(2,1,1)()|z grad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p A B P C p A B C ===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 证明21ln cos 1(11)12x xx x x x++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n xn ∞=+++∑的收敛域及和函数(18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012考研数学一真题及详解
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
2012年全国硕士研究生入学考试数学一试题及解析-推荐下载
（D）若
（4）设 Ik
（A） I1 I2 I3
（5）设 1
f
(x,
则线性相关的向量组为
（A）1,2 ,3
y)
在 (0, 0)
存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
存在，则
处可微，则极限 lim x0 y0
k ex2 sin xdx(k 1, 2, 3) ，则有 ______
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
（A）0
y
x2 x x2 1
渐进线的条数 ________
（B）1
（2）设函数 f (x) (ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中 n 为正整数，则 f (0) ________
（16）（本题满分 10 分）
f (x, y) xe
求
1 x
x2 y2
2
的极值
（17）（本题满分 10 分）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域及和函数
n0 2n 1
（18）（本题满分 10 分）
已知曲线
L
:
x f (t)
y
cos
t
(0 t
P 1
AP
2 0 0
0 0
1 0
2
（C）
5
0 2
（C） 1 2
P( AB)
1
2012年考研数学二真题及答案解析
数学(二)试题 第 5 页 (共 11 页)
（23）（本题满分 11 分）已知
1）求 a 的(k=1,2,3),则有（）
0
（A）I1< I2 <I3.
(B) I3< I2< I1.
(C) I2< I3 <I1,
(D) I2< I1< I3.
（5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意 x,y 都 有 f (x, y) x
f (x, y) >0, y <0,f(x1,y1)<f
（A） (1)n1(n 1)!
（B） (1)n (n 1)!
（C） (1)n1n!
（D） (1)n n!
（3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的
(A)充分必要条件.
(B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
已知函数 f (x) 1 x 1 ，记 a lim f (x)
sin x x,
x0
（1）求 a 的值
（2）若当 x 0 时， f (x) a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
（16）（本题满分 10 分）
( ) -x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值。
（17）（本题满分 10 分）
（2）记（1）中的实根为
xn
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
（22）（本题满分 11 分）
1 a 0 0
1
设
A
0
1
a
长安大学2011-2012学年第一学期研究生《数值分析原理》试题(A)卷及答案
解得： x1 x2
3 h ，——4 分 5
1 A1 A2 h3 。——4 分 3
2
五． （本题满分 12 分）给定方程组
x1 2 x2 2 x3 5 x1 x2 x3 1 2x 2x x 3 2 3 1
1） （本小题满分 6 分）用三角分解法解此方程组； 2） （本小题满分 6 分）写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始 向量 x0 (0,0,0) ，当 xk 1 xk 10 时，求其解。
长安大学 2011-2012 学年第一学期研究生 《数值分析原理》试题（A）卷
说明：1．试题共 9 道大题、共 2 页。 2．考试时间两个小时，可带计算器。 3．所有答案都写在答题纸（试卷）上，否则无效。
一． （本题满分 8 分）给定方程 x x 2 0 ， x [0,2] ，采用迭代公式
(0 , 0 ) 1/ 2 ， (0 , 1 ) 1/ 3 ， (0 , 2 ) 1/ 4 ， (1 , 1 ) 1/ 4 ， (1 , 2 ) 1/ 5 ， (2 , 2 ) 1/ 6 ， 1 1 1 (0 , f ) ln 2 ， (1 , f ) 1 ， (2 , f ) ln 2 ； 2 4 2 2
二． （本题满分 8 分）对于定积分 I
1 0
f ( x)dx ，当 M 2 1/8 及 M 4 1/ 32 ，用 11 点的
复化辛普森（Simpson）求积公式求 I 的截断误差为 RS [ f ] ，用 n 个节点的复化梯形 求 积 公 式 求 I 的 截 断 误 差 为 RT [ f ] ， 要 使 RT [ f ] RS [ f ] ， n 至 少 是 多 少 ？ （ M 2 max f ( x) ， M 4 max f 解： n1 10 ， h1
2012考研数二真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】:C【解析】:221lim 1x x xx →+=∞-,所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-,所以1y =为水平的,没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】:C【解析】:'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…),S n =a 1+a 2+…a n ,则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】:(B)（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3.【答案】:(D) 【解析】::2sin kx k eI e xdx =⎰看为以k 为自变量的函数,则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈,即可知2sin kx k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数,又由于()1,2,30,π∈,则123I I I <<,故选D（5）设函数f (x,y ) 可微,且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是 (A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】:(D) 【解析】:(,)0f x y x ∂>∂,(,)0f x y y∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的,关于变量y 是单调递减的。
2012长安大学考研真题汽车运用工程
2012年硕士研究生入学考试试题试题代码：试题名称：汽车运用工程第 1 页共 1 页一、名词解释（10*3=30，每小题 3 分，共 30 分）1装载质量系数2牵引系数3附着条件4附着率5汽车燃油经济性6主动安全性7制动效能8汽车平顺性9第一种有形磨损10汽车经济使用寿命二、分析题（15*4=60，每小题15分，共60分）1.说明什么是汽车的后备驱动力，汽车的后备驱动力怎样影响汽车的动力性和燃油经济性？2.汽车行驶过程中，以下情况对燃油消耗量的影响？原因？（1）使用不同车速（2）使用不同档位3.以下情况对汽车转向特性有何影响？为什么？（1）装载质心后移（2）前轮气压低于标准气压4.汽车制动时，若前后轴制动力之比大于前后轴垂直载荷之比，分析其制动稳定性；若汽车装载后质心后移，汽车制动稳定性变化三、综述题（12*5=60每小题15分，共60分）1.汽车以最高车速行驶时，发动机达到最高车速，这种说法对吗？为什么?2.说明“临界车速”的涵义，当车速接近或达到该车速时会发生什么现象3.说明轮胎对汽车动力性的影响4.哪些影响汽车燃油经济性的因素也影响汽车的排放性能，为什么?5.低温蓄电池的工作能力为什么下降，对发动机的冷起动影响表现在哪些方面2012复试科目：《汽车构造》一、名词解释转向盘转角，万向传动，过量空气系数，喷油泵的速度特性二、V V T EV EQ2080 CA7440三、发动机组成部分及各部分作用四、计算气门重叠角的定义及计算，进气持续角等五、转向轮定位参数，及作用六、发动机不同工况（怠速，大负荷，中等负荷下）需要何种浓度混合气七、转向系组成及各部分的装置八、制动系统的功用分类组成九、离合器踏板自由行程的定义过大过小的影响等转向系统负荷参数及其作用答案必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上不给分。
考研数学一真题答案解析
（8）将长为 1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( )
（A）1
（B） 1 2
（C） − 1 2
（D） −1
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上
（9）若函数 f (x) 满足方程 f '' (x) + f ' (x) − 2 f (x) = 0 及 f '' (x) + f (x) = 2e ，则 f (x) =
1− x
2
（16）（本题满分 10 分）
− x2 + y2
求函数 f (x, y) = xe 2 的极值 （17）（本题满分 10 分）
∑ 求幂级数 ∝ 4n2 + 4n + 3x2n 的收敛域及和函数
n=0 2n +1 （18）（本题满分 10 分）
已知曲线
x = f (t)
L
:
y
=
cos
X
Y
0
1
2
0
1
0
1
4
4
1
0
1
0
3
2
1
0
1
12
12
（Ⅰ）求 P{X = 2Y}
（Ⅱ）求 Cov( X − Y ,Y )
（23）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立分别服从正态分布 N (µ,σ 2 ) 与 N (µ, 2σ 2 ) ，其中σ 是未 知参数且σ >0。设 Z= X − Y （Ⅰ）求 Z 的概率密度 f (z,σ 2 ) （Ⅱ）设 z1, z2 ,⋅⋅⋅, zn 为来自总体 Z 的简单随机样本，求σ 2 的最大似然估计量σ 2 （Ⅲ）证明σ 2 为σ 2 的无偏估计量
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ 【 解 析 】：：
Ik =
k ex2 sin xdx
e
看为以
k
为自变量的函数，则可知
∫ Ik ' = ek2 sin k ≥ 0, k ∈(0,π ) ，即可知 Ik =
k ex2 sin xdx 关于 k 在(0,π ) 上为单调增
=
(
y3
+
C
)
1 y
又因为 y = 1时 x = 1，解得 C = 0 ，故 x = y2 .
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0) 上曲率为
2
的点的坐标是________。
2
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又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
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(C) x1< x2, y1< y2.
(D) x1< x2, y1> y2.
【答案】：(D)
【解析】： ∂f (x, y) > 0 ， ∂f (x, y) < 0 表示函数 f (x, y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
2012考研真题及答案
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
2012考研数学三真题
-2-
奋斗不止
全国硕士研究生入学统一考试
机样本，则统计量 X1 X 2 的分布（
）
|X3 +X 4 -2|
（A） N（0，1） （B）t(1) （C） 2 (1)
（D） F(1,1)
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题
纸指定位置上.
1
（9） lim(tan x)cos xsin x x 4
x
(9) 设 f (x) lim x(1 3t) t ，则 f ' (x) ______. t 0
(10)
设函数 z (1
x y
)
x y
，则
dz
|(1,1)
______.
(11) 曲线 tan(x y ) ey 在点 (0, 0) 处的切线方程为______. 4
1 x
2
（ 19 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 已 知 函 数 f (x) 满 足 方 程
f ( x) f ( x) 2 f (x及) f (0x) f (x) 2ex
1）求表达式 f (x)
2）求曲线的拐点 y f (x2 ) x f (t2 )dt 0
生命不息
（10）设函数
f
(x)
ln
x, x 1, y
2x 1, x 1
f
(f
(x)),求 dy dx
x0
___________.
（ 11 ） 函 数 z f( ,x 满)y 足 lim f (x, y) 2x y 2 0, 则
x0 y1
x2 ( y 1)2
2
3