传热学-3 非稳态导热
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传热学-第三章 非稳态热传导
(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
第三章 非稳态导热传热学
基本思想： 基本思想：当所研究的问题非常复杂， 当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多， 涉及到的参数很多， 为了减少问题所涉及的参数， 为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合 起来， 起来，使之能表征一类物理现象， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征， 或物理过程的主要特征， 并且没有量纲。 并且没有量纲。因此， 因此，这样的无量纲数又被称为特征数， 这样的无量纲数又被称为特征数，或 者准则数。 者准则数。
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
度，最终达到热平衡。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
3-非稳态热传导3
f (x) (x b)dx f (b)
格林函数法在非稳态导热中的应用
空间变量的三维δ函数 (r r)在直角坐标系 中等同于三个坐标变量的δ函数的乘积，即 (x x) ( y y) (z z)
时刻作用在空间某一点 r 强度在数量上等于ρc[J]的 瞬时点热源可写作
qv c (r r) ( ) =c (x x) ( y y) (z z) ( )
大平壁中的非稳态导热
内热源： 在τ时刻内热源引起的温度分布tl 应为在此前所有的瞬 时点热源, cg(x, ) (x x) ( )dxd 的作用的叠加
L
t1(x, )
d g(x, )G(x, ; x, )dx
0
0
1 L
d
L g(x, )dx 2
cos m x
0
0
L m1
无限大物体中的非稳态导热
再考察一个的例子。用熔融的钢水注入两根长钢轨之 间预留的空隙使之焊接为一体。假设不考虑由于相变 引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面 的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。 取空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化 为
t t0, x b, 0 t 0, x b, 0
t3 ( x,
)
1 c
f ( )G(x, ; x 0, )d
0
1
cL
0
f ( )d 2
m x cos •
cL m1
L0
f
(
)
exp
m2
2a( L2
)
d
大平壁中的非稳态导热
总的热源=内热源+初始温度分布+边界热流：
L
L
t1(x, ) t1 t2 t3
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
传热学第三章-非稳态导热-3
等温层：当深度足够大时，温度波振幅的衰减可以忽略 不计，这种深度下的地温可以认为常年不变，称为等温 层。
2）温度波的延迟，用 表示延迟时间
相位角 角速度
x
aT
2
1x 2
T
a
T
3）周期性变化的热流波
热流能量：
qw,z
x
w,
代入式（13），并令 x=0，得
x
w,
Aw
cos 2 sin 2
热流影响的范围
12a 3.46 a
工程实际中，若物体本身的厚度 L ( ) ，则可认为
该物体为半无限大物体。
从式5 当x 0时 因ierfc0 1
则有 0, 2qw a 1 2qw a
即
qw
t
x0 a
t0
tw t0
1.13 a
（6）
2）初始温度为t，而壁面温度保持tw （常壁 温）条件下的非稳态导热情况
h 2 a 2
erf c
2
x
a
h
a
（12）
例2：地下埋管问题
泥土初始温度为20℃，60天内常表面温度为15℃，
为避免结冰， 求最小埋没深度。设土壤物性300K ，
2050 Kg m3 , 0.52W m K ,
c 1.84 KJ Kg K , a 0.138106 m2 s
分析: 该情况相当于初始温度为t0， 而壁面温度保持在tw的 半无限大物体的非稳态导热情况， 在表面温度改变60天后
r, x,t r, z
r, z
0
0 无限长柱
0 平壁
（2）
即，它的二维解可表示为厚度为 2 的平壁和半径为 r 的无限长圆柱体的一维解的乘积。于是，利用海斯
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
传热学第三章-非稳态导热-(1)
随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等,这一温度变 化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。
11
ln(/0)
Fo > 0.2时，任一点过余温度与
中心过余温度m之比为
正规状况阶段
x/=0
(x, ) m ( )
cos(1
)
x
（e）
x/=1
Fo
0.2
即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数) 有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布 如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入 正规状态或充分发展阶段。
将无穷个解叠加，得：
(x, ) ean2 [ An cos(n x)] n1
An可利用初始条件 0, 求t0-t取 0
An
0
n
2sin( n ) sin( )n cos(n )
7
于是，得到解的最后形式为：
(x,
)
0
n 1
n
2sin( n ) sin( n ) cos(n
)
cos(n x) exp(an2
1 0
这里:
1 V
V (t t )dV
是 时刻物体的平均过余温度。 9
3-3-2 非稳态导热的正规状况阶段
当Fo > 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故 当Fo > 0.2时,由:
(x, 0
)
n 1
n
2sin(n ) sin n cos n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
围环境温度，所以 D 必须为负值，否则物体温度将无
穷增大。
令
D 2
则有
1 aT
dd以T 及 2
11
ln(/0)
Fo > 0.2时，任一点过余温度与
中心过余温度m之比为
正规状况阶段
x/=0
(x, ) m ( )
cos(1
)
x
（e）
x/=1
Fo
0.2
即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数) 有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布 如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入 正规状态或充分发展阶段。
将无穷个解叠加，得：
(x, ) ean2 [ An cos(n x)] n1
An可利用初始条件 0, 求t0-t取 0
An
0
n
2sin( n ) sin( )n cos(n )
7
于是，得到解的最后形式为：
(x,
)
0
n 1
n
2sin( n ) sin( n ) cos(n
)
cos(n x) exp(an2
1 0
这里:
1 V
V (t t )dV
是 时刻物体的平均过余温度。 9
3-3-2 非稳态导热的正规状况阶段
当Fo > 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故 当Fo > 0.2时,由:
(x, 0
)
n 1
n
2sin(n ) sin n cos n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
围环境温度，所以 D 必须为负值，否则物体温度将无
穷增大。
令
D 2
则有
1 aT
dd以T 及 2
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
传热学3-33.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
无穷级数第一项后各项随Fo数的增大而迅速减小。
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
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e Vc eBiV FoV
0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。
引入过余温度 ( x, ) t( x, ) t
上式化为：
2 a x2
（0 x l, 0）
0， 0
x 0， 0
x
x l， h
x
温度分布（分离变量法求解）
(x,
0
)
2
n1
exp
n2
a
l2
sin n
cos
n
x l
n sin n cos n
当
Fo
a
l2
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数Bi
非稳态导热温度场取决于两个方面：一是介质与物 体表面传热速率的快与慢，由物体表面对流换热热 阻1/h决定。二是物体本身导热速率的快与慢，由其 内部导热热阻 le/λs 决定。
Bi
le 1
s
h
=
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
hle
s
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数说明物体内部导热热阻与表面复合换热热 阻的相对大小，其大小将影响温度场的特点，其中le 为引用尺寸（定型尺寸）。
无限大平壁： le=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： le=d/2=R 球： le=d/2=R Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件 下内部温度场的分布规律。
当 Bi 时， le 1 ，因此，可以忽略对流换热热阻
正立方体
a/6
a/2
1/3
3-2 集 总 参 数 法
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到 l2 面积上所需的时间
无量纲 时间
Fo表示物体内部温度场随时间变化的特征。
Fo 越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部， 因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
3-2 集 总 参 数 法
hA
非稳态导热过程的特点
以无限大平壁、第一类边界条件的瞬态非稳态导热 为例（初始温度 t0，一侧温度瞬间升高至 t1），如 图所示。
t1
H
t0
A
G
F
E B CD
无限大平壁两侧对称加热，非稳态导热过程温度变化曲线
物体表面层最先受热，然后由表及里地逐渐传播到物 体内部。理论上经过无限长时间后，物体内各处温度趋于 一致，此时达到新的热平衡状态。
2. 求时间：如已知t、x 和Bi，可先由图3-7查 / m后，利用式(3-14)求得m/ 0，再由m/ 0 和Bi利用图3-6 查出相应的Fo数，最后求得加 热或冷却到该温度所需的时间 。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三 类边界条件下的非稳态导热和诺模图
注 意： 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三 类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程， 并且Fo>0.2。
0, t t0 Φ
3-2 集 总 参 数 法
解：(1) 导热微分方程
导热体
流体 h
dt &
d c
体积V
t
表面积A
物性ρ、c、λ
&可视为广义热源。与分析
肋片的导热问题相类似，这
温度 t f ( )
0, t t0 Φ
里发生热交换的边界不是计
算边界（零维无任何边界），因此界面上的热交换热
t f x, y, z, , t 0
周期性非稳态导热：物体的温度随时间作周 分 期性的变化（例如：墙体温度的昼夜变化） 类
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值（例如：热铁块投入凉水中）
周期性非稳态导热的特点
（1）物体内各处的温度按一定的振幅随时间周期性波动。 （2）同一时刻物体内各处的温度分布也按一定的振幅周期 性波动。
3-1 概 述
热流规律（三个阶段）： 1）不规则情况阶段： Φ1 急剧减小，Φ2 保持不变。 2）正常情况阶段： Φ1 逐渐减小，Φ2 逐渐增大。 3）建立新的稳态阶段： Φ1 与Φ2 保持不变并相等。
3-1 概 述
学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f (x, y, z, ) ; f( )
例：夏季室外空气温度 tf 以24小时为周期进行周而复始的变化，
室外墙面温度tf 也以24小时为周期进行变化，但要滞后一个相
位。
t
tf 室外空气温度
tf 室外墙面温度
滞后相位差
3-1 概 述
本章着重讨论瞬态非稳态导热 工程中的许多过程都是瞬态非稳态导热：
冶金热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变 工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空 气温度。 原因：边界条件，内热源发生了变化
无限大平壁： M=1
令 lc M 无限长圆柱体和正方形长柱体： M=1/2
le
球和正立方体： M=1/3
特征尺寸和引用尺寸
Bi 0.1 BiV 0.1M
无限大平壁
特征尺寸 lc=V/A
/2
引用尺寸le /2
M=lc/le 1
长圆柱体
R/2
R
1/2
长正方柱体
a/4
a/2
1/2
球体
R/3
R
1/3
0.2
时
正常情况阶段
(x, ) 0
2
exp
12
a
l2
sin
1
cos
1
x l
1 sin 1 cos 1
Bi1 tan 1
1为上面方程的根
f1
Fo,
Bi,
x l
中心面过余温度（m）
x 0, m t(0, ) t
m
0
exp
12 Fo
1
sin 1 sin 1 cos 1
f2 Fo, Bi
对于测温元件，如热电偶和电阻温度计， r小，表明正确测出流体温度所需的时间短。
3-2 集 总 参 数 法
瞬态热流量：( ) hA(t( ) t ) hA
hA
hA0e cV W
导热体在时间 0 ~ 内传给流体的总热量：
Q
Φ( )d
0
hA
Vc0 (1 e cV )
hA
=Q0 (1 e cV ) J
hA
e cV
0 t0 t
过余温 度比
其中的指数： hA
cV
hV
A
A2 cV 2
h(V
A)
a
(V A)2
令 lc V A
BiV FoV
3-2 集 总 参 数 法
BiV
hlc
,
FoV
a
lc2
(傅立叶数)
脚标“V”表示以 lc=V/A 为特征尺寸。
无限大平壁： lc=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： lc=R/2 球： lc=R/3
Q0 cV (t0 t ) 初始过余热焓
Q0物体由初始温度t0变为环境温度t时所吸收或放出的热量。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三类 边界条件下的非稳态导热和诺模图
一 无限大平壁的分析解和诺模图
λ=const
a=const
h, t
h=const
-l
因两边对称，只研究半块平壁
h, t
ol x
时导热体已达到热平衡
状态
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
3-2 集 总 参 数 法
时间常数r物理意义： r表明内部热阻可以忽略的物体突然被加热
或冷却时，它以初始温度t0变化到周围流体温度 t所需的时间。
r既反映物体热容量的大小，又反映表面传 热情况。r小，表明物体表面传热好，因而升温 （或降温）快。
量应折算成整个物体的体积热源。
3-2 集 总 参 数 法
&
V
dt
&
hA(t V
t)
0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。
引入过余温度 ( x, ) t( x, ) t
上式化为：
2 a x2
（0 x l, 0）
0， 0
x 0， 0
x
x l， h
x
温度分布（分离变量法求解）
(x,
0
)
2
n1
exp
n2
a
l2
sin n
cos
n
x l
n sin n cos n
当
Fo
a
l2
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数Bi
非稳态导热温度场取决于两个方面：一是介质与物 体表面传热速率的快与慢，由物体表面对流换热热 阻1/h决定。二是物体本身导热速率的快与慢，由其 内部导热热阻 le/λs 决定。
Bi
le 1
s
h
=
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
hle
s
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数说明物体内部导热热阻与表面复合换热热 阻的相对大小，其大小将影响温度场的特点，其中le 为引用尺寸（定型尺寸）。
无限大平壁： le=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： le=d/2=R 球： le=d/2=R Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件 下内部温度场的分布规律。
当 Bi 时， le 1 ，因此，可以忽略对流换热热阻
正立方体
a/6
a/2
1/3
3-2 集 总 参 数 法
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到 l2 面积上所需的时间
无量纲 时间
Fo表示物体内部温度场随时间变化的特征。
Fo 越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部， 因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
3-2 集 总 参 数 法
hA
非稳态导热过程的特点
以无限大平壁、第一类边界条件的瞬态非稳态导热 为例（初始温度 t0，一侧温度瞬间升高至 t1），如 图所示。
t1
H
t0
A
G
F
E B CD
无限大平壁两侧对称加热，非稳态导热过程温度变化曲线
物体表面层最先受热，然后由表及里地逐渐传播到物 体内部。理论上经过无限长时间后，物体内各处温度趋于 一致，此时达到新的热平衡状态。
2. 求时间：如已知t、x 和Bi，可先由图3-7查 / m后，利用式(3-14)求得m/ 0，再由m/ 0 和Bi利用图3-6 查出相应的Fo数，最后求得加 热或冷却到该温度所需的时间 。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三 类边界条件下的非稳态导热和诺模图
注 意： 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三 类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程， 并且Fo>0.2。
0, t t0 Φ
3-2 集 总 参 数 法
解：(1) 导热微分方程
导热体
流体 h
dt &
d c
体积V
t
表面积A
物性ρ、c、λ
&可视为广义热源。与分析
肋片的导热问题相类似，这
温度 t f ( )
0, t t0 Φ
里发生热交换的边界不是计
算边界（零维无任何边界），因此界面上的热交换热
t f x, y, z, , t 0
周期性非稳态导热：物体的温度随时间作周 分 期性的变化（例如：墙体温度的昼夜变化） 类
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值（例如：热铁块投入凉水中）
周期性非稳态导热的特点
（1）物体内各处的温度按一定的振幅随时间周期性波动。 （2）同一时刻物体内各处的温度分布也按一定的振幅周期 性波动。
3-1 概 述
热流规律（三个阶段）： 1）不规则情况阶段： Φ1 急剧减小，Φ2 保持不变。 2）正常情况阶段： Φ1 逐渐减小，Φ2 逐渐增大。 3）建立新的稳态阶段： Φ1 与Φ2 保持不变并相等。
3-1 概 述
学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f (x, y, z, ) ; f( )
例：夏季室外空气温度 tf 以24小时为周期进行周而复始的变化，
室外墙面温度tf 也以24小时为周期进行变化，但要滞后一个相
位。
t
tf 室外空气温度
tf 室外墙面温度
滞后相位差
3-1 概 述
本章着重讨论瞬态非稳态导热 工程中的许多过程都是瞬态非稳态导热：
冶金热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变 工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空 气温度。 原因：边界条件，内热源发生了变化
无限大平壁： M=1
令 lc M 无限长圆柱体和正方形长柱体： M=1/2
le
球和正立方体： M=1/3
特征尺寸和引用尺寸
Bi 0.1 BiV 0.1M
无限大平壁
特征尺寸 lc=V/A
/2
引用尺寸le /2
M=lc/le 1
长圆柱体
R/2
R
1/2
长正方柱体
a/4
a/2
1/2
球体
R/3
R
1/3
0.2
时
正常情况阶段
(x, ) 0
2
exp
12
a
l2
sin
1
cos
1
x l
1 sin 1 cos 1
Bi1 tan 1
1为上面方程的根
f1
Fo,
Bi,
x l
中心面过余温度（m）
x 0, m t(0, ) t
m
0
exp
12 Fo
1
sin 1 sin 1 cos 1
f2 Fo, Bi
对于测温元件，如热电偶和电阻温度计， r小，表明正确测出流体温度所需的时间短。
3-2 集 总 参 数 法
瞬态热流量：( ) hA(t( ) t ) hA
hA
hA0e cV W
导热体在时间 0 ~ 内传给流体的总热量：
Q
Φ( )d
0
hA
Vc0 (1 e cV )
hA
=Q0 (1 e cV ) J
hA
e cV
0 t0 t
过余温 度比
其中的指数： hA
cV
hV
A
A2 cV 2
h(V
A)
a
(V A)2
令 lc V A
BiV FoV
3-2 集 总 参 数 法
BiV
hlc
,
FoV
a
lc2
(傅立叶数)
脚标“V”表示以 lc=V/A 为特征尺寸。
无限大平壁： lc=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： lc=R/2 球： lc=R/3
Q0 cV (t0 t ) 初始过余热焓
Q0物体由初始温度t0变为环境温度t时所吸收或放出的热量。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三类 边界条件下的非稳态导热和诺模图
一 无限大平壁的分析解和诺模图
λ=const
a=const
h, t
h=const
-l
因两边对称，只研究半块平壁
h, t
ol x
时导热体已达到热平衡
状态
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
3-2 集 总 参 数 法
时间常数r物理意义： r表明内部热阻可以忽略的物体突然被加热
或冷却时，它以初始温度t0变化到周围流体温度 t所需的时间。
r既反映物体热容量的大小，又反映表面传 热情况。r小，表明物体表面传热好，因而升温 （或降温）快。
量应折算成整个物体的体积热源。
3-2 集 总 参 数 法
&
V
dt
&
hA(t V
t)