力学习题课

力学小结
1、理想模型：质点、质点系、刚体 2、运动的描述：位置矢量，速度，加速度
角位置，角速度，角加速度
3、质点运动问题的求解
正问题：位置（运动函数） 反问题：加速度 速度 速度 加速度——求导 ——求导 位置（运动函数）——积分 积分
4、相对运动
伽利略变换式 绝对运动=相对运动+牵连运动
5、非惯性系和惯性力
J0ω0 = J0ωc ,
ωc = ω0
2 2 vb + R 2ω b ; c点的速率为 vc 小球A在b点的速率为 小球A在b点的速率为 点的速率为 下滑过程中,小球, 地球为系统→机械能守恒。 下滑过程中,小球,环,地球为系统→机械能守恒。 1 1 2 1 1 2 2 J 0ω0 + mgR = J 0ωb + mvb + mR2ωb2 a→b: → 2 2 2 2 势能零点 1 1 1 2 2 2 J 0ω0 + mgR = J 0ω0 + mvc − mgR a→c: → 2 2 2 J 0ω 02 R 2 1 v = 2 gR 2 可解出
3mv0 ω= ( M + 3m ) l
1 2 1 2 1 Jω + m = M l (1−cosθ) +m (1−cosθ) v g gl 2 2 2
2 3m 2 v0 cos θ = 1 − ( M + 3m )( M + 2m ) gl
m′为燃料燃烧完后火箭的质量
vm1 =uln N =1.18 u 1 vm2 =uln N +uln N2 = 2.57u 1 vm3 =uln N =1.39u
的水桶， 例：一质量M的水桶，开始时静止，桶中装水 ，以恒定作用力 一质量 的水桶 开始时静止，桶中装水m， P将桶从井中提出，桶中水以不变速率从桶中漏出，以相对 将桶从井中提出， 将桶从井中提出 桶中水以不变速率从桶中漏出， 速度为零和桶分离， 变成空桶瞬时， 速度为零和桶分离，经T时间 后桶变空。求：变成空桶瞬时， 时间 后桶变空。 桶速度等于多少？ 桶速度等于多少？ 根据动量定理， 解：根据动量定理，可得 P m
9、刚体 (1)刚体的运动：平动、定轴转动 (2)转动惯量
J ≡ ∑ mi ri 2
平行轴定理 垂直轴定理
J z = J c + Mh 2
i
Jz = Jx + Jy
1 2 (3) 定轴转动动能定理 M轴外dθ = d( Jω ) 2 (4)定轴转动转动定律 M轴外 = Jα
(5)定轴转动角动量定理和角动量守恒
的圆板， 例. 从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，所形 成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄 板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。 板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。
半径为 R 的圆盘对 O 点的转动惯量为
1 M 2 L1 R () 2 1 式中整个圆盘的质量 M = m+ m (2) L 3 I1 =
1 3 3 1 1 = Jω m L + m L 3 4 2 4 2
2 2
7 ω = m 2ω L 12
7 1 2 碰橦前后角动量守恒 m ω = m 0L L V 12 2
60 V ω= 7L
如图:空心环 半径R,初始角速度 空心环B半径 初始角速度w 对轴转动惯量为 对轴转动惯量为J 例. 如图 空心环 半径 初始角速度 0 ,对轴转动惯量为 0 , 可绕转轴自由旋转； 可绕转轴自由旋转； 小球A无摩擦滑到 点时， 求:小球 无摩擦滑到 c点时，环的角速度和球相对于环的 小球 无摩擦滑到b, 点时 速度各为多少？（守恒问题） ？（守恒问题 速度各为多少？（守恒问题）
ω2 3 0R N= 16 g πµ
匀质细杆长为2L，质量m， 例 . 匀质细杆长为 ，质量 ，以与棒长方向垂直的速度 v0在光滑水平面内平动时，与前方固定光滑支点 发生完 在光滑水平面内平动时，与前方固定光滑支点O发生完 全非弹性碰撞，如图所示。求棒在碰撞后瞬时绕O点转动 全非弹性碰撞，如图所示。求棒在碰撞后瞬时绕 点转动 的角速度。（角动量守恒问题） 的角速度。（角动量守恒问题） 。（角动量守恒问题
该圆环所受摩擦力矩
圆盘受摩擦力矩
R 2 M = ∫dM = µm L1 gR ( ) 3
ω0 () L3 θ= 2β θ N= L 4) ( 2 π
M M = Iβ, β = L 2) ( I 2
dM =
dM = µ⋅ dm⋅ g⋅ r 2µ g 2 m
2
r dr
O
r dr
r
2）求角加速度：由转动定律 ）求角加速度： 3）由运动学定律求转过圈数： ）由运动学定律求转过圈数：
mv = ( m + dm )( v + dv ) + ( − dm )( v + dv − u ) = mv + mdv + udm
mdv + udm = 0
m vm −v0 =uln 0 ′ m
第一级火箭燃料燃尽时的速度 第二级火箭燃料燃尽时的速 度 如果把所有的燃料用一级火 箭发射，最终速度是多少？ 箭发射，最终速度是多少？
a
的圆形平板平放在水平桌面上， 例. 有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦 系数为µ， 系数为 ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 ω0 开始旋 它将在旋转几圈后停止？ 转，它将在旋转几圈后停止？ 解答提示 1）求圆盘的摩擦力矩。 ）求圆盘的摩擦力矩。
m π 在圆形平板上取一细圆环 dm=σ ⋅ 2 rdr, σ = πR2
m2
T2
T2
m
r
T1 T1 m1
(m −µm )g 1 2 , 1 (m +m + m ) 1 2 2 (m −µm )g 1 2 T = µm g +m . 2 2 2 1 (m +m + m ) 1 2 2 T = mg −m 1 1 1
1 a 2 r (m −µm )g 2 a= 1 1 m +m + m 1 2 2
m m [P−(M +m− t)g]dt =[M +m− t +dmdv +(−dm u ] ) T T M
忽略二阶无穷小
dmdv
又因为
u=0
所以上式变为 [P−(M +m−
m m t)g]dt =[M +m− t]dv T T
∫
T
0
T v P dt −∫ gdt = ∫ dv 0 M +m−m ⋅t 0 T PT M +m v= ln − gT m M
dL M轴 = 外 dt
M轴外 = 0
L=恒 量
例. 一枚两级火箭的总质量是 1.300×104 kg , 第一级的总质量为 1.2×104kg , 其 × × 其中燃料为7.5× 中燃料 9.0×103 kg ; 第二级的总质量 1.0×103 kg , 其中燃料为 ×102kg . 发射 × × 时第一级火箭携带第二级火箭一起上升，喷出物质相对于火箭的速度仍为u 若 时第一级火箭携带第二级火箭一起上升，喷出物质相对于火箭的速度仍为 .若 重力和空气阻力均忽略不计.试问第一级火箭的燃料燃尽时的速度是多少 试问第一级火箭的燃料燃尽时的速度是多少？ 重力和空气阻力均忽略不计 试问第一级火箭的燃料燃尽时的速度是多少？在第 一级火箭燃料燃尽后，第一级火箭的剩余物质自动被抛弃掉， 一级火箭燃料燃尽后，第一级火箭的剩余物质自动被抛弃掉，第二级火箭自动 点火，试求第二级火箭燃料燃尽时火箭的速度。 点火，试求第二级火箭燃料燃尽时火箭的速度。 选竖直向上为正方向
v0 L/2 O L/2
L
v0
碰橦前瞬间,杆对 杆对O点的角动量为 解： 碰橦前瞬间 杆对 点的角动量为
∫
3L 2
0
λV xdx −∫ 0
L 2
0
1 λV xdx = λV0L = mV L 0 0 2
2
式中λ为杆的线密度 碰橦后瞬间 碰橦后瞬间,杆对 式中λ为杆的线密度,碰橦后瞬间 杆对 O点的角动量为 点的角动量为
1 R R (3) I2 = m ( )2 +m ( )2 L 2 2 2 2 2
R O
R/2
O`
由平行轴定理， 由平行轴定理，半径为 R/2 的小圆盘对 O 点的转动惯量为
1 m = mL (4) 式中小圆盘的质量 2 3 13 2 总转动惯量 I = I1 − I2 = m R 24
如图所示， 例. 如图所示，两物体的质量分别为 m1 和 m2 ，滑轮质量为 m ，半径为 r, 已知 m2 与桌面之间的滑动摩擦系数为 µ，不计轴承摩擦，且绳子与滑轮 ，不计轴承摩擦， 间无滑动， 下落的加速度和两段绳中的张力。 间无滑动，求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。 对 m1 ： mg −T = maL ) (1 1 1 1 对 m2 ： T −µm g = maL (2) 2 2 2 对滑轮： 对滑轮： 1 −T r = Iβ = m 2 ⋅ L Tr 2 r (3)
1 2 m 0 = Jω+m = M ω+m lv lv l lv 3
（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角 ）若子弹嵌入棒中， 碰撞时刻， 碰撞时刻，角动量守恒
3m v0 −v) ( ω= M l
1 2 m 0 = Jω+m l = M +mω lv ω l 3
2
棒旋转过程， 棒旋转过程，机械能守恒
6、动能定理和机械能守恒
A + A 保内 = 0时 外 非
A + A 保内+ A 内 =∆Ek 外 非 保
7、动量定理和动量守恒
E=恒 量
v F外 = 0
v v F ⋅ dt = dP 外
8、角动量定理和角动量守恒
r r dL M外 = dt
r P= 恒 量 矢 r M =0 外 r L= 恒 量 矢
vb = (2 gR +
J 0 + mR
2
) ;
c
的静止的细长棒，可绕其一端在竖直面内转动。 例.由一根长为 l ，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在竖直面内转动。 由一根长为 的子弹沿与棒垂直的方向射向棒的另一端。 若以质量为 m ，速率为 ν0的子弹沿与棒垂直的方向射向棒的另一端。 O （1）若子弹穿棒而过，速度为 ν，求棒的旋转角速度 ）若子弹穿棒而过， 为系统， 为参考点。 以 m , M 为系统，以 O 为参考点。 碰撞时刻， 碰撞时刻，角动量守恒 M v m l
O A a B R
ω0
A a b B R
O
ω
b vb
cFra Baidu bibliotekO'
vc
c O'
小球下落过程,球与环组成的系统对轴 解:小球下落过程 球与环组成的系统对轴 小球下落过程 球与环组成的系统对轴OO'角动量守恒 角动量守恒 J0ω0 2 ∴ωb = J 0ω0 = ( J 0 + mR )ωb a→ b: → J0 + mR2 a→ c: