高二数学课件 直线中的对称问题

又 B(2,4)
∴ 直线A1B方程为x = 2
｛x =2
由 y=x
｛x =2
得 y =2
即Q(2,2)
=|AQ|+|BQ|
∴直线 l 上的点Q使|AQ|+|BQ|最小.
已知平面内有两个定点 A、B和一条定直线 l
1 、当 A与B在直线 l 异侧时，线段AB与 l 的 交点 P使 |PA|+|PB|最小,且最小值为|AB|.
A ·
l P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的
交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
连接 A!B交 l 于Q 在 l 上任取一异于点Q的点Q1· 连接AQ , AQ1, A1Q1, BQ1.
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Y
·B
A
·Q1
·Q
O
·A1
X
y=x
则 |AQ1|+|BQ1|= |A1Q1|+|BQ1| ∴点Q 使 |AQ| + |BQ| 最小.
＞|A1B| = |A1Q|+|BQ|
∵ A(1,2)
∴A1(2,1)
解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
√ 则 A(–500, 500
3)
作A关于x轴的对称点A1
√ ∴ A1(–500, –500 3)
√ B(400 3,400)
连A1B交x轴于C，
则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
√ 又B（ 400 3,400)
∴kA1B =
√ 4+5 3 √4 3 +5
1、已知P(1,2),求P点关于以下各直线的对称点的坐标。 (1) l: x = 0 (2) l: y = 0 (3) l: x = 2 (4) l: y = 3 (5) l: y = x (6) l: y= -x
2、如何 求P (1,2)关于直线 2x – y +1= 0的对称点Q的坐标？
在某东西方向公路边有一村庄M. 在M村的北偏西30o 方向且与M村相距1000米处有一村A ，在M村的北偏东 60o的方向且相距800米处有一村B. A庄的村民主要靠 每天外出打工、做生意获得收入， B庄的村民主要靠种 菜、卖菜获得收入。前几年，风调雨顺，两村村民都忙 于自己的生活，没有意识到脚下的泥土路给生活带来的 不便。今年8、9两月的连绵秋雨，使两村村民深受交通 不便之苦。于是他们集资修路，拟定在公路上找一C处， 由C向两村分别修路，为了使修路费用最低，C处应如何 选择？
2、思考探索： 平面内有一定直线 l 和两个定点A、B，
(1)若A、 B两点至少有一个点在直线上时，如何 求点使其到两定点距离和最小？ (2)直线上是否存在点P使 |PA|+|PB|最大? (3)如何 在 l 上求一点 P使 |PA|－|PB| 最大？
3 已知 l: x + y﹣3= 0, A(-2,0) B(1,1) (1) 在 l 上求一点 P使 |PB|+|PC|最小。 (2) 在 l上求一点 Q使 |QA|+|QB|最大。
√ √ 解： y = x2+6x+18 +
x2－10x+26
√= (x+3)2+(0－3)2
√+ (x－5)2+(0－1)2
则y表示动点M(x,0)到定点A(-3, 3) 和B(5,1)距离之和， 即直线 y = 0上
的点到两点。A、B
的距离之和
而A、B位于直线 y = 0的同侧
Y
A· O
A1 ·
·B
C(2,4)
∴P(3,0)
√4 5 注：等价转化、数形结合
1、同一平面内，在定直线 l上求点P使P到两定点 A、B距离和最小的方法。
2、探究过程中: （1）坐标法使数和形有机的结合起来，充分体现 了数形结合的思想。
（2）类比联想和等价转化使问题的解决找到了突 破口。
1、课外实践： 请从身边生活中搜集一个今天所讨论问题的实例。
∴直线A1B 的方程为
由y=0，
得x =316
A1
√ √ y+500
4+5 3=
3 (x+500)
√4 3 +5
∴ C( 316 , 0)
答：当C处选在M村正东 316 米时可使修路费用最低。
X 注 ︱ 坐 标 法 的 应 用
√ √ 例3： 求函数 y = x2+6x+18 +
x2－10x+26
的最小值及对应x的值。
A
B
M
问题： 已知直线 l : y=x, A(1,2) , B(2,4) C(3,1)
1 、在直线 l上求一点 P使|PB| + |PC|最小。
2、在直线 l 上求一点Q使 |QA| + |QB|最小。
Y
B
y=x
·
A· ·C
O
X
解:(1) 连接BC交 l 于P.
在 l 上任取一异于P的点P1,连 P1B, P1C. 则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.
∴P点为所求的点
Y ·B P1,
A·P
O
·C
X
y=x
∵B(2,4) C(3,1)
∴直线 BC的方程为: y= －3x +10
｛ ｛ 由
y= x y=－3x +10 得:
x= 2.5 y = 2.5
即直线 l 上的点P(2.5,2.5)使 |PA| + |PB|最小.
(2)做点 A 关于直线 y = x 的对称点A1
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1
∴A1(–3, –3)
连A1B交y = 0于P， 则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，
即y最小值为|A1B|
由A1(–3, –3) B(5,1) 得
√ |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y =
(x-31) 2
∴ 当 x = 3时y取最小值
由y = 0 得x = 3