高二数学课件 直线中的对称问题
点直线的对称问题课件
直线关于点的对称定义是几何学中的基本概念之一。如果一条直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直 线上，则这条直线被称为关于该定点对称。这个定义是理解点、线、面对称关系的基础。
直线关于点的对称性质
总结词
根据对称的性质，直线关于点的对称具 有平移不变性、旋转不变性和反射不变 性。
VS
详细描述
详细描述
直线关于点的对称是几何学中的基本概念之一，它在解 析几何、光学、力学和机器人学等领域中都有广泛的应 用。例如，在光学中，光的反射和折射都涉及到对称的 概念；在力学中，物体运动轨迹的对称性可以用对称的 直线来表示；在机器人学中，机器人的运动路径规划和 姿态调整也需要用到对称的概念。因此，理解直线关于 点的对称性质和应用对于深入理解这些领域中的基本概 念和原理非常重要。
点关于直线的对称性质
总结词
点关于直线的对称具有一些重要的性质，如对称点的连线与 对称轴垂直，且被对称轴平分。
详细描述
如果点A关于直线l对称于点B，则线段AB与直线l垂直，且线 段AB的中点M位于直线l上。此外，对称轴上的任意一点到两 个对称点的距离相等。
点关于直线的对称应用
总结词
点关于直线的对称在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
详细描述
在几何学中，点关于直线的对称可用于研究图形的性质和变换。在物理学中，点关于直线的对称可用 于描述粒子的运动轨迹和电磁场的分布。在工程学中，点关于直线的对称可用于设计、分析和优化各 种结构。
03
直线关于点的对称
直线关于点的对称定义
总结词
根据对称的定义，如果一个直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直线上，则该直线被称为关于该定点 对称。
美丽的图案。
高中数学课件必修二两直线的平行与垂直及对称问题
＋(a2－1)＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【解析】(1)方法 1： ①当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2； ②当 m≠0 时，l1：y＝－m12x－m62， l2：y＝23－mmx－32， 由－m12＝23－mm，且－m62≠－23，所以 m＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
解三：取l上两点0(0，0), P(1，2)
它们关于A（2,3）的对称点 为O '(4, 6)，P '(3，4）
直线O ' P '即直线l ' : y 2x 2
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
Q A到l的距离 A到l'的距离,
| 22 3|
|
2
2
3
l
a
|
,
22 (1)2
22 (1)2
即|1+a|=1. a=0或-2. (a 0舍去) 故 l'的方程为2x y 2 0
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
由所给直线方程可得 a·1＋2(a－1)＝0⇒a＝23. 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
(2) l 关于 A 对称的直线 l / 的方程； (3)直线 l1 ：2 x — y =4 关于 l 对称的直线 l2 的方程。
《有关对称问题》课件
06 对称问题的哲学思考
CHAPTER
对称与美的关系
总结词
对称被广泛认为是美的，因为它能给 人带来一种平衡和和谐的感觉。
详细描述
在艺术、建筑和自然界中，对称的形 状和图案常常被认为是具有审美价值 的。这是因为对称能创造出一种平衡 和和谐的感觉，使观察者能够轻松地 理解和欣赏。
对称与平衡的关系
总结词
音乐作品的对称性
总结词
音乐作品中，对称性是一种重要的结构 原则，它能够使乐曲更加规整、平衡和 有节奏感。
VS
详细描述
在音乐作品中，对称性可以通过重复、倒 影、逆行等方式实现。对称的乐曲结构可 以使音乐作品更加有层次感、逻辑感和美 感。例如，贝多芬的《命运交响曲》就运 用了对称性的结构原则，使乐曲更加紧凑 、有力和动人。
对称性是普遍存在的特性，自然 界和人造物中都可以找到对称的
例子。
对称性在数学、物理学、工程学 等领域有广泛的应用，如建筑设
计、机械制造、电路设计等。
对称性也是美学中的一个重要概 念，被广泛应用于艺术创作和装
饰设计中。
02 对称问题在几何中的应用
CHAPTER
点对称
总结词
点对称是指两个点关于某一点位 置相对，保持距离不变。
晶体结构的对称性对于理解晶体的物理性质和化学性质非常 重要。例如，某些晶体在特定方向上具有更高的导电性或光 学性能，这与其对称性有关。
电磁波的对称性
电磁波的对称性是指电磁波在空间中的传播方式和分布特 征的对称性质。例如，电磁波可以具有偶极子对称、四极 子对称等。
电磁波的对称性对于理解电磁波的传播规律和散射特性非 常重要。例如，在雷达和通信领域中，电磁波的对称性对 于信号的传输和接收具有重要影响。
直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
《高三数学对称问题》课件
对称性在物理学中的应用
总结词
物理学中存在着许多对称性原理，如空间对称、时间 对称、电荷对称等。这些原理的运用对于理解物理现 象和推动物理学的发展具有重要意义。
详细描述
物理学中存在着许多对称性原理，这些原理的运用对 于理解物理现象和推动物理学的发展具有重要意义。 例如，空间对称是指物理规律在不同的空间位置上具 有相同的形式，这种对称性原理是理解许多物理现象 的基础。此外，时间对称、电荷对称等也是物理学中 重要的对称性原理。通过对称性原理的运用，可以深 入探究物理现象的本质和内在规律，推动物理学的发 展。
轴对称
轴对称定义
如果一个图形关于某条直线对称 ，则称这个图形是轴对称图形。
轴对称性质
轴对称图形的对应部分完全相同 ，即如果图形上两点关于某直线 对称，则它们与该直线的距离相 等，且与该直线所成的角度相等
。
轴对称的应用
在几何问题中，轴对称常用于证 明线段的垂直平分线和角的平分
线等性质。
中心对称
中心对称定义
《高三数学对称问题》 ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 对称问题的基本概念 • 对称问题在几何中的应用 • 对称问题在代数中的应用 • 对称问题在解析几何中的应用 • 对称问题在概率统计中的应用 • 对称问题的实际应用举例
01
CATALOGUE
对称问题的基本概念
对称的定义
01
02
03
对称定义
02
CATALOGUE
对称问题在几何中的应用
点对称
点对称定义
如果一个点A关于另一个点O对称 于点B，则线段OA与OB等长，且
O是AB的中点。
点对称性质
点对称具有传递性，即如果点A关 于点O对称于点B，点B关于点O对 称于点C，则点A与点C关于点O对 称。
高中数学同步教学课件 对称问题
经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
A.2 10
B.6
C.3 3
√D. 26
1234
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1 (0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴a2b＋－a 22× ＋2 b－＝13，＝－1，
a＝1， 解得b＝3. ∴P2(1,3)，
3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐 标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标， 再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e 不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称 点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程.
2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)， 连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′ 的中点，
kl·kPP′＝－1， 又因为 M 在直线 l 上，故可得A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0， 解出(x2，y2)即可.
①
∵BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，
∴a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.
②
由①②得ab＝ ＝－5，1，
∴点B′的坐标为(5，－1).
点直线的对称问题课件
contents
目录
• 对称问题概述 • 点关于直线的对称点 • 线关于点的对称直线 • 点直线对称问题的综合应用
01
对称问题概述
对称的定义与性质
对称定义
如果一个图形关于某一直线（称 轴）对称，那么它被称为轴对称 图形，这条直线叫做对称轴。
对称性质
对称具有传递性、反身性、结合 性和不可分解性。
求点直线的对称点及对称直线方程
求对称点
设$PP^{\prime}$的中点为$M(x_{0},y_{0})$，则$M$点坐标为$(x+x^{\prime})/2， (y+y^{\prime})/2$，代入直线$l$的方程可得$Ax_{0}+By_{0}+C=0$，又因为$M$是 $PP^{\prime}$的中点，所以有$(x-x_{0})/2=(y-y_{0})/2$，解得$x=x^{\prime}$， $y=y^{\prime}$
距离问题
利用对称性可以找到两点 之间的最短距离或某点到 直线的最短距离。
角度问题
利用对称性可以找到两个 角之间的补角或余角。
02
点关于直线的对称点
定义
若点P(x0,y0)关于直线L的对称点为P'(x1,y1)，则PP'垂直于L ，且PP'的中点在L上。
性质
点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P'(2a-x0,y0)； 点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P'(x0,2b-y0)。
方法二
利用截距式方程求解。首先确定原直线的截距，然后根据对 称点的坐标求出新直线的截距，再根据截距式方程求出新直 线的方程。
线关于点的对称直线在实际问题中的应用
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
高二数学直线中的对称问题PPT优秀课件
A ·
l
P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的 交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
·B
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1 ∴A1(–3, –3) 连A1B交y = 0于P，则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，即y最小值为|A1B|
√ 由A1(–3, –3) B(5,1) 得 |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y = 12(x-3)
由y = 0 得x = 3 ∴P(3,0)
解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
则 A(–500, 500√ 3) B(400√ 3,400)
作A关于x轴的对称点A1
∴ A1(–500, –50√0 3)
连A1B交x轴于C， 则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
X
又B（ 40√0 3,400)
A1
∴kA1B =
演讲人: XXX
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则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.
∴P点为所求的点
y=x
Y ·B
P1,
A· P ·C
O X
∵B(2,4) C(3,1) ∴直线 BC的方程为: y x y=－3x
高中数学同步课件 培优课 直线系方程与对称问题
√C.(－3，1)
D.(－2，1)
直线 l 的方程可化为 解得xy＝＝1－，3，
m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令x－＋x2－y＋3y1＝＝0，0，
∴直线 l 恒过定点(－3，1).
1 234
2.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
√A.(－1，－3)
C.(－1，3)
B.(17，－9) D.(－17，9)
第一章 §1 直线与直线的方程
课标要求
1.熟悉常见的直线系方程，能运用直线系方程简化运算； 2.掌握对称原理，能解决常见的对称问题.
内容索引
一、直线系方程的应用 二、几类常见的对称问题 三、利用对称解决最值问题
课堂达标
课时精练
一
直线系方程的应用
例1
求证：无论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定 点，并求出这个定点的坐标.
思维升华
2.在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延 长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大 值 为 |AB|. 如 图 ③ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|AB| ＝ ||PB|－|PA||. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接 BA′并延长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最 大 ， 最 大 值 为 |A′B|. 如 图 ④ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|A′B|＝||PB|－|PA||.
高中数学：直线方程中的对称问题
高中数学：直线方程中的对称问题在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。
这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
一、对称问题的求解方法1、点关于点的对称【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。
说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。
分析：利用点关于直线对称的性质求解。
4、直线关于直线的对称二、关于对称常见的几种题型1、角平分线问题已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。
根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。
2、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。
根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。
高二数学对称问题
例题讲解
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点A’的坐标。
解题要点： k • kAA’ = -1 AA’中点在l 上
例题讲解
三、直线关于点对称
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。
解题要点： 法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l 1 // l 2且P到两直线等距。
例题讲解
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方 程。
解题要点：求交点抓“到角”
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
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说：“嗨！”也别劝它休息。春风休息，春天就结束了。所以，不要跟春风说话。 雨是春天的战略预备队。在春天的战区，风打前阵，就像空军作第一轮攻势一样，摧枯拉朽，瓦解冬天的军心。雨水的地面部队紧接着赶到，它们整齐广大，占领并搜索每一个角落，全部清洗一遍，让泥 土换上绿色的春装。不要跟它们讲话，春雨军纪严明。 草是春天的第一批移民。它们是老百姓，拖儿拉女，自由散漫。草随便找个地方安家，有些草跑到老房子的屋顶，以及柏油路裂缝的地方。草不管这个，把旗先竖起来再说。阳光充足的日子，草晾晒衣衫被褥，弄得乱七八糟。古人 近视，说“草色遥看近却无”。哪里无？沟沟壑壑，连电线杆子脚下都有草的族群。人见春草生芽，舒一口气，道：春天来了！还有古人作诗：“溪上谁家掩竹扉，鸟啼浑似惜春晖。”(戴叔伦《过柳溪道院》)“渭北春天树，江东日暮云。”(杜甫《春日忆李白》)春晖与春树都比不过草 的春意鲜明，它们缝春天的衣衫，不要跟忙碌的缝衣匠说话
与直线有关的对称问题PPT课件
1.求直线关于点的对称直线
两直线关于点对称：其中一条直线上任一点关于点对称 的点必在另外一条直线上。
2.求点关于直线的对称点
设点P(x0, y0 ),直线l : Ax By C 0( AB 0),点P关 于l的对称点Q(x, y).
(1)PQ l； (2)PQ的中点在直线l上.
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
相交则是夹角的平分线平行则到的距离相等直线关于点对称的直线方程关于直线对称的点的坐标直线关于直线对称的直线的方程直线关于直线对称的直线的方程求与直线距离为的直线方程关于直线的对称点已知直线求直线关于直线的对称直线方程在直线上求一点使得abcabacbccaqrabcap异于的一点光线从点出发反射后又回到点若光线经过的重心则等于a2b11011
例2.在直线l : 3x y 1 0上求一点P,使得 (1)点P到A(4,1)和B(0, 4)的距离之差最大; (2)点P到A(4,1)和C(3, 4)的距离之和最小.
例3.在等腰直角三角形ABC中, AB AC 4,点P是边AB上
异于A, B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点
P,若光线QR经过ABC的重心,则AP等于（ ）
A.2
B.1
C.8
3
D. 4 3
Q R
P
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
11
谢谢聆听
与直线有关的对称问题-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
三、点线点对称
点P(x0,y0)与点Q关于直线l:Ax+By+C=0对称，求点Q的坐
标(x,y).
y
PQ⊥ l
Q
M
P
O
l
PQ的中点M在直线l上
x
练习巩固
例3 求点P(-3,4)关于直线l:4x-y-1=0的对称点的坐标.
PQ⊥l
PQ中点在直线l上
练习巩固
练习3 点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q，求Q的坐标.
直线l2的方程.
练习巩固
例2 已知直线l1:3x-y-4=0与直线l2关于点M(2,-1)对称，求
直线l2的方程.
练习巩固
练习2 求直线l1:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l2的
方程.
练习巩固
练习2 求直线l1:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l2的
方程.
y
l2
Q
l1
P
求出l1与l 的交点M，点M也在
直线l2上
M
x
O
l
②若 l1 // l
在l1上任取一点P，求出P关于直线l
的对称点Q，点Q也在直线l2上
用M，Q两点求出直线l2的方程
练习巩固
例4 求直线l1:x-2y+1=0关于直线l:y-x=1对称的直线方程.
练习巩固
练习4 直线l1:x-2y-2=0与直线l2关于直线l:2x-y-4=0对称，
四、线线线对称
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2关于直线l:Ax+By+C=0对称，
求直线l2的方程.
y
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A ·
l P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的
交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
∴P点为所求的点
Y ·B P1,
A·P
O
·C
X
y=x
∵B(2,4) C(3,1)
∴直线 BC的方程为: y= －3x +10
｛ ｛ 由
y= x y=－3x +10 得:
x= 2.5 y = 2.5
即直线 l 上的点P(2.5,2.5)使 |PA| + |PB|最小.
(2)做点 A 关于直线 y = x 的对称点A1
2、思考探索： 平面内有一定直线 l 和两个定点A、B，
(1)若A、 B两点至少有一个点在直线上时，如何 求点使其到两定点距离和最小？ (2)直线上是否存在点P使 |PA|+|PB|最大? (3)如何 在 l 上求一点 P使 |PA|－|PB| 最大？
3 已知 l: x + y﹣3= 0, A(-2,0) B(1,1) (1) 在 l 上求一点 P使 |PB|+|PC|最小。 (2) 在 l上求一点 Q使 |QA|+|QB|最大。
∴直线A1B 的方程为
由y=0，
得x =316
A1
√ √ y+500
4+5 3=
3 (x+500)
√4 3 +5
∴ C( 316 , 0)
答：当C处选在M村正东 316 米时可使修路费用最低。
X 注 ︱ 坐 标 法 的 应 用
√ √ 例3： 求函数 y = x2+6x+18 +
x2－10x+26
的最小值及对应x的值。
解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
√ 则 A(–500, 500
3)
作A关于x轴的对称点A1
√ ∴ A1(–50ห้องสมุดไป่ตู้, –500 3)
√ B(400 3,400)
连A1B交x轴于C，
则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
√ 又B（ 400 3,400)
∴kA1B =
√ 4+5 3 √4 3 +5
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1
∴A1(–3, –3)
连A1B交y = 0于P， 则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，
即y最小值为|A1B|
由A1(–3, –3) B(5,1) 得
√ |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y =
(x-31) 2
∴ 当 x = 3时y取最小值
由y = 0 得x = 3
连接 A!B交 l 于Q 在 l 上任取一异于点Q的点Q1· 连接AQ , AQ1, A1Q1, BQ1.
Y
·B
A
·Q1
·Q
O
·A1
X
y=x
则 |AQ1|+|BQ1|= |A1Q1|+|BQ1| ∴点Q 使 |AQ| + |BQ| 最小.
＞|A1B| = |A1Q|+|BQ|
∵ A(1,2)
∴A1(2,1)
C(2,4)
∴P(3,0)
√4 5 注：等价转化、数形结合
1、同一平面内，在定直线 l上求点P使P到两定点 A、B距离和最小的方法。
2、探究过程中: （1）坐标法使数和形有机的结合起来，充分体现 了数形结合的思想。
（2）类比联想和等价转化使问题的解决找到了突 破口。
1、课外实践： 请从身边生活中搜集一个今天所讨论问题的实例。
√ √ 解： y = x2+6x+18 +
x2－10x+26
√= (x+3)2+(0－3)2
√+ (x－5)2+(0－1)2
则y表示动点M(x,0)到定点A(-3, 3) 和B(5,1)距离之和， 即直线 y = 0上
的点到两点。A、B
的距离之和
而A、B位于直线 y = 0的同侧
Y
A· O
A1 ·
·B
1、已知P(1,2),求P点关于以下各直线的对称点的坐标。 (1) l: x = 0 (2) l: y = 0 (3) l: x = 2 (4) l: y = 3 (5) l: y = x (6) l: y= -x
2、如何 求P (1,2)关于直线 2x – y +1= 0的对称点Q的坐标？
在某东西方向公路边有一村庄M. 在M村的北偏西30o 方向且与M村相距1000米处有一村A ，在M村的北偏东 60o的方向且相距800米处有一村B. A庄的村民主要靠 每天外出打工、做生意获得收入， B庄的村民主要靠种 菜、卖菜获得收入。前几年，风调雨顺，两村村民都忙 于自己的生活，没有意识到脚下的泥土路给生活带来的 不便。今年8、9两月的连绵秋雨，使两村村民深受交通 不便之苦。于是他们集资修路，拟定在公路上找一C处， 由C向两村分别修路，为了使修路费用最低，C处应如何 选择？
又 B(2,4)
∴ 直线A1B方程为x = 2
｛x =2
由 y=x
｛x =2
得 y =2
即Q(2,2)
=|AQ|+|BQ|
∴直线 l 上的点Q使|AQ|+|BQ|最小.
已知平面内有两个定点 A、B和一条定直线 l
1 、当 A与B在直线 l 异侧时，线段AB与 l 的 交点 P使 |PA|+|PB|最小,且最小值为|AB|.
A
B
M
问题： 已知直线 l : y=x, A(1,2) , B(2,4) C(3,1)
1 、在直线 l上求一点 P使|PB| + |PC|最小。
2、在直线 l 上求一点Q使 |QA| + |QB|最小。
Y
B
y=x
·
A· ·C
O
X
解:(1) 连接BC交 l 于P.
在 l 上任取一异于P的点P1,连 P1B, P1C. 则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.