安徽省2020-2021学年高三周考数学理科试卷
安徽省五校2021届高三12月联考理科数学试题及答案
13 题. 7
14 题. 1
15 题. 6
16 题.①③
15.【解析】
由复数的几何意义可知，复数 z1 在复平面内对应的点 P 在以原点为圆心的单位圆上，
z2 对应的点为定点 Q(3, 4) ，则 z1 z2 表示 P ， Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值
1
资料下载来源：高中数学教研群 ＱＱ群号９２９５１８２７８ 精品资料每天更新
2
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由 2k 2x 2k , k Z
2
42
解得 3π kπ x π kπ, k Z
8
8Байду номын сангаас
………4 分 ………5 分
所以，函数
f
(x)
的单调递增区间为
3π 8
kπ,
π 8
kπ
,
k
Z
.………6
2021 届高三“五校”联考理数答案
2020 年 12 月 4 日
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
选项 B
C
A
D
D
C
B
D
C
A
C
B
11.【解析】
由对称轴和零点可知
π 4
(
π) 4
2k 1T 4
k
N ,T
2
，得到
2k
1, k N
①
由
f
(x) 在区间 ( π ，π ) 上单调可知
A，B
是圆
O
上两点，
AOB
2020-2021学年安徽省高考数学一模试卷(理科)及答案解析
安徽省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若复数z满足zi=1+2i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i2．已知集合A、B是非空集合且A⊆B，则下列说法错误的是（）A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x0∈A，x0∈B C．A∩B=A D．A∩（∁u B）≠∅3．已知数列{a n}为等差数列，a1+a8+a15=π，则cos（a4+a12）则的值为（）A．﹣B．C．D．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．6．已知函数的图象经过点，且f（x）的相邻两个零点的距离为，为得到y=f（x）的图象，可将y=sinx图象上所有点（）A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变7．定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），已知函数y=2f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的单调递减区间为（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）8．在△ABC外，分别以AC、BC、AB为边作正方形，得到三个正方形的面积依次为S1、S2、S3，若S1+S2=S3=8，则△ABC的面积最大值是（）A．2 B．C．4 D．9．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）10．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）A．2πB．πC．πD．π11．设函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）12．已知直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A、B，线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C．分别过A、B作抛物线的切线交于点E，则关于点C、D、E三点横坐标x c、x D，x E的表述正确的是（）A．x D＜x C＜x E B．x C=x D＞x E C．x D=x c＜x E D．x C=x D=x E二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是______．14．抛物线y2=﹣12x的准线与双曲线﹣=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于______．15．已知某四棱锥的三视图所示，其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则几何体的体积是______．16．正12边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设函数．（1）求函数f（x）最小正周期；（2）设△ABC的三个内角A、B、C的对应边分别是a、b、c，若，，，求b．18．第五届全国绿色运动健身大赛于2015年10月24日在安徽池州开赛．据了解，本届绿运健身大赛以“绿色池州、绿色运动、绿色生活”为主题．为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：休闲方式逛街上网合计性别男10 50 60女10 10 20合计20 60 80（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男生，设调查的3人在这一段时间以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）求a的值；（e为自然对数的底数，e=2.781828…）；（2）当a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当1＜x＜2时，证明：．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．.[选修4-1：平面几何选讲]22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若复数z满足zi=1+2i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由zi=1+2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由zi=1+2i，得，则复数z的共轭复数=2+i．故选：D．2．已知集合A、B是非空集合且A⊆B，则下列说法错误的是（）A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x0∈A，x0∈B C．A∩B=A D．A∩（∁u B）≠∅【考点】特称命题．【分析】利用元素与集合之间的关系、集合的运算性质即可判断出正误．【解答】解：∵集合A、B是非空集合且A⊆B，∴∃x0∈A，x0∈B；∀x0∈A，x0∈B；A∩B=A；A∩（∁u B）=∅．因此A，B，C，正确，D错误．故选：D．3．已知数列{a n}为等差数列，a1+a8+a15=π，则cos（a4+a12）则的值为（）A．﹣B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得到，cos（a4+a12）=cos（2a8）=cos，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a1+a8+a15=3a8=π，∴，∴cos（a4+a12）=cos（2a8）=cos=﹣cos=﹣．故选：A．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】由茎叶图可得工人加工的零件数，可得优秀工人数，列举法和概率公式可得．【解答】解：由茎叶图可知6名工人加工零件数为：17，19，20，21，25，30，平均值为：（17+19+20+21+25+30）=22，优秀的为25，30有2人，从该车间6名工人中，任取2人共有15种取法：（17，19）（17，20）（17，21）（17，25）（17，30）（19，20）（19，21）（19，25）（19，30）（20，21）（20，25）（20，30）（21，25）（21，30）（25，30）．其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：（17，25）（17，30）（19，25）（19，30）（20，25）（20，30）（21，25）（21，30）（25，30）．由概率公式可得P==，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．6．已知函数的图象经过点，且f（x）的相邻两个零点的距离为，为得到y=f（x）的图象，可将y=sinx图象上所有点（）A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求ω，通过函数经过的特殊点求出φ，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，加减的单位是自变量x的变化的单位；图象伸缩变换的规律：横坐标变为坐标系x乘的数的倒数；纵坐标变为三角函数前面乘的数倍，即可得解．【解答】解：（1）由题意可知，T=×2=π，ω==2，∵sin[2•（﹣）+φ]=0，∴φ=kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ=，可得：f（x）=sin（2x+）．∴将y=sinx的图象先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到y=f（x）的图象．故选：B．7．定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），已知函数y=2f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的单调递减区间为（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】函数的图象．【分析】结合图象及指数函数的性质可判断f′（x）的正负，从而确定函数的单调性．【解答】解：结合图象可知，当x∈（﹣∞，2]时，2f′（x）≥1，即f′（x）≥0；当x∈（2，+∞）时，2f′（x）＜1，即f′（x）＜0；故函数y=f（x）的单调递减区间为（2，+∞），故选D．8．在△ABC外，分别以AC、BC、AB为边作正方形，得到三个正方形的面积依次为S1、S2、S3，若S1+S2=S3=8，则△ABC的面积最大值是（）A．2 B．C．4 D．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得：a2+b2=c2=8，可得C=90°，于是S△=，再利用基本不等式的性质即ABC可得出．【解答】解：由题意可得：a2+b2=c2=8，∴C=90°，△ABC是直角三角形，∴S△=≤=2，当且仅当a=b=2时取等号．ABC故选：A．9．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则平面区域内必存在一个点在直线x﹣2y=2的下方，由图象可得a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：直线x﹣2y=2的斜率为斜截式方程为y=x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，直线y=x﹣1经过交点A的坐标为（，）的下方，B（，a）的上方，即﹣1＞a，解得a＜﹣．故a的取值范围是：（﹣∞，﹣）．故选：B．10．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）A．2πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】找出二面角的平面角，设球的半径为R，则R2=（﹣R）2+（）2，求出R，即可求出球的体积．【解答】解：作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，CH=，OH=，CO=结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，设球的半径为R，则R2=（﹣R）2+（）2，∴R=∴V==．故选：D．11．设函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先利用函数的导数求函数的单调区间，进一步分离参数法，构造辅助函数，利用导数的求得函数的最小值，即可求出函数中a的取值范围．【解答】解：f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）=cos2x﹣asinx≥0，∴1﹣2sin2x﹣asinx≥0，设t=sinx，t∈（0，1]，即﹣2t2﹣at+1≥0，t∈（0，1]，∴a≤﹣2t+，令g（t）=﹣2t+，则g′（t）=﹣2﹣＜0，∴g（t）在（0，1]递减，∴a≤g（1）=﹣1，∴a≤﹣1．故选：B．12．已知直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A、B，线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C．分别过A、B作抛物线的切线交于点E，则关于点C、D、E三点横坐标x c、x D，x E的表述正确的是（）A．x D＜x C＜x E B．x C=x D＞x E C．x D=x c＜x E D．x C=x D=x E【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B．直线方程与抛物线方程联立，化为：x2﹣2pkx﹣2pb=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x D．对抛物线x2=2py两边求导可得：y′=．可得切线方程，进而得到交点E的横坐标，由题意可得：k=，即可得出结论．【解答】解：设A，B．联立，化为：x2﹣2pkx﹣2pb=0，△＞0，∴x1+x2=2pk，可得x D==pk．对抛物线x2=2py两边求导可得：y′=．可得经过点A的切线方程：y﹣=（x﹣x1），经过点B的切线方程：y﹣=（x﹣x2），联立解得x E==x D．经过点C的切线的斜率为，由题意可得：k=，∴x C=pk．综上可得：x C=x E=x D．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10 ．【考点】二项式定理．【分析】先求得n=5，以及二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得含x的项的系数．【解答】解：由题意可得2n=32，n=5，展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣2r•x﹣r=•x10﹣3r．令10﹣3r=1，r=3，故展开式中含x项的系数是=10，故答案为10．14．抛物线y2=﹣12x的准线与双曲线﹣=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程算出其准线方程为x=3，由双曲线的方程算出渐近线方程为y=±x，从而得到它们的交点M、N的坐标，再利用三角形的面积公式算出△OMN的面积，可得答案．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣12x，∴抛物线的焦点为F（﹣3，0），准线为x=3．又∵双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x．∵直线x=3与直线y=±x相交于点M（3，），N（3，﹣），∴三条直线围成的三角形为△MON，以MN为底边、O到MN的距离为高，可得其面积为S=×|MN|×3=×[﹣（﹣）]×3=3．故答案为：．15．已知某四棱锥的三视图所示，其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，判断几何体的结构特征，结合直观图求相关几何量的数据，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图：其中SA⊥ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB=AD=4，BC=1，SA=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故答案为：．16．正12边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，求出正12变形的边长，在由题意可得，从、、、…、这12个向量中任取两个，使它们的数量积最大，则两向量夹角最小，则两向量为相邻两向量，由此可得答案．【解答】解：如图，由多边形内角和定理可知，正12边形A1A2…A12内角和为（12﹣10）×180°=1800°，则每一个内角为，∠A1OA2=30°，在△A1OA2中，又OA1=OA2=1，由余弦定理可得：，由题意可知，、、、…、的模相等，从、、、…、这12个向量中任取两个，使它们的数量积最大，则两向量夹角最小，则两向量为相邻两向量，不妨取、，则S==．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设函数．（1）求函数f（x）最小正周期；（2）设△ABC的三个内角A、B、C的对应边分别是a、b、c，若，，，求b．【考点】三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（1）本题考查三角函数的性质，首先要把原式进行整理，用两角和的余弦公式展开，合并同类项，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期的公式得到结果．（2）本题结合三角形的问题求解，注意三角形本身的隐含条件，先根据上一问的结果做出角C 的正弦值，角B的正弦值，最后应用正弦定理解出要求的边长．【解答】解：（I）=+==．∵ω=2，∴．∴f（x）的最小正周期为π．（II）由（I）得f（x）=，∴=．又，∴=，∴，∵△ABC中，，由正弦定理，得，∴．18．第五届全国绿色运动健身大赛于2015年10月24日在安徽池州开赛．据了解，本届绿运健身大赛以“绿色池州、绿色运动、绿色生活”为主题．为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：休闲方式逛街上网合计性别男10 50 60女10 10 20合计20 60 80（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男生，设调查的3人在这一段时间以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据提供的列联表，计算观测值K2，比较数表即可得出正确的结论；（2）以题意，得出随机变量X的可能取值与每个男性在周末以上网为休闲方式的概率，【方法一】计算X对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【方法二】根据题意得X～B（3，），写出P（X=k）与数学期望值．【解答】解：（1）根据提供的列联表得，K2===≈8.889＞6.635，所以有99%的把握认为“周末年轻居民的休闲方式与性别有关”；（2）以题意，随机变量X的取值为0、1、2、3，且每个男性在周末以上网为休闲方式的概率为P=；【方法一】根据题意得，P（X=0）=•=，P（X=1）=••=，P（X=2）••=，P（X=3）=•=；所以X的分布列为：X 0 1 2 3P所以数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．【方法二】根据题意得，X～B（3，），所以P（X=k）=••，k=0，1，2，3；数学期望EX=np=3×=．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AC1，CB1，取CC1的中点O，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面OAB1．由此能证明CC1⊥AB1．（2）以O为原点，以OB1，OC1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．【解答】证明：（1）连接AC1，CB1，则△ACC1和△BCC1皆为正三角形．取CC1的中点O，连接OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，又OA∩OB1=O，所以CC1⊥平面OAB1．又AB1⊂平面OAB1，所以CC1⊥AB1．解：（2）由（1）知，，又，所以OA⊥OB1．如图所示，以O为原点，以OB1，OC1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设平面CAB1的一个法向量为，因为，所以取．设平面A1AB1的一个法向量为，因为，所以取．则，∴sin＜＞==．所以二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使•为定值，定点为（，0）．【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，所以，代入①得c=2，所以b2=a2﹣c2=2．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即，此时=为定值，定点E为．21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）求a的值；（e为自然对数的底数，e=2.781828…）；（2）当a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当1＜x＜2时，证明：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得a的值；（2）求导数，构造辅助函数g（x）=lnx++1﹣a，求导，令g′（x）=0，求得g（x）的最小值，判断f′（x）≥0，可判断函数的单调性；（3）由（2）知f（x）在（1，2）上是增函数，可知（x+1）lnx＞2（x﹣1），即＜利用函数的单调性，求得﹣＜，根据对数函数的运算即可证明不等式成．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，x∈（0，+∞）由题意可知：=f′（e），整理得：e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e（1++1﹣a），解得a=2；（2））f′（x）=lnx++1﹣a，记g（x）=lnx++1﹣a，g′（x）=，令g′（x）=0，x=1，∴g（x）min=g（1）=2﹣a，∵a≤2，∴2﹣a≥0，∴g（x）≥g（1）=0，f′（x）≥0，∴函数f（x）的定义域上为增函数；（3）证明：由（2）知当a=2时，f（x）在（1，2）上是增函数，∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），∴＜，①∵1＜x＜2，∴0＜2﹣a＜1，，∴＜=，即﹣＜，②①+②得：﹣＜+=∴原式成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．.[选修4-1：平面几何选讲]22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出的值．（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．【解答】解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，∴△EDC∽△EBA，∴，==，∴=．证明：（2）∵EF2=FA•FB，∴，∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA=∠EBF，∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f（x）的最小值．（2）根据=（+）•，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，故函数的减区间为（﹣∞，]，增区间为（，+∞），故当x=时，函数f（x）取得最小值为a=．（2）已知m，n＞0，m+n=a=，∴=（+）•=[1+++4]=+（+）≥+•2=6，当且仅当=时，取等号，故的最小值为6．。
安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题及答案
利用赋值法令 求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
解：
常数项是 ，
令 求各项系数和， ，
则除常数项外，其余各项系数的和为 .
故选：B
10．D
由函数图象可得 ,由 ,可得 ,由周期公式可得 ,由 在函数图象上,又 ,可解得 ,从而可得 ,根据左加右减平移变换规律,即可得解.
解：
由图可知 ,
, ,
,故 ,
又 , ,
,即
的图象向右平移 个单位长度后得到的函数解析式为: ,
故选:D.
点评：
本题主要考查了根据三角函数图象求解析式和平移变换,解题关键是掌握正弦函数的基础知识和平移变换的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11．D
利用对数函数的单调性比较 、 、 与 的大小关系，利用中间值法判断出 、 的大小关系，综合可得出 、 、 、 的大小关系.
13．6
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
解：
表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数 可化为 ，故求z的最大值，即为 在上下平移时，纵截距的最小值，
如图示，过B(2,4)时，纵截距最小，z最大.
此时
故答案为：6.
点评：
简单线性规划问题的解题步骤：
(1)画出可行域;
(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；
，
所以二面角 的余弦值为 .
点评：
本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
安徽省芜湖市2021届高三上学期期末考试理科数学试题 扫描版
高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）2020-2021学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控高三年级数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号答案1D 2C 3C 4B 5A 6C 7D 8B 9B 10C 11A 12A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.314.4515.36π16.2三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（一）必做题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）解（1）∵a n +1=S n +1，∴a n =S n -1+1(n ≥2)∴a n +1-a n =a n ，即∴a n +1=2a n (n ≥2).又a 2=S 1+1=a 1+1，S 2=a 1+a 2=3∴a 1=1,a 2=2，∴a 2=2a 1也满足a n +1=2a n (n ≥2).∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n =2n -1（5分）（2）由（1）知b n =a n (a n +1)(a n +1+1)=2n -1(2n -1+1)(2n +1)=12n -1+1-12n +1.∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =(120+1-121+1)+(121+1-122+1)+⋯+(12n -1+1-12n +1)=120+1-12n +1=12-12n +1<12.(12分)18.（12分）（1）证明：连DC 1，由B 1C ⫽AD ，得B 1C 1-//DE ，故四边形B 1EDC 1为平行四边形.B 1E -//C 1D ，C 1D ⊂平面CDD 1C 1，B 1E ⊄平面CDD 1C 1，所以B 1E ⫽平面CDD 1C 1，（5分）（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，∠BAD =120°，所以AG ⊥BC ，AG ⊥AD ，又AA 1⊥面ABCD ，所以AG ，AD ，AA 1两两互相垂直.以A 为坐标原点， AG ， AD ， AA 1为正方向建立空间直角坐标系A -xyz .由AB =2，得AG =3，设M (0,t ,0)，其中t ∈[0,2].A 1(0,0,1),B 1(-12,1)， A 1M =(0,t ,-1)，A 1B 1=(-12,0).设 n 1=(x ,y ,z )1B 1的一个法向量，则ìíî n 1⋅ A 1B 1=0, n 1⋅ MA 1=0,即îïx -12y =0,ty -z =0.可取 n 1=(1,3,3t ).1高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）易知平面A 1B 1D 1一个法向量为 n 2由cos < n 1, n2>= n 1· n 2| n 1|| n 2|=3t 1+3+3t 2=得t =12，故M 为AD 边上靠近A 的四等分点.（12分）19.（12分）解：（1）列2×2列联表：2020年在直播平台购物2020年未在直播平台购物合计男生402060女生35540合计7525100K 2=100(40×5-35×20)275×25×60×40≈5.556<6.635.故没有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关（5分）（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为Y ，则Y =0,1,2,3,4，且Y~B (4,34),X =Y -(4-Y )=2Y -4，故X =-4,-2,0,2,4,且P (X =-4)=P (Y =0)=C 04(14)4=1256，P (X =-2)=P (Y =1)=C 14(34)1(14)3=364，P (X =0)=P (Y =2)=C 24(34)2(14)2=27128，P (X =2)=P (Y =3)=C 34(34)3(14)=2764P (X =4)=P (Y =4)=C 44(34)4=81256所以X 的分布列为XP-41256-236402712822764481256E (Y )=4×34=3，E (X )=E (2Y -4)=2E (Y )-4=2×3-4=2，即E (X )=2（12分）20.（12分）（1）解：因为椭圆C e =c a=,a 2=32b 2，即C :x 232b 2+y 2b 2=1，又因为椭圆C 过点A (32,)，所以23⋅94b 2+12b2=1，解得b 2=2椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.（5分）2高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）（2）证明：设直线AB 的方程为y =k (x -32)+因为直线AB 与直线AC 的倾斜角互补，所以直线AC 的方程可设为y =-k (x -32)+联立ìíîïïïïy =k (x -32)+x 23+y 22=1得(2+3k 2)x 2+(-9k +32k )x +3(-32k+)2-6=0.（6分）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)，则x 1+32=-2∴x 1=--32=92k 2-32k -32+3k 2.同理可得x 2=92k 2+32k -32+3k 2.k BC =y 1-y 2x 1-x 2=k (x 1+x 2)-3k x 1-x 2=k 9k 2-62+3k 2-3k -62k =-12k 2+3k 2-62k =2.又k AF =2-032-1=2，∴k BC =k AF ，所以BC //AF .（12分）21.（12分）解：（1）函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )=ae x -2.①当a ≤0时，f ′(x )<0，所以f (x )在R 上单调递减；②当a >0时，令f ′(x )=0得x =ln 2a .若x ∈(-∞,ln 2a )，f ′(x )<0；若x ∈(ln 2a ,+∞)，f ′(x )>0；所以f (x )在(-∞,ln 2a )单调递减，在(ln 2a ,+∞)单调递增.综上所述，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减.当a ＞0时，f (x )在（-∞,ln 2a ）单调递减；f (x )在(ln 2a,+∞)单调递增.（5分）（2）g (x )=ae x +x ln x -2x +1设函数h (x )=g (x )x =ae x x +ln x +1x-2h ′(x )=ae x (x -1)x 2+1x -1x 2=(ae x +1)(x -1)x 2因为a >0，所以h ′(x )=0得x =1.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )在(0,1)上单调递减.当x ∈(1,+∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(1,+∞)上单调递增.所以当x =1时，h (x )取最小值，最小值为h (1)=ae -1.3高三年级数学（理科）试题参考答案第页（共4页）若a =1e 时，h (1)=0，所以函数h (x )只有1个零点；若a >1e时，h (x )≥h (1)>0，所以函数h (x )无零点；若0<a <1e 时，h (1)<0，h (e -2)=a e e -2e-2-2+e 2-2>e 2-4>0，h (e 2)=a e e 2e 2+2+1e 2-2>0，故h (1)h (e -2)<0，h (1)h (e 2)<0；所以函数h (x )在(1,e -2)和(1,e 2)各有一个零点，所以函数h (x )有两个零点.综上所述，当a =1e 时，函数g (x )只有1个零点；当a >1e 时，函数g (x )无零点；当0<a <1e时，函数g (x )有两个零点（12分）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）解：（1）曲线C 2的直角坐标方程为：x 2+(y -2)2=4，当θ为参数时，曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=t 2，又曲线C 1与C 2只有一个公共点，故C 1与C 2的位置关系是外切或内切.（i ）当C 1与C 2外切时，(2-0)2+(0-2)2=t +2,解得t =22-2；（ii ）当C 1与C 2内切时，(2-0)2+(0-2)2=t -2,解得t =22+2故t =22-2或者t =22+2.（5分）（2）当t 为参数时，曲线C 1为过点(2,0)的直线，又曲线C 2是半径为2的圆，且|AB|=4，则直线C 1过C 2的圆心(0,2)，则直线C 1的斜率k =2-00-2=-1，因为θ∈[0,π)，所以θ=34π.（10分）23.（10分）解：（1）f (x )=|x +5|+|2x -2|=ìíîïï-3x -3,x <-5-x +7,-5≤x <13x +3,x ≥1，当x <-5时，由-3x -3≥12得x <-5，当-5≤x <1时，由-x +7≥12得x =-5，当x ≥1时，由3x +3≥12得x ≥3，综上知：不等式f (x )≥12的解集为(]-∞,-5⋃[)3,+∞．（5分）（2）由题意可知：m =6，则a 2+b 2+c 2=6，则1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3=112[]()a 2+1+()b 2+2+()c 2+3×()1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥112×()1+1+12=34．（当且仅当a 2=3,b 2=2,c 2=1时取等号）（10分）4。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题
合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。
故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。
2021届安徽省六安市新安中学高三上学期第三次周考数学(理)试题
新安中学2020-2021学年度（上）高三第三次周考（理科）一、单选题1．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ）A ．AB ⊆B ．A B A ⋃=C ．AB =∅D ．()I A B ⋂≠∅2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．503．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当302x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()12log 1f x x =-，则()()20172019f f +=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =8．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，11．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．记命题p 为“点(),M x y 满足222(0)x y a a +≤>”，记命题q 为“(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩”,若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为______． 14．若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a = ．15．()12012x x dx -+=⎰ __________．16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．三、解答题17．已知 2,[2,4]x y x =∈的值域为集合A ，22log [(3)2(1)]y x m x m =-++-+定义域为集合B ，其中1m ≠．（1）当4m =，求AB ；（2）设全集为R ，若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围．18．设函数2()1ln f x x x =+- （1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()()g x f x x =-在区间1[,2]2上的最小值．19．已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．20．（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1xf x a lnx =--． （1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．21．设函数()2ln xf x ea x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.22．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解. 【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥，由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A =，I A B ⋂=∅，故选A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 3．C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 4．B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5．B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 6．A 【解析】 【分析】根据题意，对3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形可得()()3f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得()()20171f f =，()()20190f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出()0f 与()1f 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 满足任意的x R ∈都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3f x f x =-， 则函数()f x 是周期为3的周期函数，()()()2017167231f f f =+⨯=，()()()201967330f f f =⨯=又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()12log 1f x x =-，则()()121log 111f ⎡⎤-=--=-⎣⎦，则()()111f f =--=；故()()()()20172019011f f f f +=+=； 故选A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 8．D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 9．C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 10．D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 11．B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 12．A 【解析】 【分析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 13．1625【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，p 是q 的充分不必要条件，判断圆与可行域的关系，然后求解a 的最大值即可． 【详解】(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：记命题p 为“点(),M x y 满足22x y a +≤（0a >）”，记命题q 为“(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩”，若p 是q 的充分不必要条件，说明圆的图形在可行域内部，则实数a 的最大值就是圆与直线4340x y -+=相切时，半径取得最小值，即()22416,.2543a a =∴=+-即答案为1625. 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充分不必要条件的应用，考查数形结合以及计算能力． 14．1 【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为 函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．15．14π+【解析】 【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可。
2020-2021学年安徽省合肥六中高三上学期期中(理科)数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省合肥六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．36．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣4418．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．610．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．4811．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（共4小题）.13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{0＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，故A，C，D均错误，B正确，故选：B．2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°解：与角2021°终边相同的角是：k•360°+2021°，k∈Z，当k＝﹣5时，与角2021°终边相同的角是221°．故选：A．3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m解：∵0＜0.92020＜0.90＝1，20200.9＞20200＝1，log0.92020＜log0.91＝0，∴p＜m＜n．故选：C．4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵，，且，∴，解得．故选：B．5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．3解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是在x＞0时，函数是连续的增函数，∵f（e）＝1+e﹣4＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴函数的零点所在的区间为（e，3），g（x0）＝[x0]＝2．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．解：∵A，B选项中，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，即f（x）+f（﹣x）＝0，即，∴k＝±1，当k＝1时，f（x）的图象为选项A；当k＝﹣1时，f（x）的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（x）＝f（﹣x），即，∴k＝0，当k＝0时，f（x）≥0，故f（x）的图象为选项D，不可能为选项C．故选：C．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣441解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）＝1，即a1＝1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2＝a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2＝1+5d+5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+...+a19﹣a20+a21＝1﹣3+5﹣7+ (37)39+41＝﹣2×10+41＝21．故选：A．8．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．解：函数满足，所以φ）＝0，由于，故φ＝．所以f（x）＝A sin（2x+），令（k∈Z），解得（k∈Z）．当k＝1时，解得．故选：D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．6解：如图所示，过点P作PF∥AC，交VC于点F，过点F作FE∥VB交BC于点E，过点E作EQ∥AC，交AB于点Q；由作图可知：EQ∥PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得EF＝PQ＝VB＝2，EQ＝PF＝AC＝1；所以截面四边形EFPQ的周长为2×（2+1）＝6．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．48解：∵a n+2＝a n+1+a n，∴a3＝a2+a1，a4＝a3+a2＝2a2+a1，a5＝a4+a3＝3a2+2a1，a6＝a5+a4＝5a2+3a1，a7＝a6+a5＝8a2+5a1，a8＝a7+a6＝13a2+8a1，a9＝a8+a7＝21a2+13a1，∴a1+a2+…+a9＝54a2+34a1＝2×（27a2+17a1），∵4a5+3a6＝16，∴4（3a2+2a1）+3（5a2+3a1）＝16，即27a2+17a1＝16，∴a1+a2+…+a9＝2×（27a2+17a1）＝2×16＝32，故选：C．11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．解：交点O既在平面ECF上，又在平面D1DBB1上，∴O在面ECF与面D1DBB1的交线上，延展平面ECF，得到面ECHF，H在C1D1上，则K，M都即在面ECFH上，又在平面D1DBB1上，∴KM为面ECFH与面D1DBB1的交线，∴O在KM上，∵O在DB1上，∴DB1∩KM＝O，取出平面D1DBB1，∵△KOB1∽△MOD，∴＝．由△DMC∽△BME，得DM＝，设G为C1D1的中点，由三角形相似可得，再由题意可得A1G∥FH，则，则．∴＝＝．故选：A．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）解：不等式在（0，+∞）上恒成立，即不等式＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx恒成立，设f（x）＝（e x+1）x（x＞0），则f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+1）+1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝（x＞0），∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为2．解：（cos x+sin x）dx＝（sin x﹣cos x）＝（sin﹣cos）﹣（sin0﹣cos0）＝（1﹣0）﹣0+1＝2．故答案为：2．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y ＝0．解：由，得f′（x）＝2f′（）+sin x，取x＝，得f′（）＝2f′（）+sin，解得f′（）＝﹣1，∴f′（x）＝﹣2+sin x，得f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣cos0+1＝0，∴f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x，即2x+y＝0．故答案为：2x+y＝0．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为18．解：∵，∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sin＝，设x＝sinαcosβ，y＝cosαsinβ，则x+y＝，∵α、β均为锐角，∴x＞0，y＞0，∴＝+＝2（x+y）（+）＝2（1+4+）≥2×（5+2）＝18，当且仅当＝，即＝，即x＝，y＝时，等号成立．∴的最小值为18．故答案为：18．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为11π．解：如图：点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，∴点M为正方形CDD1C1对角线的交点，∴MCC1是等腰直角三角形，M是直角顶点，设E是CC1的中点，则E是△MCC1的外心，取F是BB1的中点，则EF∥BC，而BC⊥平面CDD1C1，∴EF⊥平面CDD1C1，∴三棱锥M﹣A1CC1的外接球的球心O在直线EF上，由已知可计算FC＝＝，A1F＝＝＞FC，∴点O在EF的延长线上，设OF＝x，则由OA1＝OC，可得（）2+x2＝（x+1）2+（）2，解得x＝，∴OC＝＝，∴外接球表面积是S＝4π×（）2＝11π，故答案为：11π．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为sinθ+cosθ＝，所以（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝（）2＝，即sin2θ＝，又θ∈（﹣，），所以2，所以2θ＝﹣，θ＝﹣．（2）由（1）可得θ＝﹣，则f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），所以f（x）＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos2x﹣+cos（2x﹣）＝﹣cos2x+（cos2x+sin2x）＝sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则k≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k，kπ+]，k∈Z．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，，两式相减得：a n＝3n﹣2．数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．所以log3b n＝1﹣n，所以．（2）c n＝a2n+1+b2n+1＝，所以＝19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．解：（1）证明：在△ABC中，AB2+BC2＝20＝AC2，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为BC＝BB1，AC＝AB1，AB＝AB，所以△ABC≌△ABB1．所以∠ABB1＝∠ABC＝90°，即AB⊥BB1．又BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1．又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1B1．（2）解：由题意知，四边形BCC1B1为菱形，且∠BCC1＝60°，则△BCC1为正三角形，取CC1的中点D，连接BD，则BD⊥CC1．以B为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），B1（0，4，0），A（0，0，2），，．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），，．由，得取x＝1，得＝（1，0，）．由四边形BCC1B1为菱形，得BC1⊥B1C；又AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C；又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，所以平面ABC1的法向量为．所以cos＜＞＝＝＝．设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，则sinθ＝＝．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由，即，∴，sin A≠0，∴a2﹣c2＝bc，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴a2﹣c2＝b2﹣2bc cos A，∴b2﹣2bc cos A＝bc，∴b﹣2c cos A＝c，∴sin B﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin（A+C）﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin A cos C﹣cos A sin C＝sin C，∴sin（A﹣C）＝sin C，∵A，B，C∈（0，π），∴A＝2C．（Ⅱ）解：∵A＝2C，∴B＝π﹣3C，∴sin B＝sin3C．∵且b＝2，∴，∴＝＝，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴，∴，∵为增函数，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝cos x，α，β为锐角，＝cos（α+β），∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2．∵，∴cos2α＝＝＝＝﹣．tan2α＝＝＝﹣，故2α为钝角．tan（β﹣α）＝tan[（α+β）﹣2α]＝＝＝．（2）∵函数g（x）＝3f（2x）+1＝3cos2x+1∈[﹣2，4]，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3＝（a+1）[g（x）+3]有解，令t＝g（x）+3，则t∈[1，7]，且（t﹣3）2≥（a+1）t有解，即a+1≤t+﹣6能成立，即a+7≤（t+）能成立．由于函数h（t）＝t+在[1，3]上单调递减，在[3，9]上单调递增，h（1）＝10，h（9）＝10，故h（t）在[1，7]上的最大值为10，故有a+7≤10，即a≤3，故a的最大值为3．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）解：（1）由f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1），得f′（x）＝m﹣1﹣lnx．当m﹣1≤0，即m≤1时，f′（x）＞0对x＞1恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；当m﹣1＞0，即m＞1时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣1，由f′（x）＞0，得1＜x＜e m﹣1，由f′（x）＜0，得x＞e m﹣1，∴f（x）在x＝e m﹣1处取得极大值，且极大值为f（e m﹣1）＝me m﹣1﹣（m﹣1）e m﹣1＝e m﹣1．综上所述，当m≤1时，f（x）无极值；当m＞1时，f（x）的极大值为e m﹣1，无极小值．（2）∵当x＞1时，f（x）＜2x+m恒成立，∴当x＞1时，mx﹣xlnx＜2x+m，即m＜对x＞1恒成立，令h（x）＝，得h′（x）＝，令g（x）＝x﹣lnx﹣3，则g′（x）＝1﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝1﹣＞0，得g（x）是增函数，由g（x1）＝x1﹣lnx1﹣3＝0，得lnx1＝x1﹣3，∵g（4）＝4﹣ln4﹣3＝1﹣ln4≈1﹣1.39＝﹣0.39＜0，g（5）＝5﹣ln5﹣3＝2﹣ln5≈2﹣1.61＝0.39＞0．∵g（x1）＝0，g（x）为增函数，∴4＜x1＜5，当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x＝x1时，h（x）取得最小值为h（x1），∴m＜h（x1）＝，又m为正整数，∴m≤4，故m的最大值为4．。
安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测理科数学答案
安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测理科数学试题参考答案1．B 【思路点拨】首先解出两个集合，再根据交集的定义求A B【解析】22660x x x x >-⇔--<，解得：23x -<<， 即{}23A x x =-<<，5222x<=，解得：52x <，即52B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，52,2AB ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.故选：B2．D 【思路点拨】由复数除法化简复数为代数形式，然后由复数的分类求解．【解析】2()(2)222122(2)(2)555a i a i i a ai i i a a i i i i ++++++-+===+--+，它为纯虚数， 则2105a -=且205a +≠，解得12a =． 故选：D ．3．B 【思路点拨】模拟程序运行，确定变量的值，判断循环条件得出结论．【解析】程序运行时变量值在循环体变化如下：1,1,1a S n ===，判断不满足4?n >；3,4,2a S n ===，判断不满足4?n >；5,9,3a S n ===，判断不满足4?n >；7,16,4a S n ===，判断不满足4?n >；9,25,5a S n ===，满足4?n >，输入25S =．故选：B ．4．C 【思路点拨】频率分布直方图中求出频率0.5对应的数值即可得．【解析】由频率分布直方图在区间[10,60)上的频率为(0.0040.012)250.4+⨯=，中位数在[60,85)上，设中位数为x ，600.50.4250.01625x --=⨯，解得66.25x =． 故选：C ．5．D 【思路点拨】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，即可判断各选项是否正确.【解析】对于A ，若//m α，n ⊂α，则直线,m n 可以平行，也可以异面，所以A 错误； 对于B ，因为αβ⊥不一定能成立，所以当m αβ=，n β⊂，n m ⊥时，n α⊥不一定成立，所以B 错误；对于C ，若//m α，//n β，//m n ，则//αβ，或平面α与平面β相交，所以C 错误； 选项D ：若m α⊥，n β⊥，n m ⊥，则αβ⊥成立，所以D 正确. 故选:D.【名师指导】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系判断，对空间想象能力要求较高，属于中档题.6．B 【思路点拨】先分配甲，按甲分到D 班和不分到D 班分类讨论．再分配丁，最后考虑乙和丙即可得．【解析】甲分到D 班，有336A =种方法；甲分到B 或C 班，有方法数1122228C C A =，总共有方法数为6814+=种． 故选：B ．【名师指导】关键点点睛：本题考查排列组合的综合运算，解题关键是确定完成事件的方法，对于特殊元素特殊位置需优先安排．本题完成分配方案可先安排甲，然后安排丁，最后安排乙和丙，安排甲时需分类讨论：甲安排在D 班时，另外三人随便安排即可，甲安排在BC 两班之一，由丁只有两个班可安排，最后再安排乙丙，由此应用乘法原理和加法原理可得结论． 7．B 【思路点拨】由函数()()x f x ωϕ=+()()0,0,ωϕπ>∈的最小正周期为2π可计算出4ω=，然后根据三角函数图象的平移变换规律及三角函数的图象与性质得到关于ϕ的方程，即可得解． 【解析】由题意得242πωπ==，故()()4f x x ϕ=+，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数24463y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，由243y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数得232k ππϕπ-+=+，k ∈Z 得76k πϕπ=+，k ∈Z ， ()0,ϕπ∈，6π=ϕ，故选：B ．【名师指导】本题是基础性题目，属于课程学习情境，具体是数学推理学习情境．考查逻辑思维能力和运算求解能力． 8．B 【思路点拨】计算出12c =，然后由指数函数和幂函数的性质比较,a b 与12的大小．【解析】91log 32c ==，121553422933b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又11554119322b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<． 故选：B ．【名师指导】本题考查幂和对数的大小，掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题关键．能利用函数单调性的利用单调性比较，不能利用函数的单调性的或不同类型的数的可以与中间值如0或1等比较，本题对数值为12，然后把幂与12比较可得． 9．C 【思路点拨】由10AF =求出A 点坐标，求出O 关于准线的对称点P ，线段PA 的长就是所求最小值．【解析】易知抛物线28x y =的焦点为(0,2)F ，准线为:2l y =-，设(,)A x y ，不妨设0x >，210AF y =+=，8y =，则2864x y ==，8x =，O 关于准线l 的对称点为(0,4)P -，MA MO MA MP AP +=+≥，当且仅当,,A M P 三点共线时，等号成立，AP ==所以|MA |+|MO |的最小值为 故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查直线上动点到两定点距离和的最小值问题，根据是平面上两点间线段最短，解题方法是利用对称性求出其中一个定点关于定直线的对称点，然后求出这个对称点与另一定点的距离即为最小值．10．C 【思路点拨】确定函数()f x 的性质，作出函数()f x 的图象，解方程(())30f f x +=时，先确定()3=-f t 的解t ，并确定解的范围，然后再研究()f x t =的解，这样可得结论．注意数形结合思想的应用．【解析】作出函数()f x 的图象，0x <时，1()2f x x x=+≤-（1x =-时取等号），(,1)-∞-上()f x 递增，(1,0)-上()f x 递减，(0,)+∞上()f x 递增，由图象可知()3=-f t 有三个解123,,t t t ，不妨设12310t t t <-<<<，由于1(2)232f -=-->-，因此12t <-， 于是1()f x t =有3个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有一个解，共5个解． 故选：C ．【名师指导】关键点点睛：本题考查方程的根与函数零点个数问题，解题方法是用换元法把方程的解的个数转化转化为函数图象与直线交点个数，转化是解决这类问题的关键．11．C 【思路点拨】分析出等差数列{}n a 的公差大于零，由87<1a a -分析出70a <，780a a +>，可得出130S <，140S >，进而可得出结果.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，87<1a a -，所以，8787710a a aa a ++=<，可得()7780a a a +<，由于等差数列的前n 项和n S 有最小值，且2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则02>d，即0d >， 所以，78a a <，若70a >，则870a a >>，这与()7780a a a +<矛盾，所以，70a <，780a a +>， 则()113137131302a a S a +==<，()()114147814702a a S a a +==+>，因此，当0n S <时，n 的最大值为13.故选：C.【名师指导】方法点睛：对于等差数列前n 项和的最值，可以利用如下方法求解： （1）将n S 表示为有关n 的二次函数，结合二次函数图象的开口方向与对称轴来处理； （2）从项的角度出发：①若n S 有最大值，只需将数列{}n a 中所有的非负项全部相加； ②若n S 有最小值，只需将数列{}n a 中所有的非正项全部相加.12．A 【思路点拨】利用导数确定函数是减函数，证明()(2)1f x f x +-=，这样不等式可化为12()()f x f x ≤形式再利用单调性可解．【解析】22111()()22x xx x e f x eee e --'=--+=-++，212x x e e e e+≥=，（当且仅当21xx e e e=，即1x =时等号成立）， 所以21()02f x e '≤-+<．所以()f x 是减函数．2211()(2)(2)22x x x x f x f x e e x e e x ---+-+-=-++-+-1=，即1()(2)f x f x -=-， 不等式(2020)(20212)1f x f x ++-≤化为(20212)1(2020)(22020)f x f x f x -≤-+=--，又()f x 递减，所以2021222020x x -≥--，解得4039x ≤． 故选：A ．【名师指导】方法点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的性质，首先利用导数确定函数的单调性，然后对函数式进行变形得()(2)1f x f x +-=，这是解题的关键．由此性质不等式可化为(20212)(2018)f x f x -≤--，这样再利用单调性解出不等式．13【思路点拨】求出a b -，再由模的坐标表示计算．【解析】由题意(3,5)a b -=--==14．17【思路点拨】设角α为锐角，利用同角三角函数的基本关系可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可求得0cos x α=的值. 【解析】不妨设α为锐角，即02πα<<，所以，5336πππα，所以，sin 314πα⎛⎫+==⎪⎝⎭ 所以，01cos cos cos 33233x ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112147⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：17.15．【思路点拨】设12,AF m AF n ==，由余弦定理得出,m n 的一个关系式，然后由双曲线的定义又得一个，两者结合可求得mn ，从而得三角形面积．【解析】由已知224,8a b ==，所以4823c =+=，即12(23,0),(23,0)F F -，设12,AF m AF n ==，∵1,3F AB π∠=所以22222122cos483F F m n mn m n mn π=+-=+-=，而24m n a -==，所以2()48m n mn -+=，248432mn =-=， 12113sin 32832322AF F S mn π==⨯⨯=△． 故答案为：83．【名师指导】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由于涉及到焦点三角形问题，可设焦半径为,m n ，利用余弦定理，双曲线的定义可求得,m n （只要求得mn ），然后由面积公式计算出面积．16．20π．【思路点拨】证明EF ⊥平面ADF ，从而得EF AF ⊥，再由90ABE ∠=︒，得AE 的中点O 是三棱锥F ABE -的外接球的球心，求出球半径后可得表面积．【解析】∵BE EF ⊥，//AD BE ，∴EF AD ⊥，又EF FD ⊥，AD FD D =，,AD FD ⊂平面ADF ，∴EF ⊥平面ADF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴EF AF ⊥，而90ABE ∠=︒，∴AE 的中点O 到四点,,,A B E F 的距离相等，即为三棱锥F ABE -的外接球的球心，AE 为球直径，又22224225AE AB BE =+=+=，∴外接球表面积为()22445202AE S πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：20π．【名师指导】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是找到外接球球心，求得球的半径．一般三棱锥外接球球心一定在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．如果三棱锥的面是直角三角形，则外心更易找到，从而外接球球心也易找到． 17．【思路点拨】（1）首先根据正弦定理，边角互化，可得22212a b c -=，再结合余弦定理求得ac ，最后计算ABC 的面积；（2）首先将正切化为正余弦，再利用正余弦定理化为边，最后代入22212a b c -=，化简求值. 【解析】（1）因为2222sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理，22222b c a +=，即22212a b c -=，若3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222b a c ac =+-，又22212a b c -=，所以232ac c =，而2c =，所以6ac =，所以1sin 22ABCSac B ==. （2）由22212a b c -=，知222222222222223tan sin cos 2231tan sin cos 22a c b c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c bc+-+-=====+-+-. 【名师指导】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．18．【思路点拨】（1）首先计算城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数，再补全22⨯列联表，并根据参考数据计算2K ，和临界数据比较，作出判断；（2）首先根据列联表分析，在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，再利用超几何分析求分布列和数学期望.【解析】（1）设城市中，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校个数为n ，则1604n n =+，解得：20n =，再根据22⨯列联表依次补全表格()22160204040603210.6677.8791006080803K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X 的可能取值为0，1，2.()0242261015C C P X C ===，()1142268115C C P X C ===，()204226225C C P X C ===. 所以X 的分布列为：X 的数学期望()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=. 【名师指导】关键点点睛：本题第二问的关键是根据列联表，可知偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，然后可知抽取的6人中的农村和城市学校个数，再按照超几何分布列表计算.19．【思路点拨】（1）要证明面面垂直，首先SAC 中求SA ，利用边长证得SA AC ⊥，再利用三角形全等，可证明SA ⊥平面ABC ；（2）方法一，向量坐标法，以A 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，分别求平面ABD 和SAB 的法向量,m n，利用公式cos ,m n m n m n⋅=求解；方法二，几何法，利用垂直关系作出二面角的平面角，直接求正弦值.【解析】（1）因为4SC =，点D 为SC 的中点，所以2SD DC ==，又2AC DA ==，所以ADC 是等边三角形，所以3DCA π∠=，所以SA =，所以222SC SA AC SA AC =+⊥，.又SAB SAC ≌，得SA AB ⊥，又AB AC A ⋂=，所以SA ⊥平面ABC ，又SA ⊂平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABC .（2）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，在平面ABC 内过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，AS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，3,0)C ，3)S ，所以13(3)22D ，， 所以(2,0,0)AB =，13322AD =(，). 设(,,)m x y z =为平面ABD 的法向量，由0,0.m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，20,1330.22x yx z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令1z =,得()0,2,1m =-.而平面SAB 的一个法向量(0,1,0)n =，所以25cos ,5m n m n m n⋅==-. 设二面角S AB D --的平面角为θ，则5sin 5θ=. 方法2：取AC 中点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，过点E 作EF AB ⊥于F ，连接DF ，DFE ∠为二面角D AB C --的平面角.在Rt DEF △中，3DE =32EF =，152DF =，所以5cos EF DEF DF ∠==， 因为二面角S AB D --的平面角与二面角D AB C --的平面角互余， 所以二面角S AB D --5【名师指导】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.20．【思路点拨】（1）分别求,b c ，再利用222a b c =+，求椭圆方程；（2）首先设直线l 方程为：+1y kx =，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用两点间距离表示22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再化简，代入根与系数的关系求k . 【解析】（1）由已知得24b =，得2b =，4c =，22220a b c =+=，所以椭圆C 的方程为221204x y +=. （2）易知直线l 斜率存在，设直线l 方程为：+1y kx =. 联立2212041x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(15)10150k x kx ++-=，则2400600k ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221015k x x k +=-+，1221515x x k =-+. ∵OP OQ =，∴22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即：[]12121212()()()()4x x x x k x x k x x -+=--++.∵12x x ≠，∴21212()()40x x k x x k ++++=， ∴3221010401515k k k k k --+=++，解得10k =，2k =，3k = 所以满足条件的直线l 方程为：1y =、1y x =+和1y x =+. 【名师指导】关键点点睛：本题考查直线与圆锥曲线相交问题，常规步骤是直线与椭圆联立后得到根与系数的关系后，利用两点距离得到22221122112222x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简是关键，利用平方差公式和点在直线上化简，求值.21．【思路点拨】（1）求出导函数()'f x ，按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）0x ≥时不等式成立，在0x <时，首先217()232f x x ++作为a 的函数是递减的，只要证明1a =时不等式成立即可，为此令()217232x h x e x x =+++（0x <），求出导函数()h x '，为了确定它的正负，需要对其进行再次求导（再引入一个函数，求导），由零点存在定理确定()h x '的零点0x 的范围，得min 0()()h x h x =，再证明最小值0()0h x >，可能要对0x 进一步缩小，才可得证．【解析】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=+. ①当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '=得()ln x a =-，且()ln x a <-时()0f x '<，()f x 单调递减；()ln x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增.综上，0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；0a <时，()f x 在()(),ln a -∞-单调递减，在()()ln ,a -+∞单调递增. （2）证明：①当0x ≥时，显然有()2170232f x x ++>； ②当0x <时，令()()221717232232x g a f x x xa e x =++=+++在01a ≤≤时单调递减，所以只需证明()10g >，即2170232x e x x +++>. 令()217232x h x e x x =+++（0x <），则()()1x x h x e x ϕ'==++，显然()x ϕ单调递增（()10xx e ϕ'=+>），()20ϕ-<，()10ϕ->，所以存在唯一()02,1x ∈--，使()00x ϕ=，且()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()h x 单调递减；()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>，()h x 单调递增，所以()()0h x h x ≥.因为()00x ϕ=，所以0010x e x ++=，即()001xe x =-+， 所以()()()0222000000017171251232232232x h x h x e x x x x x x ≥=+++=-++++=-. 又因为5ln 42ln 220.6934=≈⨯>，所以544e <，所以54511044e ϕ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，从而052,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以220125152502322432x ⎛⎫->⨯--= ⎪⎝⎭. 所以()0h x >，故待证不等式成立.【名师指导】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是转化．首先分类，0x ≥时不等式恒成立，在0x <时，先把参数a 作为主元，讨论后发现只要1a =时不等式成立即可，1a =时，引入新函数，求其最小值，证明最小值大于0，证明时由于最小值点不能求出，因此设为0x ，由零点存在定理得出0x 的范围，然后证明出结论．22．【思路点拨】（1）把参数方程化为普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）设2C上的动点为,sin M αα），求出点M 到直线的距离，利用三角函数知识可得取值范围．【解析】（1）∵直线1C 的参数方程为24x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）， ∴消去参数t ，得1C 的普通方程为60x y +-=．∵曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)3ρθ-=，22222cos sin )3ρρθθ∴--=（，2C ∴的直角坐标方程为22222)()3x y x y +--=（，即2213x y +=． （2）曲线2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设2C上的动点为,sin M αα）， 则2C 上的动点到1C距离|2sin()6|d πα+-==．∵[]2sin()2,23πα+∈-，则2C 上的动点到1C距离的最大值是∴2C 上的动点到1C距离的取值范围是⎡⎣． 【名师指导】方法点睛：本题参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，涉及到椭圆上的点到定直线的距离的最值问题时可用椭圆的参数方程，设出点的坐标（对22221x y a b+=可设cos ,sin x a y b αθ==），由点到直线的距离公式把问题转化为三角函数的最值．23．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后可解不等式；（2）分类讨论去绝对值符号后求得函数()f x 的最小值，然后解关于m 的不等式，注意按分母m 的正负分类求解．【解析】（1）由不等式()6f x ≥可得：()2|1||2|6f x x x =-++≥，可化为：22226x x x ≤-⎧⎨---≥⎩或212226x x x -<<⎧⎨-++≥⎩或12226x x x ≥⎧⎨-++≥⎩解得：2x -≤或2x ≥，所以原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞．（2）因为()3,2212=4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=-++-+-<<⎨⎪≥⎩，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1+∞，上单调递增， 所以min ()(1)3f x f ==．要()2f x m m ≥+对任意R x ∈恒成立，只需23m m ≥+，即：2320m m m-+≤， 所以()()1200m m m ⎧--≤⎨>⎩或()()1200m m m ⎧--≥⎨<⎩，解得：12m ≤≤或0m <， 所以，实数m 的取值范围为()[],01,2-∞⋃．【名师指导】方法点睛：本题考查解含绝对值的不等式，绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是利用绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，然后解不等式．而不等式恒成立，在解关于参数m 的不等式时注意分式不等式的分类讨论求解．。
2020-2021学年安徽省阜阳市太和一中高三(上)第一次反馈数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省阜阳市太和一中高三（上）第一次反馈数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≥3}，集合B ={x|x 2−3x −10≤0}，则A ∩B =( )A. ⌀B. [3,5]C. [−2,3]D. (3,5)2. 已知a <0，b >0，那么下列不等式中一定成立的是( )A. b −a <0B. |a|>|b|C. a 2<abD. 1a <1b3. 已知命题p ：函数f(x)=(a −2)x 为增函数，命题q ：对任意的x ∈[12,1]，不等式ax −1>0恒成立，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，若m −n =5，则a m −a n =( )A. 2B. 5C. −5D. 105. 在R 上定义运算：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc ，若不等式∣∣∣x −1a −2a +1x ∣∣∣≥1对任意实数x 恒成立，实数a 的最大值为( )A. −12B. −32C. 13D. 326. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=4，S 10=110，则S n +64a n的最小值为( )A. 7B. 8C. 152D. 1727. 在△ABC 中，cosAcosB >sinAsinB ，则△ABC 为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定8. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则ω，φ的值为( )A. ω=3，φ=π4 B. ω=3，φ=−π4 C. ω=6，φ=−π2D. ω=6，φ=π29. 为得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移5π12个长度单位 C. 向左平移5π6个长度单位D. 向右平移5π6个长度单位10. 设实数x ，y 满足约束条件{x +2y −3≤02x +y −1≥03x −4y ≤0，则z =x+2y+4x+2的最大值为( )A. 85B. 165C. 215D. 13511. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +2y 的最小值为( ) A. 2 B. 13C. 3+2√23D. 3412. 已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在三角形ABC 中，cos2A =−12，则角A =______．14. 若函数f(x)在R 上可导，f(x)=x 3+x 2f′(1)，则∫f 20(x)dx =______．15. 已知f(x)={x 2−4x +3,x ≤0−x 2−2x +3,x >0，不等式f(x +a)>f(2a −x)在[a,a +1]上恒成立，则a 的取值范围是______．16.给出下列命题：①函数y=cos(23x+π2)是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x=π8是函数y=sin(2x+5π4)的一条对称轴；⑤函数y=sin(2x+π3)的图象关于点(π12,0)成中心对称．其中正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=x2−x−6．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若对于一切x>1，均有f(x)≥(m+3)x−m−10成立，求实数m的取值范围18.数列{a n}满足：a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，n∈N∗．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n ，数列{b n}的前n项和为S n，求满足S n>920的最小正整数n．19.已知函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx．(1)将函数f(2x)的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，若x∈[π12,π2]，求函数g(x)的值域；(2)已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f(A)=√2+1,√3a=2bsinA，求△ABC的面积．20.已知函数f(x)=e x−x−1(e是自然对数的底数)．(1)求证：e x≥x+1；(2)若不等式f(x)>ax−1在x∈[12,2]上恒成立，求正数a的取值范围．21.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx−2cosx,sinx)，令f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及f(x)=12的解集；(Ⅱ)锐角△ABC中，f(A2−π8)=2−√64，边BC=√3，求△ABC周长最大值．22.已知函数f(x)=axlnx+2x+a+1(a∈R)．(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)若对∀x∈(1,+∞)，f(x)+x2>0恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合B ={x|x 2−3x −10≤0}={x|−2≤x ≤5}， 又集合A ={x|x ≥3}， 所以A ∩B ={x|3≤x ≤5}． 故选：B ．先利用一元二次不等式的解法求出集合B ，再由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若a <0，b >0，则−a >0， 则b −a >0，故A 错误， |a|>|b|不一定成立， a 2>ab ，则C 不成立，1a<0，1b >0，则1a <1b ，成立，故D 正确， 故选：D ．根据a ，b 飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】A【解析】解：命题p ：函数f(x)=(a −2)x 为增函数，故a −2>1， 从而命题p 为真时，a >3，命题q ：对任意的x ∈[12,1]，不等式ax −1>0恒成立， 有{12a −1>0a −1>0， 即a >2．因为(3,+∞)⊊(2,+∞) ∴p 是q 的充分不必要条件，分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件必要条件的判断，根据函数的性质和恒成立问题分别求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：由S n=n2+2n，得a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1．验证a1=3适合上式，∴a n=2n+1．又∵m−n=5，则m=n+5，∴a m−a n=a n+5−a n=2(n+5)+1−2n−1=10．故选：D．由已知数列的前n项和，求出数列的通项公式，结合m−n=5，可求出a m−a n的值．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵不等式∣∣∣x−1a−2a+1x∣∣∣≥1对任意实数x恒成立，∴(x−1)x−(a+1)(a−2)≥1，即x2−x−a2+a+1≥0恒成立，∴△=1+4a2−4a−4=4a2−4a−3≤0，∴−12≤a≤32，∴实数a的最大值为32．故选：D．由行列式展开式法则得到x2−x−a2+a+1≥0恒成立，由此能求出实数a的最大值．本题考查实数的最大值的求法，考查行列式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【分析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及基本不等式求最值，属基础题． 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知易得a n 和S n ，代入可得n2+32n+12，由基本不等式可求． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 2=a 1+d =4S 10=10a 1+10×92d =110，解得{a 1=2d =2故a n =2+2(n −1)=2n ，S n =2n +n(n−1)2×2=n 2+n所以S n +64a n =n 2+n+642n =n 2+32n+12≥2√n 2⋅32n +12=172，当且仅当n2=32n，即n =8时取等号，故选：D ．7.【答案】C【解析】解：依题意可知cosAcosB −sinAsinB =cos(A +B)>0，−cosC >O ，cosC <O ， ∴C 为钝角 故选C利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos(A +B)>0进而判断出cosC <O ，进而断定C 为钝角．本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值．在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．8.【答案】A【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的图象， 可得A =1，14⋅2πω=5π12−π4，求得ω=3．再根据五点法作图可得3⋅π4+φ=π，求得φ=π4， 故选：A ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵y =cos(2x +π3)=sin(2x +5π6)=sin2(x +5π12)，只需将函数y =sin2x 的图象向左平移5π12个单位得到函数y =cos(2x +π3)的图象． 故选：A ．先根据诱导公式将函数y =cos(2x +π3)化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．10.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +2y −3=02x +y −1=0，解得A(−13,53)，z =x+2y+4x+2=x+2+2(y+1)x+2=1+2⋅y+1x+2，其几何意义为可行域内动点与定点P(−2,−1)连线的斜率，∵k PA =53+1−13+2=85， ∴z 的最大值为1+2×85=215．故选：C ．由约束条件作出可行域，把目标函数变形，结合两点连线的斜率求解． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】C【解析】解：∵M ，N ，G 三点共线， ∴MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λGN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))， ∴{13−x =−13λ13=λy −13λ，解得，(3x −1)(3y −1)=1； 结合图象可知12≤x ≤1，12≤y ≤1；令3x −1=m ，3y −1=n ，(12≤m ≤2,12≤n ≤2)； 故mn =1，x =1+m 3，y =1+n 3；故x +2y =1+m 3+2×1+n 3=m 3+2n 3+1≥13⋅2√2+1，(当且仅当m3=2n3，即m =√2，n =√22时，等号成立)， 故x +2y 的最小值为13⋅2√2+1=3+2√23； 故选：C ．由题意可得MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λGN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而化简可得13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))，从而可得(3x −1)(3y −1)=1，换元3x −1=m ，3y −1=n ，从而可得x +2y =1+m 3+2×1+n3=m3+2n3+1，从而利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．12.【答案】D【解析】解：由题意可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2−2x，求其导数可得y′=2x−2，因为x≤0，故y′≤−2，故直线l的斜率为−2，故只需直线y=ax的斜率a介于−2与0之间即可，即a∈[−2,0]故选：D．由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y= ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．13.【答案】π3或2π3【解析】解：因为cos2A=2cos2A−1=−12，解得cos2A=14，可得cosA=±12，因为A∈(0,π)，所以A=π3或2π3．故答案为：π3或2π3．由已知利用二倍角的余弦公式可求得cos A 的值，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值． 本题主要考查了二倍角的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】−4【解析】解：∵f(x)=x 3+x 2f′(1)， ∴f′(x)=3x 2+2xf′(1)， ∴f′(1)=3+2f′(1)， ∴f′(1)=−3， ∴f(x)=x 3−3x 2，∴∫f 20(x)dx =(14x 4−x 3)|02=4−8=−4，故答案为：−4．先根据导数的运算法则求导，再求出f′(1)=−3，再根据定积分的计算法计算即可． 本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于基础题．15.【答案】(−∞,−2)【解析】解：作出分段函数f(x)={x 2−4x +3,x ≤0−x 2−2x +3,x >0的图象如图，要使不等式f(x +a)>f(2a −x)在[a,a +1]上恒成立， 则x +a <2a −x 在x ∈[a,a +1]上恒成立， 即a >2x 在x ∈[a,a +1]上恒成立， ∴a >2(a +1)，解得：a <−2．故答案为：(−∞,−2)．作出分段函数的图象，由图象得到函数f(x)的单调性，然后把不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a,a+1]上恒成立转化为不等式a>2(a+1)求解．本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．16.【答案】①④【解析】解：①函数y=cos(23x+π2)=−sin23x，而y=−sin23x是奇函数，故函数y=cos(23x+π2)是奇函数，故①正确；②因为sin x，cos x不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令α=π3，β=13π6，则tanα=√3，tanβ=tan13π6=tanπ6=√33，tanα>tanβ，故③不成立．④把x=π8代入函数y=sin(2x+5π4)，得y=−1，为函数的最小值，故x=π8是函数y=sin(2x+5π4)的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=sin(2x+π3)图象的对称中心在图象上，而点(π12,0)不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵f(x)<0，∴x2−x−6<0，∴(x+2)(x−3)<0，∴f(x)<0的解集为(−2,3)；(2)∵f(x)=x2−x−6，∴当对于一切x>1，均有x2−x−6≥(m+3)x−m−10成立∴x2−4x+4≥m(x−1)，∴对一切x>1均有m≤x2−4x+4x−1成立，又x2−4x+4x−1=(x−1)+1x−1−2≥2−2=0，当且仅当x=2时，等号成立．∴实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)直接解一元二次不等式即可；(2)将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到m的取值范围．本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，a12+a23+⋯+a nn+1=n2+n，当n≥2时，a12+a23+⋯+a n−1n=(n−1)2+n−1，两式相减得，a nn+1=2n，即a n=2n(n+1)(n≥2)．当n=1时，a1=4也符合，∴a n=2n(n+1)；(Ⅱ)b n=1a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴S n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)．由S n=n2(n+1)>920，解得n>9．∴满足S n>920的最小正整数n=10．【解析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得a12+a23+⋯+a n−1n=(n−1)2+n−1(n≥2)，与原递推式作差可得{a n}的通项公式；(Ⅱ)把{a n}的通项公式代入b n=1a n，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和为S n，再求解不等式得答案．本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】解：函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx=cos2x+(1−cos2x)+2sinx= 1+2sinx，(1)函数f(2x)=1+2sin2x的图象向右平移π6个单位得到函数g(x)=1+2sin2(x−π6).∴g(x)=2sin(2x−π3)+1，∵x∈[π12,π2 ]，∴2x−π3∈[−π6,2π3]，当x=π12时，g(x)min=0；当x=512π时，g(x)max=3∴函数g(x)的值域为[0,3]．(2)由已知√3a=2bsinA及正弦定理得：√3sinA=2sinBsinA，∴sinB=√32，∵0<B<π2，∴B=π3，由f(A)=√2+1可得sinA=√22，从而A=π4由正弦定理得：a=2√63，∴S△ABC=12absinC=12×2√63×2×√6+√24=3+√33．【解析】(1)先利用二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，根据三角函数平移变换的规律，求解出g(x)，x∈[π12,π2]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的取值最大和最小值，即得到f(x)的值域．(2)利用f(A)=√2+1,√3a=2bsinA，b=2，求出角A和a的大小，可得求△ABC的面积．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简和平移变换是解决本题的关键．同时考查了正弦定理的运用．属于中档题．20.【答案】(1)证明：由题意知，要证e x≥x+1，只需证f(x)=e x−x−1≥0，求导得f′(x)=e x−1，当x∈(0,+∞)时，f′(x)=e x−1>0，当x∈(−∞,0)时，f′(x)=e x−1<0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，在(−∞,0)上是减函数，即f(x)在x=0处取得极小值，这个极小值也为最小值，即f(x)min=f(0)=0，∴f(x)≥f(0)=0，即f(x)=e x −x −1≥0， ∴e x ≥x +1；(2)解：不等式f(x)>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立， 即e x −x −1>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立， 亦即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立， 令g(x)=e x −x x ，x ∈[12,2]，则g′(x)=e x (x−1)x 2，所以当x ∈[12,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x ∈(1,2]时，g ′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)在x =1处取得最小值为g(1)=e −1， ∴正数a 的取值范围是(0,e −1)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值，考查了不等式的恒成立问题，属于中档题．(1)要证e x ≥x +1，只需证f(x)=e x −x −1≥0，求导得f ′(x)=e x −1，利用导数求出函数的最值，即可证明e x ≥x +1；(2)不等式f(x)>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，即a <e x −x x在x ∈[12,2]上恒成立，令g(x)=e x −x x，x ∈[12,2]，利用导数求出g(x)=e x −x x在x ∈[12,2]上的最小值，由此能求出正数a 的取值范围．21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =sin 2x −2sinxcosx +sinxcosx =12−√22sin(2x +π4)，∴T =π，∵f(x)=12， ∴sin(2x +π4)=0，∴x =k 2π−π8，k ∈Z ，∴f(x)=12的解集是{x|x =k2π−π8,k ∈Z}．(Ⅱ)f(A2−π8)=2−√64，∴sinA =√32，∴A =π3，∵asinA =b sinB =csinC =2，∴a +b +c =√3+2sinB +2sinC =√3+2sinB +2sin(2π3−B)=√3+2√3sin(B +π6)，∵锐角三角形且角A=π3，∴B∈(π6,π2)，当B=π3时，a+b+c最大为3√3，∴△ABC周长最大值为3√3．【解析】(Ⅰ)先根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可．(Ⅱ)先根据条件求出角A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=alnx+a+2，依题意得，对∀x∈[1,+∞)，f′(x)≥0恒成立，①a≥0时，∵x∈[1,+∞)，∴lnx≥0，∴f′(x)≥0恒成立，满足题意，②a<0时，取x=e−2a∈(1,+∞)，∵f′(x0)=a<0，∴f′(x)≥0在[1,+∞)上不能恒成立，不满足题意，综上所述，a的取值范围是[0,+∞)，(2)f(x)+x2=axlnx+x2+2x+a+1(x>1)，∵x>0，f(x)+x2>0⇔alnx+a+1x+x+2>0，设g(x)=alnx+a+1x+x+2(x>1)，则g′(x)=ax −a+1x2+1=x2+ax−(a+1)x2=(x−1)(x+a+1)x2，①当a≥−2时，∵x+a+1>1−2+1=0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，依题意得g(x)>g(1)=a+1+1+2≥2>0，满足题意，②当a<−2时，当1<x<−a−1时，g′(x)<0，当x>−a−1时，g′(x)>0，∴g(x)在(1,−a−1)上单调递减，在(−a−1,+∞)上单调递增，∴[g(x)]min=g(−a−1)=aln(−a−1)+a+1−a−1−a−1+2=aln(−a−1)−a，依题意得[g(x)]min=aln(−a−1)−a>0，解得−e−1<a<−2，综上所述，a的取值范围是(−e−1,+∞)．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性及不等式恒成立问题的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．(1)先对函数求导，由题意可可得，对∀x∈[1,+∞)，f′(x)≥0恒成立，对a进行分类讨论即可求解；+x+2>0在x>1上恒成立，结合导数研究其性(2)由已知可转化为g(x)=alnx+a+1x质，可求．。
安徽省2020-2021学年度第一学期固镇一中高三周考数学卷(2020年12月18日)
2020-2021学年度第一学期固镇一中高三周考数学卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,3,4S T ==，则()C S T υ⋃等于（ ） A ．{}2,4B ．{}4C ．φD ．{}1,3,42．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2D ．34．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=（ ）A ．12B C ．12-D ． 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n a a d +-=（d 为常数），若41288a a a +-=，515S =，则20S =（ ）A ．120B ．140C ．210D ．5206．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．一同学在电脑中打出若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2012个圈中的●的个数是 （ ） A ．59 B ．60 C ．61 D ．628．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V =（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:59．下列命题中，正确的命题是（ ）． A ．存在x 0>0，使得x 0<sinx 0B ．“lna >lnb ”是“10a >10b ”的充要条件C ．若sinα≠12，则α≠π6D ．若函数f(x)=x 3+3ax 2+bx +a 2在x =−1有极值0，则a =2,b =9或10．已知圆M ： ()2224x y -+=，则过点()1,1的直线中被圆M截得的最短弦长为类比上述方法：设球O 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的外接球,过1AC 的一个三等分点作球O 的截面，则最小截面的面积为（ ） A ．π B ．4π C ．5π D ．6π 11．若函数21()1f x nx x a e=-+有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．(,1]-∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞12．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ） A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数,x y 满足2101010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则331x y z x ++=+的取值范围是__________．14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.16．已知函数()21f x x =-，若0,a b <<且()()f a f b =，则221a b-的取值范围是 .三、解答题：17．（本题满分10分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，，，.（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域.18．（本题满分12分）已知函数，其中，的图象与直线的交点的横坐标成公差为的等差数列⑴求的解析式；⑴若在中，，，求的面积．19．（本题满分12分）现要设计一个杯形容器，它由上下两部分组成，上部杯盖的形状是圆台1OO ，下部杯体的形状是圆台2OO （如图所示)，各底面半径满足12::4:3:2OA O B O C =.（1）若1132cm O B OO ==，求杯盖的侧面积；（2）若圆台2OO 的母线AC 长12cm ，设2cm OO x =，当x 为多少时，下部杯体的容积最大？20．（本题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N21．（本题满分12分）已知函数()cos 4f x ax x b π=-+的图象在点(,())22f ππ处的切线方程为324y x π=+. （1）求a ，b 的值； （2）求函数()f x 在[,]22ππ-上的值域.22．（本题满分12分）数列{}n a 满足1221nn n a a -=++（*n N ∈，2n ≥），327a =.（1）求1a ，2a 的值；（2）是否存在一个实数t ，使得1()2n n n b a t =+（*n N ∈），且数列{}n b 为等差数列？若存在，求出实数t ； 若不存在，请说明理由； （3）求数列{}n a 的前n 项和nS2020-2021学年度第一学期固镇一中高三周考数学卷参考答案一、选择题：1．A 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D 11．C 12．A二、填空题：13．7[2,]214．-3 15． 16．0-∞（，）三、解答题：17．【解析】 （1）因为，，则，，...............2分则；......................................4分（2），则，...........6分函数，...................8分，则.....................................................................10分18．【解析】（1）21()2sin 2sin()14sin sin )132f x x x x x x πωωωωω=⋅--=+-2cos 2sin 1x x x ωωω=+-2cos 22sin(2)6x x x πωωω=-=-，.............4分⑴22T ππω==，⑴1ω=，⑴()2sin(2)6f x x π+-；..........................6分（2）()2sin(2)26f A A π=-=，⑴sin(2)16A π-=，⑴3A π=，........8分又∵2222232cos ()393b c bc A b c bc b c bc bc =+-=+-=+-=-，⑴2bc =，..........................................10分⑴1sin 22ABC S bc A ∆==...............12分 19．【解析】（1）1132cm O B OO ==，AB ∴==， ∴杯盖的侧面积为()28π2cm 33⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭；.............5分 （2）设2O C r =，则2OA r =.2212AC x r =+=，22144r x ∴=-.........................6分∴下部杯体的容积()2222172233OO V V r r r r x r x ππ⎡⎤==+⋅+⋅=⎣⎦圆台()271443x x π=-，012x <<............................................8分 ()2714433V x π∴'=-，令0V '=，得43x 或x =-当0x <<0V '>，V 是单调增函数；当12x <时，0V '<，V 是单调减函数................................10分∴当43x时，V 取得极大值，也是最大值.∴当x 为时，下部杯体的容积最大.....................................12分20．【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-......................................3分则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+..............................6分 (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=,........9分则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=分21．【解析】（1）因为()cos 4f x ax x b π=-+，所以'()sin f x a x =+，..............2分又3'()122f a π=+=，3()224224f a b πππππ=+=⨯+，解得12a =，3b =......................................5分（2）由（1）知13()cos 24f x x x π=-+，因为1'()sin 2f x x =+，由1'()sin 02f x x =+>，得62x ππ-<≤；........7分由1'()sin 02f x x =+<，得26x ππ-≤<-；所以函数()f x 在[,)26ππ--上递减，在(,]62ππ-递增；.............................9分因为()22f ππ-=，()2f π=π，min ()()6f x f π=-=， 所以函数()f x 在[,]22ππ-上的值域为]π.....................12分 22．【解析】（1）∵327a = ∴3227221a =++∴29a = ∴219221a =++ ∴12a =.....................................................3分（2）假设存在实数t ，使得{}n b 为等差数列 ∴112n n n b b b -+=+ ∴()()()11111112222n n n n n n a t a t a t -+-+⨯+=+++ ∴1144n n n a a a t -+=++∴121442212n n n n n a a a t +--=⨯++++=41n a t +-∴1t =，使得数列{}n b 为等差数列.............................7分（3）由（1）（2）知，132b =，252b = 又∵{}n b 为等差数列，12n b n =+，()121?21n n a n -=+-................................................8分 ∴()0123215217212121n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++-⨯-()235272212n n n =+⨯+⨯+++⨯- ()21232522122n n S n n +=⨯+⨯+++⨯-231322222222n n S n --=+⨯+⨯+⨯++⨯+()121221212nn n n -=+⨯-+⨯+-()1221n n n =-⨯+-，()2121n n S n n =-⨯-+∴()2121nn S n n =-⨯-+......................................................12分。
2021年安徽省高考理科数学真题及参考答案
2021年安徽省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设()()i z z z z 6432+=-++，则=z （）A .i 21-B .i 21+C .i +1D .i-12.已知集合{}Z n n s s S ∈+==,12，{}Z n n t t T ∈+==,14，则=T S （）A .φB .SC .TD .Z3.已知命题p ：1sin ,<∈∃x R x ；命题q ：1,≥∈∀xe R x ，则下列命题中为真命题的是（）A .qp ∧B .q p ∧⌝C .qp ⌝∧D .()q p ∧⌝4.设函数()xxx f +-=11，则下列函数中为奇函数的是（）A .()11--x fB .()11+-x f C .()11-+x f D .()11++x f 5.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D B 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A .2πB .3πC .4πD .6π6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有（）A .60种B .120种C .240种D .480种7.把函数()x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象，则()=x f （）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx B .⎪⎭⎫⎝⎛+122sin πx C .⎪⎭⎫ ⎝⎛+122sin πx D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx 8.在区间()1,0与()21，中各随机取1个数，则两数之和大于47的概率为（）A .97B .3223C .329D .929.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题时测量海岛的高.如图，点G H E ,,在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，成为“表高”，EG 成为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”.则海岛的高=AB （）A .表高表目距的差表距表高+⨯B .表高表目距的差表距表高-⨯C .表距表目距的差表距表高+⨯D .表距表目距的差表距表高-⨯10.设0≠a ，若a x =为函数()()()b x a x a x f --=2的极大值点，则（）A .b a <B .b a >C .2a ab <D .2a ab >11.设B 是椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足b PB 2≤，则C 的离心率的取值范围是（）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，C .⎦⎤⎝⎛220，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛21.012.设01.1ln 2=a ，02.1ln =b ，104.1-=c ，则（）A .c b a <<B .a c b <<C .c a b <<D .ba c <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C ：()0122>=-m y m x 的一条渐近线为03=+my x ，则C 的焦距为.14.已知向量()3,1=a，()4,3=b ，若()b b a ⊥-λ，则=λ.15.记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为3，︒=60B ，ac c a 322=+，则=b.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号一次为.（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果1022221s s x y +≥-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，M 为BC 的中点，且AM PB ⊥.（1）求BC ；（2）求二面角B PM A --的正弦值.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.519.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212=+nn b S .（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.20.（12分）设函数()()x a x f -=ln ，已知0=x 是函数()x xf y =的极值点.（1）求a ；（2）设函数()()()x xf x f x x g +=，证明：()1<x g .21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点为F ，且F 与圆M ：()1422=++y x 上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PB P A ,是C 的两条切线，B A ,是切点，求P AB ∆面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，☉C 的圆心为()12，C ，半径为1.（1）写出☉C 的一个参数方程；（2）过点()14，F 作☉C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()3++-=x a x x f .（1）当1=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；（2）若()a x f ->，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C 解析：设bi a z +=，则bi a z -=，∴()()i bi a z z z z 646432+=+=-++，∴1,1==b a ，∴i z +=1.2.C 解析：当Z k k n ∈=,2时，{}Z k k s s S ∈+==,14；当Z k k n ∈+=,12时，{}Z k k s s S ∈+==,34；∴S T ⊂，∴=T S T .3.A 解析：p 真，q 真，∴选A 4.B解析：()xx f ++-=121关于()11--，中心对称，向右1个单位，向上1个单位后关于()0,0中心对称，∴()11+-=x f y 为奇函数.5.D解析：如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成的角的平面角.易知11BC A ∆为正三角形，又P 为11C A 的中点，∴61π=∠PBC .6.C 解析：所求分配方案数为2404425=A C .7.B解析：逆向：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221sin 12sin 4sin 23ππππx y x y x y 倍横坐标变为原来的左移.8.B解析：由题意记()1,0∈x ，()2,1∈y ，题目即求47>+y x 的概率，如下图所示，故322314343211112111=⨯⨯-=⨯⋅-⨯==AN AM S S P ABCD正阴.9.A解析：连接DF 交AB 于M ，则BM AM AB +=.记βα=∠=∠BFM BDM ，，则DF MD MF MBMB =-=-αβtan tan .而EHEDGC FG ==αβtan ,tan .∴ED EH GC MB ED EH FG GC MB MB MB MB -⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβtan 1tan 1tan tan 故=-⋅=EH GC DFED MB 表目距的差表距表高⨯，∴高=AB 表高表目距的差表距表高+⨯.10.D解析：若0>a ，其图象如图（1），此时，b a <<0；若0<a ，其图象如图（2），此时，0<<a b .综上，2a ab >.11.C 解析：由题意，点()b B ,0.设()00,y x P ，则1220220=+b y a x ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2202201b y a x .故()2202022202022022220221b a by y b c b by y b y a b y x PB ++--=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=，[]b b y ,0-∈.由题意，当b y -=0时，2PB 最大，则b cb -≤-23，∴22c b ≥，∴222c c a ≥-，∴22≤=a c e ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0e .12.B解析：设()()1211ln ++-+=x x x f ，则()02.0f c b =-.易得()()()xx x x x x x f 211121212211+++-+=+-+='.当0≥x 时，()x x x 21112+≥+=+，故()0≤'x f .∴()x f 在[)∞+，0上单调递减，∴()()0002.0=<f f ，故c b <.再设()()1411ln 2++-+=x x x g ，则()01.0g c a =-，易得()()()xx x x x x x g 4111412412412+++-+⋅=+-+='，当20<≤x 时，x x x x +=++≥+121412，∴()0≥'x g ，故()x g 在[)2,0上单调递增，∴()()0001.0=>g g ，故c a >，综上，b c a >>.二、填空题13.4解析：易知双曲线渐近线方程为x aby ±=，由题意得1,22==b m a ，且一条渐近线方程为x my 3-=，则有0=m （舍去），3=m ，故焦距为42=c .14.53解析：由题意得()0=⋅-b b a λ，即02515=-λ，解得53=λ.15.22解析：343sin 21===∆ac B ac S ABC ，∴4=ac .由余弦定理，823222==-=-+=ac ac ac ac c a b ，∴22=b .16.②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面P AC ⊥平面ABC ，2==PC P A ，5==BC BA ，2=AC .俯视图为⑤；侧视图为③，如图（2），P A ⊥平面ABC ，1=P A ，5==AB AC ，2=BC ，俯视图为④.三、解答题17.解：（1）()0.107.92.101.100.108.99.92.100.103.108.9101=+++++++++=x()3.105.104.105.106.103.101.100.101.104.101.10101=+++++++++=y ，()()()()2222210.100.1020.109.90.108.920.107.9[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()()36.0]0.103.100.102.1020.101.10222=-+-⨯+-+，()()()()2222223.104.1023.103.103.101.1033.100.10[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()4.0]3.106.103.105.10222=-+-⨯+.（2）由（1）中数据得3.0=-x y ，34.01022221≈+s s .显然<-x y 1022221s s +，∴不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解：（1）∵⊥PD 底面ABCD ，且矩形ABCD 中，DC AD ⊥，∴以DP DC DA ，，分别为z y x ,,轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系xyz D -.设t BC =，()()()1000,1,20,1,0,0,，，，，，P t M t B t A ⎪⎭⎫⎝⎛∴()1,1,-=t PB ，⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1,2t AM .∵AM PB ⊥，∴0122=+-=⋅t AM PB ，∴2=t ，∴2=BC .（2）设平面APM 的一个法向量为()z y x m ,,=，由于()10,2，-=AP ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02202y x AM m z AP m ，令2=x ，得()2,1,2=m.设平面PMB 的一个法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅0202c b a PB n a CB n，令1=b ，得()1,1,0=n.∴14143273,cos =⨯=⋅=nm n m n m，∴二面角B PM A --的正弦值为14143.19.解：（1）∵n b 为数列{}n S 的前n 项积，∴()21≥=-n b b S n nn 又∵212=+nn b S ，∴2121=+-n n n b b b ，即n n b b 2221=+-，∴()2211≥=--n b b n n ，∵212=+nn b S ，当1=n 时，可得231=b .故{}n b 是以23为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知()()22121123+=⨯-+=n n b n ，则2222=++n S n ，∴12++=n n S n .当1=b 时，2311==S a .2≥n 时，()111121+-=+-++=-=-n n n n n n S S a n n n .故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-==2111,23n n n n a n ，.20.解：（1）()[]()()x f x x f x x xf '+'='.当0=x 时，()[]()0ln 0==='a f x xf ，∴1=a .（2）由()()x x f -=1ln ，得1<x .当10<<x 时，()()01ln <-=x x f ，()0<x xf ；当0<x 时，()()01ln >-=x x f ，()0<x xf .故即证()()x xf x f x >+，()()01ln 1ln >---+x x x x .令t x =-1（0>t 且1≠t ），t x -=1，即证()0ln 1ln 1>--+-t t t t .令()()t t t t t f ln 1ln 1--+-=，则()()t tt t t t t t t t f ln 1ln 111ln 111=--++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-='.∴()t f 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.故()()01=>f t f ，得证.21.解：（1）焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛20p F ，到()1422=++y x 的最短距离为432=+p，∴2=p .（2）抛物线241x y =.设()()()002211,,,y x P y x B y x A ，，，则()1121111121412121y x x x x x y x x x y l P A -=-=+-=：，2221y x x y l PB -=：，且15802020---=y y x .PB P A l l ，都过点()00,y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=202010102121y x x y y x x y ，故：y x x y l AB -=0021：，即0021y x x y -=.联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y x x y 421200得042002=+-y x x x ，∴020164y x -=∆.∴02020020204416441y x x y x x AB -⋅+=-⋅+=，4420020+-=→x y x d AB P ，∴()()230202320020020151221421442121---=-=-⋅-=⋅=→∆y y y x y x y x d AB S AB P P AB 而[]3,50--∈y .故当50-=y 时，P AB S ∆达到最大，最大值为520.11（二）选考题22.解：（1）∵☉C 的圆心为()12，C ，半径为1，故☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，（θ为参数）.（2）设切线()14+-=x k y ，即014=+--k y kx ，故1114122=++--k k k ，即212k k +=，∴2214k k +=，解得33±=k .故直线方程为()1433+-=x y ，()1433+--=x y .故两条切线的极坐标方程为1334cos 33sin +-=θθρ或1334cos 33sin ++=θθρ.23.解：（1）当1=a 时，()31++-=x x x f ，即求631≥++-x x 的解集.当1≥x 时，622≥+x ，得2≥x ；当13<<-x 时，64≥，此时没有x 满足条件；当3-≤x 时，622≥--x ，解得4-≤x .综上，解集为(][)∞+-∞-，，24 .（2）()a x f ->min ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和3-距离的最小值.当x 在a 和3-之间时最小，此时()x f 最小值为3+a ，即a a ->+3.3-≥a 时，032>++a ，得23->a ；当3-<a 时，a a ->--3，此时a 不存在.综上，23->a .。
2020-2021学年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)及答案解析
安徽省高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣20164．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．857．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下： 组别[30，40][40，50] [50，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100] 频数 3101215622（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N （μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P （Z ＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX ．附：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置． （1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C ：x 2+y 2=r 2（0＜r＜b ）上任意一点作圆C 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当r 为何值时，OA ⊥OB ；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣2016【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==﹣2016．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．【分析】（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，进而得出．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t= ±2 ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+= （3n﹣1）﹣2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50][50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]频数 3 10 12 15 6 2 2（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r ＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，∴S△PMN=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），当MN与坐标轴垂直时，S△PMN=2，∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．。
2021年安徽省六安市周集中学高三数学理联考试卷含解析
2021年安徽省六安市周集中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是双曲线（）的两个焦点．若双曲线上存在一点P，使得，，成等差数列，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B． C． D．参考答案：B略2. 设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，当x=1时，使F（1）=≠0；当x≠1时，解得a=，∴a′==0，得x=2或x=，（＜1，舍去），∴当x=2时，a最大==，所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，故选：D．3. 若，，，则，，大小关系是（）A. B． C. D．参考答案：A4. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F 且与抛物线交于A 、B 两点，若|AB|=5，则AB 中点的横坐标为（）A ．B ．2C ．D ．1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出p 的值，再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：∵抛物线y 2=4x，∴P=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，AB中点横坐标为x0=（x1+x2）=（|AB|﹣P）=（5﹣2）=．故选：C．5. 某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有（）A．72种B．54种C．36种D．18种参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】依题意，分两种情况讨论：①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：依题意，分两种情况讨论：①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C31?C42?A22=36种，②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31?C42=18种；因此，满足题意的不同的分配方案有36+18=54种．故选：B．6. 设全集则右图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.参考答案：A略7. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为，众数为；② 乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；③ 丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为；则肯定进入夏季的地区有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个参考答案：C略8. 函数满足，当时，，则在上零点的个数为()A．1005 B．1006 C．2011D．2012参考答案：Ｂ9. 已知集合，，则（）(A) {1,2,3} (B) {0,1,2,3} (C) (D)参考答案：B, ,选B10. 已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）参考答案：C【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝。
高三试卷数学-安徽省五校2021届高三上学期12月联考数学试卷及参考答案
001怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中2021届高三“五校”联考理科数学试题考试时间：2020年12月4日考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则A B =I A．{}14x x <<B．{}23x x ≤<C．{}23x x <<D．{}14x x <≤2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A．1i-+B．1i--C．1i+D．1i-3.设: |1|1p x +<,:22q x -<<,则p 是q 的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC =A．1122OA OB+B．22OA OB +C．2233OA OB+D．OA OB+5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为001 1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度ω为πrad/s12，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为3m，则2s后盛水桶M到水面的距离近似为A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m图1图26.记n S是等差数列{}n a的前n项和，已知30S=，68a=，则10a=A．12B．14C．16D．187.函数21()log||f xx=的部分图象可能是A B C D8.已知2.02=a，2.0log2=b，2log2.0=c，则,,a b c的大小关系为A．a b c<<B．b a c<<C．c b a<<D．acb<<9.已知ABC△是边长为3的等边三角形，点D为ABC△内一点，且120ADC∠=︒，1AD=，则BD=A．12B．32 C.1D．210.已知函数22()log|1|21f x x x x=-+-+，则不等式(21)(1)f x f x-<+的解集为A．2(,1)(1,2)3B．2(2,0)(0,)3- C．2(,2)3D．2(,2)(,)3-∞-+∞O xyO xyxyOxyO00111.已知函数π()sin(),(0,||2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ(42，上单调，则ω的最大值为A．1B．2C．3D．412.若关于x 的不等式2e (ln )xa x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A．2(,e ]-∞B．(,e]-∞C．(,1]-∞D．1(,e-∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b .14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为.15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为.16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是.①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分.17.（10分）已知函数122()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b .（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=.（1）判断ABC △的形状；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11m+万元/万个单位．（1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系；（2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？（注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）22.（12分）已知函数ln ()e xxf x a x=+，()()g x xf x x =+.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值；（2）当21ea =-时，证明：()2g x <.2021届高三“五校”联考理数答案2020年12月4日一、选择题：题号123456789101112选项B CADDCBDCACB11.【解析】由对称轴和零点可知()ππ212(),444k T k N T πω+--=∈=，得到N k k ∈+=,12ω①由()f x 在区间ππ()42，上单调可知πππ242T ω-≤=，得到4≤ω②由①②可知ω可能取3.当3ω=时，可得4πϕ=-，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43sin πx x f 满足在⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故ω的最大值为3.12.【解析】解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()e xx x xg x -=，则max 1()g x a ≥.而(1)(ln 1)()exx x x g x --+'=，ln 10x x -+≤，因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时()0g x '<；所以，max 1()(1)e g x g ==，11ea ≥，0e a <≤.又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.解法二：原不等式可化为ln e e (ln )xx x a x x x-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.二、填空题：13题14题.1-15题.616题.①③15.【解析】由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值为16+=.16.【解析】43ln ,S S = 34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-..0,11<∴>q a 又2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>> 即 23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++>.1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即三、解答题：共70分.17.【解析】（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<…………………………2分可得，解得22a -<<………………………………4分（2）由题意可得，1221(1)2x ax --+≤，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立可化为23x a x-≤，………………………………6分设()23x g x x -=，只要()min a g x ≤即可……………………8分()2310g x x '=+>，所以()min11122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以11.2a ≤-………………10分18.【解析】（1）44()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x=++-2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x=-++cos 2sin 2x x=+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………2分周期2ππ2T ==………3分由222,Z 242k x k k πππππ-+<+<+∈………4分解得3ππππ,Z88k x k k -+<<+∈………5分所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.………6分（2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解即函数y m =与函数π(),02y f x x =≤≤的图象有两个交点………8分令π24t x =+，则π5π44t ≤≤即函数y m =与函数()g t t =，π5π44t ≤≤的图象有两个交点函数()y g t =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，草图如下且ππ5π((1,(1244g g g ===-………10分故1m ≤<.………12分19.【解析】（1）.9,632==a a ……………………………2分猜想：,3n a n =……………………………3分证明：由已知可得),3(2)1(31n a n a n n -=+-+[],)1(3231--=--n a n a n n ........2132(3)a a -=-.3,31n a a n =∴= ……………………………6分.（2）,.3311nn n na =+）得由（……………………………7分.331........333231132n n n n n S +-++++=∴-①.331........333231311432++-++++=∴n n n nn S ②………………………8分1-②可得,331......31313212+-+++=n n n nS ……………………………10分nn n n S 32341431⋅-⋅-=∴-……………………………12分20.【解析】（1）解法一：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin sin sin A A CA B=. 2cos sin sin A B C∴=………………………………2分又 sin sin()C A B =+ ，2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -=， A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形.………………………………5分解法二：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A C a b =，进而2cos a A ca b=. 2cos cA b∴=.………………………………2分由余弦定理，222 22b c a cbc b+-=，化简得22a b =，即a b =.所以，ABC △为等腰三角形.………………………………5分（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意，2sin ,2sin ,2sin a A b B c C ===， 2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++………………………………7分由（1）知，A B =且πA B C ++=，π4sin 2sin 2, (0,2a b c A A A ∴++=+∈……………………………9分令π()4sin 2sin 2, (0,2f A A A A =+∈，则2()4cos 4cos24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+，易知，当π (0,)3A ∈时，()0f A '>，()f A 为递增的；当ππ (,)32A ∈时，()0f A '<，()f A 为递减的.………………………11分所以，当π 3A =时()f A 有最大值ππ2π(4sin 2sin333f =+=，也即ABC △周长的最大值为…………………………12分21.【解析】（1）由题意得，()x m m m y -+-⎪⎭⎫⎝⎛+=12411…………………………2分xm -+=39xx x -+++⋅=31129………………………4分x x -+-=1921，所以x x y -+-=1921（a a x -≤<20，a 为正实数）．…………………………5分（2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ，…………………………7分易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减．…………………………8分又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ．…………………………9分所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值；……10分当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值．……11分综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润.……12分22.【解析】（1）解法一：由题意，21ln ()e ,xxf x a x -'=+……………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+=……………………………………2分从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为e (e 1)(1)y a a x -=+-，……………………………………3分又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+，………………………………4分解得0a =.………………………………5分解法二：由题意，21ln ()e ,xxf x a x -'=+………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+=………………………………2分由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)，则有(1)1e 112f a -=+-，………………………………4分即1e e 1a a -=+，解得0a =.………………………………5分（2）解法一：由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>，则2211()(1)e1(1)(e )x x g x x x x x --'=-+++=+-.…………………………7分易知10x +>，记21()e x h x x-=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减，且1(1)10e h =->，1(2)02h =-<，0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =.………………………………9分从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<.()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减.…………………………10分由0()0h x =可得020e1x x -=及00ln +2x x =，02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<.(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e1x x -=，max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”）从而， ()2g x <.………………………12分解法二：记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1()1,h x x'=-……………………6分易知，(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时所以，()h x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.……………………7分从而有()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )ln e e 10,e 1.x x x x h x =-+≤≥+………9分由题意及上述结果，225()e ln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤<.…………………12分解法三：由题意，欲证2()eln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x-+<+.…………6分记ln (),0.x xm x x x+=>则1ln (),xm x x-'=从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e+.…………………8分记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x-'=-+易知()n x '在(0,)+∞递增，且11(1)20,(2)10e 2n n ''=-+<=-+>，因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x .而021200221()e e 12ex n x x --=+>+=+…………………11分从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <.…………………12分。
安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末考试理科数学试题含答案
B. 15
C. 20
【答案】B
5.
函数
f(x)=
sin2x e|x|
的部分图象大致为（
）
D. 30
A.
B.
C.
D.
【答案】A
6. 已知 F 为抛物线C :y2 = 2 px(p 0)的焦点，点 M 在抛物线C 上，|MF |= 6 ，若线段 MF 的中点到准
线的距离为 4，则 p 为（ ）
A. 1
B. 3
男生 女生 合计
2020 年在直播平台购物
2020 年未 直播平台购物
合计
（2）若把这 100 名学生 2020 年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020 年在直播平台购物的概率， 从全校所有学生中随机抽取4 人，记这 4 人中 2020 年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之
差为 X ，求 X 的分布列与期望.
−3 , 44
单调，则（
）
A.
=
2 3
，
= 12
B.
=
2 3
，
= −11 12
C.
=
1 3
，
=
−
11 24
D.
=
1 3
，
=7 24
3
【答案】A
12. 已知正方体 ABCD − A1B1C 1D 1 的棱长为 2， AB ， AD 中点分别为 E ， F ，若过 EF 的平面截该正方
体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（ ）
方式.某高校学生会调查了该校100 名学生 2020 年在直播平台购物的情况，这100 名学生中有男生 60 名，
女生
40
名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的2
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021学年安徽省蚌埠市第六中学高三数学理联考试题含解析
2020-2021学年安徽省蚌埠市第六中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的定义域为[0,2],则函数的定义域为( )A.[－2,0]B.[－1,3]C.D.参考答案：D因为函数的定义域为,所以的定义域为,由得,故选D.2. 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．32Ｂ．34C．36Ｄ．38参考答案：B3. 已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=（）|x+b|的图象为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】变形利用基本不等式即可得出a=2，b=1，利用函数g（x）=（）|x+b|为函数g（x）=（）|x+1|，关于直线x=﹣1对称，即可得出结论．【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1．∴f（x）=x﹣4+=x+1+﹣5≥2﹣5=1，当且仅当x=2时取等号，f（x）的最小值为1．∴a=2，b=1，∴函数g（x）=（）|x+b|为函数g（x）=（）|x+1|，关于直线x=﹣1对称．故选：B．4. 设A，B，C为直线上不同的三点，O为直线外一点．若，,则p+g+r=( )A．-1 B.0 C.1D.3参考答案：B5. 已知中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足（）A．最大值为16 B．最小值为4 C．为定值8 D．与的位置有关参考答案：C略6. 设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称参考答案：D【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x 的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．7. 函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值的集合为（A ）{2,3} （B）{3,4}（C）{2,3,4} （D）{3,4,5}参考答案：C8. 给出下列四个命题：（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ；（2）“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得＜0”；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（?p）∨q为真命题；（4）函数是偶函数．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）若α＞β且α、β都是第一象限角，比如α=，β=，则tanα=tanβ，故（1）错；（2）这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论，正确；（3）已知命题p：所有有理数都是实数，是真命题，q：正数的对数都是负数，为假命题，则（?p）∨q为假命题，不正确；（4）函数是奇函数，不正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A． B．C． D．参考答案：D10. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（）A．36πcm2 B．64πcm2 C．80πcm2 D．100πcm2参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出球的表面积．【解答】解：根据几何意义得出：边长为12的正三角形，球的截面圆为正三角形的内切圆（如图1），∴内切圆的半径为O1D=2，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d=8﹣6﹣8=2，∴球的半径为：RR2=（R﹣2）2+（2）2，解得R=4则球的表面积为4πR2=64π故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度_________．参考答案：【知识点】类比推理．M1【答案解析】解析：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l，三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S，∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr4【思路点拨】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．12. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________．参考答案：2.04713. （几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为．参考答案：4.5【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．【专题】计算题．【分析】根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．【解答】解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB?DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴∴AC==4.5，故答案为：4.5【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．14. 椭圆的焦点是，为椭圆上一点，且是与的等差中项，则椭圆的方程为________参考答案：15. 已知随机变量满足正态分布，且P，P，则P()=__________ ．参考答案：【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I30.1解析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜2）=0.6，∴P（0＜ξ＜1）=0.6﹣0.5=0.1，故答案为0.1.【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）．16. 已知实数、满足约束条件则的最大值是参考答案：解：因为实数、满足约束条件则过点（2，-1）时，目标函数最大且为317. = ．参考答案：﹣4【考点】三角函数的化简求值．【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值．【解答】解：原式====﹣4．故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年安徽省六安市俞林中学高三数学理联考试题含解析
2020-2021学年安徽省六安市俞林中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若（）A． B．C．D．参考答案：答案：C2. P为椭圆上的一个动点，M、N分别为圆与圆上的动点，若的最小值为17，则r=（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.3. 已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．【解答】解：∵f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1，∴令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），故选：A．4. 从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有A．36种 B．30种 C．42种 D．60种参考答案：A略5. =（）A．B．C．D．1参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式对函数式化简即可得答案．【解答】解：===．故选：A．6. 如右图的流程图，若输出的结果，则判断框中应填A．B．C．D．参考答案：B7. 实数x，y满足，则最大值为A.3B.5C.D.参考答案：B画出表示的可行域，如图，化简，表示可行域内与原点连接的斜率，由，得，最大值为，的最大值为，即最大值为，故选B.8. 若全集，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B∵，则，选B．9. 函数f(x)＝2cos2x－sin2x(x∈R)的最小正周期和最小值分别为 ( )A．2π，3 B．2π，－1 C．π，3 D．π，－1参考答案：D10. 已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．4 C．5 D．8参考答案：B考点：线性规划导数的综合运用试题解析：由图知：f（x）在单调递减，单调递增，又，所以等价于作的可行域：A（2，0）,B（0，4），所以故答案为：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，点的坐标为，函数过点，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________.参考答案：试题分析：由得，，曲边梯形的面积为，所以所求概率为．考点：几何概型．【名师点睛】几何概型的常见类型的判断方法1．与长度、角度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3．与体积有关的几何概型．12. 设复数z满足，为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第象限．参考答案：四13. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数有________个814. （x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为．参考答案：43【考点】二项式系数的性质．【分析】（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k即可得出．【解答】解：（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．∴（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项=3+=43．故答案为：43．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15. 一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 .12016. 正项等比数列= ____________.参考答案：9略17. 函数处的切线方程为参考答案：15略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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高三3月10号周考
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟；满分：150分；
第Ⅰ卷(60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A {(x,y)|y 2x }，B {(x,y)|y x 1}，则A B中元素的个数为(
D．0
) A．3B．2 C．1
2．已知复数z满足z(12i)|34i|(i是虚数单位），则z的共轭复数z ( A．12i B．12i C．12i D．12i
3．如图为20142018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），
则以下结论不正确的是(
)
)
A．2014年以来，我国国内生产总值逐步在增长
B．2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳
C．20142018年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在2018年
D．20142018年，我国国内生产总值年增长率的平均值为6.86%
4．记S为正项等比数列{a}的前n项和．若a 1，4a a，则S () n n 1 3 5 10
A．512 B．511 C．1023 D．1024
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数
2
2
x
x
1
1
的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)cos x的图象大致是()
A．B．
C．
6．如图所示，在ABC中，CE是边AB的中线，O是CE 的中点，若AB a，AC b ，则等于(
D．
)
1
1 1 1 1 1 1 1
A．a b B．a b C．a b D．a b
2 2 4 2 4 4 2 4
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()
808
3
832
3
1616
3
1592
3 A．B．C．D．
3
8．斜率为的直线l过抛物线C:y 2 2px(p0)的焦点F ，若l 与圆M:(x2)2 y4相
2 3
切，则p(
A．12
)
B．8 C．10 D．6
9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦
方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币 翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币 1
全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为 ，则一卦
2 中恰有两个变爻的概率为 ( )
1 15 240 729
1215 4096
A ．
B ．
C ．
D ．
4
64
x
x 1
, x 0 , x 0 10．已知函数 f (x)
，若关于 x 的方程 f (x) a 有且只有一个实数根，则实数 ln x x
a 的取值范围为 (
) 1 1
A ． ( ， 0]
( ，1) B ． (
， 0)
( ，1) e
e
1
1
C ． ( ，1)
D ．[0 ， )
e
e
x 2 y
2 2
11．已知双曲线 1(b 0) 的左右焦点分别为 F 、F ，过点 F 的直线交双曲线右支于
1
2
2
4 b
A 、
B 两点，若 ABF 是等腰三角形，且 A 120 ，则 ABF 的周长为 ( )
1 1 16 3
3
4 3
3
A ． 8
B ． 4( 2 1)
C ． 8
D ． 2( 3 2)
12．已知正方体的棱长为 1，平面 过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成 的角相等，则该正方体在平面 内的正投影面积是 ( )
3 3 3 3 4
A ．
B ． 3
C ． 2 (90 分)
D ．
2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置.
x y 2
13．若变量 x ， y 满足 2x 3y 3，且 z 2x y ，则 z 的最大值是
．
x 0
14．若 S 为数列{a }的前 n 项和，且 S 2a 1(n N *
) ，则 S 等于 ．
n n
n n 6 15．在 (1 x ) 5 (1 x 3 ) 的展开式中， x 3
的系数为 ．（结果用数值表示）
16．函数y s in x cos x|s in x c os x|的值域是．
三．解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设2
(a 2 b2 c)t anC3ab．
（1）求C；
（2）若3sin A4sin B，且ABC的面积为33，求ABC的周长．
18．(本小题满分12分)如图，已知四边形AB C D为等腰梯形，B DEF为正方形，平面B DEF 平面AB C D，A D//BC，A D AB1，ABC60
（1）求证：平面C D E平面B DEF；
（2）点M为线段EF上一动点，求B D与平面BC M所成角正弦值的取值范围．
19．(本小题满分12分)椭圆C的中心在原点，左焦点F(1,0)，长轴为22．
1
（1）求椭圆C的标准方程
（2）过左焦点F的直线交曲线C于A，B两点，过右焦点F的直线交曲线C于C，D两
1 2
点，凸四边形AB C D为菱形，求直线AB的方程．
20．(本小题满分12分)手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：
由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：
记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数100，若(0，10]，职
工获得一次抽奖机会；若(10，20]，职工获得二次抽奖机会；若(20，30]，职工获得三次抽奖机会；若(30，40]，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．
方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；
方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；
若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)l nx a(x1)．
（1）若函数f(x)的图象与x轴相切，求实数a的值；
（2）讨论函数f(x)的零点个数．
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程：
x 2 y 2 在平面直角坐标系xoy，已知椭圆的方程为：
段OP的中点为Q．1，动点P在椭圆上，O为原点，线
2012
（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q的轨迹的极坐标方程；
1
x t
2 （Ⅱ）设直线l的参数方程为
弦长|M N|．，(t为参数），l与点Q的轨迹交于M、N两点，求
3
y t
2
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)|2x 1||x 4|．
（1）解不等式f(x)6；
（2）若不等式f(x)|x 4| a 2 8a有解，求实数a的取值范围．。