一元二次方程应用题(几何图形面积问题)

例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
1 根据题意，得 2 x (6 x) 8 2 2
整理，得 x
D
C
6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
A P
Q
0 x 6
所以2秒或4秒后⊿ PBQ的 面积等于8cm2
B
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x 根据题意得：x 8-x 16 整理得：x 8 x 16 0
2
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2?
一、复习
解一元一次方程应用题的一般步骤？ 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知 数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相 等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数 式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后，写出答案（及单位名称）。
1 2
解:设道路宽为x米，则
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
B
Biblioteka Baidu
Q
C P A
例3：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB, 垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重 合),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直. i)设⊿ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S 与x之间的函数关系式; ii)当x为何值时,直线l平分⊿ ABC的面积?
40米
22米
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
练习：
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
(32 2 x)(20 2 x) 570 2 36 x 35 0 化简得， x ( x 35)( x 1) 0 x 35, x 1
答题中要带着单位，中间过程不需要单位。
1 2 解：当0 x 2时，S x 2 当2 x 3时，S 3 3 x
2
C l
A P
D
B
例2：客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到 C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某 一方向匀速直线航行,将一批物品送达客 轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-BC上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的2倍.
例1. 镜框有多宽? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 （8－2x） （5－2x） m,得 为 m, 宽为 8 x x 5
（8－2x）
x
１８m2
x
例1. 镜框有多宽? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则镜框多宽? 审 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形 （8-2x） m,宽为 （5-2x） m,得 图案的长为 设
2 2 2 在Rt⊿DEF 中， DE DF EF
A
D
x 100 (300 2 x)
2 2
2
100 6 100 6 x 200 200(舍去) 所以DE 200 3 3
100 6 x 200 3
C
F
E
B
Ｄ
例5:在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm，点D从点A开 始以2cm/s的速度沿AB边向点B Ｆ 移动,过点D做DE平行于 BC,DF 平行于AC,点E.F分别在AC,BC 上,问：点D出发几秒后四边形 DFCE的面积为20cm2？
Ｅ Ａ
Ｄ
Ｃ F
Ｂ
今天，我们主要通过分析几个例题，看到列一元
二次方程解应用题的一般步骤及注意事项。首先，要 适当地假设未知数，这一步非常关键，往往影响后面 解方程的计算量；再仔细分析题意，列出方程，解方 程，得到方程的解；这时一定要注意检验方程的解是 否符合实际意义，不符合实际意义的解要舍去；最后 答题。对于带有单位的应用题，如面积问题，在假设、
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
例1：用以根长22厘米的铁丝，能否折成 一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个 面积为32厘米的矩形？说明理由。
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2
C Q B
例4： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿 AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时 另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, PCQ的面积等于 450cm2?
18米
2米
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度; 3）常找的数量关系——
面积，勾股定理，相似三角形等； 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18 即2X2 － 13 X ＋ 11＝0
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意)
列 解
答:镜框的宽为1m.
答
2. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少？
A D
C
B
i)选择:两船相遇之处E点( B )
A.在线段AB上;
B.在线段BC上; C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;
A
D
C
B
ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多 少海里?(结果保留根号)
解：设货轮从出发到两船相遇共航行 了x海里，过D作DF⊥ CB，连接DF， 则DE=x，AB+BE=2x，DF=100， EF=300-2x