第六章 期权 (2)

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期权价格
买权
IBM股票 收盘价 97 1/2 执行价 90 95 100 105 12月 8 3/8 3 5/8 3/4 3/16 1月 9 1/4 5 1/2 2 9/16 1 4月 11 1/4 7 7/8 5 1/8 3 1/8 12月 1/4 5/8 2 3/4 7 1/8
两个方面推广了多重二叉树模型：首先，布莱 克—舒尔茨模型认为市场上投资人对未来价格的 预期符合正态分布；其次，布莱克—舒尔茨模型 将股票价格波动纳入连续型的过程，而不必和二 叉树模型那样要求在离散型的区间内讨论问题。 二个模型的基本出发点都是一致的：将投资人持 有的股票和期权进行组合，将股票的风险完全对 冲掉，从而在市场上没有“无风险套利”机会的 情况下，求解期权价格。
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期权
第二节 期权定价法
- Options Pricing Models
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赌场老板Vs. 亿万富豪
他们假设有一个疯狂的亿万富豪赌客，提出用1亿美元 来和赌场老板进行一场赌博。双方约定，通过简单的游 戏来决定胜负。投掷三次骰子，如果三次投掷的结果均 为“小”，那么赌场老板就必须赔付亿万富翁8亿美元， 而如果三次投掷中，只要有一次出现了“大”的结果， 赌客就将其1亿美元的赌注输给赌场老板。我们都知道 三次投掷的过程中，结果全都是“小”的概率为： (1/2)x(1/2)x(1/2)=1/8，因此赌客提出的1：8的赔付条件 是公平的，因为他只有1/8的机会赢得8亿美元的赌注， 而赌场老板有7/8的机会赢得 1亿美元的赌注。
风险对冲
构造投资组合：以100美元的价格买入一股 股票同时卖出一份买方期权（X=90）。 可能性1，如果一年后股票涨到110美元， 投资人持有的资产价值是90美元。 可能性2，如果一年后股票跌至90美元，投 资人持有的资产价值还是90美元。
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二叉树期权定价模型 —买权
假设有一位投资人，他希望购买微软公司的股票。当前 市场上，微软的股价是每股100美元。他预期一年以后微 软股价有可能是110美元，也有可能是90美元。
1年后，110美元 100美元 1年后，90美元
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2.美式期权与欧式期权 美式期权(American option)：指在到期之前 或到期日都可执行的期权。 欧式期权(European option)：指只有在到期日 才可执行的期权。
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期权交易
1.交易市场：
包括交易所(exchange)与场外市场（OTC， over-the-counter market)。 期权交易所交易的一般是标准化的期权合约， 而场外市场交易的期权要素可以按交易双方 的需要确定。
期权交易是一种高风险的投资 活动
例如，2002年6月25日ABC公司股票每股市价100元， 股票的看涨期权市价为每股4元，执行价格为每股110元， 期权到期日为12月25日，每份期权合约含100股。李先生 支付400元，购得一份期权合约。
如果12月25日股票市价升至每股116元， 李先生当然要 执行期权，收入为（116-110）×100=600元。即投资400 元，半年得到600元，回报率为50%； 李先生执行期 如果12月25日股票市价升至每股112元， 权仅获得200元收益，半年赔了一半，回报率-50%； 最糟的是，如果12月25日股票市价低于110元，李先 生会伤心地放弃执行，眼看着400元投资全泡汤。
二叉树期权定价模型 —卖权
构造投资组合：以100美元的价格买入一股 股票同时购买一份卖方期权（X=110）。 可能性1，如果一年后股票涨到110美元， 投资人持有的资产价值是110美元。 可能性2，如果一年后股票跌至90美元，投 资人持有的资产价值还是110美元。
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均衡的价格
年终投资人持有的总资产：90美元的组合价值+年初出 售买方期权（C）之后投资于无风险国债的收益；应该 等于投资人在年初用100美元购买无风险国债并持有一 年之后的总收益。
90 C (1 8%) 100 (1 8%)
C = 16.67美元
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C
0
X=15 执行 价格
•
S：股票 市价
• X
S
买入看涨期权
出售看涨期权
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2.看跌期权
看跌期权在到期日的价值： P=Max{X-S，0}
例如：看跌期权执行价格为15元，当到期日股票市 价20元时，买方会放弃履约，期权价值为0；股票市价 10元时，买方会执行期权，期权价值为5元。 P：看跌期权的价值 P
现在的问题是：如果该赌场的总资产只有100万美元， 那么，赌场老板是否应该接受这个亿万富翁的挑战呢？
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期权定价法的前提条件
（1）不存在任何“无风险套利机会”是布莱克—舒 尔茨期权定价法的基本前提。在赌场模型中，赌场老 板可以吸引其他赌客来帮助他对冲风险；但是这种活 动本身只为他赢得了下一轮继续投掷的权力，而没有 给他带来任何直接的利益，即没有套利的机会存在。 （2）赌场老板在经历了这次赌局之后，没有赢得任 何新的价值。他仍然只拥有自己价值百万的赌场。所 有那些他吸引来对冲风险的赌客，可以被看作是赌场 老板购买的套期保值的合约。
均衡的价格
年终投资人持有的总资产：110美元应该等于 100美元的微软股票+年初购买卖方期权（P） 等值的资金投资无风险国债并持有一年之后的 总收益。
(100 P)(1 8%) 110
P = 1.85美元 .
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布莱克—舒尔茨模型 (Black-Scholes Model)
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不考虑资金时间价值和交易成本，看涨期权的 买方和卖方的利得或损失如下图所示：
买方利得或损失 + 0 卖方利得或损失 执行价格 X X+O
股票价格
支付的权利金O
支付的权利金O
0 股票价格 X X+O
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期权在到期日(执行日)的价值
在到期日，期权持有者只有两种选择： • 执行期权； • 过期作废。 因此，期权在到期日的价值取决于期权基础 资产的市场价格与期权执行价格的关系。 下面，以股票期权为例。 1.看涨期权 看涨期权在到期日的价值：C=Max{S-X，0}
式中：S——到期日股票每股市价； X——执行价格
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X S
0
X
S 出售看跌期权
买入看跌期权
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期权的基本逻辑
期权(Option)是以事先确定的价格，允许投 资人在未来一段时间内买入或者卖出某项资 产的权力。简而言之，其他投资方法都需要 投资人事先对不确定性的事件采取行动，投 资的成败也就取决于投资人对不确定性事件 的事先判断。 而期权则是在收到新信息之后，再采取行动 的权力，这是处理不确定性的最好办法。因 此，期权普遍存在于金融的各个领域。
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利用布莱克—舒尔茨公式求解 期权价格
假设IBM公司股票当前价格是100美元(S)，我们 购买一个为期半年的欧式买权，允许在半年之 后，仍然以100美元的价格购买该公司股票。同 期的无风险利率是10%，该公司股票波动率是 0.5，求解欧式买权的价格? 套用布莱克—舒尔茨公式，先计算出d1=0.318， d2= －0.0355，然后求解期权价格为16.14美元。
2.期权的买方与卖方：
–期权的买方常称为期权的持有人。 –期权的卖方有时也称为写约人(writer)，
他只有义务，而没有权利。
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3.期权价格(option price)：期权价格有时也
称为期权费或权利金，指期权的买方为获得 期权而向卖方支付的价格。 4.期权的履约：期权交易的履约有三种方式：
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不分红的欧式买权
X C SN (d1 ) ( rt ) N (d 2 ) e S 1 2 ln( ) ( r )t X 2 d1 t
d 2 d1 t
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5个变量
S代表股票的当前价格；X代表期权的实 施价格(Exercise Price)，即允许期权所有 者在该价格水平上购买（或者在卖方期 权情况下，卖出）股票；T代表期权的 时效，期权的时效越长，期权的持有者 就会接受到更多的信息，因而期权也就 越有价值；r代表同期的无风险利率， 代表股票价格的波动率（Volatility）。
Hale Waihona Puke 例如：某公司股票的欧式看涨期权执行价格为15元， 到期日该股票每股市价25元，此时，期权持有人将执行 期权，他可按15元购进股票，并可按25元售出，赚取10 元，即期权在到期日的价值为25-15=10元。 如果到期日股票市价为10元，持有者将放弃执行， 期权的价值为0。上述情况一般图示如下：
C：看涨期权到 期日的价值
-对冲（如到期前通过卖出相关期权与持有的期权对冲）； -执行期权； -自动失效。