数学分析

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(ii) 孤立点—— 若点 A E, 但不是 E 的聚点（即
有某δ > 0, 使得 U ( A; ) E ), 则称点 A 是
E 的孤立点. 注 孤立点必为界点;
不是孤立点的界点必为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.
例2 设点集 E ( p,q) p, q 为任意整数. 显然,
例如前面列举的点集中, (2)式所示的 C 是开集; (3) 式所示的 S 是闭集; (4)式所示的 D 既非开集, 又 非闭集; 而(1)式所示的 R2 既是开集又是闭集. 在 平面点集中, 只有 R2 与 是既开又闭的.
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例3 证明: 对任何 S R2, S 恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, 设 x0 为 S 的任一聚点，欲证
U ( x0; )
x0 y
S
U ( y; )
x0 S（即 x0 亦为 S 的界
点）. 为此 0,பைடு நூலகம்由聚点
S 图 16 –４
定义，存在
y U ( x0; ) S.
再由 y 为界点的定义, U ( y; ) U ( x0; ) , 在
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U( y; ) 内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 由此推知在 U ( x0; )内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 所以, 由
域 (但既不是开域又不是闭域). 又如
G ( x, y) | xy 0,
(5)
它是 I、 III 两象限之并集. 虽然它是开集, 但因 不具有连通性, 所以它既不是开域, 也不是区域.
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有界点集——对于平面点集 E, 若 r 0, 使得
E U(O; r), 其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点), 则称 E 为有界点集. 否则就为无界点集.
E 的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 当 E E 时, E 的外部与Ec 两个集合相同.
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例1 设平面点集（见图 16 – 3）
D ( x, y) 1 x2 y2 4 . (4)
满足 1 x2 y2 4 的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1 的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4 的一切点也 是 D 的界点, 但它们都不属于 D.
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一、平 面 点 集
※ 平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定义域是坐标平面上的点集, 因此 在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集的
一些基本概念. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数对( x, y) 与平面上所有点之间建立 起了一一对应. 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 面点集, 记作
例6 P0 为 E 的聚点 存在各项互异的 {Pn } E ,
使得
lim
n
P n
P0
.
( 这是一个重要命题, 证明留作习题.)
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※ 下述区域套定理, 是区间套定理在 R2 上的推广. 定理16.2(闭域套定理) 设 { Dn } 是 R2 中的一列闭 域, 它满足：
(i) Dn Dn 1, n 1, 2, ;
P0
lim
p
Pn
p
Dn ,
n
1,
2,
.
最后证明 P0 的惟一性. 若还有 P0 Dn , n 1, 2, ,
则由
(P0 , P0) (P0, Pn ) (P0, Pn ) 2dn 0, n , 得到 ( P0 , P0) 0, 即 P0 P0.
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推论 对上述闭域套 { Dn }, 0, N N , 当 n N 时, Dn U (P0; ).
( x, y) 0 | x x0 | , 0 | y y0 | .
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※ 点和点集之间的关系 一：按 “内-外” 来区分 任意一点 A R2与任意一个点集 E R2之间必有 以下三种关系之一 :
(i) 内点——若 0, 使 U ( A; ) E, 则称点 A
是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 E 的内部, 记作 int E.
y
O 12x 图 16 – 3
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二：按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近旁是否密 着集E 中无穷多个点而构成另一类关系:
(i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 U ( A)内都 含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点．
注1 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 U( A) 内都含有 E 中的无穷多个点”.
则称点列 { Pn } 收敛于点 P0 , 记作
lim
n
Pn
P0
或
Pn P0 ( n ).
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当 Pn 与 P0 分别为 ( xn , yn ) 与 ( x0, y0 ) 时, 显然有
lim
n
Pn
P0
lim
n
xn
x0
且
lim
n
yn
y0;
若记 n (Pn , P0 ), 同样地有
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离, 即
(P1, P2 ) ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .
于是, 当且仅当 d(E) 为有限值时, E为有界点集.
练习 说明以下点集的特征
E {(x, y) | 2y 1} x
E是开集, 但非连通, 且是无界的点集.
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二、R2上的完备性定理
证（必要性）设
lim
n
Pn
P0 ,
则由定义1,
0,
N N , 当 n N ( 也有 n p N ) 时, 恒有
(Pn ,
P0 )
2
,
( Pn p ,
P0 )
2
.
应用三角形不等式, 立刻得到
(Pn , Pn p ) (Pn , P0 ) (Pn p , P0 ) .
(充分性) 当 (6) 式成立时, 同时有
注 把 { Dn } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立.
D
。。
闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域. 不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域.
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在前述诸例中, (2)式的 C 是开域, (3)式的 S 是闭
域, (1)式的 R2 既是开域又是闭域, (4)式的 D 是区
的任意性, x0 为 S 的界点, 即 x0 S , 也就证得 S 为闭集． 注 类似地可以证明: 对任何点集 S R2, 导集 S d 亦恒为闭集.
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开域——若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集.
注2 内点一定是E的聚点；聚点本身可能属于E，也 可能不属于；界点可能是E的聚点，也可能不是.
注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记 作 Ed(或 E) ; 又称 E Ed 为 E 的闭包, 记作 E .
例如, 对于例1, Dd ( x, y) 1 x2 y2 4 D .
(ii) dn d(Dn ),
lim
n
dn
0.
则存在惟一的点
P0 Dn , n 1, 2, .
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证 如图16 – 7所示, 任取点列
Pn Dn , n 1, 2, . 由于 Dn p Dn , 因此
从而有
Pn , Pn p Dn ,
Dn p Dn
•
•
•
Pn
Pn p
P0
E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有 E d , int E , E E.
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※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 的每一点都是 E 的内点(即E = int E ).
闭集——若 E 的所有聚点都属于 E ( 即 E E ). 注 由定义立得：若 E 没有聚点即E d , 则E 为闭集.
(Pn , Pn p ) dn 0, n .
由柯西准则知道存在 P0 R2, 使得
lim
n
Pn
P0 .
图 16 – 7
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任意取定 n, 对任何正整数 p, 有 Pn p Dn p Dn .
再令 p , 由于 Dn 是闭域, 故必定是闭集, 因此
Dn 的聚点必定属于 Dn , 则得
lim
n
Pn
P0
lim
n
n
0.
由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因
此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.
定理16.1(柯西准则) {Pn } R2 收敛的充要条件是:
0, N N , 使当 n N 时, 都有
(Pn , Pn p ) , p N .
(6)
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y
y
•A
O
(a) 圆邻域
x
O
图 16 – 2
A •
x (b) 方邻域
注 由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一
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方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的
邻域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域,
用并记号 U( A; ) 或 U( A)来表示.
点 A 的空心邻域是指:
(ii) 外点——若 0, 使 U ( A; ) E , 则称
点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合 称为 E 的外部.
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(iii) 界点—— 若 0, 恒有 U( A; ) E 且 U( A; ) Ec
( 其中 Ec R2 \ E ), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E 的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 E. 注 E 的内点必定属于 E;
| xn p xn | (Pn , Pn p ) ,
| yn p yn | (Pn , Pn p ) .
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这说明 { xn } 和 { yn } 都满足关于数列的柯西准则,
所以它们都收敛.
设
lim
n
xn
x0
,
lim
n
yn
y0 ,
从而
由点列收敛概念, 推知 { Pn } 收敛于点 P0(x0, y0).
E ( x, y) ( x, y) 满足条件 P .
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例如： (i) 全平面:
R2 ( x, y) | x , y . (1)
(ii) 圆: C ( x, y) x2 y2 r2 .
(2)
(iii) 矩形: S ( x, y) a x b, c y d , (3)
( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 ( 圆 )
或 ( x, y) | x x0 | , | y y0 | ,( x, y) ( x0, y0 ) (方),
并用记号 U ( A; ) ( 或 U ( A) ) 来表示.
注意: 不要把空心方邻域写成 : ( 请指出错在何处? )
※ 平面点列的收敛性定义及柯西准则 反映实数
系完备性的几个等价定理, 构成了一元函数极限理 论的基础. 现在把这些定理推广到 R2, 它们同样是 二元函数极限理论的基础.
定义1 设 {Pn } R2 为一列点, P0 R2 为一固定点.
若 0, N N , 使当 n N 时, Pn U(P0; ),
也常记作： S [a,b][c,d].
y
y
d
C
O
rx
(a) 圆 C
图 16 – 1
S
Oa
bx
c
(b) 矩形 S
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(iv) 点 A( x0, y0)的 邻域:
( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 ( 圆形 )
与 ( x, y) | x x0 | , | y y0 | ( 方形 ).
例 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1)与(5)是无界集.
E 为有界点集的另一等价说法是: 存在矩形区域 [a, b][c, d] E.
此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映, 所谓点集 E 的直径, 就是
d(E ) sup (P1, P2 ),
P1 , P2 E
其中ρ(P1, P2) 是 P1 (x1, y1) 与 P2 (x2, y2)之间的距
§1 平面点集与多元函数
多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元 函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要 加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去.
一、平面点集
二、R2 上的完备性定理 三、二元函数
四、n 元函数