人教版初中数学第十八章平行四边形知识点汇编
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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用□“ ”表示，读作“平行四边形”.平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”.
18.1.1 平行四边形的性质
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
例、已知：□ABCD 求证：AD=BC ，AB=DC ；∠A=∠C ，∠B=∠D.
证明：连接 AC ，
AD / /CD, AD / / BC
∴∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4
又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴ △ABC ≌△CDA ，
∴ AD = CB, AB = CD, ∠B = ∠D
平行四边形性质 1：平行四边形的两组对边分别相等.
平行四边形性质 2：平行四边形的两组对角分别相等.
例、已知：如图：□ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O.
求证：OA=OC ，OB=OD .
证明：四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD=BC ，AD ∥BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD ≌△COB （ASA ）.
∴ OA=OC ，OB=OD .
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行
线之间的距离.
平行线之间的距离特征 1：平行线之间的距离处处相等.
平行线之间的距离特征 2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
平行四边形性质 3：平行四边形的两条对角线互相平分.
例、如图，□ ABCD 中，BD ⊥AB ，AB=12cm ，AC=26cm ，求 AD 、BD 长．
.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO=CO= 1
AC ，OB=OD ．
2
∵BD ⊥AB ，∴在 △Rt A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．
∴BO= AO 2 - AB 2 = 5 ．∴BD=2B0=10cm ．
∴在 Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．
∴AD= AB 2 + BD 2 = 2 61 (cm)．
例、如图，在□ A BCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 △O ， AOB 的周长
为 25，AB=12，求对角线 AC 与 BD 的和.
解：∵△AOB 的周长为 25，
∴OA+BO+AB=25，
又 AB=12，∴AO+OB=25-12=13，
∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
18.1.2 平行四边形的判定
平行四边形判定 1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形判定 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定 4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定 5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 例、 如图，在□ABCD 中，已知点 E 和点 F 分别在 AD 和 BC 上，且 AE=CF ，连结
CE 和 AF ，试说明四边形 AFCE 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，
∵点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，
∴AE//CF ，
E F .
又∵AE=CF ，
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
例、如图，E 、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．
求证：（△1）
AFD ≌△CEB ．
（2）四边形 ABCD 是平行四边形．
解：（1）∵DF ∥BE ，
∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，
∴△AFD ≌△CEB ．
（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知 AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
例、如图，平行四边形 ABCD 中， 、 为边 AD 、BC 上的点，且 AE=CF ，
连结 AF 、EC 、BE 、DF 交于 M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．
A
E
D
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC
又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形 AFCE 是平行四边形
∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形 MFNE 是平行四边形．
B
M
N
F
C
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
矩形定义 1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义 2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线 矩形性质 1：矩形的四个角都是直角.
矩形性质 2：矩形的对角线相等且互相平分.
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定 1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定 2：有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定 3：对角线相等的平行四边形是矩形.
例、如图，已知 AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，