西城高一数学试卷试题
西城区2019-2020学年度第一学期期末高一数学试题及答案(WORD版)
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第1页（共11页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =I （ ） （A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}-- （3）函数11y x =+-的定义域是（ ） （A ）[0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U（D ）[0,1)(1,)+∞U（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ） （A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第2页（共11页）（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） （A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（ ）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） （A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第3页（共11页）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
2021-2022学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题
北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷高一数学 2022.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（A ）(2,2)-（B ）(2,1)-（C ）(2,)-+∞（D ）(1)，+∞（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是 （A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}- （C ）{(1,1),(1,1)}---（D ）∅（3）函数12y x =+的定义域是 （A ）[1,2) （B ）[1,)+∞（C ）(0,1)(1,)+∞ （D ）[1,2)(2,)+∞（4）为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图. 若质量指标值在[25,35)内的产品为（A ）0.38 （B ）0.61 （C ）0.122（D ）0.75（5）若a b >，0c d >>，则一定有（A ）ac bd >（B ）ac bd <（C ）a b c d> （D ）以上答案都不对（6）已知向量(1,1)a =，(2,3)b =-，那么|2|a b -=（A ）5（B ）（C ）8 （D（7）若23a =，则4log 3（A ）12a（B ）a（C ）2a （D ）4a（8）设a ，b 为平面向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“向量a ，b 共线”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）设()f x 为R 上的奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，(1)=0f ，则不等式(1)0f x +<的解集是 （A ）(1,0)-（B ）(0,1)（C ）(1,2)（D ）(,2)(1,0)-∞--（10）如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点,A B ），若2AB =，则||AC MB +的取值范围是（A ）[1,3]（B ）（C ）（D ）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√34．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π26．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√558．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z |为 ． 12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ． 13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 ，圆柱的体积为 ．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ． ①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．21．（15分）对于定义在R 上的函数f （x ）和正实数T ，若对任意x ∈R ，有f （x +T ）﹣f （x ）＝T ，则f （x ）为T ﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）： ①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝x +1．（2）若f （x ）＝x +sin x 为T ﹣阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知f （x ）为T ﹣阶梯函数，满足：f （x ）在[T 2，T]上单调递减，且对任意x ∈R ，有f （T ﹣x ）﹣f （x ）＝T ﹣2x ．若函数F （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣b 有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得F （x ）在[0，2023T ]上有4046个零点，且x 2﹣x 1＝x 3﹣x 2＝…＝x 4046﹣x 4045．2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z ＝1+i ，∴z =1−i ，∴在复平面内z 对应的点（1，﹣1）在第四象限． 故选：D ．2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x解：y =sin(x +π4)的周期T ＝2π≠π，故A 错误；y ＝f （x ）＝tan x 满足f （﹣x ）＝tan （﹣x ）＝﹣tan x ＝﹣f （x ），即y ＝tan x 为奇函数，故B 错误； y ＝f （x ）＝cos2x 满足f （﹣x ）＝f （x ），即y ＝cos2x 为偶函数，且其周期T =2π2=π，故C 正确； y ＝f （x ）＝sin2x 满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），即y ＝sin2x 为奇函数，故D 错误． 故选：C ．3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√3解：在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3， 由余弦定理可得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 所以3＝a 2+b 2﹣ab ＝a 2+4a 2﹣2a 2＝3a 2， 则a ＝1或﹣1（舍去）． 故选：B ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．20解：由题意可知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃， 可得{a +A =28a −A =18，解得a ＝23，A ＝5．故选：A ．5．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π2解：z ＝cos α+i sin α，则z 2＝（cos α+i sin α）2＝cos 2α﹣sin 2α+2sin αcos α＝cos2α+i sin2α， ∵z 2为纯虚数，∴{cos2α=0sin2α≠0，即α=π4+k 2π，k ∈Z ，故α可能的取值为π4．故选：B ．6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α解：若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；如果m ∥α，n ∥α，那么m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 如果m ⊥α，则m 与平行于α的所有直线垂直，又n ∥α，那么m ⊥n ，故C 正确； 若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α或m ∥α或m 与α相交，故D 错误． 故选：C ．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√55解：∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4）， ∴OP →=（1，﹣2），OQ →=（3，4）， ∴cos ∠POQ =OP →⋅OQ →|OP →||OQ|=1×3−2×4√1+(−2)2⋅√3+4=−55√5√55． 故选：D ．8．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．11解：当P 在线段AB 上，则|AP →|≤12|AB →|=3，即线段AB 上有长度为3的线段满足P 点的位置，当P 在AC 上，由于AC →⋅AB →=4×4×cos π3=8＜12，所以线段AC 满足P 点位置， 当P 在BC 上，则AP →=λAB →+μAC →，λ＞0，μ＞0，λ+μ＝1， 所以AP →⋅AB →=λ|AB →|2+μAC →⋅AB →=16λ+8μ＝16λ+8﹣8λ＝8+8λ， 令8+8λ≤12，解得λ≤12，所以线段BC 上远离B 点的一半线段满足P 点位置， 所以P 的轨迹长度为3+4+2＝9． 故选：B ．9．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数， 则f （x ）在对称轴在（0，π3）上，由ωx +π3=k π+π2（k ∈z ）， 解得x =kπω+π6，故0＜kπω+π6＜π3，解得：ω＞12， 而（1，+∞）⫋（12，+∞），故“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”必要不充分条． 故选：B ．10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ） A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]解：如图，不妨设线段AB 的垂直平分线为y 轴，在单位圆中，由|AB|=√3，可得A （−√32，12），B （√32，12），点P 都在单位圆上，故可设点P （cos α，sin α），α∈[0，2π]， 则PA →=(−√32−cosα，12−sinα)，PB →=(√32−cosα，12−sinα)， 所以PA →⋅PB →=cos 2α−34+14−sin α+sin 2α=12−sin α∈[−12，32]． 故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z|为 1 ． 解：复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则z ＝3﹣4i ， 故|5z |=5|z|=5√3+(−4)2=1．故答案为：1．12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ﹣2 ． 解：∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=4+2x =0，解得x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 2 ，圆柱的体积为 36π ． 解：因为球的体积为32π3，则球半径r 满足43πr 3=32π3，解得r ＝2，又因为球与圆柱的上、下底面相切，所以圆锥的高为2r ＝4， 所以圆柱的体积为V ＝π×32×4＝36π． 故答案为：2；36π．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ﹣cos4x （答案不唯一） ．①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．解：由①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)，可知函数的周期为π2，由②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立，可知函数在x =π4上取到最大值， 则f （x ）＝﹣cos4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T =2π4=π2，满足条件①； 另一方面，f(π4)=−cosπ=1=f(x)max ，满足条件②． 故答案为：﹣cos4x （答案不唯一）．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：对于①，当点P 和点A 重合时，平面PB 1D 1∥平面C 1BD ，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接BD 交AC 于点O ，连接C 1D ，C 1B ，C 1O ，AO 1，∵O 1C 1∥PO ，且O 1C 1＝AO ， ∴四边形O 1POC 1平行四边形，∴O 1P ∥C 1O ，∵O 1P ⊄平面C 1BD ，C 1O ⊂平面C 1BD ，∴O 1P ∥平面C 1BD ，∵B 1D 1∥BD ，B 1D 1⊄平面C 1BD ，BD ⊂平面C 1BD ，∴B 1D 1∥平面C 1BD ，又∵B 1D 1∩PO 1＝O 1，B 1D 1，PO 1⊂平面PB 1D 1，∴平面PB 1D 1∥平面C 1BD ；故①正确； 对于②，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由几何关系可知PD 1＝PB 1，要使△PB 1D 1是等腰直角三角形，则PD 1⊥PB 1， 由已知得D 1（0，0，4），B 1（4，4，4），设点P （4﹣a ，a ，0）， 则PD 1→=(a −4，−a ，4)，PB 1→=(a ，4−a ，4)， ∵PD 1⋅PB 1→=0，∴a 2﹣4a +8＝0，此方程无解，则不存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因为D 1E =14B 1D 1=√2，则E （1，1，4），A （4，0，0），C （0，4，0）， 即EA =EC =√26＞5，则P 轨迹是在AC 上的线段，不包括端点A 、C ，如下图所示， 由已知得△EAC 为等腰三角形，则△EAC 底边上的高EH =3√2＜5，随着P 向点C 运动，EP 逐渐减小，故在线段AH 上存在一点P ，使得EP ＝5， 同理可知靠近点C 处也存在一点P ，使得EP ＝5，设线段PE ＝5，由勾股定理可知PH =√7，所以点P 轨迹的长度为2√7，故③正确；对于④，连接BD ，过点P 作BD 的平行线交AB ，AD 于点M ，N ，连接B 1M ，D 1N ， 则MND 1B 1为平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得的截面图形， 由已知得AP =14AC =√2，由△AMN ∽△ABD 可知，MN =2√2，又因为MB 1=ND 1=2√5，且MN ∥B 1D 1， 所以四边形MND 1B 1为等腰梯形，其中梯形的高ℎ=3√2，所以截面面积为12(2√2+4√2)×3√2=18，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．解：（1）因为sin 2α+cos 2α＝1，sinα=45， 所以cos 2α=925， 又因为π2＜α＜π， 所以cosα=−35． 所以tanα=sinαcosα=−43； （2）cos2αcos(α+π4)=22√22(cosα−sinα)=√2(cosα+sinα)=√25． 17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．证明：（1）由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的结构特征，可得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥A 1B ， ∵A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1． （2）设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，∴B 1A ∥C 1D ，且B 1A ＝C 1D ， ∴B 1O ∥C 1D ，且B 1O =12C 1D ，∵E ，F 分别DD 1，C 1D 1的中点，∴EF ∥C 1D ，且EF =12C 1D ， ∴EF ∥B 1O ，且EF ＝B 1O ，∴四边形B 1OEF 为平行四边形，∴B 1F ∥OE ， 又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=c sinC，得sin A cos B +sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin （A +B ）＝2sin C cos A ，因为A +B +C ＝π，所以sin （A +B ）＝sin C ，所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为C ∈（0，π），sin C ≠0，所以2cos A ＝1，即cosA =12， 又因为A ∈（0，π），所以A =π3；（2）选择①：因为S △ABC =5√3，即12bcsinA =5√3，即12×b ×4×√32=5√3，所以b ＝5， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=25+16−2×5×4×12， 所以a =√21，所以△ABC 的周长为9+√21； 选择②： 因为a =√13，又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即13＝b 2+16﹣2×b ×4×12， 所以b ＝1或3，因为△ABC 存在且唯一，所以舍去； 选择③：因为AB 边上的高线CD 长为√32，即bsinA =√32，所以b ＝1， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=1+16−2×1×4×12， 所以a =√13，所以△ABC 的周长为5+√13． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围． 解：（1）f （x ）=√32sin2x −12cos2x +cos2x =√32sin2x +12cos2x ＝sin （2x +π6），所以f （π6）＝sin （2•π6+π6）＝sin π2=1；（2）由（1）可得，单调递增满足−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 解得：−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为[−π3+k π，π6+k π]，k ∈Z ；（3）x ∈[0，m ]，可得2x +π6∈[π6，2m +π6]，由题意可得2m +π6∈[2π，3π），解得11π12≤m ＜17π12， 即m ∈[11π12，17π12）．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．证明：（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥SA ；（2）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ∩平面ABCD ＝EM ， 平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以CD ∥EM ， 又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点； 由（1）知，CD ⊥平面SAD ，又CD ⊂平面SCD ，所以平面SCD ⊥平面SAD ，所以点E 到平面SCD 的距离等于点E 到SD 的距离， 因为SA ＝SD ＝AD ＝2，所以△SAD 为正三角形，又E 为AD 的中点， 所以点E 到SD 的距离为√32，因为平面EFM ∥平面SCD ， 所以点M 到平面SCD 的距离为√32； 解：（3）存在，当N 为SC 中点时，平面DMN ⊥平面ABCD ，证明如下： 连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ，因为ED∥CM，并且ED＝CM，所以四边形EMCD为平行四边形，所以EO＝CO，又因为N为SC中点，所以NO∥SE，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，又SE⊂平面SAD，由已知SE⊥AD，所以SE⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD，所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，CNCS=12．21．（15分）对于定义在R上的函数f（x）和正实数T，若对任意x∈R，有f（x+T）﹣f（x）＝T，则f（x）为T﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）：①f（x）＝x2；②f（x）＝x+1．（2）若f（x）＝x+sin x为T﹣阶梯函数，求T的所有可能取值；（3）已知f（x）为T﹣阶梯函数，满足：f（x）在[T2，T]上单调递减，且对任意x∈R，有f（T﹣x）﹣f（x）＝T﹣2x．若函数F（x）＝f（x）﹣ax﹣b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在b∈R，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点，且x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x4046﹣x4045．解：（1）①因为f（x）＝x2，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）2﹣x2＝2x+1≠1，所以f（x）＝x2不是1﹣阶梯函数；②因为f（x）＝x+1，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）+1﹣（x+1）＝1，所以f（x）＝x+1是1﹣阶梯函数；（2）因为f（x）为T﹣阶梯函数，所以对任意x∈R有：f（x+T）﹣f（x）＝[x+T+sin（x+T）]﹣（x+sin x）＝sin（x+T）﹣sin x+T，所以，对任意x∈R，sin（x+T）＝sin x，因为y＝sin x是最小正周期为2π的周期函数，又因为T＞0，所以T＝2kπ，k∈N*；（3）a＝1．证明：函数F（x）＝f（x）﹣x﹣b，则有：F（x+T）＝f（x+T）﹣（x+T）﹣b＝f（x）+T﹣（x+T）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x），F（T﹣x）＝f（T﹣x）﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）+T﹣2x﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x）．取b=f(3T4)−3T4，则有：F(3T4)=f(3T4)−3T4−b=0，F(T4)=F(T−T4)=F(3T4)=0，由于f（x）在[T2，T]上单调递减，因此F（x）＝f（x）﹣x﹣b在[T2，T]上单调递减，结合F（T﹣x）＝F（x），则有：F（x）在[0，T2]上有唯一零点T4，在[T2，T]上有唯一零点3T4．又由于F（x+T）＝F（x），则对任意k∈Z，有：F(T4+kT)=F(T4)=0，F(3T4+kT)=F(3T4)=0，因此，对任意m∈Z，F（x）在[mT，（m+1）T]上有且仅有两个零点：mT+T4，mT+3T4．综上所述，存在b=f(3T4)−3T4，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点：x1=T4，x2=3T4，x3=5T4，x4=7T4， (x4045)8089T4，x4046=8091T4，其中，x2−x1=x3−x2=⋯=x4046−x4045=T 2．。
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题含解析
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．2003．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-4．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=5．已知正实数x y 、满足224x y +=，则的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．946．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．中位数C ．方差D ．平均数7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届北京市西城35中数学高一下期末统考试题含解析
2024届北京市西城35中数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知扇形的面积为210cm ，半径为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数为 A ．54B ．32C ．34D ．122．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π64．已知(4-2),b (cos ,sin )a ，αα==且a b ⊥，则33sin cos sin cos αααα+-为（ ） A ．2B ．95C ．3D ．355．如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A B ，的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）A ．PA BC ⊥B ．BC ⊥平面PAC C ．AC PB ⊥D ．PC BC ⊥6．函数的图象可由函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度得到B ．向左平移个单位长度得到C ．向右平移个单位长度得到D ．向右平移个单位长度得到7．若0a b <<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．222a b ab +> D ．22a b <8．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+9．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．510．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
精品解析：北京市西城区高一下学期期末数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高一第二学期期末数学试卷一､选择题1. 下列各角中，与27°角终边相同的是（ ）A. 63° B. 153°C. 207°D. 387°【答案】D 【解析】【分析】写出与27°终边相同角的集合，取k 值得答案.【详解】与27°角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z a a =°+×°Î，取1k =，可得387a =°.∴与27°角终边相同的是387°.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为（ ）A. 220cm p B. 210cm p C. 228cm p D. 214cm p 【答案】A 【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.【详解】圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为()222520cm S p p =´´=侧.故选：A【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.3. sin 2p a æö+=ç÷èø（ ）A. sin a B. cos aC. sin a- D. cos a-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式得答案.【详解】依题意sin cos 2p a a æö+=ç÷èø.故选：B【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.4. 设(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则a =（ ）A. 23p -或23p B. 3p-或3pC. 3p-或23pD. 23p -或3p 【答案】A 【解析】【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则23p a =-或23p.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5. 设a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则2a b +=r r （ ）A. 3 C. 6D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则a +==r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.6. 下列四个函数中，以p 为最小正周期，且在区间0,2p æöç÷èø上为增函数的是（ ）A. sin 2y x =B. cos 2y x =C. tan y x= D. sin2x y =【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，sin 2y x =没有单调性，故排除A .在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，cos 2y x =单调递减，故排除B .在区间0,2p æöç÷èø上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为p ，故C 正确；根据函数以p 为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412pp=，可排除D .故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.7. 已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为q，则cos q =，又因为0180q °££°，所以45q =°．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8. 设a ，()0,b p Î，且a b >，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A. sin sin a b < B. sin sin a b> C. cos cos a b< D. cos cos a b>【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数以及余弦函数在()0,p 上的单调性求解即可.【详解】因a ，()0,b p Î，且a b >，而sin y x =在()0,p 上有增有减；故sin a 与sin b 大小关系不确定，cos y x =在()0,p 上单调递减；若a b >，则cos cos a b <成立；故选：C【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.9.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移j (02pj <£)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则j =（ ）A.6p B.4p C.3pD.2p【答案】C 【解析】【分析】由图可知，17248g f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø()()sin 2x g x j =-，于是推出为1717sin 22424g p p j æöæö=-=ç÷ç÷èøèø1722124k p p j p -=+或324k p p +，k Z Î，再结合02p j <£，解之即可得j 的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f pp p æöæöæö==´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，因为()f x 的图象向右平移j 个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x j =-，所以171717sin 2sin 2242412g pp p j j æöæöæö=-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以1722124k p p j p -=+或17322124k p pj p -=+，k Z Î，解得712k p j p =-或3k pj p =-，k Z Î，因02p j <£，所以3pj =.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y ，棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】设棱锥的体积为V ，则y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故而得解.为【详解】设棱锥的体积为V ，则V 为定值，所以y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.二､填空题11. 已知圆的半径为2，则5p的圆心角所对的弧长为______.【答案】25p 【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解.【详解】由弧长公式可得2255l r pp a ==´=.故答案为：25p 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 和角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3a =，则sin b =______.【答案】13-【解析】【分析】由题意可得()sin sin b a =-，由此能求出结果.【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，∴()1sin sin sin 3b a a =-=-=-，故答案为：13-【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.13. 向量a r ，b r满足1b =r ，1a b ×=r r .若()a b b l -^r r r ，则实数l =______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.【详解】解：∵()a b b l -^r r r ，∴()20a b b a b b l l -×=×-=r r r r r r ，即10l -=，解得1l =.故答案为：1.【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.【答案】(1). 12p 【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则()2222222212r =++=，解得r =，故球直径为.球的表面积为2412S p p =´´=.故答案为：12p .【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 已知函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î给出下列三个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有且仅有3个零点；③()f x 的值域是[]1,1-.其中，正确结论的序号是______.的【答案】②③【解析】【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p -£<ì=í££î，①由于()()1,sin 0f fp p p -=-==，所以()f x 是非奇非偶函数，所以①不正确；②()0f x =，可得2x p=-，0x =，x p =，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î，()f x 的值域是[]1,1-，正确；正确结论的序号是：②③.故答案为：②③.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.16.设函数()()sin 06f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k p p p w p -+=-，k Z Î，解方程可得w 的最小值.【详解】解：若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k pppw p -+=-，k Z Î，即有26k w =-，k Z Î，由0>w ，可得w 的最小值为2，此时0k =.故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.三､解答题17. 已知0,2p a æöÎç÷èø，且4cos 5a =.（1）求tan a 的值；（2）求2sinsin 22aa +的值.【答案】（1）34；（2）5350.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin a ，再由商的关系求得tan a ；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）∵0,2a p æöÎç÷èø，且4cos 5a =，∴3sin 5a ==，则sin 3tan cos 4a a a ==；（2）∵3sin 5a =，4cos 5a =，∴21cos sinsin 22sin cos 22a a a a a -+=+4134535225550-=+´´=.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.18. 如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =×=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =´´´°=△则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .且13OD AD ==.在Rt POD V 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ×=△【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C p =，sin A =.（1）求sin B 的值；（2）若5c a -=，求ABC V 的面积.【答案】（12）52.【解析】【分析】（1）先根据sin A =cos A 的值，再由4B A p =-得到sin sin 4B A p æö=-ç÷èø，根据两角和与差的公式可求得sin B 即可；（2）由34C p =可求得sin C 的值，进而根据正弦定理可求得a ，c 的关系，再由5c a -=-可求出a ，c 的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.【详解】解：（1）因为34C p =，sin A =，所以cos A ==由已知得4B A p=-.所以sin sin sin cos cos sin 444B A A A p p p æö=-=-==ç÷èø（2）由（1）知34C p =，所以sin C =且sin B =由正弦定理得sin sin a A c C ==.又因为5c a -=-，所以5c =，a =.所以15sin 522ABC S ac B ===△.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20. 已知函数()cos2sin cos x f x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02p éùêúëû，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ；（2）1；（3）()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø求解.（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()4f x x p æö=+ç÷èø，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()4f x x p æö=+ç÷èø，利用余弦函数的性质，令 224k x k p p p p £+£+求解.【详解】（1）因sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø，解得4x k pp +¹，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ为（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++，cos sin x x =-，4x p æö=+ç÷èø又0,2x p éùÎêúëû，所以3,444x p p p éù+Îêúëû，cos 4x p éæö+Îêç÷èøë，所以()f x 区间02p éùêúëû，上的最大值是1；（3）令 224k x k p p p p £+£+，解得 32244k x k p p p p -££+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点.（1）在图中作出平面1AD E 和底面ABCD 的交线，并说明理由；（2）平面1AD E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）7:17.【解析】【分析】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，可证F Î平面ABCD 且F Î平面1AD E ，得到平面1AD E Ç平面ABCD AF =；（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，证明1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.求出棱台1CGE DAD -的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，∵F DC Î，DC Ì平面ABCD ，则F Î平面ABCD ，∵1F D E Î，1D E Ì平面1AD E ，∴F Î平面1AD E .∴平面1AD E Ç平面ABCD AF =.（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，∴1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.1111-77178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V S FD ---=-==´´=△棱台.∴另一部分几何体的体积为3717233-=.∴两部分的体积比为7:17【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.22. 如图，在扇形OAB 中，120AOB Ð=°，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ^，求PA PB ×uuu r uuu r 的值；（2）求PA PB ×uuu r uuu r 的最小值.【答案】（1）2-；（2）2-.【解析】【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB Ð=°，120APB Ð=°，再在POB V中，由余弦定理可求得PB =uuu r cos PA PB PA PB APB ×=×Ðuuu r uuu r uuu r uuu r ，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有a 的式子表示出PA PB ×uuu r uuu r，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ^时，如图所示，的∵120AOB Ð=°，∴1209030POB Ð=°-°=°，18030752OPB °-°Ð==°，∴7545120APB Ð=°+°=°，在POB V中，由余弦定理，得222222cos 22222cos308PB OB OP OB OP POB =+-×Ð=+-´´´°=-∴PB ==uuu r ，又PA OA ==uuu r ，∴1cos 22PA PB PA PB APB æö×=×Ð=´-=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB Ð=°，2OB =，∴(B -，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，则()()22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB a a a a ×=--×---uuu r uuur 2222cos 4cos 4sin a a a a=--+-+2cos 24sin 26p a a a æö=--+=-++ç÷èø.∵20,3p a éùÎêúëû，∴5,666p p p a éù+Îêúëû，1sin ,162p a æöéù+Îç÷êúèøëû，∴当62ppa +=，即3pa =时，PA PB ×uuu r uuu r取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．。
2023-2024学年北京西城区十五中高一(上)期中数学试题及答案
北京十五中高一数学期中考试试卷2023.11本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{}1M =，{}123N =，，，那么下列结论正确的是D（A ）M N =∅ （B ）M N ∈（C ）N M ⊆（D ）M N⊆2.若方程组22ax y x by +=⎧⎨+=⎩的解集为(){}2,1，则B（A ）0,0a b ==（B ）1,02a b ==（C ）10,2a b ==（D ）11,22a b ==3．已知命题p :x R ∃∈，使得220x x +<”,则p ⌝为C （A ）,x ∃∈R 使得220x x +≥（B ）,x ∃∈R 使得220x x +>（C ）,x ∀∈R 都有220x x +≥（D ）,x ∀∈R 都有220x x +<4．下列命题为真命题的是B（A ）若，则（B ）若,则（C ）若，则（D ）若，则5.函数3()25f x x x =+-的零点所在的一个区间是D （A）(2,1)--（B）(1,0)-（C）(0,1)（D）(1,2)6.设,则“”是“”的A（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，()2f -，()f π，()3f -的大小关系是B（A ）()()()32f f f π->>（B ）()()()32f f f π>->-（C ）()()()32f ff π->>-（D ）()()()23ff f π>->-8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为D（A ）(10)(1)-+∞ ，，（B ）(1)(01)-∞- ，，（C ）(1)(1)-∞-+∞ ，，（D ）(10)(01)- ，，9.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是A（A ）11,63⎛⎫⎪⎝⎭（B ）11,63⎛⎤ ⎥⎝⎦（C ）2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是C （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数12y x =+-的定义域是________.【答案】{|02x x x ≥≠且}12．若1x >，则函数2()2f x xx =+的最小值为________【答案】2213.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(2)(2)f g +=_______．【答案】-314.函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上满足若12,x x ≠则()()21210f x f x x x ->-求实数a 的取值范围_______．【答案】[]3,2--15.已知函数()11f x x =--，给出下列四个结论：（1）()f x 的定义域为[)(]1,00,1- （2）()f x 的值域为()1,1-（3）()f x 在定义域内是增函数（4）()f x 的图象关于原点对称其中所有正确结论的序号是【答案】（1）（2）（4）三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（14分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|3}=<<+M x a x a ．（Ⅰ）化简集合P ,并求集合U P ð；（Ⅱ）若1=a ，求集合 P M ；（Ⅲ）若U P M ⊆ð，求实数a 的取值范围．（Ⅰ）解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|20}P x x x =≥≤或所以{|(2)0}U P x x x =-<ð，即集合{|02}U P x x =<<ð.（Ⅱ）1,{|14}a M x x ==<<P M = [2,4)（Ⅲ）解：因为U P M ⊆ð，所以0,32,≤⎧⎨+≥⎩a a 解得0,1.≤⎧⎨≥-⎩a a 所以[1,0]∈-a .17.（13分）解下列关于x 的不等式．（I ）2112x x +>-；（II ）22650x ax a -+≤(a R ∈).解：（Ⅰ）()(),32,-∞-+∞ （Ⅱ）22650x ax a -+≤即()(5)0x a x a --≤，则12,5x a x a ==当0a >时，不等式的解集为：[],5a a ；当0a =时，不等式的解集为：{}0；当0a <时，不等式的解集为：[]5,a a .18.（15分）已知函数2()1x f x x =-．（Ⅰ）求(2)f ；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(1,1)-上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（Ⅲ）证明()f x 是奇函数.解：（Ⅰ）2(2)3f =…………………（Ⅱ）证明：函数()f x 的定义域为{|1}D x x =≠±.关于原点对称。
2022北京西城区高一下学期期末数学试题和答案
2022北京西城高一（下）期末数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）在复平面内，复数2z i i =+对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（4分）设向量(3,1)a =，(1,2)b =−，则(2)(a b b −⋅= ) A ．11−B ．9−C ．7−D ．5−3．（4分）设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面．若//αβ，//m n ，m α⊥，则( ) A ．//n β B ．n β⊥C ．//m βD ．以上答案都不对4．（4分）若3cos 5α=，则3sin()(2πα−= )A ．35B ．35−C ．45 D ．45−5．（4分）函数()sin(2)6f x x π=+，[0x ∈，]2π的最大值和最小值分别为( )A ．1，1−B ．11,22−C ．1，12 D ．1，12−6．（4分）在ABC ∆中，若222a b c kab +−=，则实数k 的取值范围是( ) A ．(2,2)−B ．(1,1)−C ．1(2−，1)2D ．(0,1)7．（4分）已知向量a ，b 满足||4a =，||2b =，()a b b +⊥，那么向量a ，b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．（4分）函数1cos 2()sin xf x x−=的图像( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x π=对称D ．关于点(2π，0)对称9．（4分）设(,)αππ∈−，则“(4πα∈−，3)4π”是“sin cos 0αα+>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（4分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是( )A ．[1−，2]B ．[0，2]C ．[0，4]D ．[1−，4]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
高一数学试题及答案西城
高一数学试题及答案西城一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. \( y = x^2 \)B. \( y = \sin x \)C. \( y = \ln x \)D. \( y = e^x \)答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,3}D. {2,4}答案：B3. 若\( a > 0 \)，\( b < 0 \)，则下列不等式中正确的是（）A. \( a + b > 0 \)B. \( ab > 0 \)C. \( a - b > 0 \)D. \( \frac{a}{b} < 0 \)答案：C4. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 常数函数D. 先递增后递减函数答案：B5. 已知\( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \alpha \)是第二象限角，则\( \cos \alpha \)的值为（）A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( -\frac{1}{2} \)答案：B6. 直线\( y = 2x + 3 \)与x轴的交点坐标为（）A. (0,3)B. (-3/2, 0)C. (3,0)D. (0,-3)答案：B7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，公差d=2，则S5的值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45答案：A8. 函数\( y = \sqrt{x - 1} \)的定义域为（）A. \( x \geq 1 \)B. \( x > 1 \)C. \( x \leq 1 \)D. \( x < 1 \)答案：A9. 已知\( \tan \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \alpha \)为锐角，则\( \sin \alpha \)的值为（）A. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)B. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{1}{\sqrt{6}} \)D. \( \frac{2}{\sqrt{6}} \)答案：B10. 已知\( \log_2 3 = a \)，\( \log_2 5 = b \)，则\( \log_215 \)的值为（）A. \( a + b \)B. \( a + 2b \)C. \( 2a + b \)D. \( a + b + 1 \)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知\( \cos \theta = \frac{3}{5} \)，\( \theta \)为锐角，则\( \sin \theta \)的值为\( \frac{4}{5} \)。
北京市西城区2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析).doc
北京市西城区2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1} 2．（5分）方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}C．{（2，﹣2），（﹣2，2）} D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}3．（5分）函数y＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2x D．5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc7．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg9．（5分）如图，向量﹣等于（）A．3﹣B．﹣3C．﹣3+D．﹣+310．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝．12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝．13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b满足，则f（a）﹣f（b）＝．14．（4分）函数的零点个数是；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是．15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是．16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．18．（12分）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）20．（13分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x 间的函数关系是（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．2021-2022北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1} 【分析】利用交集直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}C．{（2，﹣2），（﹣2，2）} D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}【分析】运用代入消元法解方程组即可．【解答】解：记，由①得：x＝﹣y③，将③代入②得2y2＝2，解得y＝±1，当y＝1时，x＝﹣1，当y＝﹣1时，x＝1，故原方程组的解集为{（1，﹣1），（﹣1，1）}，故选：A．【点评】本题考查解方程组，运用代入法进行消元是关键，属于基础题．3．（5分）函数y＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组，解出即可求得定义域．【解答】解：依题意，，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2x D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x+1，为一次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B，y＝x2﹣1，为二次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于C，y＝2x，为指数函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D，y＝，为对数函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0，∵0.42＝0.16，∴b＝0.16，∵20.4＞20＝1，∴c＞1，∴a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各个答案中不等式的正误，可得答案．【解答】解：若a＞b＞0，c＜d＜0，则：ac＜bc＜bd，故ac＜bd，故A错误，B正确；ad与bc的大小无法确定，故C，D错误；故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了不等式与不等关系，难度不大，属于基础题．7．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以带入特殊值讨论充要性．【解答】解：若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条件；若|a|＞|b|，取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；则a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg【分析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式；【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2000×（1﹣20%）x＝2000×0.8x（mg），即y与x的关系式为y＝2000×0.8x．故选：B．【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．9．（5分）如图，向量﹣等于（）A．3﹣B．﹣3C．﹣3+D．﹣+3【分析】可设向量的终点为A，向量的终点为B，从而可得出，这样根据图形即可用表示出，从而得出正确选项．【解答】解：如图，设＝，∴．故选：B．【点评】本题考查了向量减法、加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：C．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝14 ．【分析】利用韦达定理代入即可．【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，x1+x2＝4，x1x2＝1，x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，故答案为：14．【点评】考查韦达定理的应用，基础题．12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝．【分析】根据共线即可得出m＝6，从而可得出向量的坐标，进而可得出的值．【解答】解：∵共线，∴m﹣6＝0，∴m＝6，，∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b满足，则f（a）﹣f（b）＝﹣2 ．【分析】结合已知函数解析式及对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵正数a，b满足，f（x）＝log3x，则f（a）﹣f（b）＝log3＝log3x＝＝﹣2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用对数的运算性质求解函数值，属于基础试题．14．（4分）函数的零点个数是 2 ；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是（﹣1，0）∪（2，+∞）．【分析】利用分段函数求解函数的零点，列出不等式去即可．【解答】解：函数可得x＜0时，x+2＝0，解得x＝﹣2；x＞0时，x2﹣3＝0，解得x＝，函数的零点有2个．满足f（x0）＞1，可得，解得x0∈（﹣1，0）．，解得x0∈（2，+∞）．故答案为：2；（﹣1，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝{x|﹣2＜x＜3} ；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】①先求出集合A，再利用补集的定义求出∁R A；②由对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，所以A∪B＝R，从而求出c的取值范围．【解答】解：①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，∴∁R A＝{x|﹣2＜x＜3}；②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，∴c≤﹣2，∴c的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【解答】解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点评】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样能求出这5人中男生人数和女生人数．（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为，女生人数为．（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，则样本空间为：Ω＝{（B1，B2），（B1，B3），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（G1，G2）}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A＝{（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2）}，事件A共包含6个样本点．从而．所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．【点评】本题考查抽取的5人中男生人数和女生人数的求法，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．【分析】（Ⅰ）因为，求出f（2）的值，结合函数的单调性判断f（2）和1的大小．（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，推出．求解即可．（Ⅲ）求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点．【解答】解：（Ⅰ）因为，又函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以f（2）＝log34＞log33＝1．（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，所以．因为函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以 0＜8﹣2x＜3，即 5＜2x＜8，所以x的取值范围是（log25，3）．（Ⅲ）因为f（x）有意义当且仅当8﹣2x＞0，解得x＜3．所以f（x）的定义域为D1＝（﹣∞，3）．g（x）有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g（x）的定义域为D2＝[3，+∞）．因为D1∩D2＝∅，所以曲线C1和C2没有交点．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）【分析】（Ⅰ）根据所有频率和为1建立等式，可求出a的值；（Ⅱ）甲队员进行一次射击，欲求命中环数大于7环的概率只需将大于7环的频率进行求和即可；（Ⅲ）在甲、乙两名队员中，通过频率分布情况看队员的射击成绩哪个相对集中，那就更稳定．【解答】解：（Ⅰ）由图可得 0.01+a+0.19+0.29+0.45＝1，所以a＝0.06．（Ⅱ）设事件A为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”．则事件A包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10，所以P（A）＝0.45+0.29+0.01＝0.75．设事件A i为“队员甲第i次射击，中靶环数大于7”，其中i＝1，2，则P（A1）＝P（A2）＝0.75．设事件B为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．则，A1，A2独立．所以＝＝．所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为．（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．【点评】本题主要考查了频率分布情况，以及概率的运算，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）根据题意，先分析函数的定义域，进而分析f（﹣x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得答案；（Ⅱ）根据题意，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，由作差法分析可得结论；（Ⅲ）根据题意，分析可得f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，，则f（x）的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠±1}；对于任意x∈D，因为，所以f（x）为偶函数．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，那么＝；因为1＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，又由f（﹣4）＝，f（﹣2）＝1，则有≤f（x）≤1；所以当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的值域是．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数值域的计算，属于基础题．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x 间的函数关系是（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【分析】（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），利用已知条件列出函数的解析式即可．（Ⅱ）利用分段函数结合基本不等式求解函数的最值，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），依题意得．（Ⅱ）当0＜x＜6时，．所以＝＝6．当且仅当，即x＝5时取等号，所以，当0＜x＜6时，Y有最大值6（万元）．当x≥6时，Y＝11﹣x≤5．综上，当x＝5时，Y取得最大值6（万元）．因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，基本不等式的应用，是基本知识的考查．22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．【分析】（Ⅰ）求出f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），由此能过求出f（P）∪f（M）．（Ⅱ）由f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，得到当x＜0时，f（x）＜0，（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．由此能求出P，M．（Ⅲ）假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．证明0∈P∪M．推导出f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”是真命题．【解答】解：（Ⅰ）因为P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），所以f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），所以f（P）∪f（M）＝[0，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}．（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f（P），且0∉f（M），即0∉f（P）∪f（M），这与f（P）∪f（M）＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f（P），且﹣x0∉f（M）．因为f（P）∪f（M）＝R，所以﹣x0∈f（P），且x0∈f（M）．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点评】本题考查并集的求法，考查集合的求法，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
【数学】北京市西城区2022-2023学年高一下学期期末考试试卷 (解析版)
北京市西城区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一，选择题（共10小题,每小题4分,共40分）.在每小题列出地四个选项中,选出符合题目要求地一项.1．设向量()3,2a=,()1,4b=-r,则a b⋅=（）A．11B．9C．7D．5 2．sin330°＝（ ）A. 12 B. –12C.3．在复平面内,复数z对应地点Z如图所示,则复数z=（ ）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i4．某圆锥地母线长为5cm,底面半径长为3cm,则该圆锥地体积为（ ）A．12πcm3B．15πcm3C．36πcm3D．45πcm35．函数f（x）＝cos22x﹣sin22x地最小正周期是（ ）A．π2B．πC．2πD．4π6．若sinα＝0.4,3π3π,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则符合款件地角α有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）地图像地一部分如图所示,则此函数地思路式是（ ）A. ()3sin 42ππf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. 3()3s 4πin π4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ()3sin 84ππf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D. 3()3s 4πin π8f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭8．向量cos500)n 5(,si a ︒︒= 与()cos10,sin10b ︒︒= 地夹角为（ ）A ．30°B ．40°C ．60°D ．90°9．在△ABC 中,内角A 和B 所对地边分别为a 和b ,则a ＞b 是sin A ＞sin B 地（ ）A ．充分不必要款件B ．必要不充分款件C ．充要款件D ．既不充分也不必要款件10．已知单位向量1e ,2e 满足1212e e ⋅=- ,若非零向量12a xe ye =+ ,其中x ,y ∈R ,则x a地最大值为（）A. 43 B. 23C.D. 二，填空题（每题3分,满分25分,将结果填在答题纸上）11．设复数12i3i z +=-,则|z |＝ ．12．已知半径为r 地球地表面积为36πcm 2,那么半径为2r 地球地表面积为 cm 2．13．在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ．若1sin 2a B b=,则A ＝ ．14．已知向量a ,b 满足5a = ,4b = ,()a b b +⊥ ,那么a b -= ．15．设函数f （x ）＝sinπx ,g （x ）＝x 2﹣x +1,有以下四个结论．①函数y ＝f （x ）+g （x ）是周期函数。
北京市西城区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
北京市西城区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷数 学2023.1本试卷共6页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|51}A x x =-<≤，2{|9}B x x =≤，则A B =（A ）[5,3]- （B ）(3,1]-（C ）[3,1)-（D ）[3,3]-（2）已知命题:p 1x ∃<，21x ≤，则p ⌝为（A ）1x ∀≥,21x > （B ）1x ∃<,21x > （C ）1x ∀<,21x >（D ）1x ∃≥,21x >（3）如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（A ）CB （B ）AD （C ）BD（D ）CD（4）若a b >，则下列不等式一定成立的是（A ）11a b< （B ）22a b > （C ）e e a b --< （D ）ln ln a b >（5）不等式2112x x +-≤的解集为 （A ）[3,2]- （B ）(,3]-∞- （C ）[3,2)-（D ）(,3](2,)-∞-+∞（6）正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=（A ）1（B ）3（C（D（7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心. 已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离s （单位：km ）之间满足的关系为80022000C s s=++，则当C 最小时，s 的值为（A ）20（B ） （C ）40（D ）400（8）设2log 3a =，则122a +=（A ）8 （B ）11（C ）12（D ）18（9）已知a 为单位向量，则“||||1+-=a b b ”是“存在0λ>，使得λb =a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失. 在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x （单位：米）是影响疏散的重要因素. 在特定条件下，疏散的影响程度k 与能见度x 满足函数关系： 0.20.1,1.4,0.110,110,b x k ax x x ⎧<⎪⎪=+⎨⎪⎪>⎩≤≤，，（,a b 是常数）. 如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b 的值是 （参考数据：lg30.48≈） （A ）0.24- （B ）0.48-（C ）0.24（D ）0.48第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京西城区八中高一(上)期中数学试题及答案
2023北京八中高一（上）期中数 学年级：高一 科目：数学考试时间120分钟.满分150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ||x －3|＞1}，则A ∪U B ＝（ ） A. {x |1≤x ≤4}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x ＜2}D. {x |2＜x ≤3}2. 设()f x 是定义域为R 的函数，且“0x ∀>，()0f x >”为假命题，则下列命题为真的是（ ）A. 0x ∀>，()0f x ≤B. 0x ∃≤，()0f x >C. 0x ∃>，()0f x ≤D. 0x ∀≤，()0f x ≤ 3. 若函数()f x 满足1(21)f x x −=，则(3)f =（ ） A. 12− B. 12 C. 1− D. 1 4. 已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. “453x −<”是“211x x <−”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()2f x x x =−+，则(2)f =A. 6−B. 6C. 10−D. 107. 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A. 80元B. 120元C.160元D. 240元8. 已知函数223y x x =−−+在区间[],2a 上的最大值为154，则a 等于（ ）A. 32B. 12 C. 12− D. 12或32− 9. 函数241x y x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.10. 我们把定义域为[)0,∞+且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,∞+上为增函数；（3）函数()0,1,x Q g x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[)0,∞+上是“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2g x x x =+在[)0,∞+上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数()12f x x =−的定义域为______． 12. 函数12(1)1y x x x =+>−的最小值等于____________. 13. 已知函数()()y f x x =∈R 是偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =−，若函数()f x 在区间[],2a a +上具有单调性，则实数a 的取值范围是______.14. 已知函数2,1()23,1ax a x f x ax ax a x +≥⎧=⎨−+−+<⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______________．15. 定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 在区间[21,2]k k −上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k =给出下列四个结论：①若{(2)}f k 为递增数列，则()f x 存在最大值；②若{(2+1)}f k 为递增数列，则()f x 存在最小值；③若(2)(21)0f k f k +>，且(2)(21)f k f k ++存在最小值，则()f x 存在最小值；④若(2)(21)0f k f k +<，且(2)(21)f k f k −+存在最大值，则()f x 存在最大值.其中所有错误结论的序号有_______．三、解答题，共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知集合{|32}A x a x a =−≤≤+，2{|870}B x x x =−+≥,全集U =R .（1）当3a =时,求()U A B ∩; （2）若A B =R ,求实数a 的取值范围.17. 自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x （单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C （单位：万元）与总直播时长x （单位：小时）之间的关系为50k C x =+（0x ，k 为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y （单位：万元）.（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）该厂家直播时长x 为多少时，可使y 最小？并求出y 的最小值.18. 已知函数()()222f x mx m x m =−−+−. （1）若不等式()1f x <的解集为R ，求m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()f x mx ≥；19. 已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1−上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1−上是增函数；（3）解不等式：()()10t f t f −+<．20. 已知函数f （x ）=x 2-2ax +5．（1）若f （x ）的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；（2）若a ≤1，求函数y =|f （x ）|在[0，1]上的最大值．21. 设函数(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨−∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的补集和并集运算求解. 【详解】解：因为{}13A x x =≤≤，{4B x x =或}2x <， 所以{}24U B x x =≤≤，(){}14U A B x x ⋃=≤≤，故选：A ．2. 【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的真假关系即可求解.【详解】因为命题“0,()0x f x ∀>>”为假命题，所以命题“0,()0x f x ∃>≤”为真命题，故选：C .3. 【答案】B【分析】利用换元法可得函数2(),11f x x x =≠−+，代入即可得解. 【详解】令()21,0t x x =−≠，则1t ≠−，12t x +=， 所以2(),11f t t t =≠−+，即2(),11f x x x =≠−+， 所以21(3)312f ==+. 故选：B. 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的应用，考查了函数值的求解，属于基础题.4. 【答案】A【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由11b a a b ab−−=，因为0a b <<，可得0,0b a ab −>>，所以110−>a b ， 所以11a b >成立，即充分性成立； 反之：例如：当2,3a b ==时，满足11a b >，此时0b a >>，即必要性不成立， 所以0a b <<是11a b>的充分不必要条件.故选：A.5. 【答案】D【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式453x −<，可得3453x −<−<，解得122x <<， 又由211x x <−，可得211011x x x x +−=<−−，解得11x −<<， 两个不等式的解集没有包含关系， 所以453x −<是211x x <−的既不充分也不必要条件. 故选：D.6. 【答案】D【分析】先求()2f −，再利用奇函数的性质，()()22f f =−−求值.【详解】()()()2222210f −=−⋅−+−=− ()f x 是奇函数，满足()()f x f x −=−，即()()2210f f =−−=.故选：D【点睛】本题考查利用奇偶性求函数值，重点考查函数性质的应用，属于简单题型.7. 【答案】C【详解】设长方体底面边长分别为,x y ，则4y x=， 所以容器总造价为42()102020()80z x y xy x x =+⨯+=++， 由基本不等式得，420()80160z x x=++≥，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低，选C.考点：函数的应用，基本不等式的应用.8. 【答案】C【分析】求得函数()f x 的对称轴，对a 分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数()2223(1)4f x x x x =−−+=−++，对称轴的方程为=1x −， 当1a ≤−时，则=1x −时，函数()f x 取得最大值4，不满足题意；当12a −<≤时，可函数()f x 在区间[],2a 上单调递减，所以当x a =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()215234f a a a =−−+=， 解得12a =−或32a =−（舍去）. 故选：C. 9. 【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x −−==−+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10. 【答案】B【分析】利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.【详解】解：对（1），由①得()00f ≥，在②中令0x y ==，即()()020f f =，解得：()00f ≤， ()00f ∴=，故（1）正确；对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,∞+不是增函数，故（2）错误；对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误；对（4），()2g x x x =+，当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥，即满足条件①，222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +−−=+++−−−−=≥，即满足条件②，∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】[)()1,22,⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域.【详解】函数的定义域需满足1020x x −≥⎧⎨−≠⎩，解得：1x ≥且2x ≠， 所以函数的定义域是[)()1,22,⋃+∞.故答案为：[)()1,22,⋃+∞12. 【答案】2+【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为1x >，所以()1122122211y x x x x =+=−++≥+=−−，当且仅当()1211x x −=−，即12x =+时，等号成立，所以函数12(1)1y x x x =+>−的最小值是2+.故答案为：2+13. 【答案】(][),31,−∞−⋃+∞【分析】先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解.【详解】）设0x <，则0x −>，则()22f x x x −=+，因为()f x 为偶函数， 所以()()22f x f x x x =−=+，所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨−≥⎩，作出()f x 的图象如图：因为函数()f x 在区间[],2a a +上具有单调性，由图可得21a +≤−或1a ≥，解得3a ≤−或1a ≥，所以实数a 的取值范围是(][),31,−∞−⋃+∞.故答案为：(][),31,−∞−⋃+∞.14. 【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】分0a =，a<0和0a >三种情况，再根据一次函数和二次函数的性质分析值域即可【详解】根据题意，函数2,1()23,1ax a x f x ax ax a x +≥⎧=⎨−+−+<⎩，分三种情况讨论：①若0a =，0,1()3,1x f x x ≥⎧=⎨<⎩，其值域为{}0,3，不符合题意； ②若a<0，当1x ≥时，()f x ax a =+，有最大值2a ；当1x <时，()()2223133f x ax ax a a x =−+−+=−−+>，若函数()f x 的值域为R ，则必有23a ≥，即32a ≥，不符合题意； ③若0a >，当1x ≥时，()f x ax a =+，有最小值2a ；当1x <时，()()2223133f x ax ax a a x =−+−+=−−+<，若函数()f x 的值域为R ，则必有23a ≤，即32a ≤，故有302<≤a ，即a 的范围为30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】对于题中包含参数的一二次函数，求解关于值域的问题，需要分类讨论，根据一次函数的单调性、二次函数的二次项系数进行讨论，属于中档题15. 【答案】①③④【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k −上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k =那么在区间[]21,21k k −+，函数的最大值是()2f k ，若数列{(2)}f k 为递增数列，则函数()f x 不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k −上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，若{(2+1)}f k 为递增数列，那么在区间[]21,21k k −+的最小值是()21f k −，且{(2+1)}f k 为递增数列，所以函数()f x 在区间[)1,+∞的最小值是()1f ，故②正确；③若(2)(21)0f k f k +>，取()()122121f k k k f k k ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,*N k ∈, 则()()2212f k f k k ++=，存在最小值，但此时()f x 的最小值是()121f k k+=的最小值， 函数单调递减，无最小值，故③错误； ④若(2)(21)0f k f k +<，取()()12221212k k f k f k ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=−⎪⎩，则()()2212f k f k −+=恒成立，则()()221f k f k −+有最大值，但()f x 的最大值是()1222k f k =−的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故答案为：①③④ 三、解答题，共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 【答案】（1）(1,5]；（2）5a ≥.【分析】（1）先解不等式得B ，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）利用给定条件可得()U B A ⊆，再利用集合的包含关系求出实数a 的取值范围. 【小问1详解】依题意，2{|870}(,1][7,)B x x x =−+≥=−∞+∞，则(1,7)U B =，当3a =时，[0,5]A =， 所以()[0,5](1,7)(1,5]U A B ==【小问2详解】因A B =R ，则有()U B A ⊆，由（1）知(1,7)U B =，3127a a −≤⎧⎨+≥⎩，解得5a ≥， 所以实数a 的取值范围是5a ≥.17. 【答案】（1）48003(0)5025x y x x =++ （2）线上直播x=150小时可使y 最小为42万元【分析】（1）通过0x =求出系数k ，即可得结果；（2）直接根据基本不等式即可得结果【小问1详解】由题得，当0x =时，2450k C ==，则1200k =， 故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为12004800340.12(0)505025x y x x x x =⨯+=+++ 【小问2详解】由（1）知48003(50)66425025y x x =++−≥=+， 当且仅当48003(50)5025x x =++，即150x =时等号成立， 即线上直播150小时可使y 最小为42万元.18. 【答案】（1）4,3∞⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭（2）答案详见解析【分析】（1）对m 进行分类讨论，根据一元二次不等式恒成立列不等式来求得m 的取值范围.（2）化简()f x mx ≥，对m 进行分类讨论，根据一元二次不等式的知识求得正确答案.【小问1详解】 ()1f x <的解集为R ，即()2230mx m x m −−+−<在R 上恒成立， 当0m =时，230x −<不恒成立，当0m ≠时，需满足0m <且一元二次方程()2230mx m x m −−+−=无实根， 则有()()20Δ2430m m m m <⎧⎪⎨=−−−<⎪⎩， 即203840m m m <⎧⎨−−>⎩，解得43m −<. 综上，m的取值范围为4,3∞⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭. 【小问2详解】()f x mx ≥，即()22220mx m x m −−+−≥，即()()210mx m x −−−≥⎡⎤⎣⎦，①当0m =时，解集为{}1xx ≥∣； ②当0m >时，()210m x x m −⎛⎫−−≥ ⎪⎝⎭，2211m m m−=−<， ∴解集为2|1m x m x m −⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或； ③当0m <时，()210m x x m −⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭， 2211m m m−=−>， ∴解集为21m x x m −⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 19. 【答案】（1）()21x f x x =+ （2）证明见解析 （3）102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由(0)01225f f =⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩解出,a b ，可确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明函数的单调性； （3）利用奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】由题意，得(0)012212514f b a b f ==⎧⎪⎪+⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭+⎪⎩， ∴10a b =⎧⎨=⎩（经检验符合题意），故()21x f x x =+． 【小问2详解】证明 任取()12,1,1x x ∈−，且12x x <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x −−−=−=++++． ∵1211x x −<<<，∴120x x −<，2110x +>，2210x +>．又1211x x −<<，∴1210x x −>．∴()()()()121222121011x x x x x x −−<++，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,1−上是增函数．【小问3详解】由（2）知()f x 在()1,1−上是增函数，又()f x 在()1,1−上为奇函数，()()10t f t f −+<，∴()()()1f f f t t t −<−=−，∴111111t t t t −<−<⎧⎪−<−<⎨⎪−<−⎩， 解得102t <<．∴不等式的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 20. 【答案】(1) a =2．(2) y max =16221512a a a ⎧−⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，＜，． 【分析】（1）利用二次函数的图象，求出二次函数的最值，列出不等式组，即可解出a 的值． （2）对对称轴的位置分类讨论，结合二次函数的图象，求出函数的最大值．【详解】（1）函数f （x ）=x 2-2ax +5=（x -a ）2+5-a 2，且a ＞1，∴f （x ）在[1，a ]上是减函数，又定义域和值域均是[1，a ]，∴()()11f a f a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22125251a a a a −+=⎧⎨−+=⎩，解得a =2． （2）①当a ≤0时，函数y =|f （x ）|在[0，1]上单调递增，故y max =f （1）=6-2a ，②当0＜a ≤1时，此时△=4a 2-5＜0，且f （x ）图象开口向上，对称轴在（0，1）内，故y max =max{f （0），f （1）}=max{5，6-2a }=162021512a a a ⎧−⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，＜＜，， 综上所求：y max =16221512a a a ⎧−⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，＜，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，考查了利用二次函数图象求最值的方法，考查分类讨论思想，是中档题．21. 【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【分析】(Ⅰ)求出f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出f (P )∪f (M )．(Ⅱ)由f (x )是定义在R 上的增函数，且f (0)＝0，得到当x ＜0时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0，+∞)⊆P ． 由此能求出P ，M ．(Ⅲ)假设存在非空数集P ，M ，且P ∪M ≠R ，但f (P )∪f (M )＝R ．证明0∈P ∪M ．推导出f (﹣x 0)＝﹣x 0，且f (﹣x0)＝﹣ (﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f (P)∪f (M)≠R”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，所以当x＜0时，f (x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f (P)，且0∉f (M)，即0∉f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f (P)，且﹣x0∉f (M)．因为f (P)∪f (M)＝R，所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
西城区期末高一数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = x^3 - 3x2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an等于（）A. 27B. 29C. 31D. 333. 下列各式中，等式成立的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3D. (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^34. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(-1) = 0，f(1) = 2，则函数的对称轴为（）A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. x = 25. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = 2^x在定义域内单调递减B. 等差数列{an}的通项公式为an = a1 + (n - 1)dC. 二项式定理中，展开式中第r+1项的系数为C_n^rD. 等比数列{an}的通项公式为an = a1 q^(n - 1)6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 3^n - 2^n，则Sn等于（）A. 3^n - 2^nB. 3^n - 1C. 3^n + 1D. 3^n - 2^n + 17. 下列各式中，正确的是（）A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = (tanα +tanβ) / (1 - tanαtanβ)D. cot(α + β) = (cotα + cotβ) / (1 - cotαcotβ)8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)等于（）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 1C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 19. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 2, 4, 8, ...C. 1, 3, 9, 27, ...D. 1, 2, 4, 7, ...10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像在（）处与x轴相交A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (4, 0)二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
2023-2024学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知向量，，若向量，则()A.2B.C.8D.3.在中，，，，则()A. B. C. D.4.平面向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为l，则()A.B.0C.1D.25.已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中不正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则6.在平面直角坐标系xOy中，已知，，，则的取那值范围是()A. B. C. D.7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，，则点Q所形成区域的面积为()A.B.C.D.8.已知函数和，的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域.理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号.如就是一种近似情况，则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数的对称轴为C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数，则______.12.已知函数若非零实数a，b，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是______，______只需写出一组13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______，表面积为______.14.在中，，，，则______，______.15.如图，在棱长为2的正方体中，点M为AD的中点，点N是侧面上包括边界的动点，点P是线段上的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在点P，使得平面MPC；③存在无数组点N和点P，使得；④点P到直线的距离最小值是，其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。
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北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷
高一数学 2016.1
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
(2,1)2 2
）最小正周期为π的偶函数
为了得到函数sin(2)4
y x π
=-的图象，可以将函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin
4
5π
= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）
13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),(3,1)a
b ，则,a b 的夹角等于_____.
15. 已知(0,)α∈π，且cos sin
8
απ
=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3
π
上单调递增，
则ω的值为_______.
三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A
B
C
17．（本小题满分12分）
已知2απ∈π(,)，且3
sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4
απ
-的值；
（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2αα
α
-+的值．
18．（本小题满分12分）
如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3
f x A x π
=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2
π上的值域；
（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；
（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.
B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分
A
B
C
P
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U
A B =_____．
2
．2
log =_____，31log 23+=_____．
3．已知函数()f x =1
,2, 1.
x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,
且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．
4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．
5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）
已知函数26()1
x
f x x =
+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）
设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；
（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）
设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．
（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，
则峰点为1或0）
对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称
1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．
我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=
x ，2
1
2=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．
（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当4
1
1=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。