西城高一数学试卷试题

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高一数学 2016.1

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

(2,1)2 2

）最小正周期为π的偶函数

为了得到函数sin(2)4

y x π

=-的图象，可以将函数

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin

4

5π

= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）

13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),(3,1)a

b ，则,a b 的夹角等于_____.

15. 已知(0,)α∈π，且cos sin

8

απ

=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3

π

上单调递增，

则ω的值为_______.

三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

A

B

C

17．（本小题满分12分）

已知2απ∈π(,)，且3

sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4

απ

-的值；

（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2αα

α

-+的值．

18．（本小题满分12分）

如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3

f x A x π

=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2

π上的值域；

（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．

19．（本小题满分12分）

如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；

（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.

B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分

A

B

C

P

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U

A B =_____．

2

．2

log =_____，31log 23+=_____．

3．已知函数()f x =1

,2, 1.

x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,

且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．

4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．

5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）

已知函数26()1

x

f x x =

+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）

设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．

（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；

（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）

设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．

（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，

则峰点为1或0）

对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称

1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．

我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=

x ，2

1

2=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．

（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当4

1

1=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）