海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考数学试题
海南省海南中学高三数学上学期第四次月考试题理8
海南中学2018届高三第四次月考理科数学（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数21iz i=-，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -2. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则实数k 的值等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23. 若()2,4,a b a b a ==+⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 4. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．3 5. 已知数列{}n a 中，13a =，111n n a a +=-+（*n ∈N ），则2017a 的值等于（ ） A ．3 B ．14-C ．43- D ．3-6. 数列{}n a 的通项公式为()()12121n a n n =-+，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．221n n + B ．21n n + C ．241n n + D ．41nn + 7. 在等比数列{}n a 中，首项11a =,且3454,2,a a a 成等差数列, 若数列{}n a 的前n 项之积．为n T ,则10T 的值为（ ） A ．921- B ．362 C ．1021- D ．4528. 一个等差数列的项数为2n ，若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=，24272n a a a ++⋅⋅⋅+=，且1233n a a -=，则该数列的公差是（ ）A.3B.-3C.-2D.-19. 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若(),AO AB BC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为（ ）A.23B.34C.56D.110. 在ABC ∆中，90C =，6,3CA CB ==，点M 满足2BM MA =，则C M C B ⋅=（ ）A ．2B ．3C ．3-D ．611. 设ABC ∆的三内角A B C 、、成等差数列，sin sin sin A B C 、、成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形12. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，且1(1)2f =，不等式1()f x x x '≤+的解集为(0,1]，则不等式2()ln 12f x x x ->的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)(1,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，则此数列的通项公式n a = ．14. 已知数列{}n a 中，)(13,1*11N n a a a a n nn ∈+==+，则{}n a 的通项公式=n a ．15. 若等差数列}{n a 满足0987>++a a a ，0107<+a a ，则当=n 时，}{n a 的前n 项和最大.16. 已知向量,,a b c 满足→→→→=++0c b a ，→→→→-=b a c c 与,32所成的角为120，则当时R t ∈，(1)ta t b +-的最小值是 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值．（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值．18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者.（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥底面ABCD , //AB CD , ,2,3,3BAD AB CD π∠=== M 为线段PC 上一点且2PM MC =.（1）证明： BM ∥平面PAD ;（2）若2AD =, 3PD =，求二面角D MB C --的正弦值．21. （本小题满分12分）对于函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”． 对于函数()()ln ,00,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤．（1）若1a =，求函数()f x 在(),1e e -处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“K 区间”，求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为 112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.(1)求AB 的长；(2)若点P 的极坐标为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，求AB 中点M 到P 的距离.23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()1f x x x a a=++-（0a >）． （1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．海南中学2018届高三第四次月考理科数学 参考答案一、选择题：1—12：BDCCAB DBADDD 二、填空题 13．5,162,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14．132n - 15．8 16．32三、解答题17．（本小题12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值． （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值． 解:（1）()()()sin cos cos sin f x x x A x x A =-+- ()sin 2x A =- 因为函数在512x π=处取得最大值，所以52122A ππ⨯-=，得3A π= 所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数值域为⎛⎤ ⎥ ⎝⎦（2）由（1）知3A π=，所以由1S sin 2bc A ==40bc =， 又由余弦定理得22222cos ()492a b c bc A b c c b b a =+-=-=-+，所以7a =18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
2020届海南省海南中学高三第四次月考数学试题解析
绝密★启用前2020届海南省海南中学高三第四次月考数学试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}1,2M =，则满足条件{}1,2,3,4M N =U 的集合N 的个数是（）A ．1B ．3C ．2D ．4 解：因为集合{}1,2M =，则满足条件{}1,2,3,4M N =U 时，集合N 中的个数至少有3、4，则符合条件的集合N 有：{}3,4、{}1,3,4、{}2,3,4、{}1,2,3,4，因此，满足题意的集合N 的个数为4，选D.点评：本题考查符合条件的集合个数，一般将符合条件的集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．下列函数中，与函数ln y x =有相同定义域的函数是（）A ．3yx = B ．tan y x =- C ．y = D ．1xy e = 答案：C解：根据函数定义域的要求分别判断已知和选项中的函数的定义域即可得到结果. 解：函数ln y x =的定义域为()0,∞+，对于A ，3y x =的定义域为{}0x x ≠，A 错误； 对于B ，tan y x =-的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，B 错误； 对于C ，y=的定义域为()0,∞+，C 正确； 对于D ，1x y e=的定义域为R ，D 错误. 故选：C .点评： 本题考查函数定义域的求解，属于基础题.3．“2a =”是“关于x 的不等式210x ax -+<的解集为空集”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解：令2a =可知不等式解集为空集，充分性成立；当不等式解集为空集时，22a -≤≤，必要性不成立，由此得到结果.解：当2a =时，()222110x x x -+=-<解集为空集，充分性成立；当210x ax -+<的解集为空集时，240a ∆=-≤，解得：22a -≤≤，必要性不成立， ∴“2a =”是“关于x 的不等式210x ax -+<的解集为空集”的充分不必要条件. 故选：A .点评：本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到一元二次不等式的解的问题，属于基础题.4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少橘子．”根据这个问题，5人所得橘子个数的中位数是（）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：D解：由等差数列定义可设5人所得橘子数分别为6a -，3a -，a ，3a +，6a +，由橘子总数可构造方程求得中位数.解：设5个人所得橘子数为：6a -，3a -，a ，3a +，6a +， ()()()()633660a a a a a ∴-+-+++++=，解得：12a =，5∴人所得橘子数的中位数为12.故选：D .点评：本题考查等差数列的应用问题，关键是能够根据等差数列的特点，采用待定系数法来求解，属于基础题.5．已知函数()()2cos2f x x x x R =+∈的图象与直线12y =-在y 轴的右侧交点按横坐标由小到大的顺序记为1D ，2D ，3D ，⋅⋅⋅，则35D D =（） A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 答案：B解：利用辅助角公式化简()f x ，结合图象可知35D D T =，利用正弦型函数最小正周期的求法可求得结果.解：()3sin 2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 图象如下图所示：由图象可知：3522D D T ππ===. 故选：B .点评： 本题考查正弦型函数最小正周期的求解，关键是能够利用数形结合的方式确定所求距离为最小正周期.6．已知函数()y f x =的图象如图所示，若()()2221lg 100f x x f x ⎡⎤++⋅+≤⎣⎦，则实数x 的取值范围是（）．A ．[]2,0-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．(][),20,-∞-+∞U答案：A解：根据()2lg 101x +≥和函数图象可将不等式化为()2210f x x ++≥，由图象可知2211x x ++≤，解不等式求得结果.解：21010x +≥Q ，()2lg 101x ∴+≥，则由图象可知：()2lg 100f x ⎡⎤+≤⎣⎦， ()2210f x x ∴++≥，2211x x ∴++≤，解得：20x -≤≤，∴实数x 的取值范围为[]2,0-.故选：A .点评：本题考查根据函数图象求解函数不等式的问题，关键是能够将不等式化简为函数值的正负，从而确定自变量的范围.7．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()3ln f x x a x =+-，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1，则实数a =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-答案：C解：利用奇偶性可求得0x >时()f x 的解析式，根据切线斜率为()1f '可构造方程求得结果.解：当0x >时，0x -<，()3ln f x x a x ∴-=-+， ()f x Q 为奇函数，()()()3ln 0f x f x x a x x ∴=--=->，()23a f x x x'∴=-，()131f a '∴=-=，解得：2a =. 故选：C .点评：本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题8．在等比数列{}n a 中，已知639S S =，且14m a a =，则正整数m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B解：可验证出当公比1q =时不合题意；当1q ≠时，由等比数列求和公式可构造方程求得公比，结合等比数列通项公式可求得结果.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，616S a =，313S a =，11627a a ∴=，即10a =，不合题意； 当1q ≠时，由639S S =得：()()631119111a q a q q q --=--，319q ∴+=，解得：2q =， 1111124m m m a a q a a --∴==⋅=，解得：3m =.故选：B .点评：本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.9．如图所示，在OAB V 中，设P 为OAB V 的外心，向量OA a →→=，OB b →→=，OP p →→=，若4a →=，2b →=，则p a b →→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭等于（）A ．6B ．5C ．3D ．1答案：A 解：取AB 中点C ，根据平面向量线性运算将所求数量积化为12a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据数量积的运算律可求得结果.解：取AB 中点C ，连接,CP OC ，P Q 为OAB V 的外心，CP ∴为AB 的垂直平分线，。
2021届海南省海口市第四中学高三第一学期第一次月考数学试卷
2021届海南省海口市第四中学高三第一学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分）1.已知集合1，2，3，，集合，，则A. B. 2， C. 2， D. 1，2，2.已知函数，其导函数的图象如图所示，则A. 在上为减函数B. 在处取极小值C. 在上为减函数D. 在处取极大值3.已知i是虚数单位，复数z满足，则复平面内表示z的共轭复数的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设函数，则的值为A. B. C. 0 D.5.已知集合，，若，则a的取值范围是A. B.C. D.6.若直线过圆的圆心，则的最小值是A. 16B. 10C.D.7.若不等式的解集是，则不等式的解集是A. B. C. D.8. 已知奇函数在R 上是单调函数，函数是其导函数，当时，，则使成立的x 的取值范围是A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分） 9. 下列结论正确的是．A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则10. 下列四种说法中正确的有A. 命题“，”的否定是“，”；B. 若不等式的解集为，则不等式的解集为；C. 复数z 满足21z i -=，z 在复平面对应的点为（x,y ）,则22(2)1x y +-=D. 已知p ：：，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．11. 下列说法不正确是 A. 不等式的解集为B. 已知p ：，q ：，则p 是q 的充分不必要条件C. 若，则函数的最小值为2D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是12.若存在m，使得对任意恒成立，则函数在D上有下界，其中m为函数的一个下界；若存在M，使得对任意恒成立，则函数在D上有上界，其中M为函数的一个上界如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界下列说法正确的是A.2是函数的一个下界B. 函数有下界，无上界C. 函数有上界，无下界D. 函数有界三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13.已知i是虚数单位，则复数的实部是__________．14.已知，则的最小值为_____________15.已知函数为自然对数的底数，若在上有解，则实数m的取值范围是______．16.设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是_____．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题满分10分）在中，A是锐角，且．求角A的大小；若，的面积为，求的值．18.（本题满分12分）等差数列中，，公差且，，成等比数列，前n项的和为．求及；设，，求．19.（本题满分12分）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过与性别有关”？平均车速超过平均车速不超过总计男性驾驶员女性驾驶员总计附：，其中．在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望．20.（本题满分12分）如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若60∠=，，求二面角的余弦值．BAD21.（本题满分12分）已知函数．Ⅰ当时，求函数在上的极值；Ⅱ证明：当时，．22.（本题满分12分）已知椭圆：和圆：，，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，．Ⅰ求的方程；Ⅱ直线k：与椭圆和圆都相切，切点分别为M，N，求面积的最大值．答案1【答案】D解：1，2，3，，集合，，1，，1，2，2.【答案】C解：时，，递增，时，，递减，时，，递增，时，，递减，故，处取极大值，处取极小值，3.【答案】C解：复数z满足，，，4.【答案】B解：函数，5.【答案】C解：，，且，，，，因为的取值范围是．6.【答案】A解：由题意可得圆的圆心，故即，，则，当且仅当且，即，时取等号．7.【答案】D解：不等式的解集是，所以方程的解是和3，且；即解得，；所以不等式化为，即，解得或，所以所求不等式的解集是．8.【答案】A解：当时，，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，，由于此时，则不合题意；当时，，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为9.【答案】BD解：对于A选项，若，，，，则，，故A错误对于B选项，若，则，所以，故B正确．对于C选项，等价于，故C错误对于D选项，因为，所以，又，则，故D正确．10.【答案】BCD 解：选项A：命题“，”的否定应该是“，”故选项A错误；选项B：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且．由解出．所以不等式可化为：，即，解得或．所以不等式的解集为故选项B 正确；选项C ：故选项C 正确；由得到：．当时，，所以有由题意可得：，解得；当时，，所以有由题意可得：，解得310≤<a ．因此，实数a 的取值范围是故选项D 正确．11．【答案】ACD 解：对由可得，所以或，所以A错误．对B ：由可得，所以，所以p ：是q ：的充分不必要条件，所以B 正确．对由，当且仅当时取等号，但是，所以，所以C 错误．对D ：若当时，不等式恒成立，当时，不等式为恒成立，满足题意；当时，只要，解得；所以不等式的解集为R ，则实数k 的取值范围为，所以D 错误．12.【答案】ABD解：A.则，故函数的下界为2，选项A正确B.，则，则当时，当时，，故在内单调选减，在内单调递增，所以有最小值m，使得在内成立，故该函数有下界，当时，，故该函数无上界，选项B正确C.，则，则当时，，当时，，当时， 0，故在内单调递增，在内单调递减，在内单澜送增，又函数在处无意义，且x一时，，当时，当时，，综上，该函数无上界，也无下界，选项C错误D.sin x为周期函数，且，当时，．该函数为振荡函数，函数有界，选项D正确．13.【答案】3 解：，则实部为3．14.【答案】7解：因为，所以，则当且仅当即时取等号，15.【答案】【解析】解：在上有解，存在，使得，即，设，，问题转化为求在上的最小值，而，当时，，单调递减；当时，，单调递增．，．16.【答案】【解析】解：函数，，，函数恰有两个极值点，方程恰有两个正根，显然时方程的一个正根，方程有唯一正根，即方程有唯一正根，等价于函数与函数在上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，，函数在上单调递增，又，，函数的图象如图所示：，且，17.【答案】解：已知等式，利用正弦定理化简得：，，，为锐角，；，面积为，，即，，，由余弦定理得：，即，整理得：．18.【答案】解：由题意可得，又，，解得：．．；，．19.【答案】解：完成的列联表如下：平均车速超过平均车速不超过合计男性驾驶员401555女性驾驶员202545合计6040100，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过与性别有关”．平均车速不超过的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为，所以所求的概率．根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故．所以；；；．所以X的分布列为X0123P．20【答案】解：证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，，，，平面PAC，平面PAC，平面PAC，，，O是AC的中点，，平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD；由知平面ABCD，，，OB，OP两两互相垂直，以O为原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：设，四边形ABCD是菱形，，和都是等边三角形，，，，，，，，，，，，即，，，设平面PAE的法向量为，则令，得，，，设平面PEC的法向量为，则令，得，，，设二面角的平面角为，结合图象可知，，二面角的余弦值为．21.【答案】Ⅰ解：当时，，，令，得或；令，得；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极大值为；当时，取得极小值为．Ⅱ证明：令，，在上是增函数，，，即当时，．【答案】解：Ⅰ由题可知设，则由与圆相切时得，即将代入解得所以的方程为Ⅱ设，将代入得．由直线l与椭圆相切得即，且由直线l与圆相切，设，与联立得设直线与x轴交于点Q，则．所以的面积，因为当且仅当时等号成立，所以的面积，即面积的最大值为。
2021年高三上学期月考(四)数学(理)试题 Word版含答案
2021年高三上学期月考（四）数学（理）试题 Word版含答案本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求对的.1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则为A.2B.C.D.2.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)对任意自变量x都有f(x+1)=f(1-x)，且函数f(x)在上单调.若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前25项之和为A.0B.C.25D.504.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是A. B. C. D.5.如图，若是长方体被平面EFGH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F 为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.是棱柱D.四边形EFGH可能为梯形6.某班有24名男生和26名女生，数据，，，是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A，男生平均分M，女生平均分W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数（负数），那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入A.T>0？，B.T<0？，C.T<0？，D.T>0？，7.如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.8.设实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.9.设的最大值为3，则常数a=A.1B.a=1或a=-5C.a=-2或a=4D.10.已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，，.若，，则A. B. C. D.11.已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为A. B. C. D.12.设函数对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数a的最小值是A. B. C.2 D.4选择题答题卡二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_____.14.在四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为_____.15.在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边，如果，则角A的取值范围为_____.16.设数列满足：，，其中，、分别表示正数的整数部分、小数部分，则_____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都成立.（1）求，的值；（2）设，数列的前n项和为，当n为何值时，最大？并求出的最大值.18.（本小题满分12分）某商场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中a，b的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求：①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和期望.19.（本小题满分12分）为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形，，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与重合，F与重合，G与重合，H与重合（如图所示）.（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；（2）当时，求二面角E-SH-F的余弦值.20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)已知函数在定义域上单调且函数的零点为1.（1）求的取值范围；（2）若曲线与轴相切，求证（且)．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC，DC的延长线交PQ于点Q.（1）求证：；（2）若AQ＝2AP，AB＝2，BP＝2，求QD.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线C，动圆.（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.（1）求a＋b＋c的取值范围；（2）若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．炎德·英才大联考湖南师大附中xx届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13.2 14.5 15. 16.三、解答题17.【解析】（1）当n=1时，，当n=2时，两式相减，或， ...............3分解方程组可得：，或，或. ..........5分（2）由（1）及知， ................6分当n≥2时，，，，，， ..............8分 令，所以数列是单调递减的等差数列，公差为， (10)分 ，所以当n≥8时，，所以数列的前7项和最大，. .........12分18.【解析】（1）由题意知：a =0.5，b =0.3. ....................2分 （2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5， （3）设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨， 则X ～B （5，0.5），3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P . ..............6分②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以的可能取值为4，5，6，7，8， 则：，， ，，， ............9分 的分布列为：........11分2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . ........12分又∵平面SFH ，SO ∩FH ＝O ，∴EG ⊥平面SFH .又∵平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ......................6分 (2)法1：过O 作OM ⊥SH 交SH 于M 点，连接EM ，∵EO ⊥平面SFH ，∴EO ⊥SH ， ∴SH ⊥平面EMO ，∴∠EMO 为二面角E －SH －F 的平面角. ...............8分ξ 4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09当时，即，Rt△SHO 中，SO ＝5，，∴， Rt△EMO 中，，.所以所求二面角的余弦值为. ......................12分法2：由（1）知EG ⊥FH ，EG ⊥SO ，并可同理得到HF ⊥SO ，故以O 为原点，分别以OF ，OG ，OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，在原平面图形中，，则底面正方形EFGH 的对角线EG ＝5， ∴，，，，.在原平面图形中，可求得，在Rt△SOE 中，可求得， ∴S (0，0，5)，. ...............8分 设平面SEH 的一个法向量为，则得令x ＝2，则，...............10分∵EG ⊥平面SFH ，∴是平面SFH 的一个法向量，设二面角E －SH －F 的大小为θ， 则，∴二面角E －SH －F 的余弦值为.12分 20.【解析】（1）设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝32，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 21＝1. ...............5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 21＝1消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－41＋4k2.|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·1＋4k 2－m21＋4k2. ...............8分原点O 到直线l 1的距离d ＝|m |1＋k 2，则S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝2|m |·1＋4k 2－m21＋4k 2＝1， ∴2|m |·1＋4k 2－m 2＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m |·n －m 2＝n ， ∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2. ∵N 为PQ 中点，∴x N ＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y N ＝y 1＋y 22＝m1＋4k2，∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝－2k m ，y N ＝12m .∴x 2N 2＋2y 2N ＝1. ...............10分假设x 轴上存在两定点A (s ，0)，B (t ，0)(s ≠t )，则直线NA 的斜率k 1＝y Nx N －s，直线NB 的斜率k 2＝y Nx N －t，∴k 1k 2＝y 2N（x N －s ）·（x N －t ）＝12·1－x 2N2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st ＝－14·x 2N －2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st.当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－14，则s ＝2，t ＝－ 2.综上所述，存在两定点A (2，0)，B (－2，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. ...............12分 21.【解析】（1）由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， .又函数f (x )的零点为1，由f (1)＝0，故，. ...............2分 ∵函数单调，若为增函数，则对任意，且不恒为0， ∴，，∴，∴.若为减函数，则对任意，且不恒为0， 则，，又，∴不恒成立． 综上所述，∴. 又∵，∴.∴的取值范围是. ............6分 （2）∵曲线与轴相切，切点为(1，0)且，∴. 由(1)得函数在上是增函数， 又，∴当时，， ∴.令，有， ∴；∴当时，令k ＝1，2，3，…，n －1，，，…，以上各式累加得：． ...............10分 ∵，∴n n n ln 122523221514131<-+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+++， ∴成立. ...............12分22.【解析】（1）∵AB ∥CD ，∴∠PAB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠PAB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴，即. ............... 5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴，(3)由，BP ＝2，得，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴，∴，∴，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴. ...............10分23.【解析】∵，∴．所以的直角坐标方程为. ......2分∵所以的直角坐标方程. .....4分（2）联立关于的一元二次方程在[0，＋∞)内有两个实根. ..........6分即 ..........8分得即. .........10分24.【解析】（1）由柯西不等式得，3))(111()(2222222=++++≤++c b a c b a ， ∴，∴a ＋b ＋c 的取值范围是. ...............5分（2）同理，3)](1)1(1[)(2222222=+++-+≤+-c b a c b a . ...............7分 若不等式对一切实数a ，b ，c 恒成立，则，解集为. ...............10分33005 80ED 胭36215 8D77 起22011 55FB 嗻25137 6231 戱37916 941C 鐜g33982 84BE 蒾=36661 8F35 輵X6"20056 4E58 乘31388 7A9C 窜。
海南中学2021届高三第一学期第四次月考数学试题及答案
海南中学2021届高三第四次月考数学试题卷满分：150 分 考试时间：120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，则AB =（ ）A.{(1,1)}B.{(2,4)}-C.{(1,1),(2,4)}-D.∅2. 已知(,)a bi a b +∈R 是11ii -+的共轭复数，则a b +=（ ） A.1- B.12- C.12D.13. 3.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( )A.3B.2C.2-D.3-4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A ．13B ．16C ．31D ．645. 已知,,2⎪⎭⎫⎝⎛-∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan =（ ） .A 32- .B 35 .C 552- .D 25- 6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( )A ．16B ．80C ．120D ． 1507. 已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则（ ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>8. 对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ) A. (e+1e，十∞) B.(e+2e,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC ==B ．MA →+MB →+MC →=0→C ．CM →=13CA →+23CD → D ．BM →=23BA →+13BD →10. 已知函数f(x)=sin(3x+φ)(22ππφ-<<)的图象关于直线4x π=对称,则( )A. 函数()12f x π+为偶函数B. 函数f(x)在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増 C. 若|f(x 1)−f(x 2)|=2,则|x 1−x 2|的最小值为3πD. 函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=−sin3x 的图象11. 下列说法中正确的是（ ）.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则542sin =x 12. 关于函数f(x)=e x + sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.f(x)在(0, +∞)上是增函数B.f(x)存在唯一极小值点x 0C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()⎩⎨⎧<≥+=.0,3,0,122x x x x x f 若f (x 0)＝27，则实数x 0的值为 .14. 若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是 .15. 已知三边c b a 、、为△ABC 的三个内角C B A 、、的对边，向量()1,3m →=-，向量()A A n sin ,cos =→，若→→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角=B .16. 设,n n S T 分别为等差数列，的前项和，且211n n S n T n -=+.设点是直线外一点，点是直线上一点，且178a a AP AB ACb λ+=+，则实数的值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为E.经测{}n a {}n b n A BC P BC λ量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为 45° ，30°，和60°． (1)求烟囱AB 的高度；(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 5＝a 3＋a 5，b 7＝a 4＋2a 6. (1)求S n 与a n ；(2)若n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅．（1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边,若24C M π+∈，求a b的取值范围.20. 已知函数32()22a f x x x bx =-++. （1）若函数()f x 在点（1，f(1)）处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值； （2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N,求M-N 的最大值.21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 11212n a n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：38nT ≥.22. 已知()ln f x x =，213()22g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+. （1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121()()(2)()2h x h x a x x -<--.海南中学2021届高三第四次月考试题数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。
海南中学2021届高三第一学期第四次月考数学试题及答案
海南中学2021届高三第四次月考数学试题卷满分：150 分 考试时间：120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，则AB =（ ）A.{(1,1)}B.{(2,4)}-C.{(1,1),(2,4)}-D.∅2. 已知(,)a bi a b +∈R 是11ii -+的共轭复数，则a b +=（ ） A.1- B.12- C.12D.13. 3.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( )A.3B.2C.2-D.3-4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A ．13B ．16C ．31D ．645. 已知,,2⎪⎭⎫⎝⎛-∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan =（ ） .A 32- .B 35 .C 552- .D 25- 6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( )A ．16B ．80C ．120D ． 1507. 已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则（ ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>8. 对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ) A. (e+1e，十∞) B.(e+2e,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC ==B ．MA →+MB →+MC →=0→C ．CM →=13CA →+23CD → D ．BM →=23BA →+13BD →10. 已知函数f(x)=sin(3x+φ)(22ππφ-<<)的图象关于直线4x π=对称,则( )A. 函数()12f x π+为偶函数B. 函数f(x)在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増 C. 若|f(x 1)−f(x 2)|=2,则|x 1−x 2|的最小值为3πD. 函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=−sin3x 的图象 11. 下列说法中正确的是（ ）.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则542sin =x 12. 关于函数f(x)=e x + sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.f(x)在(0, +∞)上是增函数B.f(x)存在唯一极小值点x 0C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()⎩⎨⎧<≥+=.0,3,0,122x x x x x f 若f (x 0)＝27，则实数x 0的值为 .14. 若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是 .15. 已知三边c b a 、、为△ABC 的三个内角C B A 、、的对边，向量()1,3m →=-，向量()A A n sin ,cos =→，若→→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角=B .16. 设,n n S T 分别为等差数列，的前项和，且211n n S n T n -=+.设点是直线外一点，点是直线上一点，且178a a AP AB ACb λ+=+，则实数的值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为 45° ，30°，和60°．{}n a {}n b n A BC P BC λ(1)求烟囱AB 的高度；(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 5＝a 3＋a 5，b 7＝a 4＋2a 6. (1)求S n 与a n ；(2)若n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅． （1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边,若24C M π+∈，求a b的取值范围.20. 已知函数32()22a f x x x bx =-++. （1）若函数()f x 在点（1，f(1)）处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值； （2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N,求M-N 的最大值.21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 11212n a n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：38n T ≥.22. 已知()ln f x x =，213()22g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+. （1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121()()(2)()2h x h x a x x -<--.海南中学2021届高三第四次月考试题数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。
海南省海口市2021届新高考数学第四次调研试卷含解析
海南省海口市2021届新高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ） A ．37B ．13 CD【答案】D【解析】【分析】直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c =故选：D ．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 2．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54-C ．43-D ．12- 【答案】B【解析】【分析】 作出不等式组对应的平面区域，目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率，利用数形结合即可得到z 的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，当M位于11,2A⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时DA的斜率最小，此时1252114minz--==-+．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+$$$近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】【分析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.4．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.5．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．A ．21B ．63C ．13D ．84【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为130S =，3421a a +=， 所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =， 则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．6．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-3C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 先研究511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解. 【详解】 因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()5151r r r r T C x -+=-， 所以()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：()32320551112(1)0x C C x a a -+--=--=-， 解得2a =，故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x =- 【答案】C【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】 因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 8．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3 CD．4【答案】B【解析】【分析】 设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率．【详解】004OM y k x ==-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+--=， ∴2121221212()()AB y y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，228,3b e a ∴=∴==． 故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．9．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】B【解析】【分析】设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解.【详解】设{}n a 公差为d ，27a =，415a =， 2433211,42a a a d a a +∴===-=, 1010(339)41,2102n a n S ⨯+∴=-∴==. 故选：B.本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和，属于基础题.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )A ．9B ．12C ．15-D ．18-【答案】A【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】 设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.11．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( )A ．－30B ．－40C ．40D ．50 【答案】C【解析】【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得. 【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221r r rr r r r r r T C x y C x y ---+=-=- 5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和. 令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-； 令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=； 故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.12．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（）A．14B．13C．532D．316【答案】A【解析】【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为5232=个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，事件的样本点数为：444228++--=个．故不同的样本点数为8个，81 324=.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
海南省海口市海口中学2024届高三上学期第四次月考数学试题
海南省海口市海口中学2024届高三上学期第四次月考数学试题1.已知，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）．A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.在中，点D在边AB上，．记，则（）A．B．C．D．4.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则三棱锥的体积为（）A．B．3C．D．5.等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（）①为的最小值②③，④为的最小值A．1B．2C．3D．46.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（）A．B．C．D．7.已知定义在上的函数满足：是奇函数；；.则（）A．3B．2025C．D．20238.在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9.下列命题为真命题的是（）A ．“”的否定是“”B ．若，则或C ．的最小值为D ．若正数满足，则10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．该图象对应的函数解析式为B ．函数的图象关于点对称C ．函数的图象关于直线对称D ．函数在上单调递增11.如图是直四棱柱，底面是边长为的正方形，侧棱，点分别为棱的中点，则（）A ．点在平面内B ．直线与平面所成的角为C ．平面D ．异面直线与所成的角的余弦值为12.已知函数，则（）A．当时，函数在上单调递减B．对任意的，函数在上一定存在零点C．存在，函数有唯一极小值D．当时，在上恒成立13.向量在向量上的投影向量为___________．（写出坐标）14.在正方体的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为____________.15.已知，则的值为______．16.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．17.在数列和中，，且是和的等差中项.(1)设，求证：数列为等比数列；(2)若的前n项和为，求证：.18.在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角：(2)已知是边的中点，且，求的长．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.(1)证明：平面；(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.20.某中学为了响应国家双减政策，开展了校园娱乐活动．在一次五子棋比赛活动中，甲、乙两位同学每赛一局，胜者得1分，对方得0分，没有平局．规定当一人比另一人多得5分或进行完10局比赛时，活动结束．假设甲、乙两位同学获胜的概率都为，且两人各局胜负分别相互独立．已知现在已经进行了3局比赛，甲得2分，乙得1分，在此基础上继续比赛．(1)只有当一人比另一人多得5分时，得分高者才能获得比赛奖品，求甲获得比赛奖品的概率；(2)设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．21.已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点.22.己知函数.(1)若曲线在处的切线与直线平行，求函数的极值；(2)若恒成立，求实数a的取值范围.。
海南省海口市2021届新高考第四次大联考数学试卷含解析
海南省海口市2021届新高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.2．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 3．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.考点：程序框图.4．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则|||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r（ ）.A ．9B ．6C ．38D ．316【答案】C 【解析】 【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得123316x x x ++=，利用定义将|||||FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r用123,,x x x 表示即可.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r及1(,0)16F ， 得111(,)16x y -+221(,)16x y -331(,)(0,0)16x y +-=，故123316x x x ++=， 所以123111|||||161616FA FB FC x x x ++=+++++=u u u r u u u r u u u r 38. 故选：C. 【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.5．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当01x ≤＜时，[]0x =， 当12x ≤＜时，[]1x =， 当23x ≤＜时，[]2x =，当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()=f x ax 有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间，即1223a ≤＜， 故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 6．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） 32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x'=>，所以函数为单调递增函数， 因为e π>，则()()ff e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确； 对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e xf x x x-'=-=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=， 所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y =PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论. 【详解】设点P 的坐标为(),a a ，直线AB 的方程为122xy-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则1122222PAB S AB d d =⋅=⨯⨯=V ，解得2d =， 另一方面，由点到直线的距离公式得222a a d --==，整理得0a a -=或40a a --=，0a ≥Q ，解得0a =或1a =或9172a +=. 综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C 【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 9．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D 6【答案】A 【解析】 【分析】由122PF PF =及双曲线定义得1PF 和2PF（用a 表示），然后由余弦定理得出,a c 的齐次等式后可得离心率． 【详解】由题意∵122PF PF =，∴由双曲线定义得122PF PF a -=，从而得14PFa =，22PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos60c a a a a =+-⨯⨯︒，化简得==ce a故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用a 表示出P 到两焦点的距离，再由余弦定理得出,a c 的齐次式．10．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,)e【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()xh x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上，即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点， 即方程2ln ax x -=有两解，即2ln xa x+=有两解， 令2ln ()xh x x +=，则21ln ()xh x x --'=， 则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →， 所以0a e <<满足条件． 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.11．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到D 的距离，利用勾股定理求得过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】如图，设三角形ABC 外接圆的圆心为G ，则外接圆半径AG=233233⨯=,设三棱锥S-ABC 的外接球的球心为O ，则外接球的半径R=()222324+=取SA 中点E ，由SA=4，AD=3SD ，得DE=1, 所以OD=()2223113+=.则过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径为()224133-=所以过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为()233ππ⋅=故选：A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为： ABC D E物理 10550--= 16313-= 91化学8530--=19514-=72对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生， 因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人）， C 选项错误；对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022年海南省海口四中高三数学综合测试一
1 / 6海南省海口四中2021-2022学年度第一学期高三数学综合测试一一．选择题：每题5分，共60分1．已知集合{}2,1,0,1,2--=A ，()(){}021|<+-=x x x B ，则=B A （ ）A ．{}0,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,02．若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知命题p ：对任意R x ∈，总有02>x ；q ：“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧⌝C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝∧4．等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a a （ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数()()⎩⎨⎧≥<-+=-1,21,2log 112x x x x f x ，则()()=+-12log 22f f （ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．372cmB ．390cmC ．3108cmD ．3138cm 7．若圆1C ：122=+y x 与圆2C ：08622=+--+m y x y x 外切，则=m （ ）A ．21B ．19C ．9D ．11-8．执行如图所示的程序框图，如果输入3=n ，则输出的=S （ ）A ．76B ．73C ．98D ．94 9．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．332π B ．π4 C ．π2 D ．34π 10．在同一直角坐标系中，函数()()0≥=x x x f a ，()x x g a log =的图像可能是（ ）。
海南省海口市海港学校2022届高三上学期第四次考试数学试题及答案
海南省海口市海港学校2022届高三上学期第四次考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知M ，N 是R 的子集，且M N ⊆，则()R N M =（ ） A ．M B ．NC ．∅D ．R2．“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．设12122,log 3,tan50a b c -===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=aA ．12B ．54C ．45D ．45-5．已知平面向量,a b 满足|2|19,||3a b a -==，若1cos ,4a b =，则b =（ ）A ．1B ．2C ．54D ．526．圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（ ）A ．4πB ．C ．2πD ．7．设x ∈R ，定义符号函数()1,00,01,0x x x x ϕ>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()()f x x x ϕ=+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的16000称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如15密位记为“0015-”，1个平角3000=-，1个周角6000=-.已知函数()2cos f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值用密位制表示为（ ）A ．1500-B ．3000-C ．0500-D ．1000-9．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （ ） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 二、多选题10．已知复数11i z =＋，21i z =-，则（ ） A ．12z =B ．12z z =C ．12z z ⋅对应的点在复平面的虚轴上D ．在复平面内，设1Z ，2Z 对应的点为A ，B ，则2AB =11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，则下列结论正确的有（ ）A．2OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH OH BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为2-12．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B ．点A到平面BCD C ．AB CD ⊥D ．四面体ABCD三、填空题13．已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.14．已知正数a ，b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为______.15．已知点A ，B ，C 为球O 的球面上的三点，且∥BAC ＝60°，|BC|＝3，若球O 的表面积为48π，则点O 到平面ABC 的距离为________．16．已知函数()e ,0()32,0x x a x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩在1x =处取得极值，且函数()y f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为___________ 四、解答题17．已知数列{}n a 满足()1102n n a a n N ++-=∈，且2a ，32a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()2log n n b a n N +=∈，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18．全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.(1)从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；(2)从5次训练中随机选取2次，用X 表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求X 的分布列和数学期望；(3)根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.（注：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差()2211nii s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑）19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，=22CD AB BC =，M ，N 分别是棱PA CD 、的中点．(1)求证：PC ∥平面BMN . (2)求证：平面BMN ∥平面PAC .20．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1,3AD CD ==,cos B =(1)求AC 的长；(2)若 ，求ABC 的面积．从∥3BCA π∠=，∥=BC21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，直线2x －y ＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点T (2，0)的直线l 交双曲线C 于点M ，N (点M 在第一象限)，记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，求证：12k k 为定值． 22．已知函数2()2ln f x ax x =-． (1)讨论()f x 的单调性；(2)当[1,3]x ∀∈时，()y f x =的图像始终在14y =的图像的下方，求a 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】 【分析】依题意画Venn 图，结合V enn 图即判断交集结果. 【详解】M ，N 是R 的子集，且M N ⊆，如图所示，R N 表示Venn 图中的阴影部分，故可知，()R N M ⋂=∅ 故选：C. 2．A 【解析】 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当1a >时，11a<成立，即充分性成立， 当1a =-时，满足11a<，但1a >不成立，即必要性不成立， 则“1a >“是“11a<“的充分不必要条件， 故选：A ． 3．D 【解析】 【分析】判断a 、b 、c 与0和1的大小即可判断它们之间的大小. 【详解】()0,10tan451a b c c a b ∈=∴>>，，，，故选：D. 4．C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础 5．B 【解析】 【分析】结合2a a =作等价变形即可求解. 【详解】由题知，|2|19,||3a b a -==，,1cos 4a b =，则()22222|2|24444cos ,19a b a b a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-⋅⋅=，代值运算得：243100b b --=，解得2b =或54-（舍去），故2b =.故选：B 6．D 【解析】 【分析】根据题意求出底面半径和母线长即可求出侧面积. 【详解】如同，设圆锥的轴截面为PAB △，底面圆心为O ，则由题可得PAB △为等腰直角三角形，则2122PA ⋅=，则2PA =，所以AB =OA =所以该圆锥的侧面积为2π=. 故选：D.7．C 【解析】 【分析】由函数()()1,00,01,0x x f x x x x x x ϕ+>⎧⎪=+==⎨⎪--<⎩，结合选项即可判断结果．【详解】由函数()()1,00,01,0x x f x x x x x x ϕ+>⎧⎪=+==⎨⎪--<⎩，故C 选项正确．故选：C 8．A 【解析】 【分析】利用导数求出()f x 的最小值，再根据密位制的定义即可得出答案. 【详解】由题知，()2cos f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()12sin f x x '∴=-令()0f x '=得6x π=()f x ∴在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递递减又()02f =，22f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()20f f π⎛⎫⎪⎭< ⎝()f x ∴的最小值为2π设2π的密位为m 由密位制的定义可得：260002mππ= 解得：1500m =∴()f x 的最小值2π用密位制表示为1500-. 故选：A. 9．D 【解析】 【分析】利用辅助角公式得出()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，则该函数的最小正周期为π， 0ω>，则22πωπ==，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 函数()y g x =为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，2sin 022g ππ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的图象不关于直线2x π=对称，B 选项错误；对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22x ππ≤≤，则函数()y g x =在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项错误；对于D 选项，当263x ππ≤≤时，4233x ππ≤≤，则sin 21x ≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，D 选项正确. 故选：D. 10．BD 【解析】 【分析】A 求出1z 来判断；B 求出1z 来判断；C 求出12z z ⋅来判断；D 求出AB 来判断. 【详解】1z =A 错误；121i z z =-=，B 正确；()()122i 1i 1z z +⋅=-=，其在复平面上对应的点为()2,0，不在虚轴上，C 错误；在复平面内，设1Z ，2Z 对应的点为()()1,1,1,1A B -，则()112AB =--=，D 正确. 故选：BD, 11．AB 【解析】 【分析】由向量数量积的定义可判断AC ；由向量的线性运算以及模长公式可判断B ，由向量投影的定义可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】因为八边形ABCDEFGH 是正八边形，且||1OA =， 所以||||||||||1OA OB OD OE OH =====，对于A ：OA 与OD 之间的夹角为23384ππ⨯=，311cos 4OA OD π⋅=⨯⨯= 故选项A 正确；对于B ：OB 与OH 之间的夹角为2282ππ⨯=，可得0OB OH ⋅=， ()2222OB OH OB OH OB OH +=+=+=22OB OH OA OE +==-，故选项B 正确；对于C ：因为AH BC =，HO OB =但夹角不相等，由数量积的定义知AH OH BC BO ⋅≠⋅，故选项C 不正确； 对于D ：34HAB π∠=，所以AH 在AB 向量上的投影为32cos 42AH AH π=-，因为1AH ≠，所以AH 在AB 向量上的投影不是D 不正确；故选：AB. 12．BCD 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明AC ∥BD ，可知A 错误，同理得到C 正确；直接求出A 到底面BCD 的距离判断B ；求出正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断D ． 【详解】 如图，由题意，四面体ABCD 为正四面体，取底面BCD 的中心为G ，连接CG 并延长，交BD 于E ，则E 为BD 的中点，且CE ∥BD ，连接AG ，则AG ∥底面BCD ，得AG ∥BD ，又AG ∩CE ＝G ，∥BD ∥平面ACG ，则AC ∥BD ，故A 错误；同理AB CD ⊥，故C 正确；由四面体的所有棱长为2，可得23CG CE ==AC ＝2，∥AG ==，即点A 到平面BCD ，故B 正确；设四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，连接OC ，则222)R R =+，解得R =，则四面体ABCD 的外接球体积为343π⨯，故D 正确；故选：BCD ． 13．(14，7) 【解析】 【分析】由共线(平行)向量的坐标表示求出m 的值，结合向量加减、数乘运算的坐标表示计算即可得出结果. 【详解】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ， 所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2). 故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7). 故答案为：(14，7) 14．4 【解析】 【分析】根据韦达定理可得24a b m +=+，0ab m =>，进而114a b m a b ab m++==+， 利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意，得24a b m +=+，0ab m =>，则1144a b m a b ab m ++==+≥=，当且仅当4m m=，即2m =时等号成立.经检验，知当2m =时，方程2820x x -+=有两个正实数解，符合题意，所以11a b+的最小值为4. 故答案为：4 15．3 【解析】 【分析】由正弦定理求出平面ABC 外接球圆的半径，求出球的半径，利用勾股定理求解，可得答案． 【详解】球O 的表面积2448S R ππ==，解得R =在ABC 中，点A ，B ，C 为球O 的球面上的三点，且60BAC ∠=︒，3BC =， 外接圆的半径为：r ，根据正弦定理可知，32sin sin 60BC r BAC===∠︒r =∴球心到平面ABC 的距离3d ， 故答案为：3．16．(e,2)--【解析】 【分析】求导根据极值点得到2a =，求导得到函数的单调区间，计算最值，画出函数图像，根据图像得到范围. 【详解】容易知当0x <时，()f x 递增，当()()()''0()e (e )e 1x x xx f x x a x a x a ≥=-⋅+-⋅=-'+，，1x =为极值点，(1)e(11)0f a ∴-+'==，得2a =， 此时()(2)e x f x x =-，()(1)e x f x x '=-，而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(,0)-∞上递增，在[0,1)上递减，在[1,)+∞上递增，(0)2f =-，(1)e f =-，画图可知，使函数()y f x m =-有三个零点，即函数与y m =的图像有三个交点， 则实数m 满足(1)(0)f m f <<，即(e,2)m ∈--. 故答案为：(e,2)--.17．（1）2n n a =；（2）222nn +-. 【解析】（1）由题意判断出{}n a 为等比数列，2a ，32a +，4a 成等差数列，列式求解出1a ，可得{}n a 的通项公式；（2）得n b n =，所以2n n n n b nC a ==，则前n 项和n T 利用错位相减法计算即可. 【详解】解：（1）依题12n n a a +=，∥{}n a 是以2为公比的等比数列， 又2a ，32a +，4a 成等差数列.∥()32422a a a +=+，即()11124228a a a +=+，∥12a =， ∥2n n a =.（2）由（1）得n b n =，设2n n n n b nC a ==， 231123122222n n n n n T --=+++⋅⋅⋅++ ∥ 231112122222n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++ ∥ ∥-∥：21111112211111112222222212nn nn n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+-=-=-- ⎪⎝⎭-，∥11222222n n n n n n T -+=--=-.【点睛】本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解． 18．(1)25；(2)分布列见解析，数学期望为45；(3)乙在选拔中更具竞争力，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)在5次模拟训练中，确定甲的成绩高于乙的成绩次数，再利用古典概率公式计算即得. (2)写出X 的所有可能值，再求出各个值对应的概率即可列表、计算作答. (3)分别求出甲和乙的成绩的平均数、方差，然后比较即可作答. (1)在5次模拟训练中，甲的成绩高于乙的成绩有2次，乙的成绩高于甲的成绩有3次， 从5次训练中随机选取1次的试验有5个基本事件，它们等可能，甲的成绩高于乙的成绩的事件A 有2个基本事件，所以甲的成绩高于乙的成绩的概率2()5P A =. (2)X 的所有可能值是：0，1，2，2325C 3(0)C 10P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，2225C 1(2)C 10P X ===， 所以X 的分布列为：数学期望为3314()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. (3)甲的平均成绩为11(8692878986)885x =++++=，乙的平均成绩为21(9086898887)885x =++++=，甲成绩的方差22222211[(8688)(9288)(8788)(8988)(8688)] 5.25s =-+-+-+-+-=，乙成绩的方差22222221[(9088)(8688)(8988)(8888)(8788)]25s =-+-+-+-+-=，虽然12x x =，但2212s s >，因此得乙的成绩更稳定，所以乙在选拔中更具竞争力. 19．(1)见解析； (2)见解析； 【解析】 【分析】（1）、设AC BN O ⋂=,连接MO ,AN ,利用三角形中位线可证明MO ∥PC ,利用线面平行的判断即可证明；（2）、（方法一）证明BN ⊥平面PAC ;（方法二）证明PA ⊥平面BMN ;然后利用线面垂直证明平面与平面垂直.(1)设AC BN O⋂=,连接MO,AN,AB∥CD，12AB CD=,N是棱CD的中点, AB∴∥NC，AB NC=,∴四边形ABCN为平行四边形，O∴是棱AC的中点,MO∴∥PC,又MO⊂平面BMN,PC⊄平面BMN,PC∴∥平面BMN.(2)(方法一)PC∥平面PAD,AD⊂平面PAD,PC AD∴⊥.AB∥CD，12AB CD=,N是棱CD的中点, AB∴∥DN，AB DN=,∴四边形ABND为平行四边形，AD∴∥BN，BN PC∴⊥.AB BC=,∴四边形ABCN为菱形，BN AC∴⊥,,PC AC C AC⋂=⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,BN∴⊥平面PAC,又BN⊂平面BMN，∴平面BMN∥平面PAC.（方法二）连接PN,PC⊥平面PAD,PA⊂平面PAD,PC PA∴⊥MO ∥PC ,PA MO ∴⊥,PC ⊥平面PAD ,PD ⊂平面PAD ,PC PD ∴⊥,N 是棱CD 的中点, 12PN CD ∴=,由（1）可知，1==2AN BC CD ,=AN PN ∴,又M 是棱PA 的中点, PA MN ∴⊥,MN MO M MN ⋂=⊂，平面BMN ,MO ⊂平面BMN ,PA ∴⊥平面BMN . 又PA ⊂平面PAC ,∴平面BMN ∥平面PAC .20．(1)(2)选∥时：ABCS =;选∥时：ABCS =【解析】 【分析】（1）、根据二倍角的余弦公式求出cos2B ,再求出cos D ,然后利用余弦定理即可求出AC 的长；（2）、选∥时：根据两角和的正弦公式求出sin BAC ∠，利用正弦定理求出AB ，结合三角形面积公式计算即可；选∥时：利用余弦定理求出AB ，结合三角形面积公式计算即可； (1)由cos B =21cos 22cos 13B B =-=-,2D B ∠=∠,1cos 3D =-,在ADC 中，由余弦定理得：2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅=,∴=AC (2)选∥3BCA π∠=时:由（1）可知AC =cos sin B B =∴=()sin =sin sin cos cos sin BAC B BCA B BCA B BCA ∴∠+∠=∠+∠=在ABC 中，sin sin AC AB B BCA =∠,AB ∴=,11sin 22ABCSAB AC BAC ∴=⋅∠==选∥=BC : 由（1）可知AC =cos sin B B =∴=在ABC 中，由余弦定理得,222cos 2BC AB AC B BC AB +-=⋅,2=，AB =11sin 22ABCSAB BC B ∴=⋅=⨯= 21．(1)2214y x -=；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)由虚轴长为2b ，和渐近线方程为by x a=±，求得a 和b 的值，即可； (2)设直线l 的方程为2x ny =+，将其与双曲线的方程联立，得到关于y 的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算12k k 的值，即可． (1)虚轴长为4，24b ∴=，即2b =， 直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线，∴2ba=，1a ，故双曲线C 的标准方程为2214y x -=．(2)由题意知，(1,0)A -，(1,0)B ，由题可知，直线l 斜率不能为零，故可设直线l 的方程为2x ny =+， 设1(M x ，12)(y N x ，2)y ，联立22142y x x ny ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得22(41)16120n y ny -++=， 1221641ny y n ∴+=--，1221241y y n =-，12123()4ny y y y ∴=-+，直线MA 的斜率1111y k x =+，直线NB 的斜率2221y k x =-，∴11211112121222112212223()1(1)143(3)33()341y y y y k x y ny ny y y y k y ny ny y y y y y x -+++++=====-++-++-，为定值．22．(1)当0a ≤时， ()f x 的递减区间为()0+∞，，无递增区间；当0a >时， ()f x 的递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭，递增区间为0⎛ ⎝； (2)14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【解析】 【分析】（1）、先求出()'f x ，然后对a 分类讨论，确定()'f x 的正负，从而确定函数的单调性；（2）、根据题意可知[1,3]x ∀∈时，21()2ln 4f x ax x =-<恒成立，可转化为212ln 4xa x+<在[1,3]x ∈时恒成立，构造新函数()g x ，利用导数法求出()min g x ，从而求出a 的取值范围.(1)()2()2ln 0f x ax x x =->，，()()2212()20x f x ==x x a ax x -'∴->， ∥、当0a ≤时，()221()0ax f x =x -'<，()f x ∴在()0+∞，上单调递减， ()f x ∴的递减区间为()0+∞，，无递增区间；∥、当0a >时，令()221()0ax f x =x -'=，则x =（负值舍去） 令()221()0ax f x =x-'>，得，()f x ∴在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增； 令()221()0ax f x =x -'<，得0()f x ∴在0⎛ ⎝上单调递减； ()f x ∴的递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭，递增区间为0⎛ ⎝； 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的递减区间为()0+∞，，无递增区间； 当0a >时，()f x的递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭，递增区间为0⎛ ⎝； (2)[1,3]x ∀∈时，()y f x =的图像始终在14y =的图像的下方， [1,3]x ∴∀∈时，21()2ln 4f x ax x =-<恒成立，[1,3]x ∴∀∈时，212ln 4x a x +<在恒成立， 令()212ln 4x g x x +=,[1,3]x ∈,则()334ln 2x g x x -'=，令()334ln 2=0x g x x -'=，38e x ∴=， 当381e x <<时，()334ln 20x g x x -'=>，()g x ∴在381,e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增； 当38e 3x <<时，()334ln 20x g x x -'=<，()g x ∴在38e ,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；又()()112ln12ln 311441=31494g g ++==>，，()g x ∴在[1,3]x ∈上的()()min 1=14g x g =， 又[1,3]x ∀∈时，()212ln 4=g x x xa +<在恒成立，[1,3]x ∴∈时()min 1g 4x a =<， a ∴的取值范围为14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，.。
2021年高三上学期第四次月考数学理试题word版含答案
2021年高三上学期第四次月考数学理试题word 版含答案第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩（M ）等于（ ）A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø2． 已知直线，直线，且，则的值为（ ）A 、-1B 、C 、或-2D 、-1或-23．在数列{}中，若，且对任意的有，则数列前15项的和为（ ）A ．B ．30C ．5D ．4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A.7B.C.D.5．过点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A .B .或C .D .或6．若为等差数列，是其前n 项的和，且，则=（ ）A. B. C. D. 7.若直线经过点M(cosα,sinα),则( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C. D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若，则( ) A.3 B.8 C.13 D.1610.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定侧视图成立的是（）A．B．C．D．11. 已知动点在椭圆上,为椭圆的右焦点,若点满足且,则的最小值为( )A．B．3 C．D． 112. 已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为（），且的前项和为，则（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
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海南中学2021届高三第四次月考数学试题卷满分：150 分 考试时间：120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，则AB =（ ）A.{(1,1)}B.{(2,4)}-C.{(1,1),(2,4)}-D.∅2. 已知(,)a bi a b +∈R 是11ii -+的共轭复数，则a b +=（ ） A.1- B.12- C.12D.13. 3.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( )A.3B.2C.2-D.3-4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A ．13B ．16C ．31D ．645. 已知,,2⎪⎭⎫⎝⎛-∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan =（ ） .A 32- .B 35 .C 552- .D 25- 6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( )A ．16B ．80C ．120D ． 1507. 已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则（ ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>8. 对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ) A. (e+ ，十∞) B.(e+,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC == B ．C ．D ．10. 已知函数f(x)=sin(3x+φ)(22ππφ-<<)的图象关于直线4x π=对称,则( )A. 函数()12f x π+为偶函数B. 函数f(x)在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増 C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为3πD. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−sin3x 的图象 11. 下列说法中正确的是（ ）.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则542sin =x 12. 关于函数f(x)=+ sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.f(x)在(0, +∞)上是增函数B.f(x)存在唯一极小值点C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()⎩⎨⎧<≥+=.0,3,0,122x x x x x f 若f (x 0)＝27，则实数x 0的值为 .14. 若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是 .15. 已知三边c b a 、、为△ABC 的三个内角C B A 、、的对边，向量()1,3m →=-，向量()A A n sin ,cos =→，若→→⊥n m ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角=B .16. 设,n n S T 分别为等差数列，的前项和，且211n n S n T n -=+.设点是直线外一点，点是直线上一点，且178a a AP AB ACb λ+=+，则实数的值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l ，河岸l 边有一烟囱不计B 离河岸的距离，河的另一侧是以O 为圆心，半径为12米的扇形区域OCD ，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为经测量，扇形区{}n a {}n b n A BC P BC λ域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为 ，，和．求烟囱AB 的高度；如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．18. 设{a n }是等差数列，(n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 5＝a 3＋a 5，b 7＝a 4＋2a 6. (1)求S n 与a n ；(2)若n n c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅． （1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边,若24C M π+∈，求a b的取值范围.20. 已知函数32()22a f x x x bx =-++. （1）若函数()f x 在点（1，f(1)）处的切线方程为3210x y -+=，求,a b 的值； （2）当02,0a b ≤≤=时，记函数()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N,求M -N 的最大值.21. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21112n n n S S a ++=+，其中*N n ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 11212n a n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)n c n n =++，*123()n n S c c c c n N =⋅⋅∈，记数列1n n n b b nS +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：38n T ≥.22. 已知()ln f x x =，213()22g x ax x =-+，()()()h x f x g x =+.（1）当2a =-时，求()h x 的单调区间；（2）若()h x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：12121()()(2)()2h x h x a x x -<--.海南中学2021届高三第四次月考试题数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，则AB =（C ）A.{(1,1)}B.{(2,4)}-C.{(1,1),(2,4)}-D.∅2.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii -+的共轭复数，则a b +=（ D ） A.1- B.12- C.12D.13.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ=( A )A.3B.2C.2-D.3-4、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下6个环所需的最少移动次数为（ C ）A ．13B ．16C ．31D ．645、已知,,2⎪⎭⎫⎝⎛-∈ππα且05sin 82cos 3=++αα，则αtan = （ C ） .A 32- .B 35 .C 552- .D 25- 6、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,90,a a S ==设21log 3n n b a =，那么数列{}n b 的前15项和为( C )A ．16B ．80C ．120D ． 1507、已知3223ln 2ln 3,log ,23a b c ===，则 （ A ） .A b c a >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>8.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k 倍值函数.若f(x)=e x+3x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( D )A. (e+ ，十∞)B.(e+,十∞)C.(e+2, +∞)D.(e+3, +∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（BC ） A ．MA MB MC == B ．C ．D ．10.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( CD ) A. 函数f(x+)为偶函数B. 函数f(x)在[,]上单调递増C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−sin 3x 的图象 11、下列说法中正确的是：（ CD ）.A 若数列{}n a 前n 项和n S 满足12+=n S n ，则12-=n a n.B 在等差数列{}n a 中，满足1016S S =，则其前n 项和n S 中13S 最大.C 在等差数列{}n a 中，满足35=a ，则数列{}n a 的前9项和为定值 .D 若2tan =x ，则542sin =x 12. 关于函数f(x)=+ sinx, x ∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( ABC )A.f(x)在(0, +∞)上是增函数B.f(x)存在唯一极小值点C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。