不等式的证明—分析法
分析法证明不等式
分析法证明不等式不等式是数学中重要的概念，对于分析法证明不等式的方法，可以通过利用数学推理和严密的论证来证明不等式的成立。
下面将结合具体的例子，来阐述分析法证明不等式的步骤和方法。
首先，我们来讨论一个常见的不等式：对于任意的正实数a、b和c，有以下不等式成立：(a+b+c)^3 ≥ 27abc我们可以通过以下步骤来进行分析法证明：步骤1：观察不等式的成立条件和结论。
不等式要求给定的实数a、b和c都是正实数，并且它的结论是(a+b+c)^3 ≥ 27abc。
步骤2：对不等式的结论进行合理的假设。
在这个例子中，我们可以假设a、b和c都是正实数，并且它们的和是常数k。
这样，我们可以记a = k-x, b = k-y和c = k-z，其中x、y和z是正实数。
步骤3：代入假设的条件，将不等式转化为关于x、y和z的表达式。
根据假设，我们可以将(a+b+c)^3 ≥ 27abc转化为(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z)。
步骤4：化简不等式表达式。
通过展开和化简，我们可以得到(k-x+k-y+k-z)^3 ≥ 27(k-x)(k-y)(k-z) ≈ (3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz)。
步骤5：利用数学推理进行证明。
对于右侧的表达式，我们可以使用陶大数不等式来进一步化简。
陶大数不等式指出，对于任意的非负实数x和y，有(x+y)^3 ≥ 4(x^3+y^3)。
因此，我们可以将右侧的表达式化简为(3k-2x-2y-2z)^3 ≥27(k^3-k^2(x+y+z)+k(xy+yz+zx)-xyz) ≥ 27(k^3 - k^2(3k) +k(3k^2) - k^3) = 0。
步骤6：得出结论。
根据化简后的表达式，我们可以得出(3k-2x-2y-2z)^3 ≥ 0的结论。
因此，根据假设的条件和数学推理，我们证明了(a+b+c)^3 ≥27abc对于任意的正实数a、b和c成立。
不等式证明——分析法
不等式证明——分析法不等式证明是数学中常见的问题，解决不等式证明的一种方法是使用分析法。
分析法是通过观察、推理和逻辑推导来证明不等式的方法，它可以帮助我们理解不等式的性质和特点，从而解决不等式问题。
下面将以1200字以上的篇幅来详细介绍分析法在不等式证明中的应用。
不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数之间的大小关系。
不等式证明是解决不等式问题的一种方法，它需要我们通过一系列推理和推导来证明不等式的正确性。
分析法是不等式证明中常见的方法之一，它通过观察和推理来解决不等式问题。
在使用分析法证明不等式时，我们首先需要观察不等式的性质和特点。
通过观察，我们可以发现不等式中的规律和模式，从而帮助我们理解不等式的性质。
例如，对于一个简单的不等式a+b>c，我们可以观察到，当a和b的和大于c时，不等式成立。
当a和b的和小于c时，不等式不成立。
通过观察，我们可以得出结论：不等式成立的条件是a+b>c。
除了观察之外，推理也是使用分析法解决不等式问题的重要方法。
推理是通过使用已知的条件和定理来进行逻辑推导，从而得出结论的过程。
在不等式证明中，我们可以使用数学原理和性质来进行推理。
例如，如果我们知道a>b，b>c，那么我们可以推导出a>c。
通过推理，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。
在不等式证明中，逻辑推导也是使用分析法的重要方法。
逻辑推导是通过使用逻辑规则和推理规则来进行推导，从而得出结论的过程。
在不等式证明中，我们可以使用逻辑规则和推理规则来进行推导。
例如，根据逻辑规则“如果p成立，则q也成立”，我们可以得出结论：如果a>b，那么a+c>b+c。
通过逻辑推导，我们可以将不等式问题转化为更简单的形式，从而更容易进行证明。
在使用分析法证明不等式时，我们还需要注意一些常见的技巧和策略。
例如，我们可以通过增减项、乘除项、换元法等技巧来改变不等式的形式，从而更容易进行证明。
不等式证明分析法
不等式证明分析法不等式在数学中占有重要地位，是求解问题和证明问题中常用的方法之一、不等式证明分析法可以帮助我们更深入地理解和掌握不等式的性质和特点。
下面将通过实例来介绍不等式证明分析法。
首先，我们来看一个简单的不等式：对于任意正实数a和b，证明(a+b)^2 >= 4ab。
1.分析要证明的不等式的性质：这个不等式可以看作是两个数的平方和大于等于两倍的乘积。
根据算术均值-几何均值不等式，平方和大于等于两倍的乘积。
因此，不等式是成立的。
2. 设计证明的思路：在这个例子中，我们可以选择直接利用平方的性质来进行证明。
我们可以展开(a+b)^2并进行简化化简，然后再和4ab进行比较。
3. 具体步骤：首先，将(a+b)^2展开得到(a+b)(a+b)，进一步展开得到a^2 + 2ab + b^2然后，与4ab进行比较，我们可以发现a^2 + 2ab + b^2大于等于4ab。
4.总结：通过上述步骤，我们证明了原不等式成立。
接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例子：对于任意正实数a，证明(a+1/a)^2+a^2>=2(a+1/a)。
1.分析要证明的不等式的性质：这个不等式看起来是一个平方和不等式，我们需要展开并简化它。
我们还可以观察到，两边都含有项(a+1/a)，因此我们可以尝试将其提取出来进行比较。
2.设计证明的思路：在这个例子中，我们可以选择利用展开和简化的性质来进行证明。
我们先将左边展开并化简，再将右边展开并化简。
然后比较两边是否成立。
3.具体步骤：首先，将左边(a+1/a)^2+a^2展开，得到a^2+1/a^2+2、然后，将右边2(a+1/a)展开，得到2a+2/a。
我们发现，左边的结果为a^2+1/a^2+2，右边的结果为2a+2/a。
我们可以发现，左边的结果大于等于右边的结果。
4.总结：通过上述步骤，我们证明了原不等式成立。
通过以上两个例子，我们可以看到不等式证明分析法的基本步骤和思路。
不等式的证明分析法与综合法习题
2.3不等式的证明（2）――分析法与综合法习题知能目标锁定1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤，能够用分析法证明一些复杂的不等式；2.了解综合法的意义，熟悉综合法证明不等式的步骤与方法；*重点难点透视1.综合法与分析法证明不等式是重点，分析法是证明不等式的难点方法指导1.分析法⑴分析法是证明不等式的一种常用方法•它的证明思路是：从未知，看需知，逐步靠已知•即”执果索因”⑵分析法证明的逻辑关系是：结论B二B^ B2 .二•.二B n匸A （A已确认）. ⑶用分析法证题一定要注意书写格式，并保证步步可逆•⑷用分析法探求方向，逐步剥离外壳，直至内核•有时分析法与综合法联合使用• 当不等式两边有多个根式或多个分式时，常用分析法•2.综合法⑴综合法的特点是：由因导果.其逻辑关系是：已知条件B!B2 =二' B n = B （结论），后一步是前一步的必要条件⑵在用综合法证题时要注意两点：常用分析法去寻找证题思路，找出从何处入手, 将不等式变形，使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式1.若a>2,b>2,则ab与a+b的大小关系是ab（）a+bA.=B. <C.>D.不能确定2.设b -a .0 ,则下列不等式中正确的是（）a a 1ab b 1A. ig —0B. 、b - a 、b —aC. ------ :: --D.—::: ----b 1a 2 a a a 1111 3.若 a,b,c . R ■,且 a+b+c=1,那么—•— •—有最小值（） a b cA.6B.9C.4D.3 4.设a = ..2,b =、.. 7 _\3,c = ..6 2,那么 a,b,c A.a b e B.a c bC.b a c 5. 若x>y>1,则下列4个选项中最小的是().循序厚积6. 已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式1 x 围是 7.已知a,b 为正数,且a+b=1则.a , b 2的最大值为8.若 a,b,c - R',且 a+b+c=1,则^ ..b c 的最大值是9.若 xy+yz+zx=1,则 x 2 ■ y 2 ■ z 2 与 1 的关系是 10.若 a . b . 0, m = ... a _ b, n 二.a _ b ,则 m 与 n 的大小关系是11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数，求证:(a b+cd)(ac+bd)>abcd 12设x>0,y>0,求证： 亠丄13.已知 a,b 三 R 1 且 a+b=1,求证：（a ■ ^）2 - （b -丄）2 _ 竺. a b 2 14.设a,b,c 是不全相等的正数,a 亠b b 亠c a 亠c求证：lglglg lg a 亠 lg b 亠 lg c . 2 2 2 的大小关系是()B.2xy x 亠y C. .. xy D. 1 1 1 -（ ） 2 x y-m 恒成立的实数m 的取值范15.如果直角三角形的周长为2,则它的最大面积是多少？友情提示易错点：乱用均值不等式；误用分析法，把”逆求”作为”逆推”以证” p = q为例, 这时的推理过程就是：q = q! = q2 =…=q^- p .证明的结果是证明了逆命题”=p”.而正确的推证过程是：q ：二q, = q2：二-「二q. •二P .易忽视点：均值不等式中能否取道”=”的条件分析易被忽视导致出错.解题规律：用定理,抓步骤，重格式.。
不等式证明-分析法
确定目标
明确不等式证明的目标，即需要证明 的不等式是什么。
分析不等式的结构，理解其特点，为 后续推导提供方向。
寻找关键点
寻找不等式中的关键信息，如变量、符号、数值等。
确定关键点之间的逻辑关系，为后续推导提供依据。
逐步推导
根据关键点之间的逻辑关系，逐步推导不等式的成立条件。 在推导过程中，注意保持逻辑严密，避免出现跳跃或遗漏。
结合其他方法
研究和发展新的证明技巧，简化证明过程， 提高证明效率。
应用领域拓展
将分析法应用于更广泛的领域，如数学、物 理、工程等，发挥其强大的逻辑推理能力。
感谢您的观看
THANKS
03
实例
证明 $a^2 + b^2 geq 2ab$。通过平 方差公式，将 $a^2 + b^2 - 2ab$ 转 化为 $(a - b)^2$，由于平方数非负， 得出 $a^2 + b^2 geq 2ab$。
几何不等式证明
01
几何不等式的定义
几何不等式涉及到几何图形的大小关系，通常与长度、面积、体积等几
分析法的重要性
解决问题
不等式证明-分析法是解决不等式 问题的重要手段之一，能够处理 各种复杂的不等式证明问题。
数学基础
该方法有助于巩固和加深对不等 式性质和特点的理解，提高数学 推理和问题解决能力。
应用领域
不等式证明-分析法不仅在数学领 域有广泛应用，还涉及到物理学、 工程学、经济学等多个学科。
分析法的历史与发展
不等式证明-分析法
目录
• 不等式证明-分析法简介 • 不等式的性质与定理 • 分析法的基本步骤 • 分析法的应用实例 • 分析法的优缺点与改进方向
一个不等式的七种证明方法
一个不等式的七种证明方法证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立.(2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二:(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd .故命题得证. 分析三:用比较法证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0,∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |,可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法证法五:不妨设⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==ββααsin cos ,sin cos 2211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量).则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+⋅+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法证法六:(1)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)=0时,原不等式显然成立.(2)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)≠0时,欲证原不等式成立, 只需证| 2222dc b a bd ac +⋅++|≤1.即证|22222222dc d ba b dc c ba a +⋅+++⋅+|≤1,注意到(22b a a +)2+(22b a b+)2=1与(22d c c +)2+(22d c d +)2=1和cos 2x +sin 2x =1的结构特征很类同,不妨设22ba a+=cos α, 22dc c +=cos β,则22ba b +=sin α,22dc d +=sin β,故|22222222dc b a bddc ba ac+⋅++++|=|cos αcos β+sin αsin β| =|cos （α-β）|≤1 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析七:用构造函数法(判别式法)证法七:待证不等式的结构特征与一元二次方程的判别式Δ =b 2-4ac ≤0的结构特征很类似,由此不妨构造函数, f (x )=(a 2+b 2)x 2+2(ac +bd )x +(c 2+d 2)=(a 2x 2+2acx +c 2)+(b 2x 2+2bdx +d 2) =(ax +c )2+(bx +d )2显然不论x 取任何实数,函数f (x )的值均为非负数,因此,(1)当a 2+b 2≠0时,方程f (x )=0的判别式Δ≤0, 即［2(ac +bd )］2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2)≤0, 即(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)故ac +bd ≤|ac +bd |≤))((2222d c b a ++(2)当a 2+b 2=0时,原不等式显然成立. 分析八:用构造复数法证法八:待证不等式的结构特征与复数的模相似设复数Z 1=a+bi,Z 2=c+di 则有|z 12又。
不等式的证明：综合法与分析法讲义
不等式的证明：综合法与分析法一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。
由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。
而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。
前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。
打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。
特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+ab b a例2、已知d c b a ,,,都是正数。
求证： （1）;2cd ab d c b a +≥+++ （2）.44abcd d c b a ≥+++ （3）33a b c abc ++≥例3、证明：ca bc ab c b a ++≥++222。
证法一 因为 ab b a 222≥+ （2）bc c b 222≥+ （3）ca a c 222≥+ （4）所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++ （5）两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以（1）成立。
例4、已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？探究：如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc . 例5、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.ba mb m a >++ （1） 证法一 要证（1），只需证)()(m b a m a b +>+ （2）要证（2），只需证am bm > （3）要证（3），只需证a b > （4）已知（4）成立，所以（1）成立。
不等式证明方法
(1 a2 )(1 b2 )(1 ab)
a2
b2 (1
2ab ab 3 a3b 2a2b2 a2 )(1 b2 )(1 ab )
(a b)2 ab(a b)2 (1 a2 )(1 b2 )(1 ab )
(1
(a b)2 (1 ab ) a2 )(1 b2 )(1 ab )
不等式的证明
【 例 1】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)
证明一：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）
=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)( a2-b2) =( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0. ∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,
a2 b 2a
同理 b2 a 2b
b
a
a2
b2
b a 2a 2b
b
a
即
a2 b2 ab
ba
a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn,
则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn ≥a1b2+a2b3+…+ an-1bn+anb1 ≥a1bn+a2bn-1+…+ an-1b2+anb1.
所以当x=2时, f(x)取到最大值3,
不等式的证明—分析法
•证明： 要证明原不等式成立，
•
只需证明：
∵x＞ 0 ， y＞0
∴ 可证 即证
因
成立，
故 原不等式成立。
小• 结: 证明不等式时，可从求证的不等式出发，分析、
探索使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转 化为判断这些充分条件是否具备的问题。如果能肯定 这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立。 这种证明的方法叫分析法。
4
证明
5
证明
都 注意：1。每一步变形 是等价变形，或
者说是“可逆的”；2。证明格 Nhomakorabea是：要证……，（因为…）
只要证……，即证……，可证……
因为……成立，所以原不等式成立。
㈢巩固练习：
㈣小结： ⑴分析法是“执果索因”步步寻求上一步的充分条件，
它与综合法是对立统一的两种方法。 ⑵分析法是首先假设所要证明的不等式成立，逐步推出 一个已知成立的不等式，只要这个推出过程每一步都是 可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立。 ⑶对于较复杂的不等式，通常是用分析法探索证题途径 然后用综合法加以证明。
分析法证不等式
学习目标 1掌握分析法证题格式. 2 理解分析法的实质 3 会用分析法证明一些简单的不等式
例1：已知C＞1，求证：
证明：∵C＞1
∴C+1＞0 C-1＞0
∵-1＜0 ∴
即证-1＜0 （成立）
例2： 证明：若ac+bd≤0,
原不等式即证
不等式显然成立
（成立）
例3: 设x ＞0, y ＞0, 求证：
问题 • 求证：
＜
证明: 要证
＜
故只要证
＜
即
＜ 20
亦即 21＜ 25
不等式的证明方法之三(分析法与反证法)
∴ f (1) − 2 f (2) + f (3) = 2
∴ f (1) + 2 f (2) + f (3) ≥ f (1) − 2 f (2) + f (3) = 2 (2)
（1），（2）两式显然互相矛盾，故假设不成立， 所以，原命题正确。
例3、已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a
例4 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指 横截面，下面）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面 是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的 L 大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为 2π ， L L 2 截面积为 π ( ) ； 截面积为 周长为L的正方形边长为 4 ， 2π L 2 L 2 L 2 ( ) 。所以只需证明 π ( ) > ( ) 4 2π 4 证明：设截面的周长为L，依题意,截面是圆的水管的截面面积 L 2 L 2 为 π ( 2π ) ， 截面是正方形的水管的截面面积为( 4 ) 。 L 2 L 2 只需证明 π ( 2π ) > ( 4 ) 为了证明上式成立,只需证明 1 1 πL2 L2 > 即证 π > 4 也就是证 4 > π 而其是成立的 4π 2 16L L 2 2 所以 π ( 2π ) > ( 4 )
展开得 即
9 + 2 14 < 9 + 2 18 2 14 < 2 18 14 < 18 14 < 18
证法二： ∵14 < 18
∴ 14 < 18 2 14 < 2 18 9 + 2 14 < 9 + 2 18
不等式证明几种方法
同理： ,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a+b+c> 0，ab+bc+ca> 0，abc> 0，求证：a,b,c> 0
证：设a< 0,∵abc> 0,∴bc< 0
又由a+b+c> 0,则b+c=a> 0
∴ab+bc+ca=a(b+c) +bc< 0与题设矛盾
8．若x,y> 0，且x+y>2，则 和 中至少有一个小于2
一、裂项放缩
例1.(1)求 的值; (2)求证: .
解析:(1)因为 ,所以
(2)因为 ,所以
奇巧积累
:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 பைடு நூலகம்则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需证明 。
证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。
为了证明上式成立，只需证明 。
例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证： （1）
证法一要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
数学：不等式证明四法比较法综合法分析法反证法与放缩法
不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。
比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。
作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。
证明不等式的几种方法
不等式证明题的命题形式多样，证明不等式的方法也很多，如综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等.本文主要介绍一下综合法、分析法、反证法的应用技巧.一、综合法用综合法证明不等式，需先根据题目中的已知信息，以及已知的事实、结论、性质、定理等，一步步推导，直到推导出需要证明的式子为止.因而综合法就是由“因”到“果”的推导过程.每一步的推导过程一定要符合数学逻辑.在证明不等式时，可以从左往右推导，也可以从右往左推导.例1.若a,b,c是不完全相等的正数，求证：ln a+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.证明：由于a,b,c都是正数，所以a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0，又因为a,b,c是不完全相等的正数，如果这三个不等式都成立，就取不到等号，因此a+b2·b+c2·c+a2>ab·bc·ca=abc，在上式的两边取对数得：ln(a+b2·b+c2·c+a2)>ln(abc)，即：lna+b2+ln b+c2+ln c+a2>ln a+ln b+ln c.解答本题主要运用基本不等式a+b2≥ab；然后根据不等式的可乘性，通过取对数，将不等式左边的式子进行化简.在推导不等式的过程中，经常需要用到这几个不等式：a2+b2≥2ab,a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号).二、分析法用分析法解题的思路和综合法相反，用分析法证明不等式，需要从要证明的不等式出发，然后分析这个不等式成立的充分条件是什么，一步一步递推，证明不等式成立的充分条件符合题中给出的信息，或者符合已知的数学结论.一般来说，分析法常用于证明较复杂的不等式问题.若由不等式一边的式子很难推导出另一边的式子，就可以采用分析法进行证明，通过分析、推理，一步步简化不等式，最终得到一个比较简便的等价不等式.例2.设a>b>0,求证：(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.证明：要证：(a-b)28a a+b2ab(a-b)28b，即证：(a+b)28a<(a-b)22<(a-b)28b，由于a>b>0，所以a≠b，即证：(a+b)24a<1<(a+b)24b，<1<1<，根据a>b>0，可知该不等式成立，于是得证：(a+b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b.这个不等式较为复杂，我们很难从不等式左边的式子推导出右边的式子，同样也很难反向推导出结论，但是可以用分析法，将不等式一步步简化，先将中间项合并，再将其化为1，然后通过恒等变换，化简即可.三、反证法反证法是解答证明题的一个重要手段.一般地，当题目中出现“至少”“不存在”“至多”等字眼时，都可以考虑使用反证法进行证明.用反证法证明不等式，要首先假设命题不成立；然后结合题中已知的信息和已有的数学知识，得到存在矛盾的结论，那就说明假设的命题不成立，这样就可以证明不等式成立.例3.已知a>0,b>0，且a+b>2,求证：1+b a,1+a b中至少有一个小于2.证明：假设1+b a,1+a b都大于2，因为a>0,b>0，则1+b≥2a,1+a≥2b，将这两个式子相加得：2+a+b≥2a+2b，化简得：a+b≤2,与题目中的a+b>2相矛盾，因此，1+b a,1+a b中至少有一个小于2.由题目中出现了“至少”的字眼，所以考虑使用反证法进行证明.在提出假设命题时，要注意命题的反面情况，如“1+b a、1+a b至少有一个小于2”的反面情况是“1+b a、1+a b都大于2”.熟练掌握综合法、分析法、反证法的适用情形、特点，以及解题的步骤，对解题有很大的帮助.同学们在日常学习中，要学会积累解题技巧和规律，以提升解题的效率.（作者单位：江西省龙南中学）赖明辉备考指南59。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
(整理版)分析法不等式证明的基本方法
分析法--不等式证明的根本方法有关不等式的证明题是学习的重点和难点所在，往往以知识的纵横联系为依托，考查学生对不等式证明方法的掌握程度，是许多学生难以逾越的沟壑，不少学生常常望题兴叹或无功而返．为了解决此问题，在这向大家介绍分析法，这是不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释．例１ 002a b c a b >>>+，，，求证：c a c < 分析：观察待证式子是连锁不等式，不易用比拟法，又待证式子等价于a c -a c -，也不具备使用根本不等式的特点，而用分析法比拟适宜．证明：要证c a c <只需证a c -只需证a c -<即证22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-．0a >∵，只需证2a c b -<-，即证2a b c +<，这为．故原不等式成立．点评：分析法的步骤是未知→需知→，在操作中“要证〞，“只需证〞，“即证〞这些词语是不可缺少的．例2 关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个实根24a b αβ<+，，，且2b <．证明：22αβ<<，．证明：要证22αβ<<，， 只需证2244αβ<<，，只需证22(4)(4)0αβ-->，且4αβ<，只需证224()(4)αβαβ+<+，且4αβ<，只需证224(4)a b <+，且4b <，只需证24a b >+，且4b <，即证24a b <+，且4b <．最后一式为条件，故原不等式成立．点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近条件或必然结论．例3 函数π()tan 02f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，假设12π02x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且12x x ≠．证明：12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法根本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决．证明：要证12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 只需证12121(tan tan )tan 22x x x x ++>， 只需证12121212sin sin sin()12cos cos 1cos()x x x x x x x x ⎛⎫++> ⎪++⎝⎭〔“化切为弦〞〕， 只需证12121212sin()sin()2cos cos 1cos()x x x x x x x x ++>++， 只需证1212121212sin()sin()cos()cos()1cos()x x x x x x x x x x ++>++-++， 只需证明120cos()1x x <-<，那么以上最后一个不等式成立，在题设条件下易得此结论． 点评：分析法是思考问题的一种根本方法，容易找到解决问题的突破口．。
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.1 综合法课堂导学三点剖析一，利用综合法证明不等式【例1】 (1）若a>0,b 〉0,求证:ab b a 22+≥a+b.思路分析:主要利用不等式2ba +≥ab 和a 2+b 2≥2ab。
证明:由a 2+b 2≥2ab，∴2（a 2+b 2）≥a 2+b 2+2ab,即2（a 2+b 2)≥(a+b)2。
∴ab b a 22+≥b a b a b a b a ++≥++222)()(2=a+b.（2)设a ，b ，c 都是正数,求证:2222222≥+++++a c c b b a (a+b+c ）.思路分析：主要利用不等式2)(2222y x y x +≥+。
证明：由不等式a 2+b 2≥2)(22222b a ab b a +=++. ∴22b a +≥2ba +. 同理，2,22222ac a c cb c b +≥++≥+2)222(2222222=+++++=+++++∴ca cb ba a c cb b a （a+b+c ）各个击破类题演练1已知a,b,c∈（0,+∞)，且a ，b ，c 成等比数列，求证:a 2+b 2+c 2≥(a—b+c)2。
证明:左边-右边=2（ab+bc-ac)。
∵a，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac.又∵a,b,c∈（0,+∞)，∴0〈b=ac ≤2ca +〈a+c 。
∴a+c—b 〉0。
∴2（ab+bc —ac ）=2（ab+bc —b 2）=2b(a+c —b ）〉0,∴a 2+b 2+c 2>（a —b+c ）2.变式提升1若a,b,c 是正数,能确定b a c c a b c b a +++++222与2c b a ++的大小吗? 解析:∵cb a +24+（b+c ）≥4a, ac b +24+（c+a)≥4b, ba c +24+（a+b)≥4c , ∴c b a +24+a c b +24+ba c +24≥2（a+b+c ）, 即b a c a c b c b a +++++222≥2c b a ++. 二、用综合法证明条件不等式【例2】 已知a,b ，c 〉0，且abc=1，求证：c b a ++≤a 1+b 1+c 1。
不等式的证明
A B1 B2 Bn B
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用 已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
例1、求证 3 7 2 5.
证明：因为 3 7和2 5都是正数 ,
所以为了证明 3 7 2 5，
一、分析法： 从求证的不等式出发，分析使这个
不等式成立的充分条件，把证明不等式 转化为判定这些充分条件是否具备的问 题。如果能够肯定这些充分条件都已具 备，那么就可以断定原不等式成立，这 种证明方法叫做分析法。
思维过程：结论
条件
二 、 用分析法证明“若A则B”这个命题的格式是：
要证命题B为真，
只需证命题B1为真， 只需证命题B2为真， ……
只需证命题Bn为真， 只需证命题A为真，
而已知命题A为真，
故命题B为真。 用简要的形式写为：
B
B1
B2
……
Bn
A
结论 （寻求不等式成立的充分条件） 条件
只需证明( 3 7 )2 (2 5)2 ,
展开得10 2 21 20,
即2 21 10,
21 25,
因为21<25成立，所以 ( 3 7 )2 (2 5)2 成立.
即证明了 3 7 2 5.
；cosplay：/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；
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⑴分析法是“执果索因”步步寻求上一步的充分条件， 它与综合法是对立统一的两种方法。
⑵分析法是首先假设所要证明的不等式成立，逐步推出 一个已知成立的不等式，只要这个推出过程每一步都是 可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立。
⑶对于较复杂的不等式，通常是用分析法探索证题途径 然后用综合法加以证明。
4 已知a,b都是正数, x, y R,且 a b 1,求证ax2 by2 (ax by)2
种证明方法通常叫做 分析法
分析法证不等式
学习目标 1掌握分析法证题格式. 2 理解分析法的实质 3 会用分析法证明一些简单的不等式
例1：已知C＞1，求证：c 1 c 1 2 c
证明：∵C＞1
∴C+1＞0 C-1＞0
原不等式即证 C 1
2
2
C 1 2 C
即证C 1 2 C 2 1 C 14C
•
只需证明：
x y xy
4 x y
∵x＞ 0 ， y＞0
∴ 可证
x y
2
4xy
即证 x2 y2 2xy 因 x2 y2 2xy 成立，
故 原不等式成立。
小• 结: 证明不等式时，可从求证的不等式出发，分析、
探索使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转 化为判断这些充分条件是否具备的问题。如果能肯定 这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立。 这种证明的方法叫分析法。
都 注意：1。每一步变形 是等价变形，或
者说是“可逆的”；
2。证明格式是：要证……，（因为…）
只要证……，即证……，可证……
因为……成立，所以原不等式成立。
㈢巩固练习：
1求证 6 7 2 2 5
2求证ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
3求证 1
㈣小结：
a2 a2
1 1 1
证明
原不等式等价于 a a 3 a 2 a 1. 只须证( a a 3)2 ( a 2 a 1)2.
即 a(a 3) (a 2)(a 1)
需要证a(a 3) (a 2)(a 1)
只须证a2 3a a2 3a 2
即0 2， 0 2 成立, 所以原不等式成立.
2021
证明 a b 1,所以原不等式等价于
(a b)(ax2 by2 ) (ax by)2
即要证a2 x2 b2 y2 abx2 aby2
a2 x2 b2 y2 2abxy
a,b R , 只须证x2 y2 2xy,这显然成立 .
ax2 by2 (ax by)2
5 已知a 3,求证 a a 1 a 2 a 3.
即证 C 2 1C 即证-1＜0 （成立） ∵-1＜0
∴ c 1 c 12 c
例2：求证ac bd a2 b2 c2 d 2
证明：若ac+bd≤0, a2 b2 c2 d 2 0不等式显然成立
若ac bd0 a2 b2 c2 d 2 0
原不等式即证 ac bd 2 a 2 b2 c2 d 2
即证a2c2 b2d 2 2abcd a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
即证2abcd a2d 2 b2c2 即证ad bc2 0（成立）
ac bd a2 b2 c2 d 2 成立
例3: 设x ＞0, y ＞0, 求证：
1 x
1 y
4 x
y
•证明： 要证明原不等式成立，
问题 • 求证： 3 7 ＜ 2 5 证明: 要证 3 7 ＜ 2 5
故只要证
3 7 2 ＜ 2 5 2
即 10 2 21 ＜ 20
亦即 21＜ 25
21 ＜ 5
∵21＜25
所以 3 7 等式出发，分析 使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为 判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这 些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这