不等式的证明—分析法

问题 • 求证： 3 7 ＜ 2 5 证明: 要证 3 7 ＜ 2 5
故只要证
3 7 2 ＜ 2 5 2
即 10 2 21 ＜ 20
亦即 21＜ 25
21 ＜ 5
∵21＜25
所以 3 7 ＜ 2 5 成立
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析 使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为 判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这 些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这
⑴分析法是“执果索因”步步寻求上一步的充分条件， 它与综合法是对立统一的两种方法。
⑵分析法是首先假设所要证明的不等式成立，逐步推出 一个已知成立的不等式，只要这个推出过程每一步都是 可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立。
⑶对于较复杂的不等式，通常是用分析法探索证题途径 然后用综合法加以证明。
4 已知a,b都是正数, x, y R,且 a b 1,求证ax2 by2 (ax by)2
即证 C 2 1C 即证-1＜0 （成立） ∵-1＜0
∴ c 1 c 12 c
例2：求证ac bd a2 b2 c2 d 2
证明：若ac+bd≤0, a2 b2 c2 d 2 0不等式显然成立
若ac bd0 a2 b2 c2 d 2 0
原不等式即证 ac bd 2 a 2 b2 c2 d 2
即证a2c2 b2d 2 2abcd a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
即证2abcd a2d 2 b2c2 即证ad bc2 0（成立）
ac bd a2 b2 c2 d 2 成立
例3: 设x ＞0, y ＞0, 求证：
1 x
1 y
4 x
y
•证明： 要证明原不等式成立，
证明
原不等式等价于 a a 3 a 2 a 1. 只须证( a a 3)2 ( a 2 a 1)2.
即 a(a 3) (a 2)(a 1)
需要证a(a 3) (a 2)(a 1)
只须证a2 3a a2 3a 2
即0 2， 0 2 成立, 所以原不等式成立.
2021
种证明方法通常叫做 分析法
分析法证不等式
学习目标 1掌握分析法证题格式. 2 理解分析法的实质 3 会用分析法证明一些简单的不等式
例1：已知C＞1，求证：c 1 c 1 2 c
证明：∵C＞1
∴C+1＞0 C-1＞0
原不等式即证 C 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
C 1 2 C
即证C 1 2 C 2 1 C 14C
都 注意：1。每一步变形 是等价变形，或
者说是“可逆的”；
2。证明格式是：要证……，（因为…）
只要证……，即证……，可证……
因为……成立，所以原不等式成立。
㈢巩固练习：
1求证 6 7 2 2 5
2求证ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
3求证 1
㈣小结：
a2 a2
1 1 1
证明 a b 1,所以原不等式等价于
(a b)(ax2 by2 ) (ax by)2
即要证a2 x2 b2 y2 abx2 aby2
a2 x2 b2 y2 2abxy
a,b R , 只须证x2 y2 2xy,这显然成立 .
ax2 by2 (ax by)2
5 已知a 3,求证 a a 1 a 2 a 3.
•
只需证明：
x y xy
4 x y
∵x＞ 0 ， y＞0
∴ 可证
x y
2
4xy
即证 x2 y2 2xy 因 x2 y2 2xy 成立，
故 原不等式成立。
小• 结: 证明不等式时，可从求证的不等式出发，分析、
探索使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转 化为判断这些充分条件是否具备的问题。如果能肯定 这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立。 这种证明的方法叫分析法。