群论分子点群的思维导图

1 从客观上分析对称因素和对称操作

2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来

2.1 恒等操作对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为

2.3 平面反映共有3种反映操作,即d h v σσσ,,

2.4 象转操作系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,

即:j

n h h j n i n C C S σσ==

2.5 反演使各分量都改变符号,即

2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：

3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。

3.1 群的定义与性质 3.2 计算群的阶 3.3 分析子群

3.4 分析是否是交换群

3.5 分析是否是有限群还是无限群 3.6 分析其他

4 列出群的乘法表，分析共轭类

4.1 列出表

4.2 分析共轭元素和共轭类

5 以此类推，总结出所有的分子的对称性

5.1 点群分类下面的分类采用Schonflies 符号. 5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类 5.3 分子点群的判别 6 群的表示

6.1 群表示的定义

6.2 可约表示和不可约表示 6.3 特征标和不可约表示的性质 7 对称性分子轨道

1 从客观上分析对称因素和对称操作

恒等元及恒等操作 分别用E 、 E ^

表示。

Equation

旋转轴和旋转操作 分别用C n 、 C ^

n 表示。 Circle 对称面与反映操作 分别用σ、σ^

表示。 ? 对称中心及反演操作

分别用i 及i ^表示。

inversion

旋映轴和旋转反映操作

可用S n 及S ^

n 表示。

spin

2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来

2.1 恒等操作对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x I z y x 010010001''' 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为

)/360()

1,2,1(n k k n k C k n οΛ⋅-=对应旋转角度

存在关系:I C C C C C C n

n j

i n i n j n j n i n ===+,

满足可交换性与循环(周期)性

将z 轴选定为旋转轴, 向量的z 分量不受影响.考虑(x,y)变化

绕主轴旋转操作示意图 向量(x,y)的极角α 向量(x’,y’)的极角

ϕϕϕαϕϕϕαα

αcos sin )sin(sin cos )cos(sin cos ''y x r y y x r x r y r x +=+=-=+===

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 10

00cos sin 0sin cos )('''ϕϕϕ

ϕϕ

对于氨分子，n=3，旋转角为120°

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡---=⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=10002/12

/302/32

/1~)240(10002/12/302/32/1~)120(32331

3οοC C C C

2.3 平面反映 共有3种反映操作,即d h v σσσ,,

当主轴为z 轴时, σv 不改变向量的z 分量.设反映面的极角为θ,对于二维向量作用后各相关

的极角如图所示.

变换关系:

)2cos()2sin()2sin()2sin()2cos()2cos('

'θθαθθθαθy x r y y x r x -=-=+=-=

相应的矩阵表示:

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x v 10

002cos 2sin 02sin 2cos '''θθθ

θσ 应用于氨分子,设σv 与yz 平面重合,则极角θa =π/2,的极角分别30°为和

150°,相应的矩阵表示依次为:

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10002/12/302/32/1,10002/12/302/32/1,100010001 垂直于主轴σh 的反映面操作,使z 改变符号,,而x,y 分量不变

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x h 100010001'''σ 对于σd 的反映面操作,因其也包含主轴,矩阵表示的一般形式同于,而具体形式取决于它的极角.

2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,

即:j n h h j n i

n

C C S σσ== 相应的矩阵表示为:

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⋅-⋅=⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x n j n j n j n j z y x S z y x j n 1000)/2cos()/2sin(0)/2sin()/2cos('''ππππ 2.5 反演使各分量都改变符号,即

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x i z y x 100010001''' 22S C i h ==σ