群论分子点群的思维导图

1 从客观上分析对称因素和对称操作2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为2.3 平面反映共有3种反映操作,即d h v σσσ,,2.4 象转操作系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,即:jn h h j n i n C C S σσ==2.5 反演使各分量都改变符号,即2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。

3.1 群的定义与性质 3.2 计算群的阶 3.3 分析子群3.4 分析是否是交换群3.5 分析是否是有限群还是无限群 3.6 分析其他4 列出群的乘法表，分析共轭类4.1 列出表4.2 分析共轭元素和共轭类5 以此类推，总结出所有的分子的对称性5.1 点群分类下面的分类采用Schonflies 符号. 5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类 5.3 分子点群的判别 6 群的表示6.1 群表示的定义6.2 可约表示和不可约表示 6.3 特征标和不可约表示的性质 7 对称性分子轨道1 从客观上分析对称因素和对称操作恒等元及恒等操作 分别用E 、 E ^表示。

Equation旋转轴和旋转操作 分别用C n 、 C ^n 表示。

Circle 对称面与反映操作 分别用σ、σ^表示。

? 对称中心及反演操作分别用i 及i ^表示。

inversion旋映轴和旋转反映操作可用S n 及S ^n 表示。

spin2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来2.1 恒等操作对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x I z y x 010010001''' 2.2 旋转操作 n 旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为)/360()1,2,1(n k k n k C k n οΛ⋅-=对应旋转角度存在关系:I C C C C C C nn ji n i n j n j n i n ===+,满足可交换性与循环(周期)性将z 轴选定为旋转轴, 向量的z 分量不受影响.考虑(x,y)变化绕主轴旋转操作示意图 向量(x,y)的极角α 向量(x’,y’)的极角ϕϕϕαϕϕϕαααcos sin )sin(sin cos )cos(sin cos ''y x r y y x r x r y r x +=+=-=+===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 1000cos sin 0sin cos )('''ϕϕϕϕϕ对于氨分子，n=3，旋转角为120°⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=10002/12/302/32/1~)240(10002/12/302/32/1~)120(323313οοC C C C2.3 平面反映 共有3种反映操作,即d h v σσσ,,当主轴为z 轴时, σv 不改变向量的z 分量.设反映面的极角为θ,对于二维向量作用后各相关的极角如图所示.变换关系:)2cos()2sin()2sin()2sin()2cos()2cos(''θθαθθθαθy x r y y x r x -=-=+=-=相应的矩阵表示:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x v 10002cos 2sin 02sin 2cos '''θθθθσ 应用于氨分子,设σv 与yz 平面重合,则极角θa =π/2,的极角分别30°为和150°,相应的矩阵表示依次为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10002/12/302/32/1,10002/12/302/32/1,100010001 垂直于主轴σh 的反映面操作,使z 改变符号,,而x,y 分量不变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x h 100010001'''σ 对于σd 的反映面操作,因其也包含主轴,矩阵表示的一般形式同于,而具体形式取决于它的极角.2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh 组合而成,即:j n h h j n inC C S σσ== 相应的矩阵表示为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⋅-⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x n j n j n j n j z y x S z y x j n 1000)/2cos()/2sin(0)/2sin()/2cos('''ππππ 2.5 反演使各分量都改变符号,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x i z y x 100010001''' 22S C i h ==σ2.6 C2’其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 10002cos 2sin 02sin 2cos '2'''θθθθ 该操作也可看成极角为θ的σv 映面操作与对称操作σh 的乘积：C2’= σh σv （θ）除了上面的6类对称操作外，还有其它一些操作，如旋转轴不为主轴的C3旋转操作，不包含主轴的σ映面操作等。

相应的表示矩阵要复杂些，但都可以表示成几个简单操作的乘积。

3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。

3.1 群的定义与性质由有限个或无限个元素组成的一个集合G ，若满足下列4个性质（封闭、结合、含幺、可逆），则称G 为群。

3.2 计算群的阶NH3分子，属C3v 群，由六个元素构成},,,,,{:23133c b a V C C I C σσσ（后面再补充为何是c3v 群）3.3 分析子群包含一个3阶子群：},,{2313C C I3个2阶子群：},{},,{},,{c b a I I I σσσ3.4 分析是否是交换群3.5 分析是否是有限群还是无限群3.6 分析其他恒等元素I 总是单独地构成一个1阶子群； 群的阶数总能被其子群的阶数整除； 群G 本身也可以认为是G 的子群。

4 列出群的乘法表，分析共轭类4.1 列出表群元素的乘积可排列成一个方格表，称为群的乘法表.每一行都是另一行的重排，每一列也是如此，此即重排定理. 乘法表一例：G 6 E A B C D F E E A B C D F A A E D F B C B B F E D C A C C D F E A B D D C A B F E F F B C A E D4.2 分析共轭元素和共轭类3 共轭类[共轭元素] 若存在群元素R(R ≠I)使群元素A 与B 满足关系: R-1AR=B 或 A=RBR-1则称Ｂ是Ａ借助于Ｘ所得到的相似变换，Ａ与Ｂ共轭.并称A 与B 属于同一共轭类,简称共轭元素.[共轭类] 在一个群中,相互共轭的元素的一个完整集合称为一个共轭类,或简称类.ab ac b c c a b a a a a a C C C C C C σσσσσσσσσσσσσσ=====-----123231131232313)(,,因此, C3v 群中的6个元素可划分成三类:[划分方法] 对于群中一个元素A , 做R-1AR,当遍及群中所有元素时,即可得出与A 同为一类的所有元素.I CCcba233,,,σσσ例如,根据NH3的C3v群之乘法表,可以得到。

5 以此类推，总结出所有的分子的对称性对于分子而言,它的各个对称操作构成一个群,由于这些对称操作至少保持分子的一点不动,因此称为点群.5.1 点群分类下面的分类采用Schonflies符号.含有多高次轴的对称元素组合所得的对称元素系与正多面体的对称性相对应.群有T群,O群及I群等.5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类(1) 单轴群包括Cn、Cnh、Cnv(共同特点是旋转轴只有一条）(2) 双面群包括Dn、Dnh、Dnd(共同特点是旋转轴除了主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴.)(3) 立方群包括Td、Th、Oh、Ih(共同特点是有多条高次(大于二次)旋转轴相交)(4) 非真旋轴群 包括C s 、Ci 、S 4等.(共同特点是只有虚轴(不计包含在Sn 中的Cn/2. 此外, i= S2 , σ = S1).对于分子而言,它的各个对称操作构成一个群,由于这些对称操作至少保持分子的一点不动,因此称为点群5.3 分子点群的判别线形分子:h v ,∞∞D C 有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…)...,, ,h h h d I O T T 只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子:s 1,,C C C i 只有S2n (n 为正整数）分子:,...,,864S S SCn 轴(但不是S 2n 的简单结果) 无C 2副轴:v h ,,n n n C C C有n 条C 2副轴垂直于主轴:d h ,,n n n D D D6 群的表示6.1 群表示的定义对称操作作用于一个向量，衍生了相应的矩阵表示。

若这种作用遍及点群的每一元素，其结果是每一对称操作对应一矩阵，当这些矩阵满足群的条件时，称它们为群的表示，而被作用的向量称为该表示的基。

例如前面以向量(x,y,z)为基, C3v 的全部对称操作所对应的矩阵构成一个三维表示,满足点群C3v 的乘法表.c baC C Iσσσ2313⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100021232321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1000021232321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000021232321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1000021232321每一个群均存在一个一维恒等表示，基是标量函数f(r),有时也可以是含主轴变量的函数. 如C3v:A(z)=(z),A=c b a C C I σσσ,,,,,2313以绕主轴的右手螺旋函数Rz 为基,实操作使Rz 不变,虚操作使Rz 改变符号,即cb a z z z z R R A C C I A R R A σσσ,,,)()(,,,)()(2313-===右手螺旋Rz的变换性质量恒等表示的各类元素(相当于一个一维矩阵)恒等于1;而以Rz为基的一维表示,一半为+1,另一半为-1.一个群的表示依赖于坐标的选择. 群论中把产生一个表示的坐标或函数集合称为群的表示的基. 空间坐标、坐标的函数及其集合都可以作为群的表示的基，在量子化学中常以原子或分子的电子波函数作群的表示的基。