2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
2015年全国 数学联赛江苏赛区 初赛参考答案和评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是 ．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 和平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }和B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素A BCDE（第6题图） A B 1C 1D 1（第6题图）A CDE OA B 1C 1D 1之积的值是 ．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 ．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55． 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n)1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．（第9题图） 12 2015（第9题图） e c d ab1 2 2015x综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线和△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆． 证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ， 所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都和直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴和直线l 的角平分线上．若直线l 的斜率k ＝tanα， 设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分A BCDP(第12题图)E A BC DP (第12题图)EFxOyO 1l(第13题图) O 2P所以 k ＝2t 1－t2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分 14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个错误!未指定书签。
2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案(高一)
2015 全国高中数学联赛河南初赛试题及答案 ( 高一 )2015 年全国高中数学联赛河南省高一初赛试题（5 月 10 日 8:30 至 11:00）一．填空题（本大题共8 小题，每题 8 分，共64 分）1．若会合A a a 5x 4, x N*，B b b7 y 6, y N*，将A I B中的元素从小到大摆列，则排在第20 个的那个元素是．2．已知实数x，y知足：(x 3)32015( x 3) (2 y 3)32015(2 y 3) 0，则 x24 y24 xmin．3．设线段BC， AB， CD BC，且 CD 与平面成 30角，且 AB BC CD 2cm，则线段AD的长度为．4．若直线l与直线x 3y 10 0，2x y 8 0分别交于点M，N ，若 MN 的中点为P(0,1)，则直线 l 的方程是．5．设 k ， m ， n 都是整数，过圆 x2y2(3k1)2 外一点P( m 3 m,n 3 n)向该圆引两条切线，切点分别为A，B ，AB上知足横坐标与纵坐标均为整数的点个．6．若函数 f (x) (1 x 2)( x2ax b)的图象对于直线x 2对称，则 a b．7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上边一题正误判分）（必修 3）履行如下图的算法，则输出的结果是．则直线 有（必修4）已知函数 f (x)sin xπ上是减函x在区间 (0, )2数，若 0x ≤ 1 ， a (sin x 2 ，bsin x ，csin x2x)xx 2，则 a， b，c的大小关系是．8．假如实数 a ， b 使得 x 2x 1 是 ax 220151bx 2201511 的因式，则 a 的个位数字为．二（此题知足 16 分）求 x 23y 22的整数解．三（此题知足 20 分）如下图，已知 AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上且知足 AC BC ，在线段 BC 上取一点 D ，使 BD AC ，在 AD上取一点 E 使BED 45 ，延伸BE 交 CA 于 F ，求证：CD AF ．四（此题知足 20 分）对于随意的△ ABC，若其三边长为 a ，b， c ，则 a x，b x，c x依旧能够组成某三角形的三边长，务实数 x的取值范围．五（此题知足 20 分）已知全集 U 1,2,L , n ，会合A知足：(i) A U ；(ii)若x A，则 kx A；(iii)若x e U A，kx e U A（此中 k ，n N*， k ≥ 2 ），用 f k (n) 表示知足条件的会合A的个数．（1）求f2(4)，f2(5)；（2）记会合A中全部元素的和记为会合A的“和”，当 n pk q （p， q N ， 0 ≤ q ≤ k 1 ）时，求全部会合A的“和”的和（结果用含 p ， q ， k 的代数式表示）．。
2015年高中数学竞赛试题精选及答案
已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM△O B M ，则四面体1O ADM 的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线 已知x 为锐角，则22cos sin33=+x x 是4π=x 的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。
①A 既不在修指甲，也不在看书；②B 既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲；④D 既不在看书，也不在修指甲；⑤C 既不在看书，也不在听音乐。
若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD 分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发 已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角，则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(，若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ，那么)4()0(f f +的值为（28 ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且31cos =A 。
（1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值。
（-1/9； 9/4） 若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ 90 ）圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 Word版含答案
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．设集合403x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，从集合A 中随机抽取一个元素x ，记2x ξ=，则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。
【答案】 5【解答】{}4321012A =----，，，，，，，随机变量ξ的取值为0，1，4，9，16。
易得，ξ的概率分布列为∴ 014916577777E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。
2．已知()()f x x g x =+，其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。
【答案】 9【解答】依题意，有(2)(2)(2)()2()2f x x g x x g x f x +=+++=++=+。
∵ ()f x 在区间[)24，上的最大值为1，∴ ()f x 在区间[)46，上的最大值为3，在区间[)68，上的最大值为5，在区间[)810，上的最大值为7，在区间[)1012，上的最大值为9。
3．1F 、2F 为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率e 的取值范围为 。
【答案】1⎫⎪⎪⎣⎭【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有1290F AF ∠≥︒。
∴ 245F AO ∠≥︒，1c b ≥。
222c a c ≥-，2212c a ≥，12e ≤<。
4．已知实数x ，y ，z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。
【答案】 12-【解答】由柯西不等式，知22222222(23)(1)1(23)144x y z x x y z ⎡⎤++=⋅≤++⋅++=⎣⎦。
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015数学高中联赛试题及答案
2015数学高中联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -1B. -15C. 7D. 15答案：B2. 若\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
A. 1B. 4C. 9D. 16答案：C3. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，点P(1,2)在圆上，求过点P的切线方程。
A. \( y = x + 1 \)B. \( y = -x + 3 \)C. \( x + y - 3 = 0 \)D. \( x - y + 1 = 0 \)答案：C4. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \sin2\alpha \)的值。
A. 1B. \( \sqrt{2} \)C. -1D. -\( \sqrt{2} \)答案：A5. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 37B. 38C. 39D. 40答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( \log_{2}8 + \log_{4}16 = x \)，求\( x \)的值。
答案：38. 已知\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} \)的和为S，求S的值。
答案：小于5但大于4.59. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)且\( x + y = 12 \)，求\( x \)和\( y \)的值。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
标为
3 (
,
3 )
．由对称性知，
S
8S CPG
13 84
24 ．
22
22
7．设 为正实数，若存在实数 a,b( a b 2 ) ，使得 sin a sin b 2 ，则 的取
值范围为
．
答案： w
95 [,)
13 [,
．) 解 ： s in a s in b 2 知 ， s in a s in b 1 ， 而
文档大全
实用标准文案
8．对四位数 abcd ( 1 a 9,0 b， c, d 9 ) ，若 a b, b c, c d, 则称 abcd 为 P 类数；
若 a b, b c, c d ，则称 abcd 为 Q 类数，用 N(P) 和 N(Q)分别表示 P 类数与 Q 类数的个
数，则 N(P)-N(Q) 的值为
不同的实根矛盾） ． 10 分
点 F2 （ l , 0 ）到直线 l: y
|k m| d
1 k2
1 |2k
1 k2
kx m 的距离为
1
1
|
(2
2k
1
21 k
1 2k
2
)
．
文档大全
实用标准文案
注意到 | k |
2
d 1 (t t2
2 ，令 t
2 3 ) 1 (t 22
1
2
1 ，则 t
k
3) ． t
(1, 3) ，上式可改写为
9．（本题满分 16 分）若实数 a ,b,c 满足 2a 4b 2c ,4a 2b 4c ，求 c 的最小值． 解：将 2a, 2b ,2c 分别记为 x, y, z，则 x, y, z 0 ．
2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷及答案
2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷一 试一、填空题（每题8分，满分64分） 1、随机抛掷3颗大小、质地相同的正方体骰子，在3颗骰子所示数字中最小值是3的概率是 。
2、关于x 的方程04222=-+-a a ax x 有模为3的虚数根，则实数a 的值是 。
3、已知正项数列{}n a 的首项为1，且对一切正整数n 都有121)1()(+++=-n n n n a n a na a ，则数列的通项公式n a = 。
4、设以)0,1(),0,1(21F F -为焦点的椭圆的离心率为e ，以1F 为顶点，2F 为焦点的抛物线与椭圆 的一个交点为P 。
若e PF PF =21，则e 的值为 。
5、设实数b a ,满足8,0≤≤b a ，且2216a b +=，则a b -的最大值与最小值之和是 。
6、函数()R x x x x f ∈+=2sin cos 2)(的值域是 。
7、正四棱锥P —ABCD 外接于一个半径为1的球面，若球心到四棱锥各个面的距离相等，则此四棱 锥的底面面积为 。
8、已知△ABC 的外心为O ，内心为I ，∠B=45°.若O I ∥BC ，则C cos 的值是 。
二、解答题（本题16分）设等比数列k a a a ,,,21 和k b b b ,,,21 ，记k n b a c n n n ,,2,1, =-=。
⑴写出一组321,,a a a 和321,,b b b ，使得321,,c c c 是公差不为0的等差数列； ⑵当4≥k 时，求证：{}n c 不可能为公差不为0的等差数列。
三、解答题（本题满分20分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆11827:22=+y x C 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点。
试问在x 轴上是否存在定点P ，使得当直线l 绕点F 旋转时，都有PB PA ⋅为定值。
四、解答题（本题满分20分）设多项式c bx ax x x f +++=23)(，其中c b a ,,是实数。
2015年全国高中数学联赛吉林赛区预赛
2015年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨2015年吉林省高中数学联赛试题及参考答案一、选择题1．已知[)121(), (,1)4()log ,1,xx f x x x ⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ ，则[](1)f f -=（ ）A ．2B ．2-C ．41 D ．12-2．“实数d c b a ,,,依次成等差数列”是“a d b c +=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象可能是（ ）4．已知向量,a b 的夹角为60︒，且1a =，213a b -=，则b =（）32C. 2 5．已知()||f x x x =，若对任意的1x ≥有()()0f x m mf x ++<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞- 6．函数x x x f 34)(3-=在)2,(+a a 上存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,25(--B ．]1,25(--C ．)21,25(--D ．]21,25(-- 二、填空题7．四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形，SD ABCD ⊥平面，且SD AB =，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为 __ __. 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =．则数列{}n a 的通项公式为__ __ ___．9．已知函数()sin()sin()(0)24f x x x ππωωω=++>的最小正周期为π，则()x f 在区间上的值域为 __ ___．10． 如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知3==DE AE ，F 为线段DE 上的一点，二面角F BC E --与二面角D BC F --的大小相等，则DF 的长为__ ___．11．从0,1,2,,9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5224，则这样的四位数共有___________个． 12．非空集合280(,)10 220ax y A x y x y x ay ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭，当(,)x y A ∈时，目标函数z y x =-既存在最大值，又存在最小值，则实数a 的取值范围是__ ___．三、解答题13．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）求ABC △的周长的最大值；（Ⅱ）若2sin 2sin(2)sin A B C C ++=，求ABC △的面积．14．已知椭圆22:14x G y +=，直线l 交椭圆G 于,A B 两点，且||2AB =，判断直线l 与圆221x y +=的位置关系，并给出证明.15．已知不等式1ln (1)0x a x --≥对任意的1x ≥均成立，求实数a 的取值范围．16．已知{1,2,,2014}A ⊆，设实数123123,,,,,x x x λλλ满足：（1）、123,,{1,0,1}λλλ∈-且不全为0；（2）、123,,x x x A ∈； （3）、若i j x x =，则1i j λλ≠-（1,i j ≤≤3）．如果所有形如123x x x 和112233x x x λλλ++的数均不是2014的倍数，则称A 为“好集”． 求“好集”A 所含元素个数的最大值．参考答案一、选择题1． B 2． A 3． D 4． D 5． B提示：显然0m <，且())mf x x -=，又()||f x x x =为增函数且为奇函数，故()()0()()())f x m mf x f x m mf x f x m f x m ++<⇔+<-⇔+<⇔+< 6． B提示：考虑到x x x f 34)(3-=的唯一极大值点为12x =-，且1()1(1)2f f -==，故1212a a <-<+≤，解得512a -<≤-.二、填空题 7． 12π 8． 14()3n n a -=9．10．12 11． 3888提示：分三类：不含0的有312293423024C C C A ⨯⨯⨯=个；含0且0只用一次的有219233648C C ⨯⨯⨯=个；含0且0用两次的有22923216C A ⨯⨯=个，于是共有3024648216++=个．12． [2,)+∞提示：当2a >时，区域为三角形，显然满足；当2a =时，目标函数z y x =-分别在边界10x y --=和2280x y -+=上取得最小值和最大值． 三、解答题13．（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，于是22()()43434a b a b ab ++=+≤+⨯，得4a b +≤，所以ABC △的周长的最大值为6，当ABC △为等边三角形时取到． （Ⅱ）由2sin 2sin(2)sin A B C C ++= 得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =3b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==14．当直线l 的斜率不存在时，由||2AB =知点,A B 的坐标分别为(0,1)，(0,1)-，即直线l 的方程为0x =，此时直线l 与圆221x y +=相交。
2015全国高中数学联赛
点 F1 的直线 l 与椭圆交于两个不同的点 A、B，焦点 F2 到直线 l 的距离为 d ．如果直线
AF1、l、BF1 的斜率依次成等差数列，求 d 的取值范围.
加试 1.设 a1 , a2 , , an ( n 2) 为实数. 证明：可以选取 1 , 2 , , n 1,1，使得
1 i n
2
n 明：存在 x Ai ，使得 x 属于 A1 , A2 , , An 中的至少 个集合. k i 1
n
A
上一点， 3.如图，△ ABC 内接于 ⊙ O ，P 为弧 BC 点K 在线段 AP 上， 使得 BK 平分 ABC. 过 K、 P、 C 三点 的圆 Γ 与边 AC 交于点 D，联结 BD ，与圆 Γ 交于点 E ， 联 结 PE 并 延 长 ， 与 边 AB 交 于 点 F . 证 明 ： ABC 2FCB. 4.求所有具有下述性质的正整数 k ：对任意正整数 n ，都有 2
n n n ai i ai (n 1) ai2 . i 1 i 1 i 1
2.设 S A1 , A2 , , An ( n 2) ，其中， A1 , A2 , , An 为 n 个互不相同的有限集合，满足对任 意 Ai A j S ，均有 Ai A j S . 若 k min Ai 2 ( X 表示有限集合 X 的元素个数.)，证
.
3.已知复数数列 z n 满足 z1 1， z n 1 z n 1 n i( n 1,2, ) ，其中 i 为虚数单位， z n 表 示 z n 的共轭复数，则 z 2015 的值为 .
4.在矩形 ABCD 中， AB 2 ， AD 1，边 DC 上的动点 P 与 CB 延长线上的动点 Q 满足
2015年全国高中数学联赛(四川)答案
2
2
又因为
g (0)
=
a
+1，
g(π
)
=
a
−
−π
e2
，
g ( 3π
)
=
a
+
− 3π
e2
，
g (2π
)
=
a
+
e−2π
．
2
2
一方面，显然 g(0) > g(3π ) > g(2π ) > g(π ) ．
2
2
………10 分
① 若 g(π ) ≥ 0 ，则 f '(x) > 0 ，故 f (x) 在 (0, 2π ) 内单调递增，从而 f (x) 在 (0, 2π ) 内 2
所以，数列{an} 的通项公式为 an = 3n−1 − 2n ．
………20 分
参考答案及评分标准 （第 1 页 共 4 页）
Hale Waihona Puke 14、已知函数 f (x) = sin4 x ，
（1）记 g(x) = f (x) + f (π − x) ，求 g(x) 在[π , 3π ] 上的最大值与最小值；
2
68
=
1
．………10
分
68
84
42
（2）注意到 f ( π ) + f ( 2π ) + f ( 3π ) +" + f (88π ) + f (89π )
180 180 180
180 180
= g( π ) + g( 2π ) +" + g( 44π ) + sin4 ( 45π )
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
K1 、 K2 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积 S ．
由于直线 CD 的方程为 x 3y 6 ，直线 GH 的方程为 3x y 6 ，故它们的交点 P 的
坐标为
3 2
,
3 2
．由对称性知，
S
8SCPG
8
1 4 2
3 2
解：由条件知，点 F1 、 F2 的坐标分别为 (1, 0) 和 (1, 0) ．
设直线 l 的方程为 y kx m ，点 A 、 B 的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) ，则 x1, x2 满 足方程 x2 (kx m)2 1，即
2
(2k 2 1)x2 4kmx (2m2 2) 0 ．
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案
2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是A ．56B ．23C ．12D ．132．若α是第四象限角，且2cos2sin212cos2sinαααα-=-，则2α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角3. 已知点O A B 、、不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且22+OP OA BA =，则A ．点P 不在直线AB 上 B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 在线段AB 的反向延长线上4．设+∈R n m ,，若直线04)1()1(=-+++y n x m 与圆4)2()2(22=-+-y x 相切，则m n +的取值范围是A .]31,0(+B .),31[+∞+C . ),222[+∞+D .]222,0(+5. 已知正方体C 1的棱长为C 1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 2，以C 2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 3，则凸多面体C 3的棱长为A ．18B ．29C ．9D ．266. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(3)()f x f x +=-,且在区间]23,0[上是增函数,若方程m x f =)()0(<m 在区间[]6,6-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=A ．6-B ． 6C ．8-D ．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知1ln ,0()1,0x xf x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则不等式()1f x >-的解集为 ▲ .8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ▲ 人.9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ▲ . 10．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交； （2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β；（3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直； （4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．其中真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 11．若动点00(,)M x y 在直线20x y --=上运动，且满足2200(2)(2)x y -++≤8，则2200x y +的取值范围是▲ ．12．设函数()1121++⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f x，0A 为坐标原点，n A 为函数()x f y =图象上横坐标为n （n ∈N *）的点，向量∑=-=nk k k n A A a 11，向量)0,1(=i ，设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，满足15tan 3n k k θ=<∑的最大整数n 是▲ ．答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）已知函数2()2sincos 222x x xf x =-+ （1）求函数()f x 的单调减区间；（2）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到? （3）已知2π,63πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6()5f α=，求()6f πα-的值．菱形ABCD 中，)2,1(A ，)0,6(=AB ，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P . （1）若向量)7,3(=AD ，求点C 的坐标； （2）当点D 运动时，求点P 的轨迹.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE. （1）判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由； （2）求点D 到平面ACE 的距离. ABCDEF如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y 所满足的所有条件；（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？已知),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=.（1）当0≠a 时，若函数)(x f 的图象与直线x y ±=均无公共点，求证：;4142>-b ac （2）43,4==c b 时，对于给定的负数8-≤a ，记使不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值为)(a M .问a 为何值时，)(a M 最大，并求出这个最大的)(a M ，证明你的结论.2014年高中数学竞赛决赛参考答案11.24一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．),0()1,(e --∞ 8． 78 9．1210． （3）（4） 11． [2，8] 12． 3三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）解：（1）2()sin 2sin )2x f x x =-sin x x =π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． …………………2分令πππππk x k 223322+≤+≤+，Z k ∈． 得ππππk x k 26726+≤≤+，Z k ∈．()f x ∴的单调减区间为]267,26[ππππk k ++，Z k ∈． …………………5分 （2）先把函数)(sin R x x y ∈=的图象向左平移3π个单位，就得到函数))(3sin(R x x y ∈+=π的图象；再把其纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，就得到π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)(R x ∈的图象．…………7分（3）由56)(=αf 得：π62sin(),35α+=即π3sin(),35α+= …………………8分 因为2π,63πα⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以π()(,)32παπ+∈.从而π4cos()35α+===- …………………10分 于是()2sin[()]2[sin()cos cos()sin ]6363636f πππππππαααα-=+-=+-+ 5433]21542353[2+=⨯+⨯=. …………………12分14.（本小题满分12分）解：（1）菱形ABCD 中，)7,9()0,6()7,3(=+=+=AB AD AC ，且)2,1(A ，所以)9,10(C .…4分 （2）设),(y x P ，则)2,7()0,6()2,1(--=---=-=y x y x AB AP BP . …………………5分又因为点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，即点P 是ABC ∆的重心，从而有MP MC 3=,所以11133()3222AC AM MC AB MP AB AP AB AP AB =+=+=+-=- 3(1,2)(6,0)(39,36)x y x y =---=-- …………………7分菱形ABCD 的对角线互相垂直，所以AC BP ⊥， 即 0)63,93()2,7(=--⋅--y x y x ， 亦即0)63)(2()93()7(=--+-⋅-y y x x ，整理得：4)2()5(22=-+-y x （2≠y ）， …………………11分 故P 点的轨迹是以)2,5(为圆心，2为半径的圆，除去与2=y 的交点. …………………12分15．（本题满分13分）解：（1）平面ADE 与平面BCE 垂直. …………………1分证明如下：因为BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE. …………………3分 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，且ABCD 是正方形，BC ⊥AB ，CD平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，所以BC ⊥平面ABE ，从而BC ⊥AE. …………………6分 于是AE ⊥平面BCE ，故平面ADE ⊥平面BCE. ………………7分 （2）连结BD 交AC 与点M ，则点M 是BD 的中点，所以点D 与点B 到平面ACE 的距离相等. …………………8分 因为BF ⊥平面ACE ，所以BF 为点B 到平面ACE 的距离. …9分 因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE.又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形. …………………10分 因为AB ＝2，所以BE＝2sin 45︒=. …………………11分在Rt △CBE 中，CE = 3BC BE BF CE ⨯=== 故点D 到平面ACE 的距离是332. …………………13分16．（本题满分13分）解：（1）据题意，x 、y 所满足的所有条件是()20.25001000.8(2) 1.40.2700100020 1.4x x y x y -⎧≤⎪⎪-+-⎪≤⎨⎪≤≤⎪⎪≤≤⎩， …………………4分即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+4.1021854y x y x . …………………5分 （2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z 元，则目标函数z ＝1200x ＋1000y ＝200(6x ＋5y ).…………7分 作可行域，如图. ……………10分 平移直线l ：6x ＋5y=0，当直线经过点A (1，0.8)时，z 取最大值，此时A BCDEFMGz ＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. ……………12分故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元. …………………13分17．（本题满分14分）解：(1)由),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=与直线x y ±=均无公共点（0≠a ），可知x c bx ax ±=++422无解， ………………1分 由04)12(2=+++c x b ax 无解，得：016)12(2<-+=∆ac b ， 整理得：b b ac +>-4142 (1) ………………3分 由04)12(2=+-+c x b ax 无解，得：016)12(2<--=∆ac b ，整理得：b b ac ->-4142 (2) ………………5分 由(1),(2)得: 4142>-b ac . ………………6分(2) 由43,4==c b ，所以38)(2++=x ax x f ………………7分因为a a f 163)4(-=-, 由8-≤a 得，5163)4(≤-=-aa f ………………9分所以()5f x ≤恒成立，故不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值也就是不等式()5f x ≥-成立的x 的最大值，…………10分 因此)(a M 为方程5382-=++x ax 的较大根，即aaa M 2424)(---=（8-≤a ） ………………11分当8-≤a 时，()M a ==a 的增函数， ………………13分 所以，当8a =-时，)(a M 取得最大值，其最大值为251)(+=a M . ………………14分 18．（本题满分14分）解：（1）由条件可得3n n x =，45n y n =+，根据题意知，23n n c =． …………………1分由k c 为数列{}n y 中的第m 项，则有2345km =+， …………………2分因910m *+∈N ,所以1k c +是数列{}n y 中的第910m +项． …………………5分（2）设在区间[1,2]上存在实数b 使得数列{}n x 和{}n y 有公共项， 即存在正整数s ，t 使(1)sa a tb =++，∴1+-=a b a t s ， 因自然数2a ≥,s ，t 为正整数，∴sa b -能被1a +整除． …………………6分 ①当1s =时，1s a b t a -=<+1a a *∉+N ． ②当2s n = (n *∈N )时，若1b =， 2222111[1()()()]111()s n nn a b a a a a a a a a ----==-=-+-+-++-++-- 2422(1)[1]n a a a a -*=-+++∈N ， 即s a b -能被1a +整除， …………………8分此时数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为2n n z a =(n *∈N )；若2b =， 显然，222111111s n n a b a a a a a a *---==-∉++++N ，即s a b -不能被1a +整除． ………………9分 ③当21s n =+(n *∈N )时, 2()11n sb a a a b a t a a --==++， …………………10分 若2a >，则2n b a a *-∉N ，又a 与1a +互质，故此时2()1n b a a a t a *-=∉+N ． ………………11分 若2a =，要2n b a a *-∈N ，则要2b =，此时221n n b a a a-=-， …………………12分 由②知，21n a -能被1a +整除， 故2()1n b a a a t a *-=∈+N ，即s a b -能被1a +整除． 当且仅当2b a ==时，b a S-能被1a +整除． …………………13分此时数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为212n n z +=(n *∈N ). 综上所述，存在{1,2}b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，且当1b =时,数列2n n z a =(n *∈N )；当2b a ==时,数列212n n z +=(n *∈N ). ……………14分18．（本题满分14分）已知数列{}n x 和{}n y 的通项公式分别为n n x a =和()1,n y a n b n N +=++∈.（1）当3,5a b ==时，记2n n c x =，若k c 是{}n y 中的第m 项(,)k m N +∈，试问：1k c +是数列{}n y 中的第几项？请说明理由．（2）对给定自然数2a ≥，试问是否存在{}1,2b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项？若存在，求出b 的值及相应的公共项组成的数列{}n z ，若不存在，请说明理由．。
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
A1B 42 52 2 4 5
CA2 A1B 2 BC 2 9 31 3 ，进一步有 cos A cos CA1B 1 ， 32 2 2CA1 A1B 16
2
5 7 1 15 7 9 3 9 ，所以 S chc ． 因此 c AA1 A1B 2 4 6 ， hc 4 1 4 16 2 2 4 16 7. 已知过两抛物线 C1 : x 1 ( y 1) 2 ， C2 : ( y 1) 2 4 x a 1 的交点的各自的切线互相垂直，则实数 a 的 值为 ． a a a a 解： 联立曲线 C1 , C2 的方程， 求得交点坐标为 ( , 1 1 ) ， 由对称性， 不妨只考虑交点 A ( , 1 1 ) 5 5 5 5
102假设还满足则又因为乘以减去乘将其乘以减去乘以acbc是无理数所以因为由于代入这与是无理数矛盾因此不是任何整数系数二次方程axbx2015年全国高中数学联赛模拟试题04加试参考答案一本小题满分40分如图在锐角abac分别是边abac的中点ade的外接圆与的外接圆交于点异于点bce的外接圆与bcdapaqpkpk是一切大于3的素数
2015年全国高中数学联赛江苏赛区
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是 ．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．（第6题图） A 1解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 ．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 ．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n)1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k ＝tanα， 设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分 所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分所以 k ＝2t 1－t2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分 14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k －1)2条，两端点染蓝色的有(11－k )(10－k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11－k )条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1＋x 3＝3×k (k －1)2， ①3x 2＋x 4＝3×(11－k )(10－k )2， ②2x 3＋2x 4＝3×k (11－k )， ③由①＋②得 3(x 1＋x 2)＋x 3＋x 4＝32[k (k －1)＋(11－k )(10－k )]，用③代入得 x 1＋x 2＝12[ k (k －1)＋(11－k )(10－k )－k (11－k )]＝12(3k 2－33k ＋110)．当k ＝5或6时，(x 1＋x 2)min ＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分。
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2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为
2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα
+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为
4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为
5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为
7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是
8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值.
10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得
{}311424,2,,,1,328i j a a i j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭
，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2
212
x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.
2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
一、（本题满分40分）设12,,
,(2)n a a a n ≥是实数，证明：可以选取{}12,,,1,1n εεε∈-，使得222111(1)n n n i i i i i i i a a n a ε===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑. 二、（本题满分40分）设{}12,,,n S A A A =，其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合
（2n ≥），满足对任意的,i j A A S ∈，均有i
j A A S ∈，若1min 2i i n k A ≤≤=≥.证明：存在1n
i i x A =∈，使得x 属于12,,,n A A A 中的至少n k 个集合（这里X 表示有限集合X 的元素个数）. 三、（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F .证明：2ABC FCB ∠=∠.（解题时请将图画在答卷纸上）
四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：
对任意正整数n ，(1)12k n -+不整除()!!kn n .
P。