运筹学 整数规划建模共36页
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运筹学-整数规划建模
• 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这 些项目的每年投资额，使到第 5 年末拥有的资 金本利总额为最大? 8
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表 示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额；
变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x1B x2B x3B x4B x5B C x2C D x3D
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj
yj
xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 B ：每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 C：第2年初可以投资，到第5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
B2 顾客 B3 仓库固定 运营费 仓库 A1 仓库 A2
顾客需求量 6 6 150 4 5 150 6 5 200 10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
费用:
fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费 约束条件： i)每个顾客的需要量dj必须得到满足； ii)只能从动用的仓库运出货物。
第j项工作)．于是得到一个0--1整数规划问题：
整数规划建模
例．某企业在 A1 地已有工厂，其产品的生产能 力为30 万箱。为扩大生产，拟在 A2，A3，A4， A5地中再选择若干地建厂。已知在 A2 ， A3， A4，A5地建厂的固定成本分别为17.5、30、 37.5、50万元，另外， A1产量及A2，A3，A4， A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到 销地的单位运价(每万箱运费)如右下表所示。 问应该在哪些地方建厂，在满足销量的前提下， 使得其总的固定成 销地 本和总的运输费用 B B B 产量(千吨) 产地 之和最小? A 8 4 3 30
运筹学课件第五章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
数学建模 -整数规划
z1 3
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
运筹学06整数规划
0 约束 i起作用 yi = i = 1,2 1 约束 i不起作用
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x2 ≤ 3 + y2 M y1 + y2 = 1
第11页 页
4、价格系数分段定价 、
K j + c j x j , 若x j > 0 C j(xj ) = 若x j = 0 0
工作分配问题数学模型
min s .t . z =
∑∑a
i=1 j=1
m
m
ij
x ij ( i = 1 , 2 , ... , m ) ( j = 1 , 2 , ... , m )
∑ ∑
m
m
j=1
x ij = 1 x ij = 1
i=1
x ij = 0 ,1
B b
−1
b < x < b
r r r
第27页 页
分支的方法： 分支的方法：
min c Τ x Ax = b s.t. x ≥ 0, x为整数
min c Τ x Ax = b s .t . x r ≥ b r x ≥ 0 , x 为整数
min c Τ x Ax = b s.t . x r ≤ br x ≥ 0, x为整数
第30页 页
定界的方法（剪枝） 定界的方法（剪枝） 当前得到的最好整数解的目标函数值 分支后计算放松的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有最好 解 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分支 其中无最优解 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删除该 分支其中无最优解
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x2 ≤ 3 + y2 M y1 + y2 = 1
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4、价格系数分段定价 、
K j + c j x j , 若x j > 0 C j(xj ) = 若x j = 0 0
工作分配问题数学模型
min s .t . z =
∑∑a
i=1 j=1
m
m
ij
x ij ( i = 1 , 2 , ... , m ) ( j = 1 , 2 , ... , m )
∑ ∑
m
m
j=1
x ij = 1 x ij = 1
i=1
x ij = 0 ,1
B b
−1
b < x < b
r r r
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分支的方法： 分支的方法：
min c Τ x Ax = b s.t. x ≥ 0, x为整数
min c Τ x Ax = b s .t . x r ≥ b r x ≥ 0 , x 为整数
min c Τ x Ax = b s.t . x r ≤ br x ≥ 0, x为整数
第30页 页
定界的方法（剪枝） 定界的方法（剪枝） 当前得到的最好整数解的目标函数值 分支后计算放松的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有最好 解 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分支 其中无最优解 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删除该 分支其中无最优解
第八章 运筹学课件整数规划
n
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2
运筹学-1整数规划的数学模型
xi 0,且取整数, yi 0或1 i 1,2
（2） 由于不同载体所装物品不一样，数学模型为
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10＋My2
(a)
1.8x1 0.6x2 12 My1
(b)
2x1 1.5x1
2.5x2 2x2
25 20
My2 My1
(c) (d )
y1 y2 1 x1, x2 0,且均取整数,
y
0或1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 15
式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1，y2=0)， 式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式(a)和(c)是多
运筹学
Operations Research
Chapter 5 整数规划
Integer Programming
1.整数规划数学模型Mathematical Model of IP 2 .分枝定界法 Branch and Bound Method 3. 割平面法 cutting-plane Method 4. 0－1规划 Binary Integer Programming 5. 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 15
（1） 由于所装物品不变，式(8.1)约束左边不变，整数规划数学 模型为 max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10y1＋12y2
2x1 2.5x2 25y1 20y2 y1 y2 1
第七章整数规划模型
0
1
2
x1
最优解逐步暴露在可行解区域的顶点上。
割平面构造原理涉及到对偶单纯形法，在此不多 加介绍。割平面法有很重要的理论意义，但在实际计 算中没有分支定界效率高，且涉及到对分数的处理， 因此几乎没有给予割平面法的软件。
二、分支定界法
分支定界法的基本思想是根据某种规则将原整数 规划模型的可行域分解为越来越小的子区域，并检查 某各子区域内整数解的情况，直到找到最优的整数解 或证明整数解不存在。根据整数规划模型性质的不同， 存在许多的分支界定法以及分支界定的技巧，在此只 对分支界定的一般原理作一简单的介绍。 在介绍具体算法之前，以下几个重要的实事是容 易理解的：
得到整数规划模型的最优解呢？在上例中整数规划模 T x * ( 3 , 1 ) 型的最优解 ，线性松弛模型的最优解为 1 T 0 T x ( 3 , 2 ) x ( 2.5,2) ，四舍五入得 ， x1 不是不是可行解，自然也不是最优解；若将 x 0 取整得 x 2 ( 2,2 )T ，虽然是可行解，但它不是最优解。 由此可见，刚刚的设想是行不通的，事实上整数规划 模型的求解是难题，至今还没有有效的算法（即多项 式算法）。
用LINDO软件解的程序为：
答案为：最优决策变量 目标函 数最优值为22。 （跳跃式成本模型） 设两种产品A和B每公 斤价格为10元和7元，每公斤需要的加工工时 为6小时和4小时，成本和工时的关系如图7.1所 示，要求建立一整数规划模型，是利润最大。 解 设两种产品的产量分别为 公斤， 设工时在2000以内为第一范围，2000到3000小 时为第二范围，3000到5000小时为第三范围。 再设当工时在第j范围内时， （j=1，2， 3）。则模型为：
x2
3 2
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
运筹学ABC-2整数规划建模课
表4-8 产品资源需求量表
资源 原材料/吨 劳动力（人/月） 机器设备（台/月） 产品A 2 2 1 产品B 4 3 2 产品C 8 4 3
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.3 固定成本问题
此问题的数学模型如下：
把上述模型输入WinQSB软件中，得到如下结果：最大目 标函300，最优解为x1=100, x2=0, x3=0, 也就是说生产100台 A产品可获取最大利润300万元。
整 数 规 划 在 经 济指派问题
在工作任务的安排中，有n项不同的任务，有m个人分别承担 这些任务，但由于每个人特长不一样，完成各种任务的效率也 不相同。现假设必须指派每个人去分别完成一项任务，怎么样 把n项任务指派给m个人，使得完成n项任务的总效率最高，这 就是指派问题。 对于有m个人n项任务的一般指派问题，设： xij 并设cij为第i个人去完成j项任务的成本（如所需时间、费用 等），则一般指派问题的模型可以写成：
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.4 指派问题
约束条件：
因为m不一定等于n,当m>n时，即人多于任务时，就有人没有任 务，所以前面m个约束条件都是小于等于1，这就是说每人至多 承担一个任务，而后面的n个约束条件说明每项工作正好有一 个人承担，所以都是等于1。
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.2 选址问题
解：设0-1变量 这样我们可建立如下数学模型：
约束条件如下：
整 数 规 划 在 经 济 管 理 中 的 应 用
4.5.3 固定成本问题
【例4-10】某工厂生产三种类型的产品A、B、C，所用的资源为：原材料、劳动力 和机器设备。生产每个产品的资源需求量如表4-8所示。不考虑固定成本，每种产 品A、B、C的利润分别为4万元、5万元、6万元，可使用的材料总量为500吨，劳动 力300人/月，机器100台/月。此外，如果工厂开通该产品的生长线，不管生产多少 个A、B、C产品，工厂都需要付出一定量的固定成本，具体如下：A产品为100万， B产品为150万，C产品为200万元。现在要制定一个生产计划，使其获得利润最大。
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
第05章 整数规划 《运筹学》PPT课件
︰︰ ︰
︰
xm+1 λ1 a1m+1 ︰
… … …[j0aim1xλa,1m2mjfm],++i+jjmj njf
…
im j
…1 …m
xn λn a1n
︰
︰
解
zb-1zb00i0 fi0
︰0 fi0 1
xi 0 … 1 … 0 aim+1
… aim+j
… ain
bi0
︰︰ ︰
︰︰
︰
︰
︰
非基
符号[*]表示不超过“*”的最大整数，f(*)表 示“*”的非负真分数。
对整数规划问题 IP：max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题 L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的最优解
X
不是整数解
0
不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 其中bi0是分数
即x1,xi ,xm是基变量，xm1,, xn是非基变量
设L0的最优解 X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 ,bi0是分数
L0的最优单纯形表：
x1 … xi … xm xm+1 … xm+j … xn
解
检 0 … 0 … 0 λ1
… λm+j … λn
z-z0
x1 1 … 0 … 0 a1m+1 … a1m+j … a1n
个旅行包里。
物 品
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
体 积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
运筹学 整数规划建模
纯整数线性规划问题：要求全部变量均取整数 混合整数线性规划问题：要求部分变量取值为整数 0-1整数线性规划问题：决策变量取值为0或1
6.1.2 整数规划建模中常用的处理方法 （1）资本预算问题 设有n个投资方案，cj为第j个投资 方案的收益。投资过程共分为m个 阶段，bi为第i个阶段的投资总量， aij为第i阶段第j项投资方案所需要 的资金。目标是在各阶段资金限制 下使整个投资的总收益最大。
第 6章
整数规划
北京理工大学珠海学院 廖爱红 aihongliao@
本章内容要点
• 整数规划相关概念 • 整数规划问题的一般特点 • 整数规划建模举例
引例
经济管理当中经常存在人员分派问题，企业中有4个 人可以胜任4项不同工作的任意一项，但是完成工作 的效率有所不同。如表所示：
任 务 A B C D 10 15 15 20 12 10 15 15 13 15 14 13 15 22 17 16 人 甲 乙 丙 丁
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj
yj
xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 B ：每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 C：第2年初可以投资，到第5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
第j项工作)．于是得到一个0--1整数规划问题：
整数规划建模
6.1.2 整数规划建模中常用的处理方法 （1）资本预算问题 设有n个投资方案，cj为第j个投资 方案的收益。投资过程共分为m个 阶段，bi为第i个阶段的投资总量， aij为第i阶段第j项投资方案所需要 的资金。目标是在各阶段资金限制 下使整个投资的总收益最大。
第 6章
整数规划
北京理工大学珠海学院 廖爱红 aihongliao@
本章内容要点
• 整数规划相关概念 • 整数规划问题的一般特点 • 整数规划建模举例
引例
经济管理当中经常存在人员分派问题，企业中有4个 人可以胜任4项不同工作的任意一项，但是完成工作 的效率有所不同。如表所示：
任 务 A B C D 10 15 15 20 12 10 15 15 13 15 14 13 15 22 17 16 人 甲 乙 丙 丁
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj
yj
xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 B ：每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 C：第2年初可以投资，到第5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
第j项工作)．于是得到一个0--1整数规划问题：
整数规划建模
整数规划的建模ppt课件
4、整数规划特点 整数规划标准形式（实际为整数线性规划） AX=b，X≥0，CTX=min，xj为整数（j=1，…，n） (1) （1．原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后， 其整 数规划解出现下述情况；
①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性 规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 原线性规划为：
x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干)
②
x1 + x2 3
③
4x2+x3 6
④
x1 , x2 , x3为0或1
解：观察得解(x1 , x2 , x3 )=(1 ,0 ,0)
过滤条件：3x1 - 2x2+5x3 3
将(x1 x2 x3 ) (x2 x1 x3 )
Z0 =3
解(x2 x1 x3 ) 目标值 Z0 ① ② ③ ④ 当前最好值
例 求解0-1整数规划
M a3xx1z7x2x3
2x12x2 x3 0 ①
5x1x123xx2260x3 0
运筹与优化— 整数规划建模方法
j 1
n
s.t
i1
xij
1,
j V
(2)
xij S 1,
S V , 2 S n 1
(3)
iS jS
xij 0, 1
二、典型整数规划问题建模方法
3、指派问题
混合游泳接力接力队的选拔
甲
乙
丙
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
57”2 1’06” 1’06”4 53”
14
二、典型整数规划问题建模方法
Page 15
• 记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，各顶点间的距 离dij已知。设
xij
1 , 0,
若i, j 在回路路径上
其他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
i V
(1)
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
模型求解:
最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门 课程，总学分21（注意：最优解可能不唯一！）
约束条件：先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
Page 3
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
• 用单纯形法解得：x1 4.8, x2 0, z 96
一、概述
Page 4
运筹学整数规划建模
• 项目 C：第2年初可以投资，到第5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为1万元的整数倍；
• 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
• 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这
些项目的每年投资额，使到第 5 年末拥有的资
金本利总额为最大?
8
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表
令
yi
1
动用i仓库 i 1, 2,L , m
0 否则
( yi为指示变量)
xij : 从仓库i到j顾客运送的货物量
顾客 B1 顾客 B2
仓库 A1
6
4
仓库 A2
6
5
顾客需求量 150 150
顾客 B3
6 5 200
仓库固定 运营费
10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
费用:
fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费 约束条件：
6.1 整数规划问题的提出
6.1.1 问题特征
变量取值范围是离散的，经典连 续数学中的理论和方法一般无法 直接用来求解整数规划问题。
• 不考虑整数条件，由余下的目标函数和约 束条件构成的规划问题称为整数规划问题 的松弛问题。若松弛问题是一个线性规划 问题，则称该整数规划问题为整数线性规 划问题。
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj yj xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍；
• 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
• 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这
些项目的每年投资额，使到第 5 年末拥有的资
金本利总额为最大?
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解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表
令
yi
1
动用i仓库 i 1, 2,L , m
0 否则
( yi为指示变量)
xij : 从仓库i到j顾客运送的货物量
顾客 B1 顾客 B2
仓库 A1
6
4
仓库 A2
6
5
顾客需求量 150 150
顾客 B3
6 5 200
仓库固定 运营费
10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
费用:
fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费 约束条件：
6.1 整数规划问题的提出
6.1.1 问题特征
变量取值范围是离散的，经典连 续数学中的理论和方法一般无法 直接用来求解整数规划问题。
• 不考虑整数条件，由余下的目标函数和约 束条件构成的规划问题称为整数规划问题 的松弛问题。若松弛问题是一个线性规划 问题，则称该整数规划问题为整数线性规 划问题。
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj yj xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍；